专题09 勾股定理中的实际应用模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题09.勾股定理中的实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。核心思路：实际情景→抽象直角三角形→找准直角边、斜边→列方程求解。 综合考法：常结合二次根式、方程思想、方案选择；部分压轴会和最短路径、将军饮马嵌套。题型场景千变万化，但底层逻辑不变。重点训练识图建模能力，区分不同情景下不变量，熟练运用方程思想，同时注意和立体展开、方位角、传统文化题型结合，即可解决各类模考/中考全部同类题型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.梯子滑动模型 2 模型2.轮船航行模型 4 模型3.信号站（中转站）选择模型 6 模型4.台风（噪音）、爆破模型 8 模型5.超速模型 11 模型6.风吹莲动模型 13 模型7.折竹抵地模型 15 模型.8不规则图形面积模型 17 易错点与方法总结 20 模型运用 21 A组（基础题） 21 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 29 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 勾股定理实际应用最早见于我国《九章算术》，“折竹抵地”“引葭赴岸” 是经典原始题型，也是现在中考文化类试题直接取材来源。 古代没有坐标系，古人利用直角三角形测算高度、河宽、距离，是早期测量学核心工具。 现代考题就是把古代测量场景替换为梯子、轮船、卡车、圆柱包装盒等生活素材；图形变了，但数学模型完全不变。 命题人偏好该模型：既能考察勾股定理计算，又能考察学生从文字建立几何模型的能力，贴合新课标 “数学建模” 核心素养。 1）勾股定理及其逆定理； 2）一元一次方程（设未知边长列等式）； 3）方位角概念（北偏东、南偏西等，作十字方位线构造直角）； 4）二次根式基本运算； 5）几何作图：根据文字描述画出直角三角形。 模型1.梯子滑动模型 【模型提炼与证明】 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题：(2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得，，，∴ ∵梯子底端沿向外移动，∴， ∴，∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． (2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高，∴，∴， ∴，∵， ∴，∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【典例2】（25-26广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则的长度为多少？      【答案】的长度为米． 【详解】解：根据勾股定理得，，， ∵，∴，∴，∴， 答：的长度为米． 【典例3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度；(2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得：，在中，，， 由勾股定理得：，， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：，， 绳子的总长度为，， 在中，由勾股定理得：， ，答：滑块向左滑动的距离为． 模型2.轮船航行模型 【模型提炼与证明】 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ∴，在中，，即此时两艘轮船相距． 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？(2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里(2)此时该船只所在处C与的距离为海里 【详解】（1）解：，，， ，，，，， ∴在中，由勾股定理得，， 答：巡逻艇的速度为每小时48海里； （2）解：作于，，， 答：此时该船只所在处C与的距离为海里． 【典例3】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）；(2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 【答案】(1)可疑船行驶的路线的距离为 海里(2)巡逻船能比可疑船先到达点 【详解】（1）解： 在 中， ， ， 海里， ∴ ， （海里）， 在 中， ， ，则 ， 由勾股定理可得，则， （海里）， （海里）， 答：可疑船行驶的路线的距离为 海里； （2）解：在 中， ，由勾股定理可得（海里）， 巡逻船的路程 （海里）， 巡逻船从到达所用时间为 （小时）； 由（1）知，可疑船到达点的路程为 海里，速度为 海里每小时， 可疑船到达点所用时间为 （小时）， ，巡逻船能比可疑船先到达点． 模型3.信号站（中转站）选择模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等，∴． ∵于A，于B，∴， ∴，∴， 设，则．∵，， ∴，解得：，∴．答：E站应建在离A站处． 【典例2】（24-25·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴，∴ ， ∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B． 【典例3】（25-26八年级上·成都·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：；(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析(2)选择八（1）班的方案，理由见解析 【详解】（1）证明：由题意可得：， ∴，∴，即； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下：∵，∴， 则按照八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为； 按照八（2）班方案：沿线段，，铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为， ∵，∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·重庆长寿·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)求证：；(2)海港受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)见解析(2)海港C受到台风影响，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵km，km，km， ∴．∴是直角三角形，∴； （2）解：海港C受台风影响．理由如下：如图，过点C作于D． ∵，∴． ∵，∴海港C受到台风影响． （3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．∴，∵，∴， 在中，由勾股定理得：，∴， ∵台风的速度为，∴．∴台风影响该海港持续的时间为． 【典例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域．(1)求的度数；(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？(3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【详解】（1）解：点与直线上两点，的距离分别为和，， ，．是直角三角形，且； (2)学校会受噪声影响 理由如下：过点作于点， 根据三角形面积公式可得，； 压路工程车周围以内为受噪声影响区域，且，学校会受噪声影响； （3）解：在上取一点，使，连接， ，当压路工程车在线段上时产生的噪声会影响学校． ，，在中， ，． ，（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 【典例3】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？(2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 【答案】(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰(2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【详解】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，，∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，，解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 模型5.测超速、河宽模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．(1)求的距离；(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米(2)大巴车超速了 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得，的距离为米； （2）解：大巴车的速度为，则， ，大巴车超速了． 【典例2】（2026·贵州铜仁·模拟预测）综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决：(1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图，在b岸选择一点，使，测出的长为； （2）解：，，，， ，即：河的宽度为． 【典例3】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ，速度为， 答：外来车辆的平均速度为； (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下：由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知，， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为，安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 模型6.风吹莲动模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺；为中点，且丈尺，(尺)； 在中，由勾股定理得：， 即，解得：；即尺；答：水池的深度为12尺； (2)证明：水池深度，则芦苇高度为，由题意有：； 为中点，且，；在中，由勾股定理得：， 即，整理得：；表明刘徽解法是正确的． 【典例2】（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，有一架秋千．当它静止在所处的位置时，踏板离地的垂直高度为．将秋千（始终保持拉直的状态）往前推送至位置，此时，推送的水平距离为，秋千踏板离地的垂直高度为．(1)求的长度．(2)求秋千的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据题意得，四边形是矩形．∴， ∵，∴. （2）解：在中，，， 设秋千的长度为m，则，故，解得：，答：秋千的长度是． 【典例3】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长，此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去），∴的取值范围是，故选：B． 模型7.折竹抵地模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：竹子、断旗杆、断树等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺，由勾股定理可得，解得：， ∴竹子折断处离地面的高度为尺． 【典例2】（2026·江苏·模拟预测）如图，在水平地面上，有一棵高12m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是15m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】17 【详解】解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则，， ，在中，， 由勾股定理得，则小鸟至少飞行了． 【典例3】（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【答案】12 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据题意可得： ，解得：，即旗杆的高度为12米． 模型8.不规则图形面积模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，是某公园一片草坪的示意图，的中线是草坪中间的一条石板小路（宽度忽略不计），经过测量得到 ，，，求这片草坪的面积． 【答案】这片草坪的面积是 【详解】解：是的中线，，∴ 在中，，，， ，是直角三角形，，， ，∴这片草坪的面积是． 【典例2】（25-26八年级下·河北保定·期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开设劳动教育课程并取得了丰硕成果．如图，是该校开垦的一块四边形的学生劳动实践荒地，测得：，，，，．(1)试说明：；(2)该校计划在此劳动实践地上种植花卉，若每种植1平方米花卉需花费20元，求全部种满花卉共需要花费多少元？ 【答案】(1)解：如图，连接， ，，，， ，，，是直角三角形，且； （2）解：劳动实践地的面积， 则全部种满花卉共需要花费（元）． 【典例3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为，∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元，∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 模型常见易错点 1）分不清斜边、直角边（最高频错误） 错误：直接把较长线段当作直角边代入公式。 解决方案：先找直角！直角对着的边才是斜边，标记直角符号再列式。 2）忽略实际意义，保留负数解 错误：解方程得到正负值，不做取舍。 解决方案：线段长度一定大于 0，负根必须舍去。 3）方位角不会画图，造不出直角三角形 解决方案：先画十字坐标（上北下南左西右东），依次画出两条航向，判断夹角是否为 90°。 4）单位不统一 错误：题目同时给出米、尺、千米，直接带入计算。 解决方案：做题第一步统一单位。 5）应用题忘记 “答” 解决方案：中考实际应用题，求出数值之后必须规范写答句，否则扣分。 解题方法总结 1）读题建模：读懂实际情境，画出几何示意图，标出已知长度； 2）找直角：找出天然直角，没有直角就作垂线，构造直角三角形； 3）设元：把要求的线段设为未知数x，其余相关线段用含x代数式表示； 4）列方程：根据勾股定理 (直角边2+直角边2=斜边2)；解方程，舍去负数解； 5）还原实际问题，写出答句。 记忆口诀： 实际问题转几何，找准直角是第一； 不变线段做斜边，设出未知列方程； 负根舍去不能忘，同一单位加作答。 1．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意得：，故，故选：B． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺，由勾股定理得，即． 3．（25-26八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一首古算诗：“波平如镜一湖面，半尺高处生红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处二尺远，花贴湖面似睡莲．”其大意为：湖面平静如镜，红莲高出水面半尺，姿态优美地立在湖中央，突然被风吹斜后花尖恰好触及水面，且离原来的位置水平二尺远．其平面示意图如图所示，于点，尺，尺，则的长为（    ） A．3尺 B．4尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【详解】解：设的长度为尺，则， 在中，，即， 解得：，∴的长度为尺．故选：C． 5．（25-26九年级上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设门对角线长为尺，则竿长为尺． 由题意可知，门宽为尺，门高为尺．因为门的高、宽与对角线构成直角三角形， 根据勾股定理得：，该方程与选项A一致．故选：A． 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【详解】解：由题意知，，，，， 小汽车从C到B用了，小汽车的速度为， ，小汽车是超速，故答案为：是． 7．（2026·广东肇庆·三模）一根竹子原来高 丈（ 丈尺），折断后顶端触到墙上距地面尺的点 处，墙脚 离竹根处 尺远．求：折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面5尺． 【详解】解：如图，过点作于点 ， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形 是矩形，∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得，即尺，答：折断处离地面5尺． 1．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决：(1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析(2) 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ．是直角三角形．，即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵，∴在中，（）， （）．答：的长为． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为10千米． (1)求城镇A，B之间的距离．(2)现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 【答案】(1)千米(2)中转站P应修建在离点M千米处 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接．． ，，，，四边形为矩形， 千米，千米，（千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为千米； （2）解：如图，连接，，设千米，则千米． ，，∴，解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间；(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里（海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时（小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； (2)这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下：如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里∵， ∴（海里），∴（海里）， ∵，∴是等腰三角形∵∴海里，∴（小时） ∵，∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【详解】解：∵，∴和是直角三角形， ∴在中，（米），∴（米）， ∵在中，（米），∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米(2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米米，米（米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得此时， 此时，即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为米，；②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题．(1)①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度；(2)若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 【答案】(1)①；；②风筝离地面的垂直高度为米 (2)小明同学手中的风筝线应该往回收米 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，∴四边形为矩形， ∴米，米. ②在中，，米，由勾股定理，得（米）， ∴（米）； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， ∴（米），∴（米）， ∵原来的风筝线的长为25米，∴（米）．∴小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 1．（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里．(1)求渔船A与渔船B之间的距离．(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里(2)12小时 【详解】（1）解：由题意，得：，，， 海里，海里，（海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ，，，（海里）， 海里，（海里）， 则（海里），行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响．(1)求证：；(2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1)证明：∵，，， ∴，， ∴，∴是直角三角形，且； (2)解：如图1，过点作，垂足为，∵，∴， ∴，∴海港会受影响； (3)解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵，∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 3．（25-26八年级下·河南商丘·期末）为建设美丽小区，小区物业决定对一块空地进行绿化，所需费用需要确定，有如下素材： 费用计算 材料一 空地的形状如图所示： 材料二 通过测量，已知，米，米，米，米． 材料三 该空地需要铺满草皮，每平方米草皮的价格为40元． 问题解决：(1)问题1：求出这块空地的面积．(2)问题2：求买草皮需要多少费用？ 【答案】(1)这块空地的面积为36平方米(2)买草皮的总费用为1440元 【详解】（1）解：如图，连接． ∵在中，，米，米．∴（米）． ∵在中，米，米，米，， ∴是直角三角形，且，（平方米）， （平方米），（平方米）． 答：这块空地的面积为36平方米． （2）解：（元）答：买草皮的总费用为1440元． 4．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 秋千绳索长度与离地高度的探究 问题背景 荡秋千是很多小朋友都喜欢的一项运动游戏．数学兴趣小组想运用勾股定理的相关知识来测算秋千的绳索长度． 测量数据抽象模型 秋千的绳索在运动过程中始终被拉直（线段或），当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度尺；将踏板往前水平推送尺后，秋千踏板恰与人齐，此时踏板离地垂直高度尺（此人身高5尺）．牵绳顶端到地面的垂直距离不变． 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： (1)根据测量所得数据，计算出秋千绳索的长度． (2)当踏板到达最高点时，踏板被往前水平推送1尺，此时与的水平距离尺，且绳索仍被拉直．计算秋千踏板比“与人齐”时上升了多少尺？（即的长度）（结果精确到0.1，） 【答案】(1)10尺(2)1.6尺 【详解】（1）解：如图：由题意得，，， ，，，四边形为矩形．，， ，．设，则为， 此时在中，由勾股定理得：，即，解得， 秋千绳索的长度为10尺． （2）解：由题意得，，如图2， 在中，由勾股定理得：，， ，，，，， ，，秋千踏板比“与人齐”时约上升了1.6尺． 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）某校数学兴趣小组开展了“测量学校旗杆高度”的实践活动．如图，线段表示垂直于地面的旗杆，系在旗杆顶端处的绳子垂直到地面处后，还多出（即绳长比旗杆高，绳子拉直时长度不变）． (1)小明同学将绳子拉直，使绳子末端恰好接触地面上的点，此时测得点到旗杆底部的距离为，求旗杆的高度；(2)小华同学觉得上述方法需要弯腰测量不方便，于是他站立在旗杆旁，将绳子举过头顶竖直拉直后末端恰好落在处．已知小华竖直举着手的高度，此时他站立的位置离旗杆底部的水平距离为，请通过计算说明，小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度是否一致？ 【答案】(1)8米(2)小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度一致，见详解 【详解】（1）解：如下图， 设米，根据题意，可得米，米，且， 在中，，即，解得米，∴旗杆的高度为8米； （2）如下图，过点作于点， ∵，∴四边形为矩形，∴，， 根据题意，可得米，米， 设米，则米，米， 在中，，即，解得米， ∴旗杆的高度为8米，∴小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度一致． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期中）小轩在数学项目式学习中，利用所学知识进行测量活动． 项目主题 利用无人机定点悬停，结合高度数据测量建筑物高度 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 测量步骤及相关说明 观测者在测量路径上设置一根高度为2.4米的竖直标杆，观测者手持遥控器在点D处操控无人机，此时手持遥控器的位置为点C，先操作无人机悬停在标杆顶端G处，测得米；再操控无人机悬停在教学楼顶端A处，测得米；观测者由点D向教学楼方向行走至标杆底部F处，此时手持遥控器的位置为点E（点E在上），测得米．已知米．图中各点均在同一平面内，点D，F，B在同一水平线上，． 完成任务(1)求观测点D到标杆的水平距离； (2)求教学楼的高度（无人机大小忽略不计）． 【答案】(1)观测点D到标杆的水平距离的长为4米(2)教学楼的高度为13.5米 【详解】（1）解：根据题意得四边形为矩形，． 米，米，米， 在中，米， 由勾股定理，得（米）， 答：观测点D到标杆的水平距离的长为4米． （2）解：延长交于点H，如图．    依题意得：米，设米，则米， 在中，，由勾股定理，得：，             在中，，由勾股定理，得，         ，解得：， （米），米， 答：教学楼的高度为13.5米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09.勾股定理中的实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。核心思路：实际情景→抽象直角三角形→找准直角边、斜边→列方程求解。 综合考法：常结合二次根式、方程思想、方案选择；部分压轴会和最短路径、将军饮马嵌套。题型场景千变万化，但底层逻辑不变。重点训练识图建模能力，区分不同情景下不变量，熟练运用方程思想，同时注意和立体展开、方位角、传统文化题型结合，即可解决各类模考/中考全部同类题型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.梯子滑动模型 2 模型2.轮船航行模型 4 模型3.信号站（中转站）选择模型 6 模型4.台风（噪音）、爆破模型 8 模型5.超速模型 11 模型6.风吹莲动模型 13 模型7.折竹抵地模型 15 模型.8不规则图形面积模型 17 易错点与方法总结 20 模型运用 21 A组（基础题） 21 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 29 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 勾股定理实际应用最早见于我国《九章算术》，“折竹抵地”“引葭赴岸” 是经典原始题型，也是现在中考文化类试题直接取材来源。 古代没有坐标系，古人利用直角三角形测算高度、河宽、距离，是早期测量学核心工具。 现代考题就是把古代测量场景替换为梯子、轮船、卡车、圆柱包装盒等生活素材；图形变了，但数学模型完全不变。 命题人偏好该模型：既能考察勾股定理计算，又能考察学生从文字建立几何模型的能力，贴合新课标 “数学建模” 核心素养。 1）勾股定理及其逆定理； 2）一元一次方程（设未知边长列等式）； 3）方位角概念（北偏东、南偏西等，作十字方位线构造直角）； 4）二次根式基本运算； 5）几何作图：根据文字描述画出直角三角形。 模型1.梯子滑动模型 【模型提炼与证明】 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题：(2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【典例2】（25-26广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则的长度为多少？      【典例3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度；(2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 模型2.轮船航行模型 【模型提炼与证明】 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？(2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【典例3】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）；(2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 模型3.信号站（中转站）选择模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【典例2】（24-25·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【典例3】（25-26八年级上·成都·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：；(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 模型4.台风（噪音）、爆破模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·重庆长寿·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)求证：；(2)海港受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【典例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域．(1)求的度数；(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？(3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【典例3】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？(2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 模型5.测超速、河宽模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．(1)求的距离；(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【典例2】（2026·贵州铜仁·模拟预测）综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决：(1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【典例3】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米．(1)求外来车辆的平均速度；(2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 模型6.风吹莲动模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【典例2】（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，有一架秋千．当它静止在所处的位置时，踏板离地的垂直高度为．将秋千（始终保持拉直的状态）往前推送至位置，此时，推送的水平距离为，秋千踏板离地的垂直高度为．(1)求的长度．(2)求秋千的长度． 【典例3】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 模型7.折竹抵地模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：竹子、断旗杆、断树等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【典例2】（2026·江苏·模拟预测）如图，在水平地面上，有一棵高12m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是15m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【典例3】（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 模型8.不规则图形面积模型 【模型提炼与证明】 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，是某公园一片草坪的示意图，的中线是草坪中间的一条石板小路（宽度忽略不计），经过测量得到 ，，，求这片草坪的面积． 【典例2】（25-26八年级下·河北保定·期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开设劳动教育课程并取得了丰硕成果．如图，是该校开垦的一块四边形的学生劳动实践荒地，测得：，，，，．(1)试说明：；(2)该校计划在此劳动实践地上种植花卉，若每种植1平方米花卉需花费20元，求全部种满花卉共需要花费多少元？ 【典例3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 模型常见易错点 1）分不清斜边、直角边（最高频错误） 错误：直接把较长线段当作直角边代入公式。 解决方案：先找直角！直角对着的边才是斜边，标记直角符号再列式。 2）忽略实际意义，保留负数解 错误：解方程得到正负值，不做取舍。 解决方案：线段长度一定大于 0，负根必须舍去。 3）方位角不会画图，造不出直角三角形 解决方案：先画十字坐标（上北下南左西右东），依次画出两条航向，判断夹角是否为 90°。 4）单位不统一 错误：题目同时给出米、尺、千米，直接带入计算。 解决方案：做题第一步统一单位。 5）应用题忘记 “答” 解决方案：中考实际应用题，求出数值之后必须规范写答句，否则扣分。 解题方法总结 1）读题建模：读懂实际情境，画出几何示意图，标出已知长度； 2）找直角：找出天然直角，没有直角就作垂线，构造直角三角形； 3）设元：把要求的线段设为未知数x，其余相关线段用含x代数式表示； 4）列方程：根据勾股定理 (直角边2+直角边2=斜边2)；解方程，舍去负数解； 5）还原实际问题，写出答句。 记忆口诀： 实际问题转几何，找准直角是第一； 不变线段做斜边，设出未知列方程； 负根舍去不能忘，同一单位加作答。 1．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一首古算诗：“波平如镜一湖面，半尺高处生红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处二尺远，花贴湖面似睡莲．”其大意为：湖面平静如镜，红莲高出水面半尺，姿态优美地立在湖中央，突然被风吹斜后花尖恰好触及水面，且离原来的位置水平二尺远．其平面示意图如图所示，于点，尺，尺，则的长为（    ） A．3尺 B．4尺 C．尺 D．尺 5．（25-26九年级上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 7．（2026·广东肇庆·三模）一根竹子原来高 丈（ 丈尺），折断后顶端触到墙上距地面尺的点 处，墙脚 离竹根处 尺远．求：折断处离地面多高？ 1．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决：(1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为10千米． (1)求城镇A，B之间的距离．(2)现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间；(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为米，；②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题．(1)①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度；(2)若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 1．（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里．(1)求渔船A与渔船B之间的距离．(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响．(1)求证：；(2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 3．（25-26八年级下·河南商丘·期末）为建设美丽小区，小区物业决定对一块空地进行绿化，所需费用需要确定，有如下素材： 费用计算 材料一 空地的形状如图所示： 材料二 通过测量，已知，米，米，米，米． 材料三 该空地需要铺满草皮，每平方米草皮的价格为40元． 问题解决：(1)问题1：求出这块空地的面积．(2)问题2：求买草皮需要多少费用？ 4．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 秋千绳索长度与离地高度的探究 问题背景 荡秋千是很多小朋友都喜欢的一项运动游戏．数学兴趣小组想运用勾股定理的相关知识来测算秋千的绳索长度． 测量数据抽象模型 秋千的绳索在运动过程中始终被拉直（线段或），当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度尺；将踏板往前水平推送尺后，秋千踏板恰与人齐，此时踏板离地垂直高度尺（此人身高5尺）．牵绳顶端到地面的垂直距离不变． 经过讨论，兴趣小组提出以下问题：(1)根据测量所得数据，计算出秋千绳索的长度． (2)当踏板到达最高点时，踏板被往前水平推送1尺，此时与的水平距离尺，且绳索仍被拉直．计算秋千踏板比“与人齐”时上升了多少尺？（即的长度）（结果精确到0.1，） 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）某校数学兴趣小组开展了“测量学校旗杆高度”的实践活动．如图，线段表示垂直于地面的旗杆，系在旗杆顶端处的绳子垂直到地面处后，还多出（即绳长比旗杆高，绳子拉直时长度不变）．(1)小明同学将绳子拉直，使绳子末端恰好接触地面上的点，此时测得点到旗杆底部的距离为，求旗杆的高度；(2)小华同学觉得上述方法需要弯腰测量不方便，于是他站立在旗杆旁，将绳子举过头顶竖直拉直后末端恰好落在处．已知小华竖直举着手的高度，此时他站立的位置离旗杆底部的水平距离为，请通过计算说明，小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度是否一致？ 6．（25-26八年级下·陕西西安·期中）小轩在数学项目式学习中，利用所学知识进行测量活动． 项目主题 利用无人机定点悬停，结合高度数据测量建筑物高度 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 测量步骤及相关说明 观测者在测量路径上设置一根高度为2.4米的竖直标杆，观测者手持遥控器在点D处操控无人机，此时手持遥控器的位置为点C，先操作无人机悬停在标杆顶端G处，测得米；再操控无人机悬停在教学楼顶端A处，测得米；观测者由点D向教学楼方向行走至标杆底部F处，此时手持遥控器的位置为点E（点E在上），测得米．已知米．图中各点均在同一平面内，点D，F，B在同一水平线上，． 完成任务(1)求观测点D到标杆的水平距离；(2)求教学楼的高度（无人机大小忽略不计）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $