精品解析：河南鹤壁市淇滨中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年上学期九年级数学同步练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】形如的式子是二次根式． 【详解】解：A、被开方数，式子无意义，不符合二次根式要求，不符合题意； B、根指数为，被开方数，符合二次根式要求，符合题意； C、根指数为，不符合二次根式要求，不符合题意； D、被开方数，式子无意义，不符合二次根式要求，不符合题意． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：，被开方数中的因数能开得尽方，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B选项：，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C选项：的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D选项：的被开方数不含有分母也不含有能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项符合题意． 3. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键． 5. 下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，与不是同类二次根式； B． ，与不是同类二次根式； C．，与是同类二次根式； D．，与不是同类二次根式． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ． 7. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程就是‌只含有一个未知数、未知数最高次数是的整式方程‌，一般形式为 ，其中． 【详解】解：A、是整式方程，仅含未知数，的最高次数为，二次项系数为，故是一元二次方程，符合题意； B、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； C、的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，故不符合题意； D、中含有、两个未知数，故不符合题意． 8. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根；据此即可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 9. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 10. 设、是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，利用整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， ， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据与最简二次根式是同类二次根式，可以得到关于a的方程，解之可得a的值． 【详解】解：＝2， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴2a﹣1＝3， 解得：a＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式的判断和应用，注意在判断同类二次根式时，每个根式必须是最简二次根式． 12. 写出一个以和2为根的一元二次方程（化为一般式）____________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两根列出方程，然后化为一般形式即可． 【详解】解：由已知条件，可列方程， 化为一般形式，得． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，二次项系数不能为0． 【详解】解：根据题意，该方程有两个不相等的实数根， 则，且， 解得且． 14. “水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解． 【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得 ， ， ， ∴或 解得或（舍去） 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S．当时，______s． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元二次方程，根据题意得，，，，并求得t的取值范围为，利用面积公式可列出，求解即可． 【详解】解：∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴，， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴，， 根据题意知t的最大值为，即， ∵，， ∴， 则， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． 故答案为：3． 三、解答题（共75分） 16. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行除法运算，最后进行加减运算，即可求解； （2）先提取公因式进行整理，然后利用因式分解法进行求解，即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 分解因式得： ∴或 解得：，． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a值代入计算即可． 【详解】原式==， 当时，原式=． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式． 18. 关于x的一元二次方程 的一个根是，求它的另一个根和q的值． 【答案】另一个根为，的值是 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出方程的另一个根，继而再次利用根与系数的关系即可求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为，则， ， 又， ． 答：另一个根为，的值是． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； （2）或4． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 20. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段. 阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个长方形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为 ），其他的边用总长 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形. （1）若车棚占地面积为 ，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为 的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）车棚的长为； （2）不能，理由如下： 设车棚的为，则为，由题意得， 整理得：， ， ∴原方程无实数根， ∴不能围成占地面积为的电动车车棚． 【解析】 【分析】设车棚的为，则为，由题意得，然后解方程并检验即可； 根据中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可． 【小问1详解】 解：设车棚的为，则为， 由题意得， 整理得， 解得，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，， 答：车棚的长为； 【小问2详解】 解：略． 21. 阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当 时，原方程可化为 ，解得：，（不符合题意，舍去）． ②当 时，原方程可化为 ，解得：（不符合题意，舍去），． 综上，原方程的解是 或 ． 请参照例题，解方程：． 【答案】原方程的解是或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当时，；当时，，分两种情况把原方程化为一元二次方程求解即可，注意验证所求未知数的值是否符合前提条件，不符合舍去． 【详解】解：①当，即时， 原方程可化为， 解得：（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； ②当，即时， 原方程可化为， 解得：，； 综上，原方程的解是或． 22. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节推出一种冰淇淋月饼，以150元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于150元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价10元，周销售量就增加3盒，已知该口味月饼的成本价为100元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元？ 【答案】（1）第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为 （2）当该口味月饼每盒降价20元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意假设未知数，构建方程是解题的关键． （1）周平均增长率为，根据第一周和第三周的销售关系，利用增长后的量=增长前的量，列方程求解即可； （2）设每盒降价元，根据利润=（售价-成本）销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为20%； 【小问2详解】 解：设该口味月饼每盒降价元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得： ， 整理得， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：当该口味月饼每盒降价20元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元． 23. 配方法是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【解决问题】 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“美丽数”． 例如，是“美丽数”．∵，∴是“美丽数”． （1）已知是“美丽数”，请将它写成的形式； （2）已知，求的值； （3）【拓展提高】如图，用长的铝材做一个“日”字形窗框（铝材的宽度不计）．设窗框的宽为，窗框的透光面积为．试问：当为多少时，最大？最大是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3），． 【解析】 【分析】（1）根据“美丽数”的定义即可求解； （2）由配方得，求出和的值，再求的值即可； （3）由题意得，然后根据即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：【拓展提高】由题意得：， 则， ∵， ∴， 此时，最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期九年级数学同步练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 9. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 设、是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_____． 12. 写出一个以和2为根的一元二次方程（化为一般式）____________________． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 14. “水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 15. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S．当时，______s． 三、解答题（共75分） 16. 计算、解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中 18. 关于x的一元二次方程 的一个根是，求它的另一个根和q的值． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 20. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段. 阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个长方形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为 ），其他的边用总长 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形. （1）若车棚占地面积为 ，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为 的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当 时，原方程可化为 ，解得：，（不符合题意，舍去）． ②当 时，原方程可化为 ，解得：（不符合题意，舍去），． 综上，原方程的解是 或 ． 请参照例题，解方程：． 22. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节推出一种冰淇淋月饼，以150元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于150元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价10元，周销售量就增加3盒，已知该口味月饼的成本价为100元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元？ 23. 配方法是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【解决问题】 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“美丽数”． 例如，是“美丽数”．∵，∴是“美丽数”． （1）已知是“美丽数”，请将它写成的形式； （2）已知，求的值； （3）【拓展提高】如图，用长的铝材做一个“日”字形窗框（铝材的宽度不计）．设窗框的宽为，窗框的透光面积为．试问：当为多少时，最大？最大是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $