第二章实数章末专题2026-2027学年八年级数学（北师大版）上册

八年级数学（北师大版）上册第二章 实数章末专题

无理数估算·双重非负性·整数算术平方根与实数综合压轴突破

 整数与小数部分模型：若 （ 为整数），则 的整数部分为 、小数部分为 ；

算术平方根的双重非负性模型：三大非负数（、、）“几个非负数相加等于 ，则每一项均等于 ”，及隐式被开方数 与 互锁非负（）；

 整数算术平方根与完全平方数模型：若 或 为整数，构造完全平方数分解因式或列不等式定参数；

数轴与实数几何距离模型：实数在数轴上的折叠、动点、绝对值距离方程与图形面积割补。

 

专题一：无理数的估算及整数部分与小数部分模型

【考点导引】 无理数的估算以“夹逼法”为核心：通过寻找与被开方数相邻的两个连续完全平方数（或完全立方数），确定其整数部分与小数部分。若实数 满足 （），则其整数部分 ，小数部分 。本专题常与代数式化简、求值、整体代换及二元一次方程组综合考查。

1．【教材改编·北师大版八上第二章实数的估算习题】已知 的整数部分为 ，小数部分为 ．

（1）求 和 的值；

（2）求代数式 的值；

（3）求代数式 的值；

（4）若 是 的小数部分，求代数式 的值．

 

 

 

 

2．【教材改编·华东师大版八上第十章实数综合练习题】已知实数 满足 ，其中 是整数，且 ．

（1）分别求出 和 的值；

（2）求 的相反数；

（3）求代数式 的值；

（4）若 是 的小数部分，求 与 之间的数量关系．

 

 

 

 

3．【教材改编·人教版七下第六章实数拔高题】设 是 的整数部分， 是 的小数部分．

（1）直接写出 和 的值；

（2）求代数式 的值；

（3）若实数 满足 ，求 的值；

（4）求代数式 的值．

 

 

 

 

 

 

4．【核心素养·无理数估算算法探究题】阅读下列材料，解答问题：

学习了无理数后，某数学兴趣小组探究估算 （ 均为正整数，且 ）近似值的方法．

小明的方法如下：设 （其中 ），

两边平方得 ．

因为 ，所以 较小，可忽略不计，从而得到 ，解得 ．

因此，得到估算公式：．

（1）请依照小明的方法，利用公式估算 的近似值（保留两位小数）；

（2）利用公式估算 的近似值（化为带分数或小数）；

（3）若用上述方法估算 时得到的近似值为 ，求正整数 的值；

（4）比较 的精确值与近似值 的大小，并证明你的结论．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

专题二：算术平方根的双重非负性与多非负数综合

【考点导引】 算术平方根具有“双重非负性”：①被开方数非负，即 中 ；②算术平方根的值非负，即 。阶段三大核心非负数形式为 、 与 。若若干个非负数之和为 ，则每一个非负数必须同时为 ；此外，若代数式中同时出现 与 ，由被开方数非负性必有 。

5．【教材改编·北师大版八上第二章平方根性质练习题】已知实数 满足 ．

（1）求 的值；

（2）求代数式 的值；

（3）求代数式 的算术平方根；

（4）以 ，， 为三边长，能否构成三角形？若能，求该三角形的周长；若不能，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6．【教材改编·浙教版八上第二章实数非负性综合题】已知实数 满足 ．

（1）求 与 的值；

（2）求 的平方根；

（3）求 的立方根；

（4）若实数 满足 ，求 的取值范围．