数学专项随堂训练题（五）四边形-【名师领考】2027年广东省中考数学专项复习卷

数学专项随堂训练题（五）（四边形） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（　　） A. 18 B. C. 9 D. 2．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 3．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（　　） A. B. 3 C. D. 4 4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（　　） A. B. 1 C. D. 5．如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　） A. B. 5 C. 4 D. 8 6．如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（　　） A. B. C. D. 7．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（　　） A. B. C. D. 8．如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，若，，，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 10．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当的长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ；②分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点 ；③连接 并延长交线段 于点 ，若，，则平行四边形 的周长为_________． 12．（3分）如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 13．（3分）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________． 14．（3分）如图，在平行四边形纸片 中，，，点是边的中点，点 在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则 的面积为________． 15．（3分）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是________． 16．（3分）如图，菱形的边长为10，对角线，，为上两个动点，且，则的最小值为____________． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：是矩形． 18．（5分）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 19．（6分）如图，在四边形中，， 相交于点，，， 平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 20．（6分）如图1，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）①求证：四边形为平行四边形； ②若，求证：四边形为菱形； 22．（9分）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 23．（9分）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 25．（12分）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学专项随堂训练题（五）（四边形）（参考答案与解析） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（　　） A. 18 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 2．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 3．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（　　） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 作辅助线如图，由平行正相似先证，再证，即可求得结果． 【详解】解：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 5．如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 6．如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、 ，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C． 7．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中， ，， ∴，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，若，，，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形得出，，利用平移方式相同可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， 点先向左移一个单位长度，再向上移两个单位长度得到点， 点先向左移一个单位长度，再向上移两个单位长度得到点， ， ，即． 10．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（　　） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当的长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ；②分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点 ；③连接 并延长交线段 于点 ，若，，则平行四边形 的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质以及作图证明，再由平行四边形的对边相等即可求解周长． 【详解】解：由作图可得， 平分， ∴ ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴平行四边形 的周长为． 12．（3分）如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； 【详解】解：根据题意，得 ， 由点为斜边 的中点， ． 13．（3分）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵O为中点， ∴， ∵， 在中，， ∴， 同理， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 14．（3分）如图，在平行四边形纸片 中，，，点是边的中点，点 在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则 的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由折叠和推出 ，从而四边形 是菱形，得 且为中点，再利用菱形及中点构造中位线得到且，结合可证并求得，最后通过面积法求 ，利用相似三角形求出，从而算出 的面积． 【详解】解：连接，作， ，点是边的中点， ，根据折叠可知， ，， ， ， 由折叠可知， ， ， 由折叠可知， ， 四边形 是菱形， ， 设交点为， 为中点， ，且， ， ， ， 在 中，， ， ， 设交点为 ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形 为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进而用面积和相似计算三角形面积． 15．（3分）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值时B、P、M三点的位置关系． 取的中点M，连接、，利用解三角形求出，利用三角形中位线定理推出，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值． 【详解】解：取的中点M，连接、． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵P、M分别是的中点， ∴． 如图，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值， 最大值为， 故答案为：． 16．（3分）如图，菱形的边长为10，对角线，，为上两个动点，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的轴对称性可知点关于的对称点为点，则，将转化为 ；通过平移构造平行四边形，将转化为 ，从而将问题转化为求的最小值，最后利用勾股定理求解 【详解】解：如图，连接交于点  四边形是菱形  ，，  在中，    点关于的对称点是点      将点沿方向平移个单位长度得到点，连接 ，  ，  四边形 是平行四边形      当，，三点共线时，最小，最小值为线段的长  ，     在中，  的最小值为 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判断，三角形中位线定理等知识，解题的关键是： （1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用平行四边形的性质得出，，结合点G是的中点，可得出，同理，则可得出，，然后利用矩形判定即可得证． 【小问1详解】 证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G是中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． 18．（5分）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】选择甲：由，是的中点．得，从而得四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论成立；选择乙：连接、，交于，分别证明四边形是平行四边形，四边形是菱形，得，，再根据平行线的性质及垂线定义即可得证． 【详解】证明：选择甲：如图1， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选择乙：如图，连接、，交于， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键． 19．（6分）如图，在四边形中，， 相交于点，，， 平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 20．（6分）如图1，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】（1）见解析 （2）①30°；② （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，得到，等角对等边得到，三角形的外角得到，切线得到，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形，进行求解即可； （3）利用尺规作图作，即可． 【小问1详解】 解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． 【小问2详解】 ①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于， ， ； ； ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； 【小问3详解】 由题意，作图如下： 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）①求证：四边形为平行四边形； ②若，求证：四边形为菱形； 【答案】①见解析；②见解析 【解析】①证明：， 【解析】四边形平行四边形； 【解析】②， 【解析】， 【解析】即 【解析】， 【解析】， 【解析】即， 【解析】又， 【解析】， 【解析】， 【解析】由①知四边形为平行四边形， 【解析】四边形为菱形； 22．（9分）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ，． 又， ． ， ， ．即 ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据矩形性质结合证明，继而可得 ，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】略 23．（9分）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． （2）沙包达到最高点时距离地面米 【解析】 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可. 【详解】解：如图， 25．（12分）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，三角形不等式，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 ∵顶点为．点C为中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． 【小问3详解】 ①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了二次函数待定系数法，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称，三角形不等式求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称，三角形不等式求线段和的最小值是解题的关键． 　 学科网（北京）股份有限公司 $数学专项随堂训练题（五) (四边形) (参考答案与解析) (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.如图，在△MBC中，LA=90°，AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别在边AB, AC上，AE=CF,则四边形AEDF的面积为() E A.18 B.9√2 C.9 D.62 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与 角度的转化是解题关键、连接AD,根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出 VADE≌VCDF,将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解。 【详解】解：连接AD,如图： E LBAC=90°，AB=AC=6,点D是BC中点，AE=CF .LBAD=LB=LC=45,AD=BD=DC :.VADE≌VCDF .S四边形HEDr=S。AED+S。ADF=S。CFD+S。ADF=S。ADc= 1 又.S4Bc=6×6×5=18 2 1 .S四边形HEDF=亏SMBC=9 2 故选：C 2.如图，正方形CFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H,若 4B=6,CE=2,则DH的长为() D H G B C E A.2 B.3 OA ◇ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质.证明△ADH∽△FGH,利 用相似三角形的性质列式计算即可求解. 【详解】解：正方形ABCD，B=6、 .AB=AD=CD=6 :正方形CEFG,CE=2, .CB=GF=CG=2 .DG=CD-CG=4. 由题意得AD∥GF, .△ADH∽△FGH, AD DH 6 DH .GFGH,即24-DH 解得DH=3. 故选：B. 3.如图，点E为Y ABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F, 使得EF=DE,连接BF,则BF为() D E A 3 5 .2 B.3 C.2 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点， 正确作辅助线是解题关键。 作辅助线如图，由平行正相似先证△DEC∽△GAE,再证△BGFP△4GE,即可求得结果. 【详解】解：延长DF和AB,交于G点， E G B ·四边形ABCD是平行四边形， .DCI AB,DC=AB即DC‖AG, .△ECv△GAE CE DE DC ·AE GE AG, .·AC=5,CE=1, .AE=AC-CE=5-1=4, CE DE DC 1 ·AE GE AG4, DE DE 1 又·EF=DE,GEEF+FG4, EF 1 ·FG3, DCDC 1 AGAB+BG 4 DC-AB' DC 1 ·BG3, EF DC 1 ··FGBG3, BG FG 3 ·AGEG4 .AE‖BF, ·.△BGF∽△4GE BF FG 3 ·AEEG4 ·AE=4, .BF=3 故选：B. 4.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，VABC的三个顶点均在网格线的交点上， 点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() A D B E A B.1 c.√2 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出DE是VABC的 AD AG 1 中位线是解题关键.取格点G、H,由网格的性质可知，EG‖CH,得到ABAH2, AE AG 1 ACAH2,进而证明DE是VABC的中位线，即可求解. 【详解】解：如图，取格点G、H, H G D 由网格的性质可知，EG‖CH, :4D-AG_21 AE AG 2 1 AB AH 4 2,AC AH 4 2, :D、E分别是AB、AC的中点， .DE是VABC的中位线， :.DE=1BC=1 故选：B 5.如图，菱形ABCD的面积为I0,点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点， 则四边形EFGH的面积为() G 5 4.2 B.5 C.4 D.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG BD=2EH,AC=2EF，证明四边形EFGH是矩形，进而得菱形ABCD的面积 1 )AC·BD=2EF·EH.四边形EFGH面积是EF×EH故可得结论 2 【详解】解：连接ACBD交于O, 四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD :点E、F、G、H分别是边AB,BC.CD和DA的中点， ·.EH∥BD,FG∥BD.EF‖AC,HG‖AC,BD=2EH,AC=2EF ·.EH∥FG,EF∥HG ,四边形EFGH是平行四边形， ·AC L BD .LA0B=90°， .∠BAO+LABO=90° .·∠AEH=LABO,LBEF=∠EAO、 .LAEH+LBEF=90°， .∠HEF=90°， 四边形EFGH是矩形， 菱形4BCD的面积4C0-2EF, .2EF.EH=10 .EF·EH=5, .四边形EFGH的面积为5， 故选：B 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O,添加一个条件后，不能判定 四边形ABCD是菱形的是() A.AB=AD B.AC L BD C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、AB=AD,根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱 形，不符合题意； B、AC⊥BD,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不 符合题意； C、AC=BD，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、四边形ABCD是平行四边形， .·.ABIICD .∴.∠BAC=∠ACD, 又'∠BAC=∠DAC, ∴.∠ACD=∠DAC, ∴.AD=CD, ∴.平行四边形ABCD是菱形，不符合题意； 综上，故选C 7.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上， 连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，LADB=35°，则LDPE=() D B A.95° B.100° C.110° D.145° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，根据矩形的性 质求得LCBD=LADB=35°，利用斜边中线的性质求得PB=PF,求得 LCBD=LPFB=35°，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解. 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .AD‖BC,∠ABC=90°， ·∠ADB=35°， .∠CBD=LADB=35° LABC=90°，P为EF的中点， 1 PB=PF=EF .LCBD=LPFB=35° .∠BPF=180°-35°-35°=110° .∠DPE=∠BPF=110° 故选：C 8.如图，在Y ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm.A点P从点A出发、以lcm/s 的速度沿A→D运动，同时点9从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→·往复运动， 当点P到达端点D时，点9随之停止运动.在此运动过程中，线段PO=CD出现的次数是 A A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与 性质，分四种情况：当0<ts4时，当4<ts8时，当8<ts12时，四边形CDP9为平行四边 形；当0<t≤4时，四边形CDPQ为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键 【详解】解：在Y ABCD中，AB=6cm,BC=12cm, .'CD=AB=6cm AD=BC =12cm,AD BC ,点P从点A出发、以lcm/s的速度沿A→D运动， 点P从点A出发到达D点的时间为：12+1=12(s)」 点9从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动， 点从点C出发到B点的时间为：12÷3=4， ·AD‖BC, ..DPI CO 当DP=CO时，四边形CDPO为平行四边形， ..PO=CD 当PO=AB时，四边形CDPO为等腰梯形， .PO=AB=CD 设PQ同时运动的时间为(s), 当0<t≤4时，12-t=3t, .t=3, 此时DP=CO,四边形CDPO为平行四边形，PO=CD, 如图：过点AP分别作BC的垂线，分别交BC于点M、N, B MN O 四边形AMNP是矩形， .MN=AP=t,AM PN, 四边形ABQP是等腰梯形， .PO=AB LPON=LB .·∠BAM=90°-∠B.LQPN=90°-∠PQN ..LBAM LOPN 「AM=PN ∠BAM=∠QPN AB=PO .△MBM≌PON(SAS). .BM =ON 在Rt△4BM中，∠B=60°，AB=6cm, .∠BAM=90°-∠B=30°， 1 .'BM =AB=3cm .BM=ON=3cm .t=12-3t-3-3, :13 2 此时ABOP是等腰梯形，P吧=AB=CD 当4<ts8时，12-t=12-3(t-4) ..t=6、 此时DP=CO,四边形CDPO为平行四边形，PO=CD 当8<ts12时，12-t=3(t-8) t=9, 此时DP=CO,四边形CDPO为平行四边形，PO=CD, 综上，当1=2或f=3或t=6或t=9时，PQ=CD,共4次， 故选：B 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，若A(-1,0）,B(0,-2) C(3,0),则点D的坐标是（) A.(-1,2) B.（2,2) C.(（1,2) D.(2,1) 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形得出AB=CD,AB‖CD,利用平移方式相同可得到点D的坐标. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD ABCD :A(-1,0).B(0,-2） ·点B先向左移一个单位长度，再向上移两个单位长度得到点A, ·点C先向左移一个单位长度，再向上移两个单位长度得到点D, :C(3,0) .D(3-1,0+2),即D(2,2） 10.如图，矩形ABCD中，AB=V3，BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒 1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B,D运动，过点E,F作直线I,过点A作直线I的 垂线，垂足为G,则AG的最大值为() A. B⑤ C.2 D.1 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC,BD交于点O,取OA中点H,连接GH,根据直角三角形斜边中线的性 质，可以得出G的轨迹，从而求出AG的最大值 【详解】解：连接AC,BD交于点O,取OA中点H,连接GH,如图所示： D B 四边形ABCD是矩形， ∴.LABC=90°，OA=OCAB∥CD 在R△ABC中，AC=VAB2+BC-5+1P=2, 0A=0C=}AC=1 2 .·AB∥CD ∴.LEAO=∠FCO 在△AOE与△COF中， 「AE=CF ∠EAO=∠FCO OA=OC ∴.△AOE≌△COF(SAS) ...LAOE LCOF, E,O,F共线， :AG⊥EF,H是OB中点， 在Rt△4G0中，GH=)40= 2 ∴.G的轨迹为以H为圆心，2为半径即AO为直径的圆弧. .AG的最大值为A0的长，即AGmx=AO=1. 故选：D. 【点晴】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的 性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分， 11.(3分)如图，在平行四边形ABCD(BC>AB)中，按以下步骤作图：①以点A为圆心. 适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AD于点N;②分别以点M、N为圆心，大于 2MW的长为半径画弧，两弧在∠B4D的内部相交于点E;③连接ME并延长交线段BC于 点F,若CD=6,CF=2,则平行四边形ABCD的周长为 B 【答案】28 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质以及作图证明AB=BF，再由平行四边形的对边相等即可 求解周长 【详解】解：由作图可得，AF平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF .四边形ABCD是平行四边形 .AB=CD=6,BCIAD AD=BC ..∠BFA=∠DAF ·.∠BAF=∠BFA ..BF=AB=6. .CF=2 .·.BC=BF+CF=8=AD .平行四边形ABCD的周长为2×(6+8)=28 12.(3分)如图，在Rt△4BC中，LABC=90°，BC=6,AB=8,点D为斜边AC的中 点，则BD= B 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AC=10，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 即可； 【详解】解：根据题意，得AC=AB+BC=10, 由点D为斜边AC的中点， BD=号AC=5. 13.(3分)如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,O为BC中点，OE=AB=4,则扇形 EOF的面积为 B 【答案】4π 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得LBOE=45° LCOF=45°，得到∠EOF=90°，再利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：BC=V2AB,AB=4, .BC=42 O为BC中点， o6-0c-ac-2v5. 0E=4, 在R0BE中，cosLBOE=OB_22.V2 OE42 .∠BOE=45° 同理∠COF=45° .∠E0F=180°-45°-45°=90°， 90m42 ·扇形E0F的面积为360 =4, 故答案为：4r. 14.(3分)如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=4cm,D=5cm,点E是边AD的 中点，点F在边CD上，连接EF.将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG, CG.若AG-3cm,GE‖AB,则△CFG的面积为 cm2, B 【塔案1昌 【解析】 【分析】先由折叠和GE‖AB推出EG=ED=DF=GF,从而四边形DEGF是菱形，得 DGLEF且J为DG中点，再利用菱形及中点构造中位线得到VM4G且B=),结合 AD=5可证AG⊥DG并求得DG=4,最后通过面积法求FH,利用相似三角形 △FHD~△CKF求出CK,从而算出△CFG的面积. 【详解】解：连接DG,作FH⊥AD,CI⊥AD :AD=5,点E是边AD的中点， 4=DE-5,根据折叠可知6k- 2, :GE‖ABAB‖CD ∴.EG∥CD, ∴.∠GEF=LDFE 由折叠可知LDEF=LGEF, .∠DEF=LDFE, DE-DE-5 2 由折叠可知GF= 2, .EG=DE=DF=GF, ·四边形DEGF是菱形， .DG⊥EF, 设DG,EF交点为J, J为DG中点， E‖4G,且E=AG=3 2 , ∴.AG⊥DG AD=5,AG=3 .DG=4,JD=2 在△EDF中，2 ED-FH-TEF-JD 2 5 ∴.。FH=3×2 2 FH=12 5 设GF,CI交点为K, FH‖CIKF‖HD .LFDH =LCFK.LFHD=LCID LCID=LCKF .∠FHID=∠CKF .△FHD∽△CKF, CK CF FH DF .CD=AB=4. ..CF= 3 2 3 CK 2 12-5, 5 ∴.CK= 36 25, 15369 2GF-CK-2×2×83 -D 【点晴】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾 股定理及相似三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形DEGF为菱形，从而得到 垂直、中点及边长关系，进而用面积和相似计算三角形面积. 15,(3分)如图，在R△A8C中，∠AC8-0,m2BC-片，BC-2,4D=1·线段D 绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 【塔灯25+号 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出 BP取最大值时B、P、M三点的位置关系. 取AC的中点M,连接PM、BM,利用解三角形求出BM=VMC2+BC2-2V2,利用三角 形独位线定理推出PMD=,当D在AC下方时，如果及、PM三点共线，则 2 有最大值。 【详解】解：取AC的中点M,连接PM、BM. B P M 5L4CB=90°，tan LBAC=2,BC=23 1 tan ZBAC=2+ .AC BC =4 2 :.AM-CM-14C-2 .BM=VMC2+BC2=V22+22-22, P、M分别是CDAC的中点， PM=TAD- 1 2 2· 如图，当AD在AC下方时，如果B、P、M三点共线，则BP有最大值， B A M P 最大值为BM+MP=2V2+ 故答案为：22+} 16.(3分)如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD=16,P,Q为BD上两个动点，且 PO=2,则AP+AQ的最小值为， B 【答案】2W37 【解析】 【分析】利用菱形的轴对称性可知点A关于BD的对称点为点C,则AP=CP,将AP+AQ 转化为CP+A0;通过平移构造平行四边形，将CP转化为CQ,从而将问题转化为求AC 的最小值，最后利用勾股定理求解 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O :四边形ABCD是菱形 AC L BD 0A-OC:OB-OD-1BD-8 在Rt△MOB中，OA=VAB2-OB2=V102-82=6 ∴.AC=20A=12 :点A关于BD的对称点是点C AP=CP ∴.AP+AQ=CP+AQ 将点C沿BD方向平移2个单位长度得到点C,连接CQ,AC' .CC‖PQCC=PQ=2 ∴四边形CCQP是平行四边形 ..CP=C'O ∴.AP+AQ=CQ+AQ 当A,Q,C三点共线时，CQ+A犯最小，最小值为线段AC的长 .AC⊥BD.CC'∥BD ∴.AC⊥CC ∠ACC'=90°在Rt△4CC'中，AC'=VAC2+CC2=V122+22=√148=2V37 ·AP+A0的最小值为2V37 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)如图，VABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点 E (I)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)当BD=CE时，求证：~DEFG是矩形. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判断，三角形中位线定理等知识，解 题的关键是： 利用三角形中位线定理可得出DE=FG=)BC,DE∥FG∥BC,然后利用平行四 2 形的判定即可得证； (②)利用平行四边形的性质得出E0-G0-E0,D0=P0DF,结合点G是OC的中点， 可得出50-G0-C0-C,同理D0-D,则可得HEO=D0:EG=DF,然后利用矩 形判定即可得证 【小问1详解】 证明：·VABC的中线BD，,CE交于点O, :DE-号8c,DE1BC 2 点F,G分别是OB,OC的中点， :FG-BC,FGI BC 3 .DE=FG,DE‖FG ∴四边形DEFG是平行四边形； 【小问2详解】 证明：四边形DEFG是平行四边形， :.E0=G0=)EG,D0=F0=DF G是C0中点， ∴.G0=CG, 0-G0=c0-58c, 3 同理D0=}BD 3 ..BD=CE, ..EO=DO .EG=DF 四边形DEFG是平行四边形， .DEFG是矩形. 8.(5分)如图，在四边形4BCD中，4DBC,且AD=D=2C，E是BC的中点 下面是甲、乙两名同学得到的结论： D B E 甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形； 乙：若连接AC,则△4BC是直角三角形. 请选择一名同学的结论给予证明. 【答案】见解析 【解析】 分析选择甲：由AD=DC=、BCF是BC的中点，得CE=)BCD,从而得四边 2 2 形ADCE是平行四边形，再根据AD=CD,即可证明结论成立；选择乙：连接AE、DE, DE交AC于O，,分别证明四边形ABED是平行四边形，四边形ADCE是菱形，得AC⊥DE DE∥AB,再根据平行线的性质及垂线定义即可得证· 【详解】证明：选择甲：如图1， D B E 图1 AD=DC=BC,E是C的中点 .CE-IBC-AD AD‖BC, ∴四边形ADCE是平行四边形， ·.·AD=CD 四边形ADCE是菱形； 选择乙：如图2，连接AE、DE,DE交AC于O」 A D B 公 图2 AD=DC-BC,E是BC的中点 2 .BE-CE-BC-AD AD‖BC, .四边形ADCE是平行四边形，四边形ABED是平行四边形， ,·AD=CD ∴.四边形ADCE是菱形； .AC⊥DE, ∴.∠E0C=90° ·四边形ABED是平行四边形， .DE∥AB .:.∠BAC=∠EOC=90° .△4BC是直角三角形 【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练 掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键 19.(6分)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,AD=BC, LABC+LBAD=180°，BD平分∠ABC. D (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若LBAD=2LABC,求∠ACB的度数. 【答案】(1)证明：∠ABC+LBAD=180° :ADlIBC, AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形， :ADIIBC,BD平分LABC, LADB=LCBD,LABD LCBD ∴.∠ABD=LADB, .AB=AD .四边形ABCD是菱形； (2)60° 【解析】 【分析】(I)根据LABC+LBAD-180°，得到AD/BC,进而得到四边形ABCD是平行四 边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出LABD=∠ADB,进而得到AB=AD,即 可得证； (2)根据角的数量关系，和差关系求出∠BAD的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∠ABC+LBAD=180°，∠BAD=2LABC, .3LABC=180° .∠ABC=60° .∠BAD=120°， 四边形ABCD是菱形， .LBCD=LBAD=120° ∠ACB=LBCD=60 2 20.(6分)如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD,AD=EC. 0 B 图1 图2 (I)求证：四边形ADCE为菱形； (2)如图2，若点O为AC上一点，AC=4,且E,A,D三点均在OO上，连接OD, CD与OO相切于点D, ①求LACD= ②求o0的半径r; (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF‖AC，交BC于点D,保留作图痕迹，不 用写出作法和理由· 4 【答案】(1)见解析(2)①30°；②P= 3 (3)见解析 【解析】 【分析】（山）先证明四边形DCE为平行四边形，斜边上的中线得到CD-】AB=AD-BD, 2 即可得证； (2)①根据菱形的性质，得到LDAC=LACD,等角对等边得到LOAD=LODA,三角形 的外角得到∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD=2∠OCD,切线得到LCD0=90°，再根据 角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形OCD,进行求解即可； (3)利用尺规作图作∠BDF=∠ABD,即可· 【小问1详解】 解：：AD=CE,CD=AE ∴.四边形ADCE为平行四边形， 又：LACB=90°，且D为AB中点 CD-2484D-BD ∴.平行四边形ADCE为菱形， 【小问2详解】 ①：四边形ADCE为菱形. ..DA=DC .∴.∠DAC=∠ACD 又：OA=OD=r, .∠OAD=∠ODA .∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD=2∠OCD :CD切O于D, ..∠CD0=90° ∴.∠COD+∠ACD=2∠ACD+∠ACD=90°： LACD=30°： ②设半径为r, .AC=4 ∴.0C=4-r, .∠ACD=30°∠CDO=90° .sin LACD=OD。r1 004-2 4 解得：r=。 3 【小问3详解】 由题意，作图如下： 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作 平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分. 21.(8分)①求证：四边形AFDE为平行四边形； AB BD ②若4C-DC,求证：四边形AFDE为菱形； 【答案】①见解析；②见解析 【解析】①证明：， 【解析】四边形平行四边形； 【解析】② 【解析】， 【解析】即 【解析】， 【解析】， 【解析】即， 【解析】又， 【解析】， 【解析】， 【解析】由①知四边形为平行四边形， 【解析】四边形为菱形； 22.(9分)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，且BE=DF.求证：四 边形BFDE是平行四边形 【答案】证明：：四边形ABCD是矩形， .AB=CD,AD=BC∠A=∠C=90°」 又：BE=DF, .Rt△ABE兰Rt△CDF HL. .AE=CF, AD=BC, ∴.AD-AE=BC-CF.即ED=BF. 四边形BFDE是平行四边形 【解析】 【分析】根据矩形性质结合BE=DF证明R△△MBE≌R△△CDF(HL), 继而可得ED=BF, 根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论. 【详解】略 23.(9分)综合与实践一丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶， 若能命中靶心，则获得游戏奖励 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑 其他外力的作用)》 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m,出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m 沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m.请通过计算说明沙 包能否正好命中靶心. .5m 10m (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面lm. 小红出手高度仍为1.5m,出手点与靶心的水平距离仍为1Om.小红调整发力角度，使得沙包 距离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心·求沙包达到最高点 时距离地面多少米 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： .5m 10m 由题意可知， 抛物线的顶点坐标是(3,2)，且经过点(0,1.5) 设抛物线的解析式为y=a(x-3)+2(a≠0)，其中x>0, 将点(0,1.5)代入得：(0-3a+2=1.5, 1 解得4=-18， :抛物线的解析式为y=（x-3+2(x>0), 当y=0时，18x-3+2=0, 解得x=9或x=-3<0(不符合题意，舍去)， ·9≠10 .沙包不能正好命中靶心。 19 (2)沙包达到最高点时距离地面10米 【解析】 【分析】()先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是(3,2)，且经过点(0,1.5) 再求出抛物线的解析式，求出y=0时，x的值，由此即可得； (2)先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点(0,1.5)，(0，)，且它的顶点的横坐标 为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可. 【小问1详解】 略。 【小问2详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 10m 由题意可知， 抛物线经过点(0,1.5)，（10，)，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为y=a,(x-4+k(a≠0)，其中x>0, (0-4)2a,+k=1.5 将点(0,15)°(10，)代入得： (10-4)2a2+k=1’ 1 42= 40 解得 19, -10 抛物线的解折式为y=一动x4矿+光x>0),， 19 由二次函数的性质可知，当x=4时，y取得最大值，最大值为10， 19 即沙包达到最高点时距离地面0米。 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分， 24.(12分)如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方 形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成 两块纸片，请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况. 两块纸片 两块纸片 两块纸片 两块纸片不是全等形 是全等形 是全等形 是全等形 但面积相等 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操 作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可. 【详解】解：如图， 两块纸片 两块纸片 两块纸片两块纸片不是全等形 是全等形 是全等形 是全等形 但面积相等 25. (12分)如图1，抛物线y=(x-h)+k交x轴于0，A(4,0)两点，顶点为B(2,25) 点C为OB的中点. 图1 图2 图3 (1)求抛物线y=a(Cx-h)+k的表达式： (2)过点C作CH⊥OA,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长 (3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F坐标； ②如图3，连接BD,BF,求BD+BF的最小值， 【答案】y=-5x+25x 2 5 3)①F(2+2,5)227 【解析】 【分析】(1)根据顶点为B(2,2W3. 设抛物线y=a(x-2)2+25,把A(4,0)代入解析式， 计算求解即可； (2)根据顶点为B(2,25.点C为OB的中点，得到CV5),当x=1时， 结合cH1OA垂足为H,得到 cE-35-5- 2的长 (3)①根据题意，得C,V),结合四边形OCFD是平行四边形，设Fm,V), 结合点 路在抛物线上得到N3二3m+23m,解得即配 ②过点B作BNL'轴于点N,作点D关于直线BN的对称点G,过点G作GH1y轴于点 H,连接DG,CH，FG,利用平行四边形的判定和性质，三角形不等式，勾股定理，矩形 判定和性质，计算解答即可. 【小问1详解】 ·抛物线的顶点坐标为B(2,25) 设抛物线y=a(x-2)2+25 把A(4,0)代入解析式，得a(4-2+2W5-0, 解得a、3 2 -5-2+25-9+25 【小问2详解】 顶点为B(2,23.点C为OB中点， .cl5). ·.CH⊥OA, .CHMy轴， .E的横坐标为1， 设E(1,m), 当x1时，m=-54》 2+25=33 2 cE.35.5-5 【小问3详解】 ①根据题意，得C,V5)」 四边形OCFD是平行四边形， 点C,点F的纵坐标相同， 设F(m,5) ∵点F落在抛物线上， 5=-5㎡2+2W5m. 2 解得m=2+V2,m,=2-V2(舍去)； 故F(2+2,3) ②过点B作BWLy'轴于点N,作点D关于直线BN的对称点G,过点G作GH1y轴于点 H,连接DG,CH,FG, 则四边形ODGH是矩形， ..OD=HG,ODHG ·四边形OCFD是平行四边形， .OD=CF,OD CF .GH=CF,GH ICF ∴，四边形CFGH是平行四边形， ..FG=CH ·BG+BFFG 故当B、G、F三点共线时，BG+BF取得最小值， ·BG=BD BG+BF的最小值，就是BD+BF的最小值，且最小值就是CH, 延长FC交y轴于点M, ..ODII CF, .∠HMC=∠HOD=90° c5). .CM=-l,OM=√5 B(2,23 .ON NH=23 HM ON+NH-OM=33 .HC=CM2+HM2=28=2√7， 故BD+BF的最小值是2V7 G H B A 【点睛】本题考查了二次函数待定系数法，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形 的判定和性质，勾股定理，轴对称，三角形不等式求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形 的性质，轴对称，三角形不等式求线段和的最小值是解题的关键数学专项随堂训练题（五） (四边形) (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.如图，在△MBC中，LA=90°，AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别在边AB, AC上，AE=CF,则四边形AEDF的面积为() E A.18 B.9V2 C.9 D.62 2.如图，正方形CFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H,若 B=6,CE=2,则DH的长为() D H G E 5 8 A.2 B.3 C 2 D. 3.如图，点E为Y ABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F, 使得EF=DE,连接BF,则BF为() D E ⊙ 5 7 A. 2 B.3 C.2 D.4 4. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，VABC的三个顶点均在网格线的交点上， 点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() B E A.2 B.1 C.√2 D.5 5.如图，菱形ABCD的面积为10，点E,F,G,H分别为AB，,BC,CD,DA的中点， 则四边形EFGH的面积为() A. B.5 C.4 D.8 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O,添加一个条件后，不能判定 四边形ABCD是菱形的是() A B A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC 7.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上， 连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，LADB=3S°，则LDPE=() D D B F A.95° B.100° C.110° D.145 8.如图，在Y ABCD中，LB=60°，AB=6cm,BC=12cm.A点P从点A出发、以1cm/s 的速度沿A→D运动，同时点9从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→“往复运动， 当点P到达端点D时，点？随之停止运动.在此运动过程中，线段PO=CD出现的次数是 A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，若A(-l,0),B(Q,-2) C(3,0),则点D的坐标是（) B A.（-1,2) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,1) 10.如图，矩形ABCD中，AB=V5,BC=1,动点E,P分别从点A,C同时出发，以每秒 1个单位长度的速度沿AB，,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线1，过点A作直线I的 垂线，垂足为G,则AG的最大值为() D C G E A乃 B⑤ C.2 D.1 2 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 11.(3分)如图，在平行四边形ABCD(BC>AB)中，按以下步骤作图：①以点A为圆心， 适当的长为半径画弧，交AB于点M,交AD于点N;②分别以点M、N为圆心，大于 MW的长为半径画弧，两弧在∠B4D的内部相交于点E;③连接AE并延长交线段BC于 点F,若CD=6,CF=2,则平行四边形ABCD的周长为 B M 12.(3分)如图，在Rt△4BC中，LABC=90°，BC=6,AB=8,点D为斜边AC的中 点，则BD= B 13.(3分)如图，在矩形ABCD中，BC=√2AB,O为BC中点，OE=AB=4,则扇形 EOF的面积为 14.(3分)如图，在平行四边形纸片ABCD中，4B=4cm,AD=5cm,点E是边AD的 中点，点F在边CD上，连接EF.将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG, CG.若AG=3cm,GE‖AB,则△CFG的面积为 cm2. A 3分)如图、在RtA4BC中人ACB:909,tan ZBAC=2,8C=2,D=1,线段 绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 B 16.(3分)如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD=16,P,为BD上两个动点，且 P=2,则AP+A0的最小值为 B 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)如图，VABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点. E (I)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)当BD=CE时，求证：~DEFG是矩形. 85分)如图，在四边形4BCD中，4D川BC,且D=DC=2C,E是BC的中点 下面是甲、乙两名同学得到的结论： D B E 甲：若连接AE,则四边形ADCE是菱形； 乙：若连接AC,则△4BC是直角三角形. 请选择一名同学的结论给予证明， 19,(6分)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,AD=BC, LABC+LBAD=180°，BD平分LABC. (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若LBAD=2LABC,求∠ACB的度数. 20.(6分)如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD,AD=EC. 图1 图2 (I)求证：四边形ADCE为菱形； (2)如图2，若点O为AC上一点，AC=4,且E,A,D三点均在⊙0上，连接OD, CD与oO相切于点D, ①求∠ACD= ②求⊙0的半径r; (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF‖AC,交BC于点D,保留作图痕迹，不 用写出作法和理由 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分 21.(8分)①求证：四边形AFDE为平行四边形； AB BD ②若4CDC,求证：四边形4FDE为菱形： 22.(9分)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，且BE=DF.求证：四 边形BFDE是平行四边形. 23.(9分)综合与实践一丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶， 若能命中靶心，则获得游戏奖励 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动， 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑 其他外力的作用)· 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m,出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m 沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m.请通过计算说明沙 包能否正好命中靶心 5m 10m (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m. 小红出手高度仍为l.5m，出手点与靶心的水平距离仍为10m.小红调整发力角度，使得沙包 距离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心.求沙包达到最高点 时距离地面多少米 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分， 24.(12分)如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方 形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成 两块纸片，请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况. 两块纸片 两块纸片 两块纸片两块纸片不是全等形 是全等形 是全等形 是全等形 但面积相等 25.(12分)如图1，抛物线y=a(x-h)°+k交x轴于0，A(4,0)两点，顶点为B(2,25) 点C为OB的中点 图1 图2 图3 (1)求抛物线y=a(x-h)+k的表达式： (2)过点C作CH⊥OA,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长， (3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD ①如图2，当点F落在拋物线上时，求点F坐标； ②如图3，连接BD,BF,求BD+BF的最小值，