精品解析：北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2026-2027学年上学期九年级数学10月阶段学情检测

北京人大附中朝阳学校初三10月月考 数 学 （时间：120分钟 分值：100分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 4. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 5. 如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为( ) A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请写出一个当时，y随x增大而减小的二次函数的表达式_________． 10. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 11. 若函数是二次函数，则______． 12. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2． 13. 已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为_______． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为______ 15. 若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是______． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有_____________（填序号） 三、解答题（共68分．）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了和点D（A，B，C，D是网格线交点） （1）将绕点D顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，点与点C是对应点，画出旋转后的 （2）在（1）的条件下，以点D为原点，以水平向右和竖直向上为正方向，建立平面直角坐标系，写出点C和点的坐标． C点坐标为__________． 点坐标为__________． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正整数，求m的值． 21. 已知抛物线． （1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线； （2）当x取什么值时，； （3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 22. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围． 23. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 24. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ； （2）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少? 25. 小明对函数y＝的图象和性质进行了探究．以下是小明画该函数图象的部分过程． 第一步，列表：自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m n 1 2 5 10 5 2 1 … 第二步，描点， 第三步，连线． 请根据以上材料完成下列问题： （1）表中m的值是 　 　，n的值是 　 　．请把小明画该函数图象的过程补充完整； （2）观察函数图象，小明得出以下结论： ①该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②该函数图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，y有最大值10． 其中正确的结论序号是 　 　； （3）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 　 　． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点， （1）求a的值； （2）已知点，在此抛物线上，当时，比较，，的大小，并说明理由． 27. 在等腰中，，，点D在线段上，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）点M为中点，射线交于点N，探究与的数量关系，并说明理由． 28. 新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． （1）已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； （3）把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京人大附中朝阳学校初三10月月考 数 学 （时间：120分钟 分值：100分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为． 3. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出与的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 ． 【详解】解：连接，， 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上， 分别作出与的垂直平分线，与的垂直平分线的交点为B， 故旋转中心是点B． 4. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 5. 如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：C． 6. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用等边三角形的性质易得，由全等三角形的性质来判断；作于，利用三角形的面积得到随的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，来求解；利用得到进而求解；利用得到，当时，最小，的周长最小来求解． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ． ∵点是的中心， 分别平分和， ∴， ，即， 而，即， ． 在和中 ，故①正确； 作于，如上图，则． ， ， .，， , 即随的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ，故错误； ， ， ∴四边形的面积，保护不变，故正确； ， 的周长 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，所以④正确. 故正确的有：． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请写出一个当时，y随x增大而减小的二次函数的表达式_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，对于二次函数，若，则当时，随的增大而减小，由此可解． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴该函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关键．根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11. 若函数是二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为（是常数，且），其中最高次项的次数为．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数为2，再保证二次项系数不为，从而求解的值． 【详解】是二次函数， ，， ，， ， 故答案为：． 12. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2． 【答案】> 【解析】 【详解】由二次函数的图象知，抛物线开口向上，对称轴为x=1 ∵ ∴y随x的增大而增大 ∴ > 13. 已知抛物线 与直线相交于点和点，则关于x的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与直线交点问题，方程的解即为交点的横坐标． 【详解】∵抛物线 与直线相交于点和点， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，邻补角的意义，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，进而根据邻补角的意义，即可求得的度数 【详解】解：将绕点C顺时针旋转得到，若点A恰好在的延长线上， 故答案为： 15. 若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有解转化为考查函数两个函数的交点情况，再画出两个函数的图象，结合函数图象可得答案. 【详解】解： 考查函数两个函数的交点情况，如图， 当 当时， 当，两个函数有交点时， 此时 关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与一元二次方程的联系，掌握“利用二次函数的图象解决一元二次方程的解的问题”是解本题的关键. 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有_____________（填序号） 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤； 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故答案为：③④⑤． 三、解答题（共68分．）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开平方即可求出解． （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程移项得：， 配方得：， 即， 开方，得：，或， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 18. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】4 【解析】 【分析】先将代入方程得到，再由，用整体代入法进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． ∵是关于x的方程的一个根， ∴． ∴． ∴原式． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了和点D（A，B，C，D是网格线交点） （1）将绕点D顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，点与点C是对应点，画出旋转后的 （2）在（1）的条件下，以点D为原点，以水平向右和竖直向上为正方向，建立平面直角坐标系，写出点C和点的坐标． C点坐标为__________． 点坐标为__________． 【答案】（1） 如图，即为所求作． （2）建立如图坐标系，． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转作图，平面直角坐标系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可． （2）建立如图坐标系，写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正整数，求m的值． 【答案】（1） 证明：由题意得： ， ∴方程总有两个实数根； （2）的整数 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，再根据方程的一个根为正整数进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 解得或， ∵该方程有一个根是正整数， 的整 数， 的整数． 21. 已知抛物线． （1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线； （2）当x取什么值时，； （3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1） 如图， （2）当或时， （3）当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用列表、描点、连线即可解决； （2）根据（1）中的函数图象即可作答； （3）由，根据二次函数的性质的性质即可求解． 【小问1详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 在坐标系中描出对应的点， 【小问2详解】 由（1）可知，抛物线与轴的交点坐标是和， 结合图象可知：当或时，； 【小问3详解】 ， ∴当时，随的增大而减小． 22. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围． 【答案】（1）yx2x﹣2，顶点坐标(－1，)；（2）y的取值范围是y＜4． 【解析】 【分析】(1)根据交点式得出y＝a(x+4)(x﹣2)，将(0，﹣2)代入求出a即可得出这条抛物线所对应的函数关系式； (2)求得抛物线的最小值，求得x＝4时的函数值，即可求得当﹣4＜x＜4时，y的取值范围． 【详解】(1)∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过点(﹣4，0)， ∴抛物线经过点(2，0)， 设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣2)，把(0，﹣2)代入， 解得：a， ∴抛物线的解析式为y=(x+4)(x﹣2)(x+1)2x2x﹣2；， 故抛物线的解析式为：yx2x﹣2；顶点坐标(－1，)； (2)yx2x﹣2(x+1)2， ∵， ∴当时，函数有最小值， 把x=4代入y=(x+4)(x﹣2)得y=4， ∵﹣4＜﹣1＜4， ∴当﹣4＜x＜4时，y的取值范围是y＜4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】 （1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）正方形的边长为6． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 24. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ； （2）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少? 【答案】（1）； （2）销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）每件进价是40元，销售单价为元，则每件利润为元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得关于的函数关系式； （2）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 与的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 解得：． ， 对称轴为，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为：． 销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 25. 小明对函数y＝的图象和性质进行了探究．以下是小明画该函数图象的部分过程． 第一步，列表：自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m n 1 2 5 10 5 2 1 … 第二步，描点， 第三步，连线． 请根据以上材料完成下列问题： （1）表中m的值是 　 　，n的值是 　 　．请把小明画该函数图象的过程补充完整； （2）观察函数图象，小明得出以下结论： ①该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②该函数图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，y有最大值10． 其中正确的结论序号是 　 　； （3）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 　 　． 【答案】（1）， （2）①③④ （3） 【解析】 【分析】（1）把分别代入解析式即可求得答案，描点后、用光滑曲线顺次连接即可补全图象； （2）根据函数的图象即可判断出答案； （3）根据函数的图象得，即可得到k的取值范围． 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 图象如图， 故答案为：，； 【小问2详解】 观察函数图象可知， 该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线，故①正确； 该函数图象与x轴没有交点，与y轴有一个交点，故②错误； 当，y随x的增大而减小，故③正确； 当时，y有最大值10，故④正确． 其中正确的结论序号是①③④， 故答案为：①③④； 【小问3详解】 根据函数的图象得， ∴k的取值范围． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的图象，描点法画函数图象，函数与方程的联系．图象法解方程等知识，关键在于熟练掌握函数的性质，图象的画法． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点， （1）求a的值； （2）已知点，在此抛物线上，当时，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由： 由（1）得到抛物线为， 当时，， 当时，， ∴ 当时，解得或， 即抛物线与x轴交于点和，如图， ∵抛物线开口向下， ∴当时，， ∴当时，，即， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入，即可得到答案； （2）由（1）得到，当时，，当时，，则，根据二次函数的性质得到当时，，则当时，由得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴把点代入得到， ， 解得，； 【小问2详解】 略 27. 在等腰中，，，点D在线段上，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）点M为中点，射线交于点N，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 证明：∵是等腰， ∴， ∴， ∵， ∴ （3） ，理由如下： 过点F作，交的延长线于点H，的延长线交射线于点G， 由（2）知，即，且，， ∴， ∴， ∵点M为中点， ∴，且， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，且， ∴，且， ∴，且，， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）根据题意，过点D作，并且是沿线段绕点D顺时针旋转所作，使得即可 （2）在中，，而，即可得 （3）过点F作，交的延长线于点H，的延长线交射线于点G，可得，且是等腰直角三角形，即可得，所以，即可得到 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查了旋转作图、等腰三角形的性质和直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质，能够按照题意作出辅助线是解决问题的关键 28. 新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． （1）已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； （3）把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了新定义、二次函数的图象与性质、矩形的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解； （2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解； （3）①分三种情况：当点在轴左侧时，即；当点在轴右侧，且在直线上方时，即；当点在轴右侧，且在直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可；②画出函数图象，利用函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵，，点是点，的“合作点”， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点是抛物线上一动点， ∴，即， ∵点是点、的“合作点”，点， ∴， 由①可得：， 代入②得：； 【小问3详解】 解：①由题意可得：， 当时，，即， 点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴， 如图，当点在轴左侧时，即， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时， ， 同理可得：，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 综上所述，； ②的函数图象如图所示： ， 由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $