精品解析：山东淄博市淄川区淄博高新技术产业开发区第一中学2026-2027学年九年级上学期数学9月学情自测

初四月考数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个数学图象中，表示函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与其对应，利用垂直于轴的直线与图象的交点个数进行判断． 【详解】解：根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应， A、C、D选项中，均存在垂直于轴的直线与图象有两个或多个交点，不符合题意； B选项中，任意垂直于轴的直线与图象只有一个交点，符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的顶点坐标为，由此可解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选D． 3. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选：D． 4. 如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵斜坡的坡度， ， ， ， ， 故选：C． 5. 把抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，熟记平移规则即可准确求解． 根据函数图像平移的规则“上加下减，左加右减”，先处理向上平移，再处理向右平移． 【详解】解：∵ 向上平移1个单位：， ∴ 再向右平移2个单位：． 故得到的抛物线解析式为 ， 故选：A． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 7. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 8. 将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求解锐角的正切，本题先利用平行线的性质把转化到已知直角三角形中，从而可得答案，熟练的利用平行线的性质进行等角的转换是解本题的关键． 【详解】解：如图，先标注顶点，∵， ∴， 在中，， ∴． 故选B． 9. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“三倍长三角形”．若等腰是“三倍长三角形”，则底角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及余弦的定义是解题的关键．等腰中，为底边，“三倍长三角形”指一边是另一边的3倍，有两种情况：腰是底边的3倍（）或底边是腰的3倍（）. 但底边是腰的3倍时，不满足三角形三边关系，故只有腰是底边的3倍成立. 此时计算底角（如角B）的余弦值即可 【详解】解：设，则， 如图，作于M， 是等腰三角形， ， 在中，， 故选：C 10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题． 【详解】解：令， 如图所示，则的值为函数较大的值， ∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值． 联立方程   解得 ∴时，解得，， 当时，解得： ∴当时，或 故选：A 【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键． 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 已知函数是二次函数，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：函数是二次函数， 且， 解得：． 12. 在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 13. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 14. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则斜坡的坡比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作平行于桌面，根据正方形和平行四边形的性质，得出，再根据图1上部的空白长方体体积和图2上部的空白三棱柱的体积相等，求出，求出，即可得解． 【详解】解：如图2，过作平行于桌面，则，， 图2中，正方形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，即， 棱长为，， 图1中，， 图1上部的空白长方体体积和图2上部的空白三棱柱的体积相等， ， 图2中，， ， 斜坡的坡比为． 15. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共6小题） 16. （1）计算：． （2）求中锐角α的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 17. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了将函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：，即． 【小问2详解】 解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 18. 2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． （1）如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ （2）火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 【答案】（1）火箭点火后降落伞将打开． （2）解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 【解析】 【分析】（1）将解析式配方，得，根据函数的性质，确定函数取得最大值条件即可； （2）令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是5，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． 【小问2详解】 解：略． 19. “观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） （1）求无人机距河面的高度； （2）求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 【小问2详解】 解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 20. 美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … （1）求与的函数表达式； （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； （3）若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】（1） （2）不成功，理由如下： 已知，， 则， 对于，当， 解得， 守门员的最大防守高度为，， 故守门员不能防守成功． （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格中的对称点找到抛物线顶点，然后设顶点式求二次函数； （2）算出守门员在原地对应的水平距离，代入函数求值，和守门员的最大防守高度对比进行判断； （3）算出球的高度等于最大防守高度时的水平距离，求出足球的飞行时间，再根据守门员后退的最小距离算出守门员后退的最小速度． 【小问1详解】 解：据图表可知，当和时，， 则抛物线的对称轴为，抛物线顶点为， 则抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：根据题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 对于，当， 解得或， 由（1）知抛物线对称轴为，则舍去，此时，即足球的飞行距离为， 已知足球飞行的水平速度为， 则足球的飞行时间为， 守门员最少需要后退， 故守门员的最小后退速度为． 21. 已知二次函数（）． （1）求该二次函数图像的对称轴． （2）已知点，在该二次函数图像上，求证：当时，． （3）过二次函数图像与轴的交点作轴的垂线，将二次函数图像在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，已知，是图形上的两个点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 证明：由得，， ∴当 时，；当时，， ∴， ∵，， ∴，即． （3）无最大值，最小值趋近于． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）由题意得，，，所以，然后根据，，即可求解； （）由题意得原函数与轴交点为，所以直线：，又翻折后，部分关于对称，点在左侧原图上，，点在右侧翻折图上，其关于的对称点为在原函数上，代入原函数得，从而求解． 【小问1详解】 解：该二次函数图像的对称轴：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由得，当时，， ∴原函数与轴交点为， ∴直线：， 由题意得：翻折后，部分关于对称，点在左侧原图上， ∴， ∵点，点， ∴， ∴点在右侧翻折图上，其关于的对称， ∴在原函数上， ∴， ∴ ， ∵， ∴无最大值，最小值趋近于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四月考数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个数学图象中，表示函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 9. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“三倍长三角形”．若等腰是“三倍长三角形”，则底角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 或 10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 已知函数是二次函数，则的值为___________． 12. 在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 13. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 14. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则斜坡的坡比为___________． 15. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 三、解答题（共6小题） 16. （1）计算：． （2）求中锐角α的值． 17. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 18. 2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． （1）如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ （2）火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 19. “观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） （1）求无人机距河面的高度； （2）求两艘皮划艇之间的距离． 20. 美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … （1）求与的函数表达式； （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； （3）若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 21. 已知二次函数（）． （1）求该二次函数图像的对称轴． （2）已知点，在该二次函数图像上，求证：当时，． （3）过二次函数图像与轴的交点作轴的垂线，将二次函数图像在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，已知，是图形上的两个点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $