重难点专训01 圆锥曲线弦长、周长、面积问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训01 圆锥曲线弦长、周长、面积问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 求弦长 3 题型2 已知弦长求参数 9 题型3 求周长 14 题型4 已知周长求参数 18 题型5 求面积 21 题型6 已知面积求参数 28 重难专题分层过关练 36 巩固过关 36 创新提升 44 解题方法及技巧提炼 1、圆锥曲线弦长、周长、面积问题的基本思路是： （1）根据题目条件合理设出直线方程，优先选择能避免分类讨论的形式（如过 轴定点设 ，过 轴定点设 ）； （2）将直线与圆锥曲线方程联立，消元得到关于 或 的一元二次方程，利用判别式确定参数范围，利用韦达定理写出两根之和与两根之积； （3）运用弦长公式将弦长表示为两根之和、两根之积及直线斜率的表达式，避免直接求交点坐标； （4）求面积时，优先选择“弦长×点线距”或“水平宽×铅垂高”等分割方式，使底和高易于表示； （5）求周长时，利用圆锥曲线定义（椭圆、双曲线的焦点距离关系）或转化为弦长加定长； （6）涉及最值、范围或定值时，将目标量表示为参数的函数，利用基本不等式、导数或函数单调性求解，并验证取等条件。 2、核心策略与常用公式： （1）弦长公式 若直线 与曲线交于 ，则 若直线设为 ，则 选择公式时，看联立后消去哪个变量更简单，以及斜率是否存在。 （2）面积公式 三角形面积常用三种形式： ① ，其中 为第三个顶点到直线 的距离； ② 若三角形一个顶点为原点，则 ③ 若直线过 轴上的定点 ，则 此式在焦点弦问题中极为常用，可避免求弦长。 （3）焦点三角形面积 椭圆中，若 为椭圆上一点，，则 双曲线中，若 为双曲线上一点，，则 抛物线 过焦点的弦 ，若倾斜角为 ，则 （4）周长转化 椭圆上一点 与两焦点构成的三角形周长为 双曲线中需结合定义 及已知条件求各边。四边形或三角形周长常拆分为若干弦长与定长之和，利用对称性减少计算量。 3、常见题型及解题要点： （1）弦长问题 联立方程后直接套用弦长公式，注意判别式 是前提。若弦过焦点，优先使用焦半径公式或焦点弦公式，可大幅简化。 （2）面积问题 求三角形面积时，先确定底边和高。若直线过定点，优先选该定点与弦的两个端点构成三角形，用 。若求四边形面积，可拆成两个三角形面积之和，利用对角线或公共底边。 （3）面积最值或范围 将面积表示为斜率 或参数 的函数，通常为分式函数。常用方法： ① 换元令 或 ，转化为基本不等式； ② 直接求导确定单调性； ③ 利用三角函数有界性。 注意取等条件是否满足判别式及几何约束。 （4）周长问题 焦点三角形周长常为定值 ；一般三角形周长可转化为弦长加两段焦半径，利用定义整体代换。若涉及最值，同样转化为函数求值域。 （5）面积定值或比值 通过联立、韦达定理将面积表示为参数，化简后发现参数消去或成比例，从而证明定值。关键在于选择合适底边使高为定值，或利用对称性。 4、实用技巧与答题规范： （1）设直线时优先考虑斜率不存在的情况，若设 ，则天然包含竖直线，减少讨论； （2）联立后不要解出具体根，直接写出 与 ，整体代入； （3）弦长公式中根号内是 的变形，计算时先算 ，避免符号错误； （4）求面积最值时，若底边过定点，用 往往比“弦长×点线距”更简洁； （5）北京卷强调“多想少算”，能利用定义、对称性、几何关系转化的，不要盲目联立硬算； （6）书写时明确写出判别式条件、韦达定理、弦长或面积表达式，最后注明参数范围及取等条件。 5、易错点与关键提醒： （1）忽略斜率不存在的情况，导致漏解；设 时，必须单独讨论斜率不存在； （2）联立后忘记判别式 ，导致参数范围扩大； （3）弦长公式混淆 与 ，应根据消元变量选择； （4）面积公式漏乘 ，或点到直线距离公式符号错误； （5）使用焦点三角形面积公式时，注意椭圆用 ，双曲线用 ，不可混用； （6）最值问题中未验证等号能否取到，或未检查取等时直线是否与曲线相交； （7）周长问题中忽略双曲线定义中的绝对值，导致边长关系符号错误。 题型通法及变式提升 题型1 求弦长 【典例1-1】（2025·北京海淀·二模）已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． (1)当时，求的值； (2)若点满足且，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，将直线的方程与椭圆方程联立，求出交点的坐标，再利用弦长公式可求得的值； （2）设点、，设线段的中点为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出、，利用勾股定理求出，可求出的值，可得出的值，进而可得出的值. 【详解】（1）设点、，当时，直线的方程为， 联立可得或， 所以. （2）设点、，设线段的中点为， 因为，则，且， 联立，可得， 则， 由韦达定理可得，， 则，故点， 所以，， ， ， 又因为，， 因为，则，故. 核心口诀：联立消元韦达用，弦长公式两根差；斜率存在用 ，斜率不存在单独算。 高分技巧： 联立消元：设直线与圆锥曲线交于 ，联立直线与曲线方程，消去 （或 ）得关于 （或 ）的一元二次方程，利用韦达定理得 、； 弦长公式（斜率存在）：若直线 ，则 若直线设为 ，则 可避免讨论斜率不存在； 焦点弦公式： 抛物线 过焦点弦：，或 （ 为弦的倾斜角）； 椭圆、双曲线过焦点弦可用焦半径公式或定义转化； 选填速判：若弦为特殊位置（垂直于对称轴、过焦点、过原点），可直接用几何关系或定义求弦长，不必联立； 验证判别式：联立后必须保证 ，否则直线与曲线无两个交点，弦长无意义。 易错警示：斜率不存在时（直线 ）不能直接套 ，需单独设 联立求纵坐标差；弦长公式中根号内必须非负；若直线与曲线交于一点（相切），则不是弦。 【典例1-2】（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求； (3)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. (3)由（2）得，设，则，，利用基本不等式求解． 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2）    当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 由，解得， 设， ， ， 解得， 所以． （3）当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 由，解得， 设， ， 设，则， ， 当且仅当，即时等号成立，即， 解得时取等号，满足， 所以的面积最大为. 【变式1-1】（25-26高三上·北京西城·期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．若，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程结合韦达定理、抛物线定义求出参数m，接着求出两交点横坐标即可由弦长公式求解弦长. 【详解】将直线代入抛物线得， 展开并整理得， 设，则， 抛物线的焦点为，准线方程为， 所以， 由得，即， 所以，解得， 当时，方程即为，解得， 故由弦长公式. 故选：C. 【变式1-2】（2026·北京·三模）已知椭圆:的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角形且面积为． (1)求椭圆的离心率． (2)过的直线交椭圆于，两点（在的左侧），点和点分别在直线两侧，且面积与的面积相等． （ⅰ）求直线的斜率并求的长； （ⅱ）若，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线的斜率为，的长为；（ⅱ） 【分析】（1）利用三角形面积公式求出，得到，进而得到，关系，代入离心率公式求解即可； （2）（ⅰ）由得到点和点到直线的距离相等，结合点和点分别在直线两侧，直线过的中点，计算的斜率；设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据弦长公式，结合韦达定理求解即可； （ⅱ）由垂直平分，结合椭圆定义转化得，进而求出，，即可求得椭圆方程. 【详解】（1）因为， 所以， 又为锐角三角形，所以，即为等边三角形， 所以，即. （2）（ⅰ）由（1）知，所以. 因为，所以点和点到直线的距离相等， 又点和点分别在直线两侧，所以直线过的中点， 所以. 则直线的方程为， 与椭圆方程联立，整理得， ， 设，，则，， 所以. 故直线的斜率为，的长为. （ⅱ）由（ⅰ）知，垂直平分，故， 所以， 所以，所以，， 故椭圆的方程为. 题型2 已知弦长求参数 【典例2-1】已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 【答案】 【分析】根据题意，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的纵坐标，结合弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的斜率. 【详解】由题意可得，若直线与轴重合，则，不符合题意， 设直线的方程为，设点，其中， 联立可得，解得， 由弦长公式可得， 整理可得，即，解得， 故直线的斜率为. 核心口诀：弦长公式列方程，韦达代入参数现；判别式验两交点，多解取舍看范围。 高分技巧： 设参联立：设出含参数的直线方程或曲线方程，联立后得到含参的韦达表达式； 代入弦长公式：将 、 代入弦长公式，得到关于参数的方程； 解方程求参数：解出参数后，必须代回判别式 检验，舍去使直线与曲线不相交或相切的参数； 斜率不存在单独讨论：若参数影响斜率是否存在，需分 存在与不存在两种情况； 几何法辅助：若弦为焦点弦或特殊弦，可先用定义或几何关系简化弦长表达式，再列方程； 选填速判：若弦长为特殊值（如 、、通径等），可直接反推参数。 易错警示：弦长方程可能多解，必须结合参数范围、判别式、几何位置取舍；若直线过定点，需注意定点是否在曲线内部（保证两交点）。 【典例2-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． (1)求的方程和短轴长； (2)若的垂直平分线交轴于，且. （i）求直线的方程； （ii）点在上，求△面积的最大值． 【答案】(1)的方程为，短轴长. (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据焦点与离心率，以及椭圆中的关系求解即可； （2）（i）设直线与椭圆联立，根据韦达定理得出中点，根据弦长公式以及建立方程求解即可； （ii）利用椭圆的参数方程设点，写出点到直线距离公式，结合辅助角公式求最大值即可. 【详解】（1）由题意，，则，， 则的方程为，短轴长. （2）（i）当直线斜率不存在时，，，不合题意， 故设直线的方程为：，， 联立，得， ， 所以， ， ， 由得， 解得， 所以直线的方程为：. （ii）由于点在上，故设， 由对称性，设，，， 则点到的距离 其中， 当时，， . 所以△面积的最大值为. 【变式2-1】（2026·北京·三模）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【答案】B 【分析】先考虑斜率不存在的情况弦长的值；再考虑斜率存在时，联立方程，根据斜率的取值情况判断有几种情况． 【详解】斜率不存在时：，与双曲线交于一点，不满足题意； 斜率必然存在，设直线方程，，； 联立方程：可得：； 则，即， 且恒成立； 即，； 则； 两边平方可得：，即； 解得或；则的取值为四个， 故满足题意的直线有４条． 【变式2-2】已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【分析】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    题型3 求周长 【典例3-1】已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____． 【答案】 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：.    核心口诀：周长化边再求和，焦半径用定义转；弦长公式求公共边，定义简化焦点三角形。 高分技巧： 三角形周长：若求 的周长，先求各边：、、。其中 用弦长公式，、 可用两点间距离或焦半径公式； 焦点三角形周长： 椭圆上一点 与两焦点 构成三角形：周长 ； 双曲线上一点 与两焦点构成三角形：周长 或 （注意分支）； 弦过焦点时：若弦 过焦点 ，则 的周长 。由圆锥曲线定义， 可转化为与 有关，简化计算； 四边形周长：分割为两个三角形或利用对称性，分别求边后相加； 选填速判：若图形具有对称性，可只算一半再乘2；利用椭圆、双曲线定义直接得定值。 易错警示：周长是边长之和，注意绝对值；焦点三角形中需确认点所在分支；双曲线中 ，周长表达式需加绝对值。 【典例3-2】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 【变式3-1】已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则________；若没有经过点，则的周长为_________. 【答案】 ； 【分析】当直线经过点且垂直于轴时，线段，当直线不经过点时由圆与直线相切的位置关系计算可得结果. 【详解】设，易知长半轴长，离心率； 设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有， 所以，得， 此时直线，将代入得，所以. 若没有经过点，设，， 由椭圆性质和题意可知，，所以， . 由椭圆方程得， 代入上式有. ， 则， 同理，所以的周长. 故答案为：，. 【变式3-2】已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为______. 【答案】/ 【分析】根据题意分析可知，进而可得，结合双曲线的定义分析可知的周长为，联立方程求点A的纵坐标，结合几何性质分析求解. 【详解】记的右焦点为， 由题意可知：双曲线的一条渐近线为，可知点在的渐近线上， 且，即， 且，，则， 可知和均为等边三角形， 则，即， 所以双曲线的方程为. 不妨设A在上方， 则的周长为， 又因为的直线方程为，与双曲线方程联立得， 整理得，解得， 且，可知，所以的周长为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，结合起来，结合直线与双曲线的交点分析求解． 题型4 已知周长求参数 【典例4-1】已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 核心口诀：周长表达式建方程，定义化简焦半径；弦长韦达代入，解参验判别式。 高分技巧： 写出周长表达式：将周长表示为弦长、焦半径或两点距离之和； 利用圆锥曲线定义化简：若涉及焦点，用 等关系将焦半径之和转化为常数或简单表达式； 弦长用韦达：将弦长用 、 表示，整体代入周长方程； 解方程求参数：得到关于参数的方程，解出后检验判别式及几何约束； 选填速判：若周长为定值，可直接利用定义反推参数（如椭圆焦点三角形周长为 ，已知周长可求 ）。 易错警示：双曲线中焦半径差为 ，但周长涉及和时需加绝对值；弦过焦点时，，可简化；参数需满足曲线方程本身的范围。 【典例4-2】已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为______. 【答案】4 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长， 而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故答案为：. 【变式4-1】已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上一动点，平面内存在一点，使的周长最小，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由题意可得要使的周长最小，即需最小，结合抛物线性质，可得等于点到准线的距离，设到准线的垂足为，从而可得三点共线时，最小，此时点的横坐标与点横坐标相同，再解出纵坐标即可得. 【详解】由题可知，因为的周长为， 而，所以只需最小即可， 因为点在抛物线上，所以等于点到准线的距离， 设到准线的垂足为，因此， 即三点共线时，最小为6， 此时点的横坐标为1，则，即．    故答案为：. 【变式4-2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，直线过且与双曲线的左支交于，两点.若，且的周长为24，则双曲线的焦距为________. 【答案】 【分析】根据题干，利用双曲线的定义和的周长为24可得，，利用，可得，最后利用勾股定理算出的边长，即可在中计算. 【详解】由题知，， ， 的周长为， ，， 由得， 即，， 故，， ，，， 在中，，解得，焦距为.    故答案为： 题型5 求面积 【典例5-1】已知椭圆的方程为，长轴长为，短轴长为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在轴的右侧，若，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由长轴长求出、短轴长求出，即可得到椭圆方程，再求出，即可求出离心率； （2）设线段的中点为，根据题意，易知，通过动点的坐标求出点的坐标，将四边形分割成三角形和三角形进行运算，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆方程为， 则，所以离心率； （2）设线段的中点为，连接，因为，所以. 由题意知直线的斜率存在， 设点的坐标为， 则点的坐标为，直线的斜率， 所以直线的斜率， 故直线的方程为. 令，得，故. 由，得，化简得. 因此 ． 当且仅当时，即时等号成立． 故四边形面积的最小值为． 核心口诀：弦长乘距除以2，坐标叉积也常用；原点三角形面积，。 高分技巧： 三角形面积（弦与定点）：，其中 为定点到直线 的距离。先求弦长，再用点到直线距离公式； 弦与原点构成三角形：若直线 与曲线交于 ，则 若直线设为 ，则 此公式避免求弦长和距离，计算更快捷； 坐标叉积法：，适用于任意三角形； 分割法：将四边形或复杂图形分割为若干三角形，分别求面积后相加； 焦点三角形面积： 椭圆焦点三角形：（ 为两焦点夹角）； 双曲线焦点三角形：； 选填速判：若图形对称或弦为特殊位置，可直接用几何面积公式。 易错警示：面积公式中距离必须为高，底与高对应；绝对值保证面积正；弦与原点三角形面积公式中的 是直线在 轴截距，若直线过原点则面积为0。 【典例5-2】将抛物线向左平移1个单位得到曲线，过原点作直线与交于不同的两点，设中点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设圆与轴分别交于点，（在的左侧），与在第一象限的交点为，若直线与分别交于点，直线与直线相交于点． ①求证：； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①由已知得，的焦点为，准线方程为 ， 设，则， 所以圆的方程为，所以，， 设直线的方程为， 由，可得，， 则，又因为，所以， 又直线 的方程为， 由，可得，所以， 又，所以， 过点 作，垂足为，则． 则直线 的方程为， 又直线的方程为，联立可得点， 所以，， 所以， 由相似三角形性质可得． ②16 【分析】（1）先根据抛物线平移规律得到曲线的方程，再联立直线与方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出中点轨迹方程. （2）①设出相关点坐标，求出直线， 方程并与曲线联立，利用韦达定理和定比分点公式证明线段比例关系. ②设直线 方程并与曲线联立，用弦长公式和点到直线距离公式表示出面积，进而求出最小值. 【详解】（1）由已知得，的方程为， 由题得直线的斜率不为零，设的方程为， 由，消去得，， 设，， 中点的坐标为，所以， 则，， 消去得，所以的方程为． （2）①略 ②由①得， 因为，， 所以，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为16． 