第二章 直线和圆的方程 单元测试卷（培优）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·全国·课后作业）两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）“直线，相互垂直”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 6．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 7．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D．设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 10．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 11．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 13．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 14．（26-27高二上·全国·期中）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为___________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·河南·期中）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 16．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 17．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 18．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． (1)求定点P的坐标与圆C的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 19．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·全国·课后作业）两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的截距式得到结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与两坐标轴交于，，，，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时，面积取得最小值12，又、是两条不重合的直线， 所以. 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）“直线，相互垂直”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知直线，相互垂直， 则，解得或， 若，则直线互相垂直，满足必要性； 两直线垂直时，或，不一定是，不满足充分性， 故“直线，相互垂直”是“”的必要不充分条件． 3．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 5．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 6．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 7．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2， 所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以直线上至少存在一点使得， 所以点到直线的距离小于， 即，解得， 所以的取值范围是. 8．（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点）， 当圆心到直线的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6， 由点到直线距离公式，可得， 结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以，可得， 故n的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D．设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 【答案】AD 【分析】选项：先由直线方程得到斜率，结合正弦的值域求出斜率范围，进而得到倾斜角的取值范围；选项：利用一般式下两直线垂直的条件求出参数，判断充分性与必要性；选项 ：先根据两直线平行求出参数 ，统一系数后利用平行线距离公式计算距离判断；选项：把分式理解成两点连线的斜率，求出定点与线段端点连线斜率，结合图像分析斜率取值范围，即可得到正确选项. 【详解】选项A:直线 ，变形：，斜率， ，，又倾斜角 . ① ,  ② ，A正确； 选项B：直线：，， ∵两直线垂直，，∴， 解得 或 ， 垂直时可取，故只是充分不必要条件，B错误； 选项C：∵ 与 平行， ∴，， ∵，∴平行线间距离：，C错误； 选项D：：点与定点连线的斜率， ∵ ，∴， ∵在线段上移动，结合图形分析： ，D正确. 10．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于选项A，由图可知曲线围成的图形有条对称轴， 对称轴方程分别为，故A正确； 对于选项B，曲线由4个半圆组成，圆的半径为，其周长为，故B错误； 对于选项C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于选项D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 11．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 【答案】ABC 【分析】对于A，利用两圆方程相减即得公共弦方程；对于B，结合直线与圆的位置关系分析需满足，计算即得；对于C，由条件判断两圆外切，可得，计算即得答案；对于D，由切线长定理推得，依题需使最小，即当与直线垂直时，由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】对于A，圆的圆心的坐标为，半径 ， 圆的圆心的坐标为，半径 ， 因为，所以圆与圆相交， 将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足， 解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得， 知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为， 故，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 13．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 【答案】或 【分析】先根据弧长之比等于对应圆心角之比，可判断为等腰三角形，再根据圆心到直线的距离为半径的，建立关于的等量关系求解即可. 【详解】设直线与圆M交于A，B两点，圆心为，半径， 因为圆M被直线截得两段弧长之比为3:1，而弧长之比等于对应圆心角之比， 所以两段弧所对的圆心角之比为3:1，故较小弧所对的圆心角为. 设N为弦的中点，则，并且在等腰三角形中，平分圆心角， 所以， 在直角三角形中，， 这说明圆心到直线的距离为. 直线：可化为. 由点到直线的距离公式，得，解得或. 14．（26-27高二上·全国·期中）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】令，应用两点距离公式列方程求轨迹，结合已知圆的方程求出点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得 ，解得 ， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·河南·期中）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明：直线的方程可化为，故无论取何值，直线总过定点． (2) (3)的最小值为4，直线l的方程为 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线总过定点； （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线的方程为，且恒过点， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则 ，解得， 故的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 所以 ，． 又且，． 故， 当且仅当，即时取等号． 故的最小值为4，此时直线l的方程为． 16．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)；或 (3)存在，或 【分析】（1）把圆化为标准方程，得到圆心坐标，点斜式求出直线的方程； （2）圆心到直线的距离为，利用面积公式结合配方法求出面积的最大值，由此时的值求出直线的方程； （3）设点，，则有，直线与圆联立方程组，结合韦达定理求解. 【详解】（1）圆的标准方程为：，所以圆心，半径为3； 又直线斜率为1，经过圆的圆心，所以直线的方程为，即． （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则， ， 当且仅当，时取等号，由，得或， 所以直线的方程为或. （3）假设存在直线：满足题设要求，点，， 以为直径的圆过原点，所以，有，即   ① 联立，得， 由于，得，，  ② 则 ③ 将②，③ 代入①，得，解得或，均符合， 故存在直线，使以线段为直径的圆过原点，其方程为或． 17．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 18．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． (1)求定点P的坐标与圆C的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】(1)，圆的方程为 (2)或 (3)或 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【详解】（1）将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； （2）当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 （3）当切线斜率不存在时，直线方程为， 与圆，圆心到直线的距离为，显然相切， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ， 即，由圆心到切线距离等于半径得， 整理得 ，解得 代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 19．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $