第二章 直线和圆的方程 单元测试卷（基础）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）两条平行直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线， 则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）关于直线，下列说法正确的有（ ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线不经过第一象限 10．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为 D．若与圆相交于两点，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·天津和平·阶段检测）方程所表示的圆的最大面积为________. 13．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）过，两点的直线的倾斜角为，则______. 14．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）求符合下列条件的直线方程（最后结果以直线方程的一般式表示） (1)经过，两点． (2)经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 16．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 17．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 18．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求中角平分线所在直线的一般方程； (3)求点关于直线：对称的点的坐标. 19．（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）已知圆C过点和且半径为1． (1)求圆C的方程； (2)当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方向向量计算斜率，结合倾斜角与斜率的关系及倾斜角的取值范围求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，根据倾斜角的定义可知. 已知直线的一个方向向量为，则. 又，可得. 因为，解得. 2．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，所以， 故以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 3．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）两条平行直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】可化为. 所以两条平行直线间的距离为. 4．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 5．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线， 则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】两直线平行条件：， 代入系数：，解得， 代入检验发现当时，，两直线重合，故舍去， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 6．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 7．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先计算直线AB、AC的斜率，结合图形得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合斜率不存在的特殊情况得到倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由, 当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件; 综上，倾斜角的取值范围为. 8．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）关于直线，下列说法正确的有（ ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线不经过第一象限 【答案】BCD 【分析】根据直线方程一般式求出斜率及倾斜角可判断A，B选项；将直线化为截距式可判断C，D选项. 【详解】由直线，得，所以直线的斜率为，A错误； 设直线的倾斜角为，则，，所以直线的倾斜角为，B正确； 令，得，所以直线在轴上的截距为，故C正确； 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故直线不经过第一象限，D正确. 10．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 【答案】AC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为 D．若与圆相交于两点，且，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，由圆心与直线位置关系判断A；利用点到直线的距离公式，结合圆的几何性质求解判断BCD. 【详解】圆：的圆心，半径， 对于A，不满足方程，即直线不过圆心，因此圆关于不对称，A错误； 对于B，由与圆相切，得，解得，B正确； 对于C，圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最大值为，令，得有解，C正确； 对于D，，圆心到直线的距离为，由，解得，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·天津和平·阶段检测）方程所表示的圆的最大面积为________. 【答案】 【详解】方程表示圆，化为圆的标准方程得， 圆的半径，由 ， 当时，半径的最大值. 所以圆的最大面积为. 13．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）过，两点的直线的倾斜角为，则______. 【答案】 【分析】根据直线倾斜角求得斜率，结合两点斜率公式列方程求解，再检验舍去两点重合的增根即可得到结果. 【详解】因为直线的倾斜角为，故直线的斜率存在且斜率， 因为，， 由两点斜率公式得 ，即，即， 当时，此时，，两点重合，不能确定直线，舍去； 当时，得 ，整理得， 所以 ， 代入验证，、两点不重合，符合题意， 综上，的值为. 14．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的右半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得或， 由题意可知点，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）求符合下列条件的直线方程（最后结果以直线方程的一般式表示） (1)经过，两点． (2)经过，且在轴上的截距是在轴上的截距的． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）直接由直线方程的两点式可得所求直线方程； （2）分直线经过原点和不经过原点两种情况，再结合待定系数法解得直线方程. 【详解】（1）因为直线经过，两点， 由两点式可得直线方程为：，整理得：. （2）若直线过原点，则直线方程为：，即，满足题意； 若直线不过原点，设直线在轴上的截距为（），则直线在轴上的截距为， 则直线方程为， 因为直线过点，所以. 所以直线方程为：. 综上，所求直线方程为：或. 16．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【详解】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 17．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 18．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求中角平分线所在直线的一般方程； (3)求点关于直线：对称的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）判断是以B为直角的等腰直角三角形，角平分线过B和AC中点，点斜式化简得方程； （3）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【详解】（1）由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； （2）直线AB的斜率，得，则， 又，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形，故角的平分线为边上的中线， 因中点为，又因，则角平分线的斜率， 由点斜式得方程， 即角平分线所在直线的一般方程为； （3）设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 19．（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）已知圆C过点和且半径为1． (1)求圆C的方程； (2)当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 【答案】(1)圆的方程为或 (2)（ⅰ）切线方程为或；（ⅱ）的取值范围为 【分析】（1）由条件求出线段的中垂线方程，结合圆心在该直线上且圆的半径为1列方程组求解即得； （2）先确定圆心在轴上的圆的方程，（ⅰ）分切线斜率存在、不存在两种情况，利用圆心到切线距离等于半径求解切线方程；（ⅱ）联立直线与圆方程，结合韦达定理、向量数量积的坐标运算，利用二次函数的性质求取值范围. 【详解】（1）因圆C过点和，则线段的中点为，斜率为1，则其中垂线方程为，即， 设圆心为，因圆的半径为1，则可得，解得或 当时，，圆的方程为； 当时，，圆的方程为. （2）依题意圆心纵坐标，则圆心，半径，圆的方程为. （ⅰ）因过点斜率不存在的直线恰与圆相切，即一条切线方程为； 设另一条切线斜率为，则可设其方程为，即. 由圆心到直线的距离 ，解得，则得切线方程为. 综上，切线方程为或； （ⅱ）联立，消去整理得. 依题意，解得， 设，则， 则， ， 因该函数的对称轴为，故， 即的取值范围为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $