数学专项随堂训练题（四）三角形-【名师领考】2027年广东省中考数学专项复习卷

数学专项随堂训练题（四） (三角形) (本卷满分120分，共25小题》 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的. 1.中华文明，源远流长；中华汉字， 寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为( 爱我中华 V5-1 2.宽与长比是2 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图， 把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B处，AB交CD于点E,则sin LDAE的 值为( B B.1 D 2V5 A 5 3.如图所示，直线a,b被直线c所截.若b,∠1=91°，则() 2Y1 34 5 A.∠2=91 B.∠3=91 C.∠4=91° D.∠5=91° 4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则 △CEF的面积为() A.10 B.8 C.5 D.4 5.已知，正六边形ABCDEF的面积为6N3,则正六边形的边长为() A.1 B.5 C.2 D.4 6.我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O.下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是() D B A.BO=DO.AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC,AD=AB C.LDAC=LBAC LDCA=LBCA D.LADC=LABC、BO=DO 7.下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（ A.工作中的雨刮器 B.移动中的黑板 C.折叠中的纸片 D.骑行中的自行车 8.如图，在Rt△ABC中，D是AC中点，LBDC=60°，AC=6,则BC的长是() A.3 B.6 C.5 D.35 9.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45°，小军在 小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的高度为() (参考数据：sin53°-4 c0s53°3 长，tan53°=3)（ FD B A.22.7m B.22.4m C.21.2m D.23.0m 10.如图，抛物线y=ar+br+c(a<0)的图象交x轴于点A(-3,0)、B(1,0）,交y轴于点 C.以下结论：①a+b+c=0;②a+3b+2C<0;③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰 三角形时，c-:@当c=3时、在M0C内有一动点P,若OP-2:则CP:号P的技小 31 97 值为3·其中正确结论有（) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 3分)如图，在MBC中，4B=5,m4C=2则4AC+2BC的最大值 5 B 12.(3分)两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 13.(3分)如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC,L0AB=60°，则LABC 的度数为 14.(3分)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，LB=30°，AC=2,点P,D分 别在边AB,BC上运动，连接PC,PD.则PC+PD的最小值是 15.(3分)如图，在VABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为 1 半径画弧，交AC于点B,再分别以B、E为圆心，大于2BE长为半径画弧，两弧在 ∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则LDAF= 16.(3分)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由 四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNP巴拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正 方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S,正方形MNPO的面积为S,. S 若BE=kAEk>1),则用含k的式子表示S,的值是 D E B 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)如图，⊙0是VABC的外接圆，LBAC=45°.过点0作DF⊥AB,垂足为E, 交AC于点D,交OO于点F.过点F作oO的切线，交CA的延长线于点G. D B (I)求证：FD=FG; (2)若AB=12,FG-10,求⊙0的半径. 18.(5分)请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效， 19.(6分)如图，AD为⊙0的直径，AD=4,B,C是⊙0上的点，四边形OABC为菱 形 B (1)求AC的长： (2)延长AD到点P,使得DP=2,求证：PC是OO的切线. 20.(6分)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，OD平分∠AOC. B 0 D (I)求证：OD‖BC; (2)延长DO交⊙O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作OO的切线交DE的延长线于 OF 5 点p若BF6,PE=1,求o0半径的长 四、解答题（二)：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分. 21.(8分)如图，D,E分别在△ABC的边BA,CA的延长线上，DEIIBC,AD=3, AB=5,DE=5,求BC的长. 22.(9分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作O0的切线CD交BA延 长线于点D,点E为CB上一点，且AC=CE. (I)求证：DC∥AE; (2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的面积. 23.(9分)综合与实践一探索五角星的奥秘 节日前夕，有时需要制作许多五角星.我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程， 图1 图2 图3 图4 A B 2 图5 图6 图7 图8 (I)如图1，先将一张正方形的纸片沿MN对折，再找到MN的中点O,将平角LMON五 等分，得到图2，接着沿图中的虚线依次对折，得到图3，然后过点N作NQ⊥OP于点2， 得到图4，最后沿Q把图4中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图5所示的一个 正五边形.请直接写出正五边形的内角和为 (2)连接图5中正五边形的对角线，得到图6.请根据图6，完成下列问题： ①求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数； ②求0的值。 (3)把图4剪掉阴影部分后，得到图7，然后沿R把图7中的阴影部分剪掉，展开余下部 分，将得到一个五角星.例如，当∠RNQ=25°时，得到的五角星如图8所示；若使展开后 的五角星如图6所示，则∠RNQ的度数为 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分， 24.(12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是 25.(12分)如图①，点0位于竖直墙面1上，平面镜AB与墙面平行，从点O射出一束激 光，经过平面镜AB的反射，在墙面上形成一个光点C,OC所在直线垂直于水平面.入射 光线OP与平面镜AB的夹角∠OPA=60°.（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹 角等于入射光线与镜面的夹角) 图① 图② (1)求证：△OPC是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B位置，入射光线OP经过 平面镜的反射后，在墙面！上形成光点E，点E在直线OC上， ①LOPE= ②若OC=60厘米，求光点向下移动的距离CE的长.（结果保留根号） 数学专项随堂训练题（四）（三角形）（参考答案与解析） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意， 故选：C． 2．宽与长比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 3．如图所示，直线被直线c所截．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选B． 4．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（　　） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 5．已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六边形面积即可． 【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为，故正六边形是由6个正三角形构成的，过点作垂足是， 设正六边形的边长为，即 在正三角形中， ∵， ∴， 在中， 一个正三角形的面积为：， 正六边形的面积为：， ∴， 解得：， 故选：C． 6．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 7．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（　　） A. 工作中的雨刮器 B. 移动中的黑板 C. 折叠中的纸片 D. 骑行中的自行车 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠，根据折叠的定义逐项判断即可求解，掌握折叠的定义是解题的关键． 【详解】解：、工作中的雨刮器，属于旋转，不合题意； 、移动中的黑板，属于平移，不合题意； 、折叠中的纸片，属于翻折，符合题意； 、骑行中的自行车，属于平移，不合题意； 故选：． 8．如图，在中，D是中点，，，则的长是（　　） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 9．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，与俯角有关的解直角三角形，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答． 【详解】解：如图：延长交于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 10．如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）如图，在中，，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示： ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示： ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示： 由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示： 是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 12．（3分）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 13．（3分）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 14．（3分）如图，在直角三角形中，，，，点，分别在边，上运动，连接，．则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，过点作，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质及垂线段最短可得此时有最小值，即的长度，然后通过解直角三角形求得的长度，从而利用面积法求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， 过点作，交于点，过点作于点， ，所以， 这时有最小值，即的长度， ，，， ， ， ，， ， 即， ， 的最小值是3． 15．（3分）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 16．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）的半径 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 22 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】（1）购买A种水果2千克，B种水果1千克 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【小问1详解】 解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． 【小问2详解】 解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 18．（5分）请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B． 是轴对称图形，符合题意； C． 不是轴对称图形，不符合题意； D． 不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 19．（6分）如图， 为的直径，， ， 是上的点，四边形为菱形． （1）求的长； （2）延长 到点 ，使得，求证： 是的切线． 【答案】（1） （2）证明：如图2，连接 ． 由（1）可得，， ∴， ， 是等边三角形， ，． ， ， ． ， 又∵是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）连接 ．首先，证得是等边三角形，得，，然后，求得，最后，再代入弧长公式计算即可； （2）连接 ．先证得是等边三角形，得，，再由 ，得，进而得，，即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接 ． ∵四边形为菱形， ，． 又， 是等边三角形． ， ． ∵， ， 的长为； 【小问2详解】 略 20．（6分）如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【小问1详解】 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为. 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）如图， ， 分别在 的边 ，的延长线上，，，，，求 的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据，证明，进而得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：， ，， ， ． ，，， ， ． 22．（9分）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连结．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连结．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连结． 学科网（北京）股份有限公司 图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图2，连结． 图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积是解题的关键． 23．（9分）综合与实践——探索五角星的奥秘 节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程． （1）如图1，先将一张正方形的纸片沿 对折，再找到 的中点O，将平角 五等分，得到图2，接着沿图中的虚线依次对折，得到图3，然后过点N作 于点Q，得到图4，最后沿 把图4中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图5所示的一个正五边形．请直接写出正五边形的内角和为________． （2）连接图5中正五边形的对角线，得到图6．请根据图6，完成下列问题： ①求 的度数； ②求的值． （3）把图4剪掉阴影部分后，得到图7，然后沿 把图7中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到一个五角星．例如，当 时，得到的五角星如图8所示；若使展开后的五角星如图6所示，则 的度数为________． 【答案】（1） （2）① ；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据n边形的内角和为 ，解答即可． （2）①利用三角形内角和，三角形外角性质，求解即可； ②证明 ，构造方程求解即可． （3）根据折叠的性质，正五边形的内角求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得正五边形的内角和为： ; 【小问2详解】 解：①设， 的交点为， ， 的交点为， 根据题意，得 ， ， ； ②解：设 ， ， ， , , 同理可证， ， ， 在中， ， ∴ 同理可得 ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴ ， 解得 ， （不能为负，舍去） ∴． 【小问3详解】 解：根据题意，将正方形对折，再将平角分成五份，则 ，则 ， 如图，将 放入图5， 由（2）可得 ， 由图6得 ， 为折痕，根据折叠的性质可得 ， ∴ ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是______． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D=180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D=180°， ∵四边形OACD是菱形， ∴∠AOC=∠D， 由圆周角定理得，∠B=∠AOC， ∴∠B+2∠B=180°， 解得，∠B=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 25．（12分）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 【答案】（1） 证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵， ． 是等边三角形； （2）①75 ②的长为厘米 【解析】 【分析】(1)首先根据光的反射原理得到，然后，再由平角的定义得，再由平行线的性质得即可证的结论； (2)①首先根据题意及光的反射原理得到，再根据平角的定义得到； ②过点P作于F，首先，根据已知条件得到，然后，再证得，(厘米)，进而证得是等腰直角三角形，得，再由的余弦值得到的长，最后，由可得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置， ∴根据光的反射定律可知， ∴； ②解：如图②，过点P作于F， 由(1)知，由①知， ∴． 由(1)知是等边三角形，又知厘米， ∴(厘米)， 又∵， ∴，(厘米)， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴(厘米)， ∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $数学专项随堂训练题（四） （三角形) (参考答案与解析) (本卷满分120分，共25小题)》 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 1,中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为( 爱我中华 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿 条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形. 根据轴对称图形的定义即可求解 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意， 故选：C V5-1 2.宽与长比是2的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图， 把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B处，AB'交CD于点E,则sin LDAE的 值为( B B. c D.36 5 2 3-5 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角 函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键 设宽，根据比例表示长，证明△ADE≌△CBE，在RtA ADE中，利用勾股定理即可求得结 果 【详解】解：设宽为x, 5-1 宽与长的比是2， 5+1 .长为：5-12 2 由折叠的性质可知，AD=BC=B'C=x, 在VADE和△CB'E中， 「LAED=∠AEB ∠D=∠B AD=B'C .△MDE2△CB'E(AAS) .AE =CE, 4E+DE-DC-5+1 2 x, 设DE=y, y I 变形得：x2, AD=2y,AE=Vy2+(2}=5y, .sin LDAE-DEy 5 AE5y 5 故选A. 3.如图所示，直线a,b被直线c所截.若ab,L1=91°，则() 2平 -a 3 4 5 A.∠2=91° B.∠3=91° C.∠4=91° D.∠5=91° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出 每个角的度数，进行判断即可· 【详解】解：ab,L1=91° .∠3=∠1=91°，∠4=∠5=∠2=180°-∠1=89°： 故选B 4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则 △CEF的面积为( F B A.10 B.8 C.5 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似 是解题的关键. 根据四边形ABCD为正方形，得出AB=AD=BC=4,LA=∠B=90°，AE=BE=2,勾股定 理求出CE,证明△MEF∽△BCE,根据相似三角形的性质求出EF,即可求出△CEF的面积. 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD=BC=4,∠A=∠B=90° E为AB的中点， .'AE BE=2. .CE=VBE2+BC2=V22+42=2V5, .·EF⊥EC. ∴.LAEF+LBEC=90° 又LBCE+LBEC=90° .LAEF LBCE .AEF BCE, AE EF 2 EF ∴BcCE,即4"25， .EF=5 AcGr的面积-xC-方×5x25=5 2 故选：C 5.已知，正六边形ABCDEF的面积为N3,则正六边形的边长为() A.1 B.5 C.2 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六 边形面积即可. 【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为120°，故正六边 形是由6个正三角形构成的，过O点作OM⊥AB垂足是M, AM B 设正六边形的边长为a,即OA=AB=a 在正三角形OAB中， ·.·OM⊥AB, .AM -BM-a , 在R4o,ow=o-4w-2-月-。 个正三角形的面积为：)AB·OM=×axYS0-V3a 2-4 3a263W3a2 正六边形的面积为：4×6= 2 35d2=65 .2 解得：a=2, 故选：C 6.我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O.下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是() D B A.BO=DO.AC⊥BD B.LDAC=LBAC.AD=AB C.∠DAC=LBAC,∠DCA=LBCA D.LADC=LABC BO=DO 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明△MDC≌△M4BC可判断B、C选项， 由LADC=LABC,BO=DO不能判断AB=AD，CB=CD即可判断D选项，进而可得答案 【详解】解：A、·.BO=DO、AC L BD AC垂直平分BD, AD=BD,CD=CB 四边形ABCD是筝形； B、:AD=AB,∠DAC=∠BAC,AC=AC, :.△4DC2△4BC, CB=CD 四边形ABCD是筝形； CLDAC=LBAC AC=AC LDCA=LBCA. .△4DC2△4BC ∴.AB=AD,CB=CD 四边形ABCD是筝形； D、由LADC=LABC,BO=DO不能判断AB=AD,CB=CD,故不能判断四边形ABCD 是筝形； 故选：D 7.下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是( A.工作中的雨刮器 B.移动中的黑板 C.折叠中的纸片 D.骑行中的自行车 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠，根据折叠的定义逐项判断即可求解，掌握折叠的定义是解题的关 键. 【详解】解：A、工作中的雨刮器，属于旋转，不合题意； B、移动中的黑板，属于平移，不合题意； C、折叠中的纸片，属于翻折，符合题意； D、骑行中的自行车，属于平移，不合题意； 故选：C, 8.如图，在Rt△ABC中，D是AC中点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的长是() B A.3 B.6 C.3 D.35 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和 性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到△BDC等边 三角形，据此求解即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点， B-AC-CD ·.·∠BDC=60° ,△BDC等边三角形， BC-CD-14C-1x6-3 2 故选：A 9.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45°，小军在 小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的高度为() 参考数据：sn53cos53°m53P号 E 二二二二二 FD B A.22.7m B.22.4m C.21.2m D.23.0m 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，与俯角有关的解直角三角形，矩形的判定与性质，先证 明四边形EFDG、EFBM、CDBN是矩形，再设GM=m,表示EM=(x+S)m,然后在 R△EA.tLAEM-W以及R△MCN,m∠4CN-4N N'运用线段和差关系，即 N=AN-AM-音-(+列-03，再求x-159nm即可作答。 【详解】解：如图：延长DC交EM于一点G, FD B .·∠MEF=LEFB=∠CDF=90° ∴.四边形EFDG是矩形 .·∠MEF=LEFB=∠B=90° ∴.四边形EFBM是矩形 同理得四边形CDBN是矩形 依题意，得EF=MB=1.8m,CD-1.5m,LAEM=45°，∠ACN=53° :CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m ..CG=MN =0.3m 设GM=m,则EM=(x+5)m 在Rt△MEM,tan LAEM=AM EM .·.EM×1=AM 即AM=(x+5)m 在Rt△MCW,tan∠ACN=AW CN :CVan53°=x=MN 3 即N=4m 3 N=AN-AM=4x-(x+5)=0.3 ∴.x=15.9m .AM=15.9+5=20.9(m) .AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.7(m) 故选：A 10.如图，抛物线y=am+br+c(a<0)的图象交x轴于点A(-3,0)、B(1,0）,交y轴于点 C.以下结论：①a+b+c=0；②a+3b+2C<0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰 2 三角形时，c=V7:©当c=3时，在△M0C内有一动点P,若OP-2,则CP+5P的最小 V97 值为3· 其中正确结论有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线图象经过点B(1,0),可得当x=1时，y=a+b+c=0,据此可判断①； 根据对称轴计算公式求出b=2a,进而推出c=-3a,则a+3b+2c=a+6a-6a=a,再根据 抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线=-1，则AC*BC,求出AB=4,OC=C, 再分当AC=AB=4时，当BC=AB=4时，两种情况求出对应的c的值即可判断@；当 c-3时，C03),则c-3取点H号0连接pH则o1-专，可证阴 △HOP∽APOA,由相似三角形的性质可得PH=2PA,则CP+AP=CP+PH,故当点 3 2 在线段CH上时，CP+PH的值最小，即此时CP+5AP的值最小，最小值为线段CH的长， 利用勾股定理求出CH即可判断④ 【详解】解：抛物线y=ar+br+c(a<0)的图象经过点B(,0), .当x=1时，y=a+b+c=0,故①正确； :抛物线y=r+br+c(a<0)的图象交x轴于点A(-3,0)、B(1,0), 抛物线对称轴为直线2一1 b .-2a =-1 .b=2a, .a+2a+c=0，即c=-3a, .a+3b+2c=a+6a-6a=a .a<0 .a+3b+2c<0,故②正确： 对称轴为直线=-1， .AC≠BC; A-3,0)、B(1,0) .0A=3,0B=1, .AB=4; 在y=ar+br+c(a<0)中，当x=0时，y=c, c(0,c) .0C=c, 当AC=AB=4时，则由勾股定理得AC2=OA+OC2, 42=32+c2, c=V7或c=-万（舍去）； 同理当BC=AB=4时，可得c=V5; 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=V万或C=5,故®错误： 当c=3时，C(03),则0C=3, 如图所示，取点个 连接pH则OH-专 H 4 ·.OH_3_2 OP 23 OP 2 ·0A3 OH OP .OP OA' 又：∠HOP=LPOA, ∴.△HOP∽△POA. PH OP 2 ·PAOA3, 4. ,2 .CP+AP-CP+PH 3 2 当点P在线段CH上时，CP+PH的值最小，即此时CP+号AP的值最小，最小值为线段 CH的长， 2 在R1OCH中，由勾股定理得CH=VOH°+0C 3 +32=V97 3， 故④正确， .正确的有3个， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰 三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 1.3分)如图，在M8C中，B=5,n∠C-2,则4C4的 一BC的最大值为 【答案】5v2 【解析】 【分析】过点B作BD⊥AC,垂足为D,如图所示，利用三角函数定义得到 AC+ BC=AC+DC,延长DC到E使EC-CD=x连接BE如图所示，从而确定 AC+5BCE4C+DC=AC+CE=、E=45P,再由辅助圆定弦定角模型得到点B在 5 运，G是O的弦，求4C+8C的最大值就是求弦4的最大值，即是 时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：过点B作BD上AC,垂足为D,如图所示： tan∠C=2 ∴在Rt△BCD中，设DC=x,则BD=2x,由勾股定理可得BC=V5x, DC x 5 BCV5x=5,即 -BC=DC. 5 AC+5BC-AC+DC. 延长DC到E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示： D 4C+5 BC=AC+DC=AC+CE=AE :BD⊥DE,DE=2x=BD △BDE是等腰直角三角形，则LE=45°， 在△4BE中，AB=5，∠E=45°，由辅助圆-定弦定角模型，作△4BE的外接圆，如图所示： 0. 7 圆周角定理可知，点F在⊙0上运动，是oO的弦，求4C+BC的最大值就 5 弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O,即AE是直径时，弦最大，如图所 示： :AE是⊙O的直径， .LABE=90°， ∠E=45°， .△4BE是等腰直角三角形， AB=5. BE=4B=5,则由勾股定理可得4EAB+E=55即4C SBC的最大值为 52, 故答案为：5V2」 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、 圆的性质、圆周角定理、动点最值问题定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题定弦 定角模型的解法是解决问题的关键 12.(3分)两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 【答案】1：2#2 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌 握相似多边形的性质是解题的关键 【详解】解：两个相似多边形的相似比为：2， .它们的周长的此为1：2， 故答案为：1：2. 13.(3分)如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC,LOAB=60°，则LABC 的度数为 【答案】30° 【解析】 【分析】根据题意可得△OAB为等边三角形，进而可得LOBC=30°，再求∠ABC即可. 【详解】解：：OA=OB，LOAB=60° ∴LOBA=LOAB=60°，则LAOB=60°， △OAB为等边三角形， :OA⊥BC, ∴.∠OBC=90°-∠AOB=30° ∴.∠ABC=∠OBA-∠OBC=60°-30°=30° 14.(3分)如图，在直角三角形ABC中，LACB=90°，LB=30°，AC=2,点P,D分 别在边AB,，BC上运动，连接PC,PD,则PC+PD的最小值是 B 【答案】3 【解析】 【分析】延长CA至点M,使LABM=LCBA,连接MB,过点C作CN⊥MB,交AB于点 P,过点P作PD LBC于点D,根据角平分线的性质及垂线段最短可得此时PC+PD有最小 值，即CN的长度，然后通过解直角三角形求得MC的长度，从而利用面积法求解即可. 【详解】解：延长CA至点M,使LABM=LCBA,连接MB, B D M- 过点C作CN⊥MB,交AB于点P,过点P作PD⊥BC于点D, :LABM=LCBA,所以PD=PN, 这时PC+PD有最小值，即CN的长度， :∠ACB=90°，LABC=30°，AC=2, AC 2 tam∠ABC"tan30°=2W5, BC .:∠ABM=∠ABC=30° .LCBM =LABC+LABM =60 MB=BC 2V3 cos LMBC cos60° =4W5,MC=BC-tan LMBC=23·tan60°=6 Scm-xBCxCM-xBMxCN 1 2 2 即2x23x6=x45xCN 2 .CN=3 PC+PD的最小值是3. 15.(3分)如图，在VABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为 半径画弧，交AC于点E,再分别以B、E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧在 ∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则LDAF= 【答案】10°#10度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF平分LBAC 然后利用三角形内角和定理求解即可， 【详解】解：因为LB=50,∠C=30°， 所以LBAC=180°-50°-30°=100° 根据题意得：AF平分∠BAC, 所以LBAF=∠BAC=50° 因为AD为高， 所以LBDA=90° 所以LBAD=180°-50°-90°=40°， 所以LDAF=∠BAF-LBAD=50°-40°=10°， 故答案为：10°. 16.(3分)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由 四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPP拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正 方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S,正方形MNPO的面积为S. S 若BE=k4Ek>),则用含k的式子表示S,的值是 k2+1 【答案】 k-12 【解析】 【分析】作EG⊥AW交AN于点G,不妨设MN=a,设EG=1,通过四边形MNP是正方形， 推出∠EMG=LPMN=45°，得到EG=MG=1,然后证明△4EGP△MBN,利用相似三角形 AE 1 AG 1 对应边成比例，得到ABBNANk+1,从而表示出AG,MN的长度，最后利用 S S=AB2=BN2+AN2和S,=MN2=a2表示出正方形ABCD和MWPQ的面积，从而得到 【详解】解：作EG⊥AN交AN于点G,不妨设MN=a,设EG=l :四边形MNP是正方形 .∠PMW=45° ∴.∠EMG=∠PMN=45° ..EG=MG=1 在△AEG和△4BN中，∠EAG=∠BAN,LAGE=∠ANB=90° .∴△4EGP△4BN 、AE EG AG AB BN AN BE =kAE(k >1) .AB=AE+BE AE(k+1) AE 1 AG 1 “ABBN=ANk+ .BN =1+k 由题意可知，△ABW2△DAM ..BN AM=1+k ..AG=AM-GM=1+k-1=k AG AN AM+MN k+1+a k+1 .a=k2-1 .AN=AG+GM+MN=k+1+k2-1=k2+k ÷正方形ABCD的面积S=AB=BN2+AN2=(k+)2+(K2+k2=(k+1(k2+1). 正方形MNP的面积S,=MN2=a2=(K2-1)2=(k+1)2(k-1)2 =k+)2(2+) 、 S2(k+1)2(k-1)2 k>1 ∴.(k+1)2≠0 9=+1 S,(k-102 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等角三角形的性质，相似三角形的判定与性质， 正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解 题的关键 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)如图，O0是VABC的外接圆，LBAC=45°.过点0作DF⊥AB,垂足为E, 交AC于点D,交OO于点F,过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G. E (I)求证：FD=FG; (2)若AB=12,FG=10,求⊙0的半径. 【答案】(1)证明过程见详解 3 (2)o0的半径2 【解析】 【分析】(I)根据垂直，切线的性质得到ABGF,可得△DFG是等腰直角三角形，由此即 可求解； (2)根据垂径定理得到AE=BE=6,VADE是等腰直角三角形，由(1)得到FD=10,则 EF=4,如图所示，连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA,由此勾股定理即 可求解 【小问1详解】 解：：DF⊥AB,GF是OO的切线，即DF⊥GF, ..ABGF ∴.LBAC=LG=45° :.∠FDG=90°-45°=45°，即DFG是等腰直角三角形， FD=FG: 【小问2详解】 解：DF⊥AB, ..AE=BE=AB=6 2 LBAC=45°， :.LADE=90°-45°=45°，即VADE是等腰直角三角形， .EA=ED=6 由(1)得FD=FG=10 ∴.EF=DF-DE=10-6=4. 如图所示，连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA, D ∴在Rt△4OE中，OA2=AE2+OE2, :.(x+4}=62+x2 解得，x 2, 0A=x+4=+4=13 5 2 2, 13 o0的半径2 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定 和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键 22某商店销售A,B两种水果.A水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克， (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元.这两种 水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付 款不超过50元.设小明买A水果m千克 ①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围； ②小明到这家商店后，发现A,B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B 水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折.（注：“打七五折” 指按标价的75%出售.)若小明合计付款48元，求m的值 【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克 (2)①0<m≤1；②m=1.25 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应 用； (1)设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A,B两种水果 共3千克，合计付款46元.再建立方程组解题即可； (2)①设小明买A水果m千克，则B种水果购买了(m+)千克，根据要求B水果比A水果 多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果m千克，则 B种水果购买了(m+1)千克，根据不同的优惠方式可得14m×0.75+18+18m×0.75=48,再解 方程即可. 【小问1详解】 解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， x+y=3 依题意得： 14x+18y=46, [x=2 解得： y-1· 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克 【小问2详解】 解：①设小明买A水果m千克，则B种水果购买了(m+)千克， .·14m+18(m+1)s50 解得：m≤1， .结合实际可得：0<m≤1； ②设小明买A水果m千克，则B种水果购买了(m+)千克 .14m×0.75+18+18m×0.75=48 解得：m=1.25 18.(5分)请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完 全重合，这个图形就叫轴对称图形.根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案， 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B 19.(6分)如图，AD为O0的直径，AD=4,B,C是⊙0上的点，四边形OABC为菱形. D (1)求AC的长： (2)延长AD到点P,使得DP=2,求证：PC是OO的切线 π 【答案】(1)3 (2)证明：如图2，连接CD. B D 图2 由(1)可得AB/OC,LA=60° .LA=LC0D=60°， :OC=OD. ∴.△COD是等边三角形， ∴.CD=OD=2.∠OCD=LODC=60° DP=2, .DP=CD LDCP=∠P=∠0DC=30° ∴.∠OCP=∠OCD+∠DCP=90° 又0C是o0的半径， PC是⊙0的切线， 【解析】 【分析】(1)连接OB.首先，证得△4OB是等边三角形，得∠A=60°，LAOC=120°，然 后，求得O1=AD=2,最后，再代入弧长公式计算即可： (2)连接CD,先证得△COD是等边三角形，得CD=OD=2,LOCD=LODC=60°，再 由DP=2,得DP=CD,进而得LDCP=30°，LOCP=90°，即可证得结论 【小问1详解】 解：如图1，连接OB· B 图1 ·四边形OABC为菱形， ∴.OA=AB、AB/OC 又OA=OB :△4OB是等边三角形 .LA=60°， ∴.∠A0C=180°-∠A=120° .AD=4) ∴OA=5AD-2 2 20×π×24π :.Ac的长为 180 3； 【小问2详解】 略 20.(6分)如图，AB是©0的直径，点C,D在O0上，OD平分∠A0C B 0 D (1)求证：OD‖BC; (2)延长DO交OO于点E,连接CE交OB于点F,过点B作OO的切线交DE的延长线于 OF 5 点p若BF6,PE=1,求o0半径的长 【答案】(1)见解析 (2)2 【解析】 【分析】 (1)根据题意，得∠AOC=LB+LC,结合OB=OC,得到LB=LC,继而得到 LAOC=2LB,根据OD平分∠AOC,得到LAOC=2LAOD，,继而得到LB=LAOD,可证 OD‖BC; (2)不妨设OF=5x,BF=6x,则OB=OF+BF-11x=OC=OE,求得 OP=0E+PE=llx+l,证明0FEc9FC,∠0BM=∠P0B,求得BCs66r 5,取BC的中 点M,连接OM,则BM-3x 3 7，求绵cOs上OBM,cosPOB,结合切线狂质，得 COSLPOB-3-OBOB OB 5OPOE+PEOB+1,解答即可 【小问1详解】 根据题意，得∠AOC=LB+LC, ..OB=OC, .LB=LC, .∠AOC=2LB OD平分∠A0C, .∠AOC=2LAOD, ∴.∠B=LAOD .OD‖BC; 【小问2详解】 OF 5 ·BF6,PE=1 不妨设OF=5x,BF=6x,则OB=OF+BF=1lx=OC=OE, ...OP=OE+PE=11x+1. ODI BC, .·.△OFE∽△BFC,∠OBM=LPOB, OE OF 5 ·BCBF6, 11x5 ·BC6 解得BC=66x 5 取BC的中点M,连接OM, 则BiM=33x 5 ..OB=OC. .OM⊥BC, ∴.cos∠OBM= BM 3 OB 5 cos∠POB=3 , ·PB是⊙O的切线， .OB⊥PB cos∠POB=3OBOB OB 5OP OE+PE OB+1 解得OB=3 故o0半径的长为2： O/ 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三 角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握 三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分. 21.(8分)如图，D,E分别在△ABC的边BA,CA的延长线上，DEIIBC,AD=3, AB=5,DE=5,求BC的长. D 【答案】 BC= 25 【解析】 AB BC 【分析】根据DEIIBC,证明△4BCP△4DE,进而得出AD=DE,代入数据，即可求解。 【详解】解：：DE‖BC ∴LB=∠D,LC=∠E, .△4BCn△4DE, AB BC ADDE· :AD=3、AB=5,DE=5, 5 BC 35, ·BC=25 3· 22.(9分)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作OO的切线CD交BA延 长线于点D,点E为CB上一点，且AC=CE B (1)求证：DC∥AE; (2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的面积. 95 3 【答案】(1)见解析 (2) 4 【解析】 【分析】(1)如图1，连结0C.则∠OCD=90°，即∠DCA+∠OCA=90°.由AB为直径， 可得LACB=0°，即∠1+∠OCA=90°.则∠DCA=∠1.由OC=OB,可得∠1=∠3.由 AC=C2,可得∠2=∠3.则∠DCA=∠3.进而可证DC∥AB. (2)如图2，连结OE、BE.由EF垂直平分OB,可得OB=BB.则△OEB为等边三角形. ∠BOE=60°，∠AOE=10°.由OA=OE,可得∠OAE=∠OA=30°.由DC∥AE，可得 ∠D=∠OAE=30°.∠D0C=60°.证明aAOC为等边三角形.则∠0CA=60° OA=OC=AC ∠DCA=30°.则∠D=∠DCA. DA=AC=OA=OC=OE=3 120元×32 EF=OE-in60°， 8am-号40时.8as 360,根据影=8开0e-心0咖，计算 求解即可. 【小问1详解】 证明：如图1，连结0C. D E 图1 CD为OO的切线， .∠0CD=90°，即∠DCA+∠0CA=90°. 又AB为直径， ∠ACB=90°，即∠1+∠0CA=90 .∠DCA=∠1 0C=0B, ..∠1=∠2 AC=CB ∴.∠3=∠3 :.∠DCA=∠3 .DC∥AE 【小问2详解】 解：如图2，连结OE、BE 图2 EF垂直平分OB, ..OE=BE 又OE=OB, .△OEB为等边三角形. .∠B0E=60°，∠A0E=120° ·OA=OE ..∠OAE=∠OEA=30°. ·.DC∥AE ∴.∠D=∠OAE=30° 又·∠OCD=90° .∠D0C=60° ..OA=OC, .△AOC为等边三角形， .∠0CA=60°，OA=OC=AC ∴.∠DCA=30° .∠D=∠DCA ..DA=AC=OA=OC=OE=3. EF=08.sin60933 &au=240.8=95 4 120元×32 =3π 又 360 s=S0u-Sao0=3玩-9 4 95 3r- ∴.阴影部分的面积为 4 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等， 平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知 识.熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行 线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积是解题的 关键 23.(9分)综合与实践—探索五角星的奥秘 节日前夕，有时需要制作许多五角星.我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程. M 图1 图2 图 B 2 图5 图6 图7 图8 (I)如图1，先将一张正方形的纸片沿MN对折，再找到MN的中点O,将平角LMON五 等分，得到图2，接着沿图中的虚线依次对折，得到图3，然后过点N作NQ⊥OP于点2， 得到图4，最后沿Q把图4中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图5所示的一个 正五边形.请直接写出正五边形的内角和为 (2)连接图5中正五边形的对角线，得到图6.请根据图6，完成下列问题： ①求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数； CD ②求An的值 (3)把图4剪掉阴影部分后，得到图7，然后沿NR把图7中的阴影部分剪掉，展开余下部 分，将得到一个五角星.例如，当∠RNQ=25°时，得到的五角星如图8所示；若使展开后 的五角星如图6所示，则∠RNQ的度数为. 【答案】(1)540° 5-1 (2)①180°；②'2 (3)36° 【解析】 【分析】(1)根据n边形的内角和为n-2180°，解答即可. (2)①利用三角形内角和，三角形外角性质，求解即可； ②证明△ANE一△AED,构造方程求解即可， (3)根据折叠的性质，正五边形的内角求解即可， 【小问1详解】 解：根据题意，得正五边形的内角和为：(5-2·180°=540°； 【小问2详解】 解：①设AC,BE的交点为M1,AD,BE的交点为N1, M C D 根据题意，得∠AM1N1=∠3+∠5，∠AV1M1=∠2+∠4， ∠AM1N1+∠1+∠AN1M1=180°， ∴.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°； ②解：设AB=BC=CD=DE=AE=X, ,'.∠BAC=∠BCA=∠EAD=∠EDA=∠CBD=∠CDB, ,∠BAE=∠AED=∠EDC=∠DCB=∠CBA, ∴.∠BAE-∠DAE-∠CAB=∠AED-∠AEB-∠CED, .∠1=∠5， 同理可证，∠1=∠2，∠2=∠3，∠3=∠4，∠4=∠5， ∴.∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=36°， 在△1BE中，BAE=540°=108，AB=AE 5 ∴.∠AEN=36° 同理可得∠CED=36° '.∠N1AE=∠N1EA=∠ADE=∠CED=∠5， '.∠DN1E=∠N1AE+∠N1EA=∠CED+∠5=∠NED, .AB=BC=CD=DE=AE=DN=x, .'∠EAN1=∠DAE,∠AEN1=∠ADE, .△ANE-△AED, .AEAN AANEDN 4 2A设 AD Y ∴.AD2-xAD-x2=0, 解得AD=5+1 ,AD=一5+1x(不能为负，合去) .AD-V5+1 -2. 【小问3详解】 解：根据题意，将正方形对折，再将平角分成五价，则4Q0N=10°=36°，则 5 ∠0NQ=54°， 如图，将△ONQ放入图5， D 由(2)可得45=36°， 由图6得∠RNS=∠5=36°， ON为折痕，根据折叠的性质可得∠RN0=)x36=18°， ∴.∠RNQ=∠ONQ-∠RNO=54°-18°=36°. 五、解答题（三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24.(12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是 【答案】60°#60度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D=180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式 计算即可. 【详解】解：，四边形ABCD内接于⊙O, .∠B+∠D=180°， .四边形OACD是菱形 .∠AOC=-∠D, 1 由圆周角定理得，∠B2∠AOC, .∠B+2/B=180° 解得，∠B=60°， 故答案为：60° 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是 解题的关键 25.(12分)如图①，点0位于竖直墙面1上，平面镜AB与墙面1平行，从点O射出一束激 光，经过平面镜AB的反射，在墙面'上形成一个光点C，OC所在直线垂直于水平面.入射 光线OP与平面镜AB的夹角∠OPA=60°.（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹 角等于入射光线与镜面的夹角) A P B E 图① 图② (1)求证：△OPC是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B位置，入射光线OP经过 平面镜的反射后，在墙面上形成光点E，点E在直线OC上· ①LOPE= ②若OC=60厘米，求光点向下移动的距离CE的长，（结果保留根号） 【答案】(1) 证明：：∠OPA=60° ∴.根据光的反射定律可知LBPC=LOPA=60° .∠OPC=180°-∠OPA-∠BPC=60° .ABllI ∴.∠POC=∠OPA=60° ∴△OPC是等边三角形； (2)①75②cE的长为(30W5-30厘米 【解析】 【分析】(I)首先根据光的反射原理得到LBPC=LAPO=60°，然后，再由平角的定义得 LOPC=60°，再由平行线的性质得LPOC=LOPA=60°即可证的结论； ②)①首先根据题意及光的反射原理得到LEPB=LOPA'=LOPA-7.5°=52.5°，再根据平角 的定义得到LOPE=75°； ②过点P作PF⊥OE于F,首先，根据已知条件得到LCPE=15°，然后，再证得 LCPF=∠OPC-30°，CF-20C=30(厘米)，进而证得Pr是等腰直角三角形，得 PF=EF,再由∠CPF的余弦值得到PF的长，最后，由CE=EF-CF可得结果 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：LOPA=60°，平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到AB位置， ∴.根据光的反射定律可知LEPB'=LOPA'=LOPA-7.5°=52.5° .∠OPE=180°-∠EPB'-LOPA'=75°： ②解：如图②，过点P作PF⊥OE于F, E外 图② 由1)知LOPC=60°，由①知LOPE=75°， .LCPE=∠OPE-LOPC=15°」 由(I)知△OPC是等边三角形，又知OC=60厘米， .OP=CP=OC=60(厘米)， 又PF⊥OE, 2cPr-20rc-30,cF-0c-30(厘0. ∴.LEPF=LCPF+LCPE=45° ,△EPF是等腰直角三角形， .PF=EF, 在RCPF中，coLCPF=PF CP, :EF-PF-CP-LCPF=60xeos30°-60x5-305(厘米. “CE=EF-CF=303-30(厘米)，即光点向下移动的距离CE的长为30√3-30)厘米. 数学专项随堂训练题（四）（三角形） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 2．宽与长比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 3．如图所示，直线被直线c所截．若，则（　　） A. B. C. D. 4．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（　　） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 5．已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 6．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（　　） A. 工作中的雨刮器 B. 移动中的黑板 C. 折叠中的纸片 D. 骑行中的自行车 8．如图，在中，D是中点，，，则的长是（　　） A. 3 B. 6 C. D. 9．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）（　　） A. B. C. D. 10．如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）如图，在中，，，则的最大值为______． 12．（3分）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为______． 13．（3分）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 14．（3分）如图，在直角三角形中，，，，点，分别在边，上运动，连接，．则的最小值是_________． 15．（3分）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则________． 16．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 18．（5分）请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效． 19．（6分）如图， 为的直径，， ， 是上的点，四边形为菱形． （1）求的长； （2）延长 到点 ，使得，求证： 是的切线． 20．（6分）如图，是的直径，点，在上，平分. （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）如图， ， 分别在 的边 ，的延长线上，，，，，求 的长． 22．（9分）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 23．（9分）综合与实践——探索五角星的奥秘 节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程． （1）如图1，先将一张正方形的纸片沿 对折，再找到 的中点O，将平角 五等分，得到图2，接着沿图中的虚线依次对折，得到图3，然后过点N作 于点Q，得到图4，最后沿 把图4中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图5所示的一个正五边形．请直接写出正五边形的内角和为________． （2）连接图5中正五边形的对角线，得到图6．请根据图6，完成下列问题： ①求 的度数； ②求的值． （3）把图4剪掉阴影部分后，得到图7，然后沿 把图7中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到一个五角星．例如，当 时，得到的五角星如图8所示；若使展开后的五角星如图6所示，则 的度数为________． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是______． 25．（12分）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 学科网（北京）股份有限公司 $