第16章 整式的乘法 核心思想归纳-【金牌导学案】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

 第十六章　 金牌导学案 整式的乘法 整体思想 1．已知x2n＝6，求x4n＋2xn·（－5x5n）的值． 解：原式＝x4n－10x6n ＝(x2n)2－10(x2n)3 ＝62－10×63 ＝36－2 160 ＝－2 124. 第十六章　核心思想归纳 2．已知3a＝4，3b＝16，3c＝8. （1）求32c的值． （2）求3a＋b的值． 解：32c＝(3c)2＝82＝64. 解：3a＋b＝3a×3b＝4×16＝64. （3）直接写出a，b，c之间的数量关系． 解：a＋b＝2c. 第十六章　核心思想归纳 数形结合思想 3．边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）. （1）上述操作能验证的等式是　　　　　．（请选择正确的一个选项） A．a2－2ab＋b2＝（a－b）2 B．a2－b2＝（a＋b）（a－b） C．a2＋ab＝a（a＋b） D．a2－ab＝a（a－b） B 第十六章　核心思想归纳 （2）若x2－y2＝12，x＋y＝4，求x－y的值． 解：∵x2－y2＝12， ∴(x＋y)(x－y)＝12， ∵x＋y＝4， ∴4(x－y)＝12， ∴x－y＝3. 第十六章　核心思想归纳 第十六章　核心思想归纳 4．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 　　　　　　　　　　． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 第十六章　核心思想归纳 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若xy＝2，x＋y＝6，则x2＋y2＝________. 32 第十六章　核心思想归纳 【类比应用】 （3）若（20－x）（x－30）＝10，求（20－x）2＋（x－30）2的值． 解：由题意，得 (20－x)2＋(x－30)2 ＝[(20－x)＋(x－30)]2－2(20－x)·(x－30) ＝(－10)2－2×10 ＝100－20 ＝80. 第十六章　核心思想归纳 【知识迁移】 （4）如图2，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG，CG，EG.若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，求CE的长． 解：设正方形ABCD的边长为m，正方形DEFG的边长为n， 则AB＝CD＝AD＝m，EF＝GF＝DG＝n，AG＝m－n， ∴ m(m－n)＋ n2＝11， mn＝7， ∴ m2－ mn＋ n2＝11，mn＝14，∴m2－mn＋n2＝22， ∴m2＋n2＝22＋mn＝36，∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝64， ∵m＞0，n＞0，∴m＋n＝8. 故CE的长为8. 第十六章　核心思想归纳 转化思想 5．（1）已知a＋b＝7，a－b＝8.求a2－b2的值． 解：a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝7×8＝56. （2）已知a2－b2＝3.求（a＋b）2（a－b）2的值． 解：(a＋b)2(a－b)2＝[(a＋b)(a－b)]2＝(a2－b2)2＝32＝9. 第十六章　核心思想归纳 6．某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务. 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较322和411的大小时，先转换411＝（22）11＝222，因为3＞2，所以322＞222，即322＞411. 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 28 和 82 的大小时，先转换 82＝（23）2＝26，因为8＞6，所以 28＞26，即 28＞82. 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 第十六章　核心思想归纳 任务： （1）比较433和522的大小． 解：∵433＝(43)11＝6411，522＝(52)11＝2511，且64＞25， ∴6411＞2511，即433＞522. 第十六章　核心思想归纳 （2）已知a2＝2，b3＝3，且a，b均为正数，比较a，b的大小． 解：∵a2＝2，b3＝3， ∴a6＝(a2)3＝23＝8，b6＝(b3)2＝32＝9， ∵8＜9， ∴a6＜b6， ∴a＜b. 第十六章　核心思想归纳 （3）比较大小：312×510　　　　 310×512（选填“＞”“＜”或“＝”）. ＜ 第十六章　核心思想归纳 类比思想 7．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c.例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3. （1）根据上述规定填空：（－2，－8）＝　　　， （3，81）＝　　 　. 3 4 第十六章　核心思想归纳 （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c.判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由． 解：a＋b＝c，理由如下： ∵(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c， ∴3a＝5，3b＝6，3c＝30， ∵5×6＝30， ∴3a×3b＝3a＋b＝3c， ∴a＋b＝c. 第十六章　核心思想归纳 8．规定关于任意正整数x，y的一种新运算：f（x＋y）＝f（x）·f（y）. 例如：若f（3）＝5，则f（6）＝f（3＋3）＝f（3）·f（3）＝5×5＝25. 解：∵f(1)＝2，f(x＋y)＝f(x)·f(y)， ∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝2×2＝4， ∴f(3)＝f(1＋2)＝f(1)·f(2)＝2×4＝8， ∴f(2)＝4，f(3)＝8. 请根据这种新运算解决以下问题： （1）若f（1）＝2，求f（2），f（3）的值． 第十六章　核心思想归纳 （2）若f（2）＝9，求f（1）的值． 解：∵f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝9， ∴[f(1)]2＝9，f(1)＝3或－3， 由题可知f(x)的值为正数， ∴f(1)＝3. 第十六章　核心思想归纳 （3）若f（m）＝a，化简：f（m）·f（2m）·f（3m）.（用含a的代数式表示） 解：∵f(m)＝a， ∴f(2m)＝f(m＋m)＝f(m)·f(m)＝a·a＝a2， ∴f(3m)＝f(m＋2m)＝f(m)·f(2m)＝a·a2＝a3， ∴f(m)·f(2m)·f(3m)＝a·a2·a3＝a6. 第十六章　核心思想归纳 感谢聆听 $