【变式5-1】（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【答案】(1) (2) 由题意，直线的斜率显然存在且不为0， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则，即或， 且，则， 而 ， ，故. 【分析】（1）将点代入椭圆方程可得，结合焦点可得，进而结合的关系求解即可； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而求证即可. 【详解】（1）由点在椭圆C上，得， 而左焦点为，则，即，解得， 则椭圆C的方程为. （2）略 【变式5-2】（2026·北京大兴·三模）已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的两个端点为顶点构成的四边形的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆相切于点，且直线斜率大于0，过线段PQ的中点作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，记的面积分别为，比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)；理由如下： 设切线PQ的方程为， ， 由，消去y得①，    则， 解得或（舍去），将代入①得， ，解得，则， 所以，又为PQ中点，则， 因为斜率都存在，不妨设，， 则的方程为，联立得， 得，所以 ， 则，同理，， 则， 又R，A，B三点共线，则,即， 即得， 化简得， 所以， 所以，所以，则到直线的距离相等，设为d， 则，所以. 【分析】（1）根据离心率以及椭圆两个焦点与短轴的端点为顶点构成的四边形的面积列出等式即可求解； （2）设出相关直线与相关点的坐标，直线与椭圆联立，点的坐标配合斜率公式化简，再运用韦达理化简可证明，再结合三角形面积公式即可得结论. 【详解】（1）由题意可知，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）略 题型6 已知面积求参数 【典例6-1】（2026·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)由题设得解得，，． 所以椭圆的方程为． (2)由题设知，且． 直线的方程为． 由得． 设，，则， 且，． 因为， 点到直线的距离为， 所以 ． 由题设知．解得． 【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得； （2）解法一：设出直线，转化条件为，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解.解法二：设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）解法二：由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 核心口诀：面积表达式列方程，韦达代入参数藏；判别式验存在性，多解取舍看图形。 高分技巧： 建立面积表达式：用弦长乘距离、坐标叉积或原点三角形面积公式，将面积表示为含参数的函数； 联立韦达代入：将 、 用参数表示，代入面积表达式得到关于参数的方程； 解方程求参数：解出参数后，代回判别式 及参数范围检验； 利用面积比或定值：若面积与某已知量成比例（如 ），可先化简再解； 选填速判：若面积为特殊值，可尝试特殊位置（如弦垂直于对称轴）直接求参数，再验证； 多解检验：面积方程可能有多解，需根据图形位置、参数范围、判别式舍去不合理解。 易错警示：面积恒正，方程中绝对值去掉时需讨论正负；参数需保证直线与曲线有两个交点（）；若面积涉及焦点三角形，需确认点所在分支及角度范围。 【典例6-2】（2026·北京海淀·二模）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为 (2) 【分析】（1）由题意知，进而求得答案； （2）设直线方程为，进而求得点，，，，再结合弦长公式，面积公式求解与面积，建立关于的方程并解方程即可得答案. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为， 因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为， 所以，， 所以椭圆的方程为； 离心率为； （2）由题意知，直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为，令得，故， 联立方程，得，解得或， 所以，代入得， 所以，， 所以， 所以直线的方程为， 因为的方程为， 所以，得， 所以， 因为， 点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，即， 设椭圆的右顶点为， 因为经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方）， 所以，故，， 所以， 令，则，即， 所以， 解得或（舍去），则， 所以，即直线的斜率为. 【变式6-1】（2026·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和（）的直线与椭圆的另一个交点为，与分别表示与的面积．若，求的值． 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）根据给定的离心率及面积列式求出即可. （2）根据给定条件，结合三角形面积公式可得点关于轴对称，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及共线向量的坐标表示求解. 【详解】（1）由椭圆：的离心率为，得，解得， 由椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，点， 由消去并整理得， ，， 由，得，则， 由点在线段上，得都是锐角，则，点关于轴对称， 于是点，，由， 得，即， 整理得，因此，解得， 所以的值为1. 【变式6-2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）.垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值.若不存在，请说明理由. 【答案】(1); (2)存在，. 当过点的直线斜率不存在时，直线为,此时与椭圆没有交点， 所以直线的斜率存在，且，在轴的同侧， 设直线的方程为，，，不妨设， 则，， 由得， 所以，，， 因为，，， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则,所以 则应有，解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. 【分析】（1）由椭圆短轴顶点得到，结合离心率与的关系式求出，得到椭圆的标准方程；（2）先设过定点P的直线，联立椭圆得到韦达定理，把三个三角形面积用, 表示，利用等比中项写出关系式;将面积等式全部转化为的形式，由等式对任意斜率k恒成立，比较系数求出常数t. 【详解】（1）根据已知可得，，， 所以，，， 所以椭圆的方程为. （2）略 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率； （2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长． 【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； （2）由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长．    2．已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【答案】(1). (2)直线的方程为，弦长. 【分析】（1）由题意根据椭圆离心率求得，进而计算可求椭圆的方程； （2）由题意结合弦长公式、点到直线的距离公式可得三角形面积，进而建立等式计算求解即可. 【详解】（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，， 因此椭圆方程为； （2）设过的直线方程为，设，. 联立直线与椭圆方程得：， 消去整理得， 由判别式 ，得. 由韦达定理得，. 原点到直线的距离， 弦长. 三角形面积， 令，，则 ， 代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足， 当，即时，直线的方程为，. 当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 3．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 4．已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，． (1)求的离心率； (2)若， （i）求证：直线平分线段； （ii）已知四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）证明：设，，的中点为， 由与联立，整理得，     所以，所以，， 所以直线的斜率， 因为，所以， 又直线过原点，所以与直线是同一条直线，所以直线平分线段． （ii）或． 【分析】（1） 写出椭圆的标准方程，得到， ，从而求解离心率.                                                                                                              （2）（i）联立椭圆和直线的方程，可求得的中点的坐标，结合条件，从而可求解. （ii）联立椭圆和直线的方程，计算得到的长度，联立椭圆和直线的方程，可求得，两点的坐标，再结合点到直线的距离和四边形的面积即可求解. 【详解】（1）由，即， 则，，， 所以，， 所以的离心率． （2）（i）略 （ii）解：由（i）知，， 所以， 所以． 的方程为，由，得的方程为， 由与联立， 解得，两点坐标分别为，． 设点，到直线的距离为，，记，， 则，的坐标为，，， 令，则， 所以， 所以四边形的面积， 解得，又，所以， 直线的方程为或． 5．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程； （2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为； （2）设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； 6．已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. （2）由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 创新提升 7．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据椭圆焦点在轴得到、，结合离心率，列方程求解，代入得到椭圆方程； ②设直线的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长，根据且得到直线的斜率，同理得，由解出，再代入直角三角形面积公式计算面积； （2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长和，结合整理得到关于的表达式，利用椭圆焦点在轴的条件列不等式求解，即可得到的取值范围. 【详解】（1）①已知椭圆焦点在轴上，故，，所以， 又离心率，所以，解得， 因此椭圆的方程为. ②因为是的左顶点，所以，设直线， 则由得， 已知是方程的一个根（对应点），由韦达定理得， 因此，因为，且，故， 同理得，由，得，整理得， 即，因，故， 此时，为等腰直角三角形，面积为. （2）已知椭圆焦点在轴上，故，左顶点， 设直线的方程为，，由得直线斜率为， 将代入椭圆方程，整理得， 该方程一个根为，由韦达定理得， 由弦长公式得， 将上式中替换为，得， 由，即，化简得 ，整理得， 由椭圆条件，代入得，移项整理， 即，等价于，所以或，解得， 故的取值范围是. 8．已知椭圆的长轴长为4，点在C上． (1)求C的方程； (2)点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值，并求出该定值； （ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长． 【答案】(1) (2) （ⅰ）设，直线PM的方程为，直线PN的方程为， 因为直线PM、PN均与圆相切，所以， 将上式两边同时平方后整理得，，， 为方程的两根， 所以，又，所以，所以． （ⅱ） 【分析】（1）根据题中条件求解即可； （2）（ⅰ）设出直线PM方程，根据相切构造同解方程即可求出； （ⅱ）设出直线MN方程，代入，再联立直线与椭圆的方程，求得，最后求解出． 【详解】（1）由题意得，，故， 将点代入椭圆方程，解得， 所以C的方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设，直线， 则， 化简得，．（*）． 由消去y，得， 由，可得， 则， 代入（*）式，得， 化简得，，所以m=0或， 若，则直线过点， 这意味着三点共线，那么直线与为同一条直线， 这与题设‘过点作两条（不同的）直线’矛盾，故舍去. 所以，所以． 9．已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据椭圆离心率和经过点及求解即可； （2）设直线l的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，得到点坐标，再写出AB的垂直平分线方程，得到点坐标，表示出，列方程求解； （3）又（2）用表示，令，分析函数的取值范围. 【详解】（1）由题可得，解得， 所以椭圆C的标准方程为； （2）由（1）可知，若直线斜率不存在，则的方程为， 此时点为的中点，即重合，线段AB的垂直平分线即为x轴，不符合题意； 所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，， 联立，化简得：， 所以， 所以，线段AB的垂直平分线为， 令，解得，所以， 所以， 又， 所以，解得， 所以直线l的方程为，即或； （3）由（2）可知， 令，则当，， 当，， 因为，所以，; 所以的取值范围为.    10．椭圆：（）的上顶点为，离心率为，已知点，直线平行于轴． (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点，其中在第一象限，点不在轴上，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）设直线与轴交于，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用平行于轴得到上顶点纵坐标，结合离心率与椭圆的关系求出椭圆方程； （2）（i）设出过定点的直线方程，联立椭圆，借助韦达定理，把斜率表达式转化为根与系数的关系式进行化简，最终求得定值； （ii）利用（i）的定值结论推导出、的中点为定点，将面积转化为；再利用平行线与椭圆相切时距离最大的思路，设平行直线与椭圆联立，由判别式求出切线，计算点到直线距离，从而得到面积最大值. 【详解】（1）由题意知，直线平行于轴，所以， 因为离心率为，又，所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题意设过的直线的方程为，其中，，即 设交点，联立， 即， 所以，， 所以 ； （ii）直线的方程为，令，得，所以， 设直线与轴的交点为，同理可得，因为， 所以，的中点坐标为，△面积， 其中为点到直线的距离， 所以当过且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 可设直线的方程为，联立， 整理得，，即， 所以直线的方程为，所以直线与的距离为， 最大值为，所以△面积最大值. 11．已知椭圆，左顶点为A，下顶点为B，，焦距为． (1)求E的方程； (2)平行于AB的直线l与E相交于C，D两点（C，D均在第一象限，且A，B，C，D按逆时针排列），直线AD与y轴相交于点P，直线BC与x轴相交于点Q． ①求直线PQ的斜率； ②若四边形ABQP的面积为，求四边形PQCD的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用椭圆顶点距离、焦距建立方程组，求出椭圆标准方程； （2）①设平行直线，联立椭圆得到韦达关系，求出P，Q坐标后代入斜率公式，借助化简，求出直线PQ的斜率；②利用①得到的斜率设，则，其中，由四边形面积求出参数，联立直线求C，D，得到，再用梯形面积计算PQCD面积. 【详解】（1）因为，所以， 因为焦距为，所以，则 所以E的方程为； （2）①因为，则AB的斜率为， 设直线l方程为， 联立l与E的方程：，消去y得：，则， 直线AD方程为：，令得，故， 直线BC方程为：，令得，故， 则PQ的斜率 ， 所以直线PQ的斜率为； ②由①知PQ斜率为，设，则，其中， 则， 所以四边形ABQP的面积，解得， 则，PQ方程为：，AP方程为：， 联立AP与E的方程：解得，同理， 故CD方程为：，且， 则PQ//CD，又直线PQ与CD间距离， 故四边形PQCD面积. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 圆锥曲线弦长、周长、面积问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 求弦长 3 题型2 已知弦长求参数 5 题型3 求周长 6 题型4 已知周长求参数 7 题型5 求面积 7 题型6 已知面积求参数 9 重难专题分层过关练 10 巩固过关 10 创新提升 11 解题方法及技巧提炼 1、圆锥曲线弦长、周长、面积问题的基本思路是： （1）根据题目条件合理设出直线方程，优先选择能避免分类讨论的形式（如过 轴定点设 ，过 轴定点设 ）； （2）将直线与圆锥曲线方程联立，消元得到关于 或 的一元二次方程，利用判别式确定参数范围，利用韦达定理写出两根之和与两根之积； （3）运用弦长公式将弦长表示为两根之和、两根之积及直线斜率的表达式，避免直接求交点坐标； （4）求面积时，优先选择“弦长×点线距”或“水平宽×铅垂高”等分割方式，使底和高易于表示； （5）求周长时，利用圆锥曲线定义（椭圆、双曲线的焦点距离关系）或转化为弦长加定长； （6）涉及最值、范围或定值时，将目标量表示为参数的函数，利用基本不等式、导数或函数单调性求解，并验证取等条件。 2、核心策略与常用公式： （1）弦长公式 若直线 与曲线交于 ，则 若直线设为 ，则 选择公式时，看联立后消去哪个变量更简单，以及斜率是否存在。 （2）面积公式 三角形面积常用三种形式： ① ，其中 为第三个顶点到直线 的距离； ② 若三角形一个顶点为原点，则 ③ 若直线过 轴上的定点 ，则 此式在焦点弦问题中极为常用，可避免求弦长。 （3）焦点三角形面积 椭圆中，若 为椭圆上一点，，则 双曲线中，若 为双曲线上一点，，则 抛物线 过焦点的弦 ，若倾斜角为 ，则 （4）周长转化 椭圆上一点 与两焦点构成的三角形周长为 双曲线中需结合定义 及已知条件求各边。四边形或三角形周长常拆分为若干弦长与定长之和，利用对称性减少计算量。 3、常见题型及解题要点： （1）弦长问题 联立方程后直接套用弦长公式，注意判别式 是前提。若弦过焦点，优先使用焦半径公式或焦点弦公式，可大幅简化。 （2）面积问题 求三角形面积时，先确定底边和高。若直线过定点，优先选该定点与弦的两个端点构成三角形，用 。若求四边形面积，可拆成两个三角形面积之和，利用对角线或公共底边。 （3）面积最值或范围 将面积表示为斜率 或参数 的函数，通常为分式函数。常用方法： ① 换元令 或 ，转化为基本不等式； ② 直接求导确定单调性； ③ 利用三角函数有界性。 注意取等条件是否满足判别式及几何约束。 （4）周长问题 焦点三角形周长常为定值 ；一般三角形周长可转化为弦长加两段焦半径，利用定义整体代换。若涉及最值，同样转化为函数求值域。 （5）面积定值或比值 通过联立、韦达定理将面积表示为参数，化简后发现参数消去或成比例，从而证明定值。关键在于选择合适底边使高为定值，或利用对称性。 4、实用技巧与答题规范： （1）设直线时优先考虑斜率不存在的情况，若设 ，则天然包含竖直线，减少讨论； （2）联立后不要解出具体根，直接写出 与 ，整体代入； （3）弦长公式中根号内是 的变形，计算时先算 ，避免符号错误； （4）求面积最值时，若底边过定点，用 往往比“弦长×点线距”更简洁； （5）北京卷强调“多想少算”，能利用定义、对称性、几何关系转化的，不要盲目联立硬算； （6）书写时明确写出判别式条件、韦达定理、弦长或面积表达式，最后注明参数范围及取等条件。 5、易错点与关键提醒： （1）忽略斜率不存在的情况，导致漏解；设 时，必须单独讨论斜率不存在； （2）联立后忘记判别式 ，导致参数范围扩大； （3）弦长公式混淆 与 ，应根据消元变量选择； （4）面积公式漏乘 ，或点到直线距离公式符号错误； （5）使用焦点三角形面积公式时，注意椭圆用 ，双曲线用 ，不可混用； （6）最值问题中未验证等号能否取到，或未检查取等时直线是否与曲线相交； （7）周长问题中忽略双曲线定义中的绝对值，导致边长关系符号错误。 题型通法及变式提升 题型1 求弦长 【典例1-1】（2025·北京海淀·二模）已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． (1)当时，求的值； (2)若点满足且，求的大小． 核心口诀：联立消元韦达用，弦长公式两根差；斜率存在用 ，斜率不存在单独算。 高分技巧： 联立消元：设直线与圆锥曲线交于 ，联立直线与曲线方程，消去 （或 ）得关于 （或 ）的一元二次方程，利用韦达定理得 、； 弦长公式（斜率存在）：若直线 ，则 若直线设为 ，则 可避免讨论斜率不存在； 焦点弦公式： 抛物线 过焦点弦：，或 （ 为弦的倾斜角）； 椭圆、双曲线过焦点弦可用焦半径公式或定义转化； 选填速判：若弦为特殊位置（垂直于对称轴、过焦点、过原点），可直接用几何关系或定义求弦长，不必联立； 验证判别式：联立后必须保证 ，否则直线与曲线无两个交点，弦长无意义。 易错警示：斜率不存在时（直线 ）不能直接套 ，需单独设 联立求纵坐标差；弦长公式中根号内必须非负；若直线与曲线交于一点（相切），则不是弦。 【典例1-2】（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求； (3)求的面积的最大值． 【变式1-1】（25-26高三上·北京西城·期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．若，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式1-2】（2026·北京·三模）已知椭圆:的上、下焦点分别为，，右顶点为，为锐角三角形且面积为． (1)求椭圆的离心率． (2)过的直线交椭圆于，两点（在的左侧），点和点分别在直线两侧，且面积与的面积相等． （ⅰ）求直线的斜率并求的长； （ⅱ）若，求椭圆的方程． 题型2 已知弦长求参数 【典例2-1】已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 核心口诀：弦长公式列方程，韦达代入参数现；判别式验两交点，多解取舍看范围。 高分技巧： 设参联立：设出含参数的直线方程或曲线方程，联立后得到含参的韦达表达式； 代入弦长公式：将 、 代入弦长公式，得到关于参数的方程； 解方程求参数：解出参数后，必须代回判别式 检验，舍去使直线与曲线不相交或相切的参数； 斜率不存在单独讨论：若参数影响斜率是否存在，需分 存在与不存在两种情况； 几何法辅助：若弦为焦点弦或特殊弦，可先用定义或几何关系简化弦长表达式，再列方程； 选填速判：若弦长为特殊值（如 、、通径等），可直接反推参数。 易错警示：弦长方程可能多解，必须结合参数范围、判别式、几何位置取舍；若直线过定点，需注意定点是否在曲线内部（保证两交点）。 【典例2-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点． (1)求的方程和短轴长； (2)若的垂直平分线交轴于，且. （i）求直线的方程； （ii）点在上，求△面积的最大值． 【变式2-1】（2026·北京·三模）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【变式2-2】已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 题型3 求周长 【典例3-1】已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____． 核心口诀：周长化边再求和，焦半径用定义转；弦长公式求公共边，定义简化焦点三角形。 高分技巧： 三角形周长：若求 的周长，先求各边：、、。其中 用弦长公式，、 可用两点间距离或焦半径公式； 焦点三角形周长： 椭圆上一点 与两焦点 构成三角形：周长 ； 双曲线上一点 与两焦点构成三角形：周长 或 （注意分支）； 弦过焦点时：若弦 过焦点 ，则 的周长 。由圆锥曲线定义， 可转化为与 有关，简化计算； 四边形周长：分割为两个三角形或利用对称性，分别求边后相加； 选填速判：若图形具有对称性，可只算一半再乘2；利用椭圆、双曲线定义直接得定值。 易错警示：周长是边长之和，注意绝对值；焦点三角形中需确认点所在分支；双曲线中 ，周长表达式需加绝对值。 【典例3-2】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【变式3-1】已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则________；若没有经过点，则的周长为_________. 【变式3-2】已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为______. 题型4 已知周长求参数 【典例4-1】已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 核心口诀：周长表达式建方程，定义化简焦半径；弦长韦达代入，解参验判别式。 高分技巧： 写出周长表达式：将周长表示为弦长、焦半径或两点距离之和； 利用圆锥曲线定义化简：若涉及焦点，用 等关系将焦半径之和转化为常数或简单表达式； 弦长用韦达：将弦长用 、 表示，整体代入周长方程； 解方程求参数：得到关于参数的方程，解出后检验判别式及几何约束； 选填速判：若周长为定值，可直接利用定义反推参数（如椭圆焦点三角形周长为 ，已知周长可求 ）。 易错警示：双曲线中焦半径差为 ，但周长涉及和时需加绝对值；弦过焦点时，，可简化；参数需满足曲线方程本身的范围。 【典例4-2】已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为______. 【变式4-1】已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上一动点，平面内存在一点，使的周长最小，则点的坐标为_________． 【变式4-2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，直线过且与双曲线的左支交于，两点.若，且的周长为24，则双曲线的焦距为________. 题型5 求面积 【典例5-1】已知椭圆的方程为，长轴长为，短轴长为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在轴的右侧，若，求四边形面积的最小值. 核心口诀：弦长乘距除以2，坐标叉积也常用；原点三角形面积，。 高分技巧： 三角形面积（弦与定点）：，其中 为定点到直线 的距离。先求弦长，再用点到直线距离公式； 弦与原点构成三角形：若直线 与曲线交于 ，则 若直线设为 ，则 此公式避免求弦长和距离，计算更快捷； 坐标叉积法：，适用于任意三角形； 分割法：将四边形或复杂图形分割为若干三角形，分别求面积后相加； 焦点三角形面积： 椭圆焦点三角形：（ 为两焦点夹角）； 双曲线焦点三角形：； 选填速判：若图形对称或弦为特殊位置，可直接用几何面积公式。 易错警示：面积公式中距离必须为高，底与高对应；绝对值保证面积正；弦与原点三角形面积公式中的 是直线在 轴截距，若直线过原点则面积为0。 【典例5-2】将抛物线向左平移1个单位得到曲线，过原点作直线与交于不同的两点，设中点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设圆与轴分别交于点，（在的左侧），与在第一象限的交点为，若直线与分别交于点，直线与直线相交于点． ①求证：； ②求面积的最小值． 【变式5-1】（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【变式5-2】（2026·北京大兴·三模）已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的两个端点为顶点构成的四边形的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆相切于点，且直线斜率大于0，过线段PQ的中点作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，记的面积分别为，比较与的大小关系，并说明理由. 题型6 已知面积求参数 【典例6-1】（2026·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的值． 核心口诀：面积表达式列方程，韦达代入参数藏；判别式验存在性，多解取舍看图形。 高分技巧： 建立面积表达式：用弦长乘距离、坐标叉积或原点三角形面积公式，将面积表示为含参数的函数； 联立韦达代入：将 、 用参数表示，代入面积表达式得到关于参数的方程； 解方程求参数：解出参数后，代回判别式 及参数范围检验； 利用面积比或定值：若面积与某已知量成比例（如 ），可先化简再解； 选填速判：若面积为特殊值，可尝试特殊位置（如弦垂直于对称轴）直接求参数，再验证； 多解检验：面积方程可能有多解，需根据图形位置、参数范围、判别式舍去不合理解。 易错警示：面积恒正，方程中绝对值去掉时需讨论正负；参数需保证直线与曲线有两个交点（）；若面积涉及焦点三角形，需确认点所在分支及角度范围。 【典例6-2】（2026·北京海淀·二模）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【变式6-1】（2026·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和（）的直线与椭圆的另一个交点为，与分别表示与的面积．若，求的值． 【变式6-2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）.垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值.若不存在，请说明理由. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 2．已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 3．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 4．已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，． (1)求的离心率； (2)若， （i）求证：直线平分线段； （ii）已知四边形的面积为，求直线的方程． 5．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 6．已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 创新提升 7．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 8．已知椭圆的长轴长为4，点在C上． (1)求C的方程； (2)点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值，并求出该定值； （ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长． 9．已知椭圆的离心率为，且过点，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)求的取值范围. 10．椭圆：（）的上顶点为，离心率为，已知点，直线平行于轴． (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点，其中在第一象限，点不在轴上，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）设直线与轴交于，求面积的最大值． 11．已知椭圆，左顶点为A，下顶点为B，，焦距为． (1)求E的方程； (2)平行于AB的直线l与E相交于C，D两点（C，D均在第一象限，且A，B，C，D按逆时针排列），直线AD与y轴相交于点P，直线BC与x轴相交于点Q． ①求直线PQ的斜率； ②若四边形ABQP的面积为，求四边形PQCD的面积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $