第十五章 轴对称 3 等腰三角形-【金牌导学案】2026-2027学年八年级上册数学创新培优练同步课件（人教版·新教材）

 第十五章　 金牌导学案 轴对称 1.我们知道等腰三角形有“三线合一”的性质即底边上的高、　　　　　　　　重合．在证明这一性质定理时，老师画出了图形，并写出已知、求证，请补全内容，并写出证明过程． 图1 （1）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，求证：__________________________. BD＝CD，AD平分∠BAC. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL). ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.∴AD平分∠BAC. 3　等腰三角形 （2）延伸：如图2，若E，F分别为AB，AC的中点，连接DE，DF，求证：DE＝DF. 图2 证明：由(1)可知，∠BAD＝∠CAD， ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴AE＝ AB，AF＝ AC. ∵AB＝AC，∴AE＝AF. 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF(SAS).∴DE＝DF. 3　等腰三角形 2．等边三角形线段计算的探究： 在△ABC中，AB＝BC＝AC＝4，点E在AB边上，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为D，F. 【初探】 （1）当BD＝CF时，DE与DF有什么数量关系，请证明你的猜想． 解：DE＝DF.证明如下：∵AB＝BC＝AC＝4.∴∠B＝∠C＝60°. ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDE＝∠CFD＝90°. 在△BDE和△CFD中， ∴△BDE≌△CFD(ASA).∴DE＝DF. 3　等腰三角形 （2）在（1）的条件下，求AE的长． 解：∵∠B＝60°，∠BDE＝90°， ∴∠BED＝30°.∴BE＝2BD. ∵△BDE≌△CFD，∴BE＝CD. ∵BD＋CD＝BC＝4， ∴BD＝ ，BE＝2BD＝ . ∴AE＝AB－BE＝4－ ＝ . 3　等腰三角形 【再探】（3）在图1中移动DE，过点C作CG⊥AB，交DE于点P，得到图2，若PE＝PD，求BD长. 图1 图2 解：如图，过点D作DM⊥CG， 设线段BD的长为x，∵∠B＝60°，∠BDE＝90°， ∴∠BED＝30°.∴BE＝2BD＝2x. ∵CG⊥AB，∴BG＝ AB＝ ×4＝2.∴EG＝BE－BG＝2x－2. ∵CG⊥AB，DM⊥CG，∴∠EGP＝∠DMP＝90°， 在△EPG和△DPM中， ∴△EPG≌△DPM(AAS).∴EG＝DM＝2x－2. ∵CG⊥AB，BC＝AC＝AB，∴∠DCM＝ ∠ACB＝30°.∴CD＝2DM＝4x－4. 根据图形可知，BD＋CD＝BC，即x＋(4x－4)＝4， 解得x＝ ，∴线段BD的长为 . 3　等腰三角形 感谢聆听 $