专题19 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题19 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线背景下，探究满足平行四边形、矩形、菱形或正方形的动点是否存在，需分类讨论。 - 解题方法：利用对角线互相平分（中点坐标公式）列方程；矩形附加对角线相等或垂直条件；菱形附加邻边相等或对角线垂直条件；设参代入，按顺序分类讨论顶点位置。 - 易错提醒：分类讨论时遗漏顶点顺序导致重复或漏解；平行四边形只考虑一组对边相等而忽略对边平行；利用向量或斜率时未检验三点共线情况；计算中点坐标时符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 典例1（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）令，解方程即可； （2）首先求出直线，求出，然后由平行四边形的性质得到，，设，然后分两种情况讨论，分别表示出点D的坐标，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得，， ∴，； （2）解：∵直线与抛物线交于点， ∴ ∴ ∴直线 ∵， ∴ ∵以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形 ∴， ∴设 当点D在点E左边时， 将代入得， 解得或 ∴，或， ∴点的坐标为或； 当点D在点E右边时， 将代入得， 解得或 ∴，（舍去）或， ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成平行四边形，求动点坐标，常分三类（对角线不同）。 2.方法：利用平行四边形对角线互相平分，设动点坐标，分三种对角线情况用中点公式列方程求解。 变式1-1（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）首先将点代入抛物线解析式并解得的值，即可确定该抛物线解析式，然后计算，的值； （2）首先确定该抛物线的对称轴为，且点关于直线对称，易得，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值；设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线的解析式，进而确定点坐标即可； （3）分点N在x轴下方和点N在x轴上方两种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ∵，且点在点左侧， ∴，即， 将点代入抛物线， 可得； （2）∵抛物线的解析式为， ∴其对称轴为直线， 由（1）可知，，，且点为对称轴上一点， 由抛物线的对称性可知，点关于直线对称， ∴， ∴，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，连接，交对称轴于点，如图所示， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， 分两种情况讨论，如图所示， ①当点N在x轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ∴， ∴， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵， ∴， ∴； ②当点N在x轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点D， ∴，， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，即点的纵坐标为3， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵点在轴左侧的抛物线上， ∴， ∴． 综上所述，符合条件的点N的坐标为或． 变式1-2（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 典例2（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数的图象过点，与轴交于点A，，与轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)D为线段上的一个动点，交于点E，交抛物线于点F，连接和，当直线把的面积分成两部分时，求出点D的坐标； (3)若点P在直线上，Q是平面内一点，是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在．点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法将点，代入，得到b、m的值，从而求出二次函数解析式； （2）通过二次函数解析式确定、，进而确定直线、、的解析式，联立直线和直线的解析式确定点E坐标，根据面积之比和相似三角形的性质和判定确定点E横坐标，最后确定点D的坐标； （3）根据点P的位置不同进行分类讨论，再利用矩形的性质，建立线段长和点的坐标之间的关系，从而确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵与轴交于点A，， ∴，解得，， ∴， ∵与轴交于点C， ∴， 设直线的解析式为， 将点、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得， ∴， 将代入，得， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴或， 即或， 过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， 即或， ∴或， ∴或； （3）解：第一种情况：过点B作，交延长线于点P，过点P作的垂线，过点A作的垂线，两线交于点Q，即， ， ∵，， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，将代入直线的解析式为，得， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况：过点B作，交线段于点P，过点B作的垂线，过点A作的垂线，两线交于点Q，即， ， ∵，， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 过点P作，过点Q作， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，将代入得，，∴， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得， 解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点Q的坐标为或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成矩形，求动点坐标，需满足对角线相等且互相平分。 2.方法：利用平行四边形条件先求第四点，再验证对角线相等；或用向量垂直与相等列方程求解并验证。 变式2-1（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形， 理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 变式2-2（2025·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）求出直线的表达式为，设，则，，分情况表示出，，结合，列方程求出，即可求解； （3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，，其中． 当在点上方时，，． ∵， ∴． ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当M在N点下方时， ． ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴满足条件的点M的坐标有两个． （3）解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个． 如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的对称轴与直线相交于点， 联立， 解得：或（舍去）， ， 过点分别作直线的垂线交抛物线于点， ， ， ， ， ， ∴点与点重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到． ∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到， 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与抛物线的交点， ∴， 解得：（舍去）． ， 当时，四边形是矩形， ∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． ∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． 如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得， ， ， 设， ， ∵点不与点重合， 和， ， ， ∴如图，满足条件的点有两个． 即． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向向平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 典例3（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）分四边形为菱形和四边形为菱形，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于、两点， 把、代入， 得，解得， ； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 轴， ，， ， 是直角三角形， 当时，则：， ， ∴关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， ， 此时点的坐标为， 当时， 设的解析式为， 把，代入， 得，解得， ， 设点，则，， 则：，， ，， ， ∴， ， ，， ， 则， 即， 解得，（此时点和点重合，故舍去）， 点； 综上或； （3）存在，或； 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为； 设点，，； 四边形为菱形， ， 即， 则， 由（2）知，此时， ， ∵， ∴， ∴， ， 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 点，，， ，即， ∴， ， ， 解得，（舍去）， ， ； 综上或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成菱形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直平分。 2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等；或用距离公式列邻边相等方程，解出后验证对角线垂直。 变式3-1（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 变式3-2（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 典例4（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)若点P，Q在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是，的长为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，对称轴及对称点的特征，二次函数与几何图形的综合，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点式，得出对称轴，然后根据对称点的横坐标之差求解即可； （3）分类讨论，假设正方形的边长为，利用正方形的性质以及勾股定理，表示出相关线段的长度，然后联立解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由得，抛物线的对称轴为直线， 由点、得，两点是关于对称轴的对称点， 当时，， 此时； 当时，， 此时； ∴m的取值范围为； （3）解：是，的长为或，理由如下： 如图，此时四边形PQMN是正方形，点与点重合，直线在直线上方，直线平行于直线， 假设正方形的边长为， 由点和点可知，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 假设直线的解析式为， 将点和点代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， ， ∴， ∴根据勾股定理及等腰三角形的三边关系得， ， 解得或（舍去）， ∴； 当直线在直线下方时， 同理，得 解得或（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成正方形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直相等。 2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等且对角线相等且垂直；或列向量垂直且长度相等方程求解。 变式4-1（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【详解】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 变式4-2（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（2026九年级下·青海西宁·学业考试）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）分别将、代入抛物线，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接，则，易证得、、是等腰直角三角形，进而得到点的纵坐标为，从而求出点的坐标，根据进行求解即可； （3）设点，点，分情况讨论：当为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， 点在点的左侧， 、， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 、， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 令，， 解得或（舍去）， 、； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 由（1）知、， 设点，点， 分情况讨论： ①当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； ②当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或（舍去）， ； ③当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； 综上所述，点的坐标为或或． 2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于M，如图1，设，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质求解； （3）如图2，分类讨论：当四边形为平行四边形，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中求出a即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 作轴交于M，如图1， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时P点坐标为； （3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线， 当四边形为平行四边形，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 3．（25-26九年级下·山东济南·阶段检测）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)①；②点到直线的距离的最大值为， 【分析】（1）把代入，解关于、的二元一次方程组求出、的值即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）①过点作轴于，交于，先利用待定系数法求出直线解析式为，得出，，，利用三角形面积公式即可得出；②利用勾股定理求出，利用的面积求出，得出时，的最大值为，把代入即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：①如图，过点作轴于，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴． ②如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即点到直线的距离的最大值为， 当时，， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 5．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． (1)求点和点的坐标． (2)当点与点重合时，求的值． (3)当矩形为正方形时，直接写出的值． (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2) (3)；；； (4)或 【分析】本题主要涉及抛物线的性质，点的坐标计算，正方形的性质以及函数的增减性，合理分类讨论矩形的变化情况是解题的关键． （1）把和分别代入运算求解即可； （2）利用二次函数式子表达出，从而得到，令和的纵坐标相等列式运算即可； （3）分类讨论矩形的变化情况，再令一组邻边相等，列式运算即可； （4）分类讨论矩形的变化情况，分析求解即可． 【详解】（1）解：把代入可得：， ∴， 解得：，， ∴； 把代入可得：， ∴； （2）解：∵的横坐标为， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵， ∴当重合时，则， 解得：； （3）解：当有一组邻边相等时，矩形为正方形，由（2）可得：当时重合； ①当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ②当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ③当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ④当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； 综上，的值为：；；；； （4）①解：当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ②当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内没有图像，不符合题意； ③当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ④当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值既有随增大而减小，又有随增大而增大，不符合题意； 综上，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，的取值范围为：或． 6．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为.将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G． ①当点M与点C重合时，求点N的坐标； ②当点M在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求m的值； (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出C点坐标为，得到；则点N的横坐标为，即可求出答案；②由题意设，，分当和时两种情况讨论，再结合题意确定符合条件的m值即可； （3）分情况讨论，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， ∴ 解得 ∴抛物线解析式为， （2）解：①当时，， ∴C点坐标为； ∵点M与点C重合， ∴； ∵点N的横坐标为 ∴点N的横坐标为， 当时，， ∴点N的坐标为； ②令，得：， 解得：或， ∴顶点坐标为，A点坐标为，B点坐标为； 由题意得：抛物线对称轴为直线， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵点M在x轴上方， ∴， 当时，如图1， 此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， 点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为； （3）解：如图3，当点D在E点上方时， ， ∴， 只有F在抛物线上满足要求， ∴， ， 把F点代入抛物线解析式得： ， 得，（舍）， 当点E在点D上方时， ， ∴， 如图4，当点G在抛物线上时，满足要求， 此点G的纵坐标与上一情况的纵坐标相等， ∴， 如图5，当B在上时，有两个交点， ∴， ∴当时，正方形与抛物线只有一个交点， 综上：当或或时，与抛物线有且只有一个交点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线背景下，探究满足平行四边形、矩形、菱形或正方形的动点是否存在，需分类讨论。 - 解题方法：利用对角线互相平分（中点坐标公式）列方程；矩形附加对角线相等或垂直条件；菱形附加邻边相等或对角线垂直条件；设参代入，按顺序分类讨论顶点位置。 - 易错提醒：分类讨论时遗漏顶点顺序导致重复或漏解；平行四边形只考虑一组对边相等而忽略对边平行；利用向量或斜率时未检验三点共线情况；计算中点坐标时符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 典例1（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成平行四边形，求动点坐标，常分三类（对角线不同）。 2.方法：利用平行四边形对角线互相平分，设动点坐标，分三种对角线情况用中点公式列方程求解。 变式1-1（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 典例2（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数的图象过点，与轴交于点A，，与轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)D为线段上的一个动点，交于点E，交抛物线于点F，连接和，当直线把的面积分成两部分时，求出点D的坐标； (3)若点P在直线上，Q是平面内一点，是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成矩形，求动点坐标，需满足对角线相等且互相平分。 2.方法：利用平行四边形条件先求第四点，再验证对角线相等；或用向量垂直与相等列方程求解并验证。 变式2-1（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2（2025·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 典例3（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成菱形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直平分。 2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等；或用距离公式列邻边相等方程，解出后验证对角线垂直。 变式3-1（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3-2（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 典例4（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)若点P，Q在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成正方形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直相等。 2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等且对角线相等且垂直；或列向量垂直且长度相等方程求解。 变式4-1（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 变式4-2（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（2026九年级下·青海西宁·学业考试）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由． 3．（25-26九年级下·山东济南·阶段检测）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 5．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． (1)求点和点的坐标． (2)当点与点重合时，求的值． (3)当矩形为正方形时，直接写出的值． (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 6．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为.将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G． ①当点M与点C重合时，求点N的坐标； ②当点M在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求m的值； (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $