数学专项随堂训练题（七）尺规作图与图形变换-【名师领考】2027年广东省中考数学专项复习卷

数学专项随堂训练题（七）（尺规作图与图形变换） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是（　　） A. B. C. D. 2．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A. 湿 B. 地 C. 之 D. 都 3．下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4．黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 5．如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 6．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（　　） A. B. C. D. 7．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（　　） A. B. C. D. 8．如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A B. C. D. 9．如图，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10．如图，与相切于点A，延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知 与 相交于点 ，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为______________． 12．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 13．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 14．（3分）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 15．（3分）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为________． 16．（3分）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试] 如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分． [拓展探究] 如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为． 18．（5分）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 19．（6分）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 20．（6分）如图，在中，对角线，相交于点O，． （1）求证：； （2）点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，则与l的位置关系是________． 22．（9分）如图， 为的直径，， ， 是上的点，四边形为菱形． （1）求的长； （2）延长 到点 ，使得，求证： 是的切线． 23．（9分）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究． 如图，，（），点D在边上，延长交于点F． （1）【初步感知】求证：； （2）【深入探究】如图1，当，时，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，将绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，若F，，三点共线，且点A的对应点满足，求n的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 （2）如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 （3）如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 25．（12分）如图，在 中， ，，点P在 的延长线上，将绕点A按逆时针方向旋转 得到，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $数学专项随堂训练题（七) (尺规作图与图形变换) (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是() B 2.正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与 “盐”字所在面相对的面上的汉字是(） 湿 地 之 都 盐 城 A.湿 B.地 C.之 D.都 3.下列标点符号中，是轴对称图形的是(） B D ● 4.黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与 美的结晶”.如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯.关于它的三视图，下列说法正确的 是() 正面 A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 5.如图，AB⊥BC,CD⊥BC,点E、F分别是BC上的点，连接AE、DF交于点G.若 BF=EF=2,CE=1,AB=4,CD=6,则BG的长是() D B F E A. 5 B. 3 6.如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD,DE⊥BC,LABC=70° 则LEDC等于() A E D A.10° B.20° C.30 D.40° 7.某几何体的三视图如图所示，该几何体为（) 主视图 左 图 俯 图 B D 8.如图，在△MBC中，点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中，错误的是() E 1 A DE BC B.△ADE-△ABC C.BC-2DE 9.如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°，则∠D的度数为() B D A.25° B.35° C.450 D.55 10.如图，PA与⊙O相切于点A,PO延长线交o0于点C.ABPC,且交o0于点 B.若LP=30°，则LBCP的大小为() A B A.30° B.45° C.60° D.75° 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11.(3分)生活中的剪刀蕴含着数学知识.如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄 和指圈.当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切.已 知AC与BD相交于点O,CE为半圆的直径，OC=9,CE=6,则此时张角∠AOB的大小 为 剪 刃 指圈 剪柄 图1 图2 12.3分)如图，过原点的直线与反比例函数=(k>0)的图象交于4m.川， B(m-6,n-6)两点，则k的值为 13.(3分)如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧 长是 14.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交 AB于点M,交BC于点N,分别以M,N为圆心，大于2MW的长为半径作弧，两弧在 LABC内部交于点P,作射线BP交AC于点D.若CD=2,AB=7,则△MBD的面积为 15.(3分)如图，在VABC中，AC=3,BC=2,∠C=60°，D是线段BC上一点（不与端 点B,C重合)，连接AD,以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段 AC交于点F,则线段CF长度的最大值为 16.(3分)如图，在△MBC中，AC>AB,点D为边AB上一点，AD=2,BD=1.以点 C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E,连接DE.若DE‖BC,则AE= D E B 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试] 如图(1)用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线 OP平分. M 图(1) [拓展探究) 如图(2)，若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心 的弧CD,交OM于点C,交ON于点D,使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为I:4. 图(2) 18.(5分)如图，点D是VABC的边BC延长线上一点，BD=AB,DE‖AB,DE=BC 求证：BE=AC. D E B 19.(6分)如图，已知AB是⊙0的直径，点C,D在o0上，LABC=65°，BC=CD. (1)求证：BOC≌△DOC; (2)求∠ABD的度数 20.(6分)如图，在Y ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,LABC=90°. E (I)求证：AC=BD: (2)点E在BC边上，满足LCE0=LCOE.若AB=6,BC=8,求CE的长及tan LCE0的 值 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分. 21.(8分)如图，B、E、C、F是直线I上的四点，ACDE相交于点G,AB=DF, AC=DE BC=EF G B (1)求证：△GEC是等腰三角形； (2)连接AD，,则AD与1的位置关系是 22.(9分)如图，AD为⊙0的直径，AD=4,B,C是⊙0上的点，四边形OABC为菱 形 (1)求AC的长； (2)延长AD到点P,使得DP=2,求证：P℃是OO的切线， 23.(9分)在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究 如图，△ABC兰△EAD,AB=AC=nBC(n>1),点D在AC边上，延长ED交AB于点 F 4 E 4 D 图1 图2 (I)【初步感知】求证：AF2=FD·FE; (2)【深入探究】如图1，当n=2,AD=1时，求BF的长； (3)【拓展延伸】如图2，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到 △EAD',若F,A，D三点共线，且点A的对应点A满足AALAB,求n的值. 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24.(12分)在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分 探究内容，请你思考并解答. B 图1 图2 图3 【初步尝试】 (1)如图1，在△1BC中，AB=AC,过点B作BO‖4C,B0=2,连接A0.点P在线段 AB上，满足∠BPC=LCA犯，求AP的长， 【类比探究】 (2)如图2，在△4BC中，AB=AC,以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P, Q分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=BO.当LBPC=LBCD时，用等式表 示出CD和OE的数量关系，并说明理由. 【拓展迁移】 (3)如图3，在矩形AEBD中，P,分别是线段AB,BE上的动点（不含端点）， MP=B0,当∠BQ=D1P时。用等式表示出Bp和QE的数量关系，并说明理由 25.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点P在BC的延长线上，将AP 绕点A按逆时针方向旋转30°得到40，连接CQ,P0. (I)求证：BP=CQ: (2)若LCAP=15°，P0=2√2，求BP的长。数学专项随堂训练题（七）( 尺规作图与图形变换)（参考 答案与解析) (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是() B D 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，对各选项中的立体 图形进行分析判断即可· 【详解】A、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意； B、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意； C、主视图能看到两侧的装饰物，左视图看到的是瓶身的侧面，轮廓宽度不同，故主视图与 左视图不同，符合题意； D、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意 2.正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与 “盐”字所在面相对的面上的汉字是（) 湿 地 之 都 盐 城 A.湿 B.地 C.之 D.都 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面 一定相隔一个小正方形，由此可解 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得： “盐”的对面是“之”， “地”的对面是“都”， “湿”的对面是“城”， 故选C 3.下列标点符号中，是轴对称图形的是（ B 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别.解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形 沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴)，寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.据此对各选项逐一 进行判断即可. 【详解】解：A.该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意； B.该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意， 故选：A. 4.黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与 美的结晶”.如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯.关于它的三视图，下列说法正确的 是() 正面 A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，正确判别视图是解题的关键，确定出三视图，进行判断即可、 【详解】解：由图可知，主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不 相同， 故选A. 5.如图，AB⊥BC,CD⊥BC,点E、F分别是BC上的点，连接AE、DF交于点G.若 BF=EF=2,CE=1,AB=4,CD=6,则BG的长是() D G B F 45 p. 【答案】D 【解析】 【分析】过点G作GH⊥BC于点H,利用相似三角形的性质求出GH和BH的长，最后在 Rt△BGH中利用勾股定理求解 【详解】解：过点G作GH⊥BC于点H, D B FHEC :AB⊥BC,CD⊥BC, .AB‖GH‖CD ∴.△EGH∽△EAB,△FGH∽△FDC. BF=EF=2,CE=1, .BE =BF+EF=4.FC=EF+CE=3 设GH=h, ·,·△EGHP△EAB GH EH h EH AB=EB,即4=4， :EH =h, ,·GH∽△FDC, GH FH h FH ∴CD=FC,即63， H EF=EH +FH=2 六h+h=2 5 4 解得h=。 3 om-、- , .FH-2 3 28 ∴.BH=BF+FH=2+ 33, 6,如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD,DE⊥BC,LABC=70° 则∠EDC等于() A B D A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练 掌握平行线的性质.首先根据平行线的性质得出LBCD=∠ABC=70°，再根据垂直与三角 形的内角和即可求出LEDC 【详解】解：AB∥CD,∠ABC=70, .LBCD=LABC=70° .·DE⊥BC .LCED=90° ∴.LEDC=90°-70°=20° 故选：B 7.某几何体的三视图如图所示，该几何体为() 主 左 视 图 视图 D 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的特征，主视图和左视图确定几何体的侧面形状，俯视图确定底面形状， 从而判断几何体的名称 【详解】解：主视图和左视图都是三角形， ∴该几何体是锥体 俯视图是圆且圆心处有一点， ∴.该几何体是圆锥 观察选项，A是圆柱，B是三棱柱，C是圆锥，D是球，故C选项符合题意 8.如图，在△MBC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，下列结论中，错误的是() A DE BC B.△ADE-△ABC C.BC-2DE D.SMMDE 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质 可判断A、C；由相似三角形的判定和性质可判断B、D,掌握三角形中位线的性质及相似 三角形的判定和性质是解题的关键. 【详解】解：：点D,E分别为边AB,AC的中点， ,DEI‖BC,BC=2DE,故A、C正确； ..DEl BC, △ADE~△ABC,故B正确； ·△ADE~△ABC, S ADE S。ABC 4 SADE=4SaBc,故D错误： 故选：D 9.如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°，则∠D的度数为() D A.25° B.35· C450 D.55 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.先根据“两直线 平行，同旁内角互补”，得到∠C=35°，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案. 【详解】：AB∥DC, ÷∠B+∠C=180° :∠B=145° ∠C=180°-∠B=35°， .:BC∥DE、 ∠D=∠C=35° 故选B. l0.如图，PA与⊙0相切于点A,P0延长线交O0于点C.AB‖PC,且交O0于点 B.若LP=30°，则LBCP的大小为() B A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接OA,OB，切线得到 OA1AP,求出LPOA=90°-30°=60°，平行，得到LPOA=L0AB=60°，进而得到VAOB 为等边三角形，推出△BOC为等边三角形，即可得出结果. 【详解】连接OA,OB,则：OA=OB=OC, A B ·PA与⊙O相切于点A, .OA⊥AP ·∠P=30° .∠P0A=90°-30°=60° ··AB‖PC ∴.LPOA=LOAB=60° VAOB为等边三角形， .∠AOB=60° .∠BOC=180°-∠POA-∠AOB=60° .BOC为等边三角形， .∠BCP=60° 故选C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11.(3分)生活中的剪刀蕴含着数学知识.如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄 和指圈.当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切.已 知AC与BD相交于点O,CE为半圆的直径，OC=9,CE=6,则此时张角LAOB的大小 为 剪 指圈 剪柄 图1 图2 【答案】150 【解析】 【分析】设右半圆的圆心为M,BD与OM相切于点N,连接MN,分别求得MN,OM,根 据sinLMON= 2,得出∠MON=30°，进而根据邻补角的定义，即可求解. 【详解】解：如图，设右半圆的圆心为M,BD与OM相切于点N,连接MN, —B D :.∠MNO=90° OC=9,CE=6、 .MN-MC-EC-3.OM-OC-MC-9-3-6 .sinLMON=MN 3 1 OM62, .LMON=30° :.∠AOB=180°-∠MON=180°-30°=150° 12.(3分)如图，过原点的直线与反比例函数y-（k>0)的图象交于4m,)。 B(m-6,n-6)两点，则k的值为 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点 对称的点的性质，先根据题意得出-m=m-6,-n=n-6,解得m=3,n=3,即4(3,3)， 再把A(3,3)代入y=进行计算，即可作答， 【详解1解：过原点直线与反比函教-k>0)的图象交于Am小，Bm-6n-6) 两点， .A(m,n),B(m-6,n-6)两点关于原点0对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， .-m=m-6,-n=n-6 .m=3,n=3, A3,3) 把A3,3)代入y=冬 x, 得3← 3, 解得k=9, 故答案为：9 13.(3分)如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧 长是 【答案】4π 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，明确扇形的弧长=圆锥底面圆的周长是解题的关键； 根据扇形的弧长圆锥底面圆的周长计算求解即可. 【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长=2π×2=4红； 故答案为：4π. 14.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交 AB于点M,交BC于点N,分别以M,N为圆心，大于2MW的长为半径作弧，两弧在 LABC内部交于点P,作射线BP交AC于点D.若CD=2,AB=7,则△MBD的面积为 D 【答案】7 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB,由题意可得CD=ED=2,然后进行求解即可. 【详解】解：过点D作DE⊥AB交于点E,如图所示， 由题可知，BD平分∠ABC, 又∠ACB=90° .CD=ED=2 Sa40=)AB-DE=x7×2=7. 1 2 15.(3分)如图，在VABC中，AC=3,BC=2,LC=60°，D是线段BC上一点（不与端 点B,C重合)，连接AD,以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段 AC交于点F,则线段CF长度的最大值为 3 【答案】4#0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂 线医最超.过点，作H1BC于g解RC得到M-3 2，证明△DACn△FAD, 可得AF=DAD AC=3,根据cF=4C-4F可知当4F有最小值时，CF有最大值，当 AD I BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，可求出AF的最小值 93 为4，则CF的最大值为4-44 【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H, E B H D 在Rt△MHC中，∠C=60°，∠AHC-90°，AC=3 ·H=AC-sinC=3V3 2； ·VADE是等边三角形， .LADE=60°=LC, 又，·LDAC=LFAD, ..△DAC∽△FAD AF AD ·ADAC, .AF=ADAD AC=3, ·CF=AC-AF, 当AF有最小值时，CF有最大值， .当AD有最小值时，AF有最小值， .当AD L BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合， 35 AD的最小值为2， 12 3 的最小值为 2 9 AF 93 Cr的最大值为4-4， 故答案为：4· 16.(3分)如图，在△4BC中，AC>AB,点D为边AB上一点，AD=2,BD=1.以点 C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E,连接DE.若DE‖BC,则AE= A D B 【答案】4 【解析】 【分析】由作法可知，CE=AD=2，再利用平行线分线段成比例定理求解即可· 【详解】解：由作法可知，CE=AD=2, QDE BC AD AE BD CE 2 AE 12， .AE=4. 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试划 如图(I)用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP,使扇形OMN的面积被直线 OP平分. 图(1) [拓展探究] 如图(2)，若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心 的弧CD,交OM于点C,交ON于点D,使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4. M 图(2) 【答案】初步尝试]见解析；拓展探究]见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解 题的关键 [初步尝试]经过圆心的直线平分扇形OMN的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦 的垂直平分线； [拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到扇形 OCD的面积与扇形OMN半径之比为1：2，只要画出OM或ON的中点即可，方法一：作扇形 OMN半径ON的垂直平分线找到中点D,然后以OD为半径作弧交半径OM于点C.方法二： 扇形OMN的圆心角为30°，根据含30°的直角三角形是斜边的一半，过M点作出ON的垂线， 构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧即可， 【详解】解：初步尝试] 作法一：如图所示 ①连接MW,分别以点M和点N为圆心，大于2MW的长为半径作弧， 两弧交于点P,标注出点P ②画直线OP ③直线OP即为所求 作法二：如图所示 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点E,交ON于点F, ②分别以E、F为圆心，大于2EF的长为半径作弧，两弧交于点p,标注出点。 ③画直线OP,直线OP即为所求 [拓展探究] :扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4，设扇形OCD的半径为r,扇形OMN的半 径为R ∴扇形OCD的面积：扇形OMN的面积=r2:R2=1:4 .R=2r ∴.只要画出OM或ON的中点即可 作法一： ①作ON的垂直平分线交ON于点D，标注出点D ②以O为圆心OD长为半径画弧，交OM于点C,标注出点C ③弧CD即为所求.（同理作OM的垂直平分线也可得分） 作法二： 过M点作出ON的垂线或者过N点作OM的垂线，取垂线段的长度为半径，以O为圆心画弧 即可.（依据：含30°的直角三角形是斜边的一半） 18.(5分)如图，点D是VABC的边BC延长线上一点，BD=AB,DEI AB,DE=BC 求证：BE=AC. 刀 E 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的 关键 先根据平行得到LBDE=∠ABC,再证明△BDE≌△ABC(SAS)即可 【详解】证明：DE‖AB, .∠BDE=LABC, .BD=AB.DE=BC. ·△BDE≌△ABC(SAS) BE=AC 19.(6分)如图，已知AB是O0的直径，点C,D在⊙0上，LABC=65°，BC=CD B (1)求证：△BOC≌△D0C; (2)求∠ABD的度数. 【答案】(1)详见解析 (2)40° 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角， 熟练掌握相关性质是解题的关键， (1)根据已知条件利用SSS证明全等即可； (2)根据OC=OB，求出LCOB,再利用全等求出LDOB,最后利用等边对等角即可求. 【小问1详解】 证明：”O0的半径为OD,OB,OC,OA、 ..OA=OB=OD=OC OC=OC BC=CD B0C≌D0C(SSS): 【小问2详解】 解：：OC=OB ∴.LOCB=LABC=65° .∠C0B=180°-65°×2=50° .:△BOC≌DOC .∠D0C=LC0B=50°， .∠DOB=100° OD=OB ∴.△DOB是等腰三角形， ∠ABD=∠0DB=180°-LD0B=40 2 20.(6分)如图，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠ABC=90°. E (I)求证：AC=BD； (2)点E在BC边上，满足LCE0=∠COE.若AB=6,BC=8,求CE的长及tanLCEO的 值 【答案】(1)见解析 (2)CE=5,tan LCEO=3 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数 等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键. (I)直接根据矩形的判定证明即可； (2)先利用勾股定理结合矩形的性质求得4C-10,OB-0C·进而可得00-4C-5,再 根据等腰三角形的判定得到CE=CO=5,过点O作OF⊥BC于点F,根据等腰三角形的性 质，结合勾股定理分别求得CF=4,EF=1,OF=3,然后利用正切定义求解即可. 【小问1详解】 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，且LABC=90°， 所以四边形ABCD是矩形. 所以AC=BD; 【小问2详解】 解：在Rt△ABC中，AB=6,BC=8, 所以AC=VAB2+BC2=V62+82=10. 因为四边形ABCD是矩形， 所以c0-号4C-5,OB=0C 2 因为LCE0=LCOE,所以CE=C0=5. 过点O作OF1BC于点D,则CF-BC=4, ○ EF 所以EF=CE-CF=5-4=1, 在RtaC0F中，OF=VOC2-CF2=V52-4=3, 所以tan LCEO=OF =3 EF 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分. 21,(8分)如图，B、E、C、F是直线I上的四点，ACDE相交于点G,AB=DF, AC=DE BC=EF. B F (1)求证：△GEC是等腰三角形： (2)连接AD,则AD与1的位置关系是 【答案】(1)见解析 (2)AD∥1 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： (I)证明△ABC≌△DFE,得到∠ACB=LDEF,即可得证； (2)根据线段的和差关系，易得AG=DG,根据三角形的内角和定理，得到 LCAD=LACB,即可得出结论. 【小问1详解】 证明：在△MBC和△DFE中 (AB=DF AC=DE BC=EF .△ABC≌△DFE, LACB=LDEF, .EG=CG, .△GEC是等腰三角形； 【小问2详解】 .·AC=DE,EG=CG A B E .AC-CG=DE-EG .AG=DG ∴.LGAD=LGDA=2(180°-∠AGD), LACE=∠DEF=(180°-LCGE), .·LAGD=LEGC, ..LCAD=LACB .AD∥1 22.(9分)如图，AD为⊙0的直径，AD=4,B,C是⊙0上的点，四边形OABC为菱 形. B (1)求AC的长； (2)延长AD到点P,使得DP=2,求证：PC是OO的切线 π 【答案】(1)3 (2)证明：如图2，连接CD. B D 图2 由(1)可得AB/OC,LA=60°， .LA=LCOD=60°， OC=OD ∴.△COD是等边三角形， ∴.CD=OD=2,LOCD=LODC=60° DP=2, .DP=CD LDCP-LP-L0DC-30 ∴.LOCP=LOCD+∠DCP=90° 又0C是o0的半径， .PC是⊙O的切线， 【解析】 【分析】 (1)连接0B.首先，证得△4OB是等边三角形，得LA=60°，LAOC=120°，然 后，求得O1-?4D-2,最后，再代入弧长公式计算即可： (2)连接CD.先证得△COD是等边三角形，得CD=OD=2,LOCD=LODC=60°，再 由DP=2,得DP=CD,进而得LDCP=30°，LOCP=90°，即可证得结论 【小问1详解】 解：如图1，连接OB, B C D 图1 :四边形OABC为菱形， ∴.OA=AB.ABI/OC, 又OA=OB, ∴.△4OB是等边三角形. .LA=60°， .∠AOC=180°-∠A=120° .AD=4, 0A=4D=2 120×元×24π :Ac的长为180 3 【小问2详解】 略 23.(9分)在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究· 如图，△ABC兰△EAD,AB=AC=nBC(n>1),点D在AC边上，延长ED交AB于点 F D D B C B 图1 图2 (1)【初步感知】求证：AF2=FD·FE; (2)【深入探究】如图1，当n=2,AD=1时，求BF的长； (3)【拓展延伸】如图2，将△EAD绕点卫按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到 △EAD,若F,A,D三点共线，且点A的对应点A满足A'A上AB,求n的值. 【答案】(1)证明：，△ABC兰△EAD, .LBAC=LE,即LFAD=LE, 又，·LAFD=LEFA, .∴.△4FDc∽△EFA, AF FD ·FEAF, .AF2=FD·FE; (2)3 (3)2+1 【解析】 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到∠FAD=LE,结合∠AFD=∠EFA证明 △4FDcP△EFA,再利用相似三角形的性质即可证明； (2)根据题意得BC=AD=1,AB=AC=AE=DE=2,由△MFD△EFA得到 AF FD AD 1 E尔E2、则FE·2A,Pn-4F,再利用线段的和差列出关于4长的方程。 术出4F=专，即可求解即的长： (3)连接AF,设BC=AD=1,由(2)中的结论可得AB=AC=AE=DE=n,根据旋转 的性质得AE=AE,LEAD'=LEAD,则LEAA'=LEAA,设∠EA'D'=LEAD=a,导角可 得∠EAF=∠EAF=180°-a,则∠FAM'=LFAA,推出AF=A'F,再结合AA⊥A'B推出 p=E,则AF=BFBP,再由△MFDE4得到E=1F= 21 D=AF=,再利用线段的和差列出关于n的方程，即可求解的值 n 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△ABC兰△EAD ..BC=AD=1.AB=AE.AC=DE, ,·AB=AC=nBC,n=2, .AB=AC=AE=DE=2、 由(1)得，△4FD△EFA, AF FD AD 1 ·FE AF AE2, FE=24F.FD-1AF 2 3 DE FE-FD=AF=2 2 解得F=4 3, .BF-AB-AF-2-4-2 33, 2 即BE的长为3； 【小问3详解】 解：如图，连接AF, D B 设BC=AD=-1, 由(2)中的结论可得AB=AC=AE=DE=n, 由旋转的性质得，AE=A'E，LEA'D'=∠EAD, .LEAA'=∠EAA 设LEA'D'=LEAD=a, F,A,D三点共线， .∠EA'F+∠EA'D'=180° .∠EA'F=180°-a, ·.AE=DE, .LAED=180°-2a, ·,·△ABC≌△EAD .LBAC=∠AED=180°-2a， .LEAF=LBAC+LEAD=-180°-2a+a=180°-a, .LEAF =LEA'F ∴.LEAF-LEAA'=∠EAF-LEAA,即LFAA=∠FAA, ..AF A'F, AA⊥AB, .LAAB=90°， .LFAA'+LFBA'=90°，LFAA+LFAB=90°， .LFBA'=∠FA'B BF=A'F 1 ..AF -BF-AB=n 2 由(I)得，△4FD∽△EFA, AF FD AD 1 ·FE AF AE n' FE=mAF=n',FD=上AF= 1 2 n 2 DE-FE-FD--1 =n 2 解得=V2+1(负值已舍去)， .n的值为V2+1. 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24.(12分)在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分 探究内容，请你思考并解答 图1 图2 图3 【初步尝试】 (I)如图1，在△MBC中，AB=AC,过点B作BO‖AC,BO=2,连接A0.点P在线段 AB上，满足∠BPC=LCA犯，求AP的长 【类比探究】 (2)如图2，在△4BC中，AB=AC,以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P, D分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=BO.当LBPC=LBCD时，用等式表 示出CD和QE的数量关系，并说明理由. 【拓展迁移】 (3)如图3，在矩形AEBD中，P,Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点）， AP=B:当∠EA0-2∠DMAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)AP=2 (2)解：CD=E,理由如下： 如图1，连接A0 B D 图1 :四边形AEBD为矩形， .BEI∥AD ∴.LPAC=∠QBA AC=BA、∠PAC=LOBA AP=BQ :.△PAC2A9BA(SAS) ∴.LCPA=LAQB .180°-∠CPA=180°-LAQB 即∠BPC=LAQE .∠BPC=∠BCD .∠BCD=LAQE :四边形AEBD为矩形， .BD=AE.LBDC=LBDA=LAEO=90 ∴.△BDC2△4EQ(AAS) ∴.CD=QE (3)解：BP=2QE,理由如下： 如图2，延长AD至点F,使得AF=AB,连接BF,PF, E 图2 AF =AB, DFB-L48F-(0-DAP)90DAP LEAg=∠DAP ∴.LDFB=90°-LEAQ=LEQA 由(2)同理可得，△DFB2△EQA(AAS) ∴.FD=QE AB=AF, .AP+BP=AD+FD. ∴.AP+BP=AD+QE :四边形AEBD为矩形， ..AD=BE ∴.AP+BP=BE+QE .AP+BP=BO+20E AP=BO, ∴.BP=2QE 【解析】 【分析】(I)由平行线的性质得到LPAC=LQBA,由∠BPC=LCA0得到∠PCA=LQAB 从而证明△PAC≌9BA(ASM),根据全等三角形的性质即可解答； (2)连接AQ.证明△PAC≌△⑨BA(SMS),得到LCPA=LAQB,因此LBPC=LAQE,从 而LBCD=LAQE,进而证明△BDC≌△MEQ(AAS),即可得出CD=QE. (3)延长AD至点F,使得AF=AB,连接BF,PF,由等边对等角得到 4DFB=LABF-80-∠D1P)=90-4D1P=LF01,由△DFB20AAMS)得到 FD=QE,根据线段的和差得出AP+BP=AD+QE,根据矩形的性质有AD=BE,因此 AP+BP=BO+2QE,从而可得BP=2QE. 【小问1详解】 解：BQ‖AC .∠PAC=LQBA LBPC=LCAO ∴.∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠QAB ∴.LPCA=LQAB LPAC=LOBA AC=BA LPCA=LOAB NPACOBA(ASA) ∴.AP=BQ=2 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,LBAC=30°，点P在BC的延长线上，将AP 绕点A按逆时针方向旋转30°得到40，连接CQ,PO. (I)求证：BP=CQ: (2)若∠CAP=15°，P0=25,求BP的长 【答案】(1)证明：：AP绕点A按逆时针方向旋转30°得到AQ, .LPAQ=30°、AP=AQ :∠BAC=30°， .∠BAP=LCAQ AB=AC :.△4BP2△4CQ(SAS)」 ∴.BP=CQ (2)BP=4 【解析】 【分析】(I)根据旋转的性质可得∠PAQ=30°，AP=A0,结合已知可得∠BAP=LCA0 进而根据SAS,证明△MBP≌△4CO,根据全等三角形的性质，即可得证； (2)过点Q作OH1BC,交BC的延长线于点H,根据全等三角形的性质得出 L4C0=∠B=75°，进而得出∠0CH=30°，LPH=45°，解直角三角形求得H=2,进 而求得BP的长， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点Q作QH上BC,交BC的延长线于点H. ○ :AB=AC.AP=AQ∠BAC=∠PAQ=30° .LB=LACB=75°、∠APQ=LAQP=75° :△4BP2△MCQ2 ∴.LACQ=∠B=75° ∠CAP=15° ∴.∠APB=60° ∴.∠QCH=30°∠QPH=45° PO=2v2 ∴.QH=2W2sin45°=2 ∴.BP=CQ=2QH=4 数学专项随堂训练题（七）（尺规作图与图形变换）（参考答案与解析） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，对各选项中的立体图形进行分析判断即可． 【详解】A、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意； B、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意； C、主视图能看到两侧的装饰物，左视图看到的是瓶身的侧面，轮廓宽度不同，故主视图与左视图不同，符合题意； D、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意． 2．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A. 湿 B. 地 C. 之 D. 都 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得： “盐”的对面是“之”， “地”的对面是“都”， “湿”的对面是“城”， 故选C． 3．下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可． 【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，正确判别视图是解题的关键，确定出三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同， 故选A． 5．如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，利用相似三角形的性质求出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ∴， ，， ，， ，  设， ∵ ∴，即，  ， ∵， ∴，即， ，   ， 解得  ，， ∴， ， 在中， ． 6．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 7．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的特征，主视图和左视图确定几何体的侧面形状，俯视图确定底面形状，从而判断几何体的名称． 【详解】解∶∵主视图和左视图都是三角形， ∴该几何体是锥体， ∵俯视图是圆且圆心处有一点， ∴该几何体是圆锥． 观察选项，A是圆柱，B是三棱柱，C是圆锥，D是球，故C选项符合题意． 8．如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 9．如图，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 10．如图，与相切于点A，延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知 与 相交于点 ，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设右半圆的圆心为 ， 与相切于点 ，连接 ，分别求得，根据，得出，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，设右半圆的圆心为 ， 与相切于点 ，连接 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 13．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，明确扇形的弧长=圆锥底面圆的周长是解题的关键； 根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算求解即可． 【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长； 故答案为：． 14．（3分）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】过点作，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点E，如图所示， 由题可知，平分， 又， ∴， ∴． 15．（3分）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 16．（3分）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） [初步尝试] 如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分． [拓展探究] 如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为． 【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键． [初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线； [拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形的面积与扇形半径之比为，只要画出或的中点即可．方法一：作扇形半径的垂直平分线找到中点，然后以为半径作弧交半径于点．方法二：扇形的圆心角为，根据含的直角三角形是斜边的一半，过点作出的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可． 【详解】解：[初步尝试] 作法一：如图所示 ①连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧， 两弧交于点，标注出点 ②画直线 ③直线即为所求 作法二：如图所示 ①以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点， ②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，标注出点. ③画直线，直线即为所求 [拓展探究] 扇形的面积与扇形的面积比为，设扇形的半径为，扇形的半径为 扇形的面积∶扇形的面积 只要画出或的中点即可 作法一： ①作的垂直平分线交于点，标注出点 ②以为圆心长为半径画弧，交于点，标注出点 ③弧即为所求．（同理作的垂直平分线也可得分） 作法二： 过点作出的垂线或者过点作的垂线，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．（依据：含的直角三角形是斜边的一半） 18．（5分）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．（6分）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【小问1详解】 证明：的半径为， ， ，， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 20．（6分）如图，在中，对角线，相交于点O，． （1）求证：； （2）点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． （1）直接根据矩形的判定证明即可； （2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可． 【小问1详解】 证明：因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形是矩形． 所以； 【小问2详解】 解：在中，，， 所以， 因为四边形是矩形， 所以，． 因为，所以． 过点O作于点F，则， 所以， 在中，， 所以． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，则与l的位置关系是________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 22．（9分）如图， 为的直径，， ， 是上的点，四边形为菱形． （1）求的长； （2）延长 到点 ，使得，求证： 是的切线． 【答案】（1） （2）证明：如图2，连接 ． 由（1）可得，， ∴， ， 是等边三角形， ，． ， ， ． ， 又∵是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）连接 ．首先，证得是等边三角形，得，，然后，求得，最后，再代入弧长公式计算即可； （2）连接 ．先证得是等边三角形，得，，再由 ，得，进而得，，即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接 ． ∵四边形为菱形， ，． 又， 是等边三角形． ， ． ∵， ， 的长为； 【小问2详解】 略 23．（9分）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究． 如图，，（），点D在边上，延长交于点F． （1）【初步感知】求证：； （2）【深入探究】如图1，当，时，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，将绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，若F，，三点共线，且点A的对应点满足，求n的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，结合证明，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，，由得到，则，，再利用线段的和差列出关于长的方程，求出，即可求解的长； （3）连接，设，由（2）中的结论可得，根据旋转的性质得，，则，设，导角可得，则，推出，再结合推出，则，再由得到，，再利用线段的和差列出关于n的方程，即可求解n的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 即的长为； 【小问3详解】 解：如图，连接， 设， 由（2）中的结论可得， 由旋转的性质得，，， ∴， 设， ∵F，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴n的值为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 （2）如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 （3）如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图，连接． 四边形为矩形， ∴， ，，， ∴， ， ∴， 即． ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． （3）解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，． ， ． ， ． 由（2）同理可得，， ． ， ， ． 四边形为矩形， ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到．由得到，从而证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）连接．证明，得到，因此，从而，进而证明，即可得出． （3）延长至点，使得，连接，．由等边对等角得到，由得到，根据线段的和差得出，根据矩形的性质有，因此，从而可得． 【小问1详解】 解：∵， ． ， ， ． ，，， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25．（12分）如图，在 中， ，，点P在 的延长线上，将绕点A按逆时针方向旋转 得到，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：绕点按逆时针方向旋转得到， ，． ， ． ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，结合已知可得，进而根据，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）过点 作，交 的延长线于点 ，根据全等三角形的性质得出，进而得出，，解直角三角形求得，进而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点 作，交 的延长线于点 ． ，，， ，． ， ． ， ， ，． ， ． ． 　 学科网（北京）股份有限公司 $