数学专项随堂训练题（三）函数-【名师领考】2027年广东省中考数学专项复习卷

数学专项随堂训练题（三） (函数) (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容 器的过程中，容器内水面升高的速度（) A.越来越慢 B.越来越快 C.保持不变 D.快慢交替变化 2.博物馆到小明家的路程为8km,小明回家所需时间th)随平均速度(km/h)的变化而变 化，则t与v的函数表达式是() 1 A.t=8v B.t=。v 8 C.1-8 D.t=8v 3.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十 四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽 与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（) Ax.60-x=864 2 B.x(60+x)=864 C.x(60-x)=864 D.x(30-x)=864 4.对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是（) A.它的图象与y轴交于点(0，-) B.y随x的增大而减小 C.当x>2时，y<0 D.它的图象经过第一、二、三象限 在直线x+4.坐标是二元一次方程5r-6羽 位置在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶.如图是古算诗词题“争荡秋千”所描 绘的示意图.已知秋千的绳索长OA=6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位 置在点A处，OA与地面BD垂直，踏板离地面的高度AB=1尺.当踏板从A处绕点O运动 到C处时，踏板离地面的高度CD=4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC的大小为() A.30° B.45 C.60° D.75° 7.如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC,将矩形沿直线EF折叠，使点A,B分别落在 边ADBC上的点A,B处，EF,AF分别交AC于点G,H.若GH=2,HC=8,则 BF的长为() E G F A.20V2 B.20V5 C.5v5 D.5 9 2 k 8.函数y=ar2+bx+c与片=的图象如图所示，当（）时，，y,均随着x的增大而减 小.() y A.x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D.x>1 9.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,动点M从点O出发，沿OC→CD 匀速运动至点D时停止，设点M的运动路程为x,AM的长度为'，y与x的函数图象如图 2所示，在点M的运动过程中，当AM⊥CD时，AM的长度是() D C 图1 图2 A.3√5 B.6 C.4√2 D.35 l0.如图，二次函数y=ar+br+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象交x轴于A,B两点， 点A的坐标是(-1,0)，点B的坐标是(n,0),有下列结论：①abc<0;②4a+c>2b;③关 b n-1 于x的方程ax2+bx+c=0的解是x=-1,，为2=n;④2a=2·其中正确的有（） B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11.(3分)已知点Am,n)与点B(3,4)在同一条反比例函数y=的图象上，若0<m<3, 则n的取值范围是 12.(3分)甲、乙两人在一次100米赛跑此赛中，路程s(米)与时间t(秒)的函数关系 如图所示，填(“甲”或“乙”)先到终点： s(米)个 100 甲乙 0 12141(秒) 13.(3分)若函数y是的图象经过点2，m ,则m= ,其中x>0,k=1, k,>k1,n为大于1的整数.这组反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象相交，交点 依次记为A,A,4,…,A.若44=4==A-14=V2,则k。= V=x 10 15. (3分)若反比例函数”=的图象过点(-2，)，则常数k= 16.(3分)如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到VABC,若△DEF的周长为24cm,则 四边形ABFD的周长为」 cm B E C F 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)如图，正比例函数y=- 3x的图象与反比例函数y的图象的一个交点是 4同点P饭小直线y9上，进点作，的平行说y一套余于点 A (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求△OPO的面积， 18.(5分)某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设 过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元 购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元. (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半， 请你给出最节省费用的购买方案。 19.(6分)如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=k≠0的图象交于P-1,a小、 Qb,-1两点，连接0P、O0. -4-3-2-1,234 o -3 -4 (1)求a、b的值和反比例函数的表达式； (2)求△PO0的面积， 20.(6分)如图，反比例函数y=x>0)与一次函数y=mx+1的图象交于点A(2,3),点B 是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C,交一次函数的图象于点D,连接AB, 不 ()求反比例函数y=x与一次函数y=mx+1的表达式： (2)当OC=4时，求△ABD的面积. 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分. 21.(8分)某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价 不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组 对应值 销售单价 2 6 0 x元 5 5 4 销售量以盒 6 2 8 0 (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (③)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后， 为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值. 22.(9分)某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）·某数学实践小组开展实 地测量活动，探测这座孔子雕像的高度.如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端 A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为 60°.雕像底端B与观测点D、C在同一条水平直线上，且AB上BC,求孔子雕像的高度 AB.(结果保留根号) 60%45⊙ B D 甲 乙 23.(9分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A,B,与反比 例函数'=x>0)的图象交于点C.已知点A的坐标为(-2,0，点C的坐标为L,6,点D在 k 反比例函数y=x>0)的图像上，纵坐标为2. B (I)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接BD,OD,请直接写出四边形ABDO的面积. 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24.(12分)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=2+bx经过点(3,3).点A、 B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1,已知点M(,),作点A关于点M的对称 点C,作点B关于点M的对称点D，,构造四边形ABCD (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标： (3)设抛物线在A、B两点之间部分（含A、B两点）为图象G.当0<m<1时，若图象 G的最高点与最低点的纵坐标之差为2，求m的值； (4)连结OA、OB,当∠AOB=∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围（这里∠AOB、 LOAD、LOBC均是大于0°且小于180°的角)· 25.(12分)【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 如图，矩形广告牌ABCD的边CD 为I1米，BC与水平地面垂直，支 柱EF长6.4米，且垂直于地面.无 人机从N点起飞，以3米秒的速 测量过程 度竖直向上飞行8秒到达M点，此 时测得C点的俯角为67.4°.D点 的俯角为36.9°（图中各点均在同 活动过程 一平面内）· 水平线G..初 模型建构 C ;! sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38， 参考数据 tan67.4°≈2.40 sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80 tan36.9°≈0.75 求矩形广告牌ABCD的面积（结果 问题解决 精确到1平方米)· 数学专项随堂训练题（三）（函数） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　） A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化 2．博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（　　） A. B. C. D. 3．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 4．对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 5．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长 尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点处， 与地面垂直，踏板离地面的高度尺．当踏板从处绕点 运动到 处时，踏板离地面的高度尺，则秋千的绳索荡过的的大小为（　　） A. B. C. D. 7．如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 5 8．函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．（　　） A. B. C. D. 9．如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（　　） A. B. C. D. 10．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 12．（3分）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填______（“甲”或“乙”）先到终点： 13．（3分）若函数的图象经过点，则________． 14．（3分）如图，一组反比例函数，，，，其中， ，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，…，．若…，则________． 15．（3分）若反比例函数的图象过点，则常数_______． 16．（3分）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_______． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 18．（5分）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各多少元； （2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 19．（6分）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接 、 ． （1）求 、 的值和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 20．（6分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 22．（9分）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端 的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端 的仰角为 ．雕像底端 与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度 ．（结果保留根号） 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）设抛物线在、两点之间部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； （4）连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 25．（12分）【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱 长米，且垂直于地面．无人机从 点起飞，以 米 秒的速度竖直向上飞行 秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，， ，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学专项随堂训练题（三）（函数）（参考答案与解析） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　） A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 2．博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 3．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】（1）②，5，9 （2）4.6 （3）小明同学右眼视力在九年级全体学生中属于视力较弱偏下游．接近中位数． （4）人 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的特点回答即可，从检查结果的数据可得出m，n的值 （2）根据加权平均数的计算求解即可． （3）根据中位数的定义求出中位数，然后和小明比较即可得出答案． （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：认为更合理的方案是②，因为抽样调查应具有广泛性和可靠性. 从检查结果的数据可知视力为的人数有5人，视力为的人数有9人， 故， 故答案为∶ ②5，9． 【小问2详解】 解：样本的平均数为： 【小问3详解】 解：∵一共有42名学生，且第21位和22位的数据为：4.6和4.7， ∴中位数为：， ∵小明同学右眼视力为4.5，且 ∴小明同学右眼视力在九年级全体学生中属于视力较弱偏下游．接近中位数． 【小问4详解】 解：， 故该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数有420人． 【点睛】本题主要考查了抽样调查的特点，加权平均数，中位数，用样本估计总体等知识，掌握加权平均数，中位数，用样本估计总体是解题的关键． 4．对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 5．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 6．古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长 尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点处， 与地面垂直，踏板离地面的高度尺．当踏板从处绕点 运动到 处时，踏板离地面的高度尺，则秋千的绳索荡过的的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段的长度，再结合秋千绳索长度得到斜边 ，最后根据余弦函数值求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，， 四边形是矩形， 尺， 尺， 尺， 尺， 在中： ， ． 7．如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，设，证明和，推出和，由，列式计算求得，在中，求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ∵矩形， ∴， 由折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， ∵， 由①②得， 解得，则， 在中，， ∵， ∴，即， 故答案为：A． 8．函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 9．如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象获取的长度以及的值，结合菱形性质求出边长和对角线，判定的形状，最后利用三角函数或勾股定理求出边上的高． 【详解】解：由图2可知，当时，，此时点M在点O处， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，． 由图2可知，当时，点M到达点D， 此时运动路程为， ∴， ∴． ∵， ∴，即是等边三角形． 当时，为等边的高， ∴． 10．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 12．（3分）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填______（“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 13．（3分）若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 14．（3分）如图，一组反比例函数，，，，其中， ，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，…，．若…，则________． 【答案】 【解析】 【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点的坐标，利用两点间距离公式结合已知条件得出，进而发现的数值规律，求出的值即可求解． 【详解】解：联立， 解得（负值舍去） 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．（3分）若反比例函数的图象过点，则常数_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴； 故答案为：． 16．（3分）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得,,再根据的周长为可得，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴,, ∵的周长为， ∴,即， ∴四边形的周长为． 故答案为：30． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 18．（5分）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各多少元； （2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 【答案】（1）煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； （2）购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 【解析】 【分析】（1）设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购头2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可； （2）设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，根据三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，列出不等式，可得的范围，设总的购买费用为元，再结合一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元． 由题意得：， 解得：， 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； 【小问2详解】 解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台， 由题意得：， 解得：， ∵a只能取正整数， ∴a的最大值为33， 设总的购买费用为元， ∴ ， ∵， ∴当时，费用最低， 此时购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台； 答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键. 19．（6分）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接 、 ． （1）求 、 的值和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） ，； （2） 【解析】 【分析】（1）将、代入一次函数解析式即可求出 、 的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出A点坐标，再根据计算求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数 的图象经过点、， ， ， 解得 ，， 、， ∵反比例函数的图象经过点， ， ∵反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，设一次函数 与 轴相交于点， 令，则，即：， ， 又，， ． 20．（6分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得，（舍去） ∴m的值为2． 22．（9分）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端 的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端 的仰角为 ．雕像底端 与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度 ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】设，解直角三角形得到，根据建立方程求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； 在 中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度 为． 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）设抛物线在、两点之间部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； （4）连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解． （2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标． （3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解． （4）先利用中点公式计算求出各点的坐标，再通过点与点之间的坐标关系，根据几何条件建立方程进而通过解方程求． 【小问1详解】 将点代入中得： 解得：， ∴． 【小问2详解】 根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． 【小问3详解】 ∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． 【小问4详解】 ∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 当、运动到平行四边形内部时（即、、共线），如图： 过点作，如图： 此时，满足， 由一次函数的性质可的大小决定了直线的倾斜方向和函数的增减性， 所以当两条一次函数的直线平行时的大小相同， ∴ ∴ 解得 当、、共线时，如图，同理： ∴， ∴， ∴， 解得． 综上，． 【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．（12分）【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱 长米，且垂直于地面．无人机从 点起飞，以 米 秒的速度竖直向上飞行 秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，， ，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 【答案】矩形广告牌的面积约为平方米 【解析】 【分析】过点分别作 的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形，依题意，，，，，，分别在中求得，根据，建立方程，求得 进而求得的长，再求得矩形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作 的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形， 依题意，，，，， ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴ ∴的面积 答：矩形广告牌的面积约为平方米 学科网（北京）股份有限公司 $数学专项随堂训练题（三） (函数)（参考答案与解析） (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容 器的过程中，容器内水面升高的速度() A.越来越慢 B.越来越快 C.保持不变 D.快慢交替变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果 【详解】解：单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， .∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B 2.博物馆到小明家的路程为8km,小明回家所需时间(h)随平均速度(km/h)的变化而变 化，则t与v的函数表达式是() 1 8 A.t=8v B.t=。v C.t-9 8 D.t=8v2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解， 【详解】解：依题意，，与v的函数表达式是= 故选：C 3.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十 四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽 与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是() A.x.60-x=864 2 B.x(60+x)=864 C.x(60-x)=864D.x(30-x)=864 【答案】(1)②，5,9 (2)4.6(3)小明同学右眼视力在九年级全体学生中属于视力较弱偏下游.接近中位数， (4)420人 【解析】 【分析】(1)根据抽样调查的特点回答即可，从检查结果的数据可得出，n的值 (2)根据加权平均数的计算求解即可. (3)根据中位数的定义求出中位数，然后和小明比较即可得出答案 (4)用样本估计总体即可. 【小问1详解】 解：认为更合理的方案是②，因为抽样调查应具有广泛性和可靠性 从检查结果的数据可知视力为4.5的人数有5人，视力为4.9的人数有9人 故m=5,n=9 故答案为：②5,9. 【小问2详解】 解：样本的平均数为： 40×1+41×2+42×5+43×4+44×3+4.5×5+4.6×1+4.7×1+4.8×5+4.9×9+5.0×6 42 193.5 42 ≈4.6 【小问3详解】 解：.·一共有42名学生，且第21位和22位的数据为：4.6和4.7， 中位数为：46+47)=465， 小明同学右眼视力为4.5，且4.5<4.65 ∴.小明同学右眼视力在九年级全体学生中属于视力较弱偏下游.接近中位数· 【小问4详解】 解：840×1+5+9+6.420 42 故该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数有420人 【点睛】本题主要考查了抽样调查的特点，加权平均数，中位数，用样本估计总体等知识， 掌握加权平均数，中位数，用样本估计总体是解题的关键。 4.对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是() A.它的图象与y轴交于点(0，-1) B.y随x的增大而减小 C.当x>2时，y<0 D.它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案 【详解】解：A.当x=0时，y=-1,即一次函数y=2x-1的图象与y轴交于点(0，-)，说法 正确； B.一次函数y=2x-1图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当x>2时，y>0,原说法错误 D.一次函数y=2x-1的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A. 3 5.点P(x,y)在直线y=-4x+4上，坐标(xy)是二元一次方程5x-6y=33的解，则点p的 位置在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 4 求出点P的坐标即可判断 5x-6y=33 3 y=-x+4 【详解】解：联立方程组 4 5x-6y=33 x=6 解得 y=- .P的坐标为 ∴点P在第四象限 故选：D 6.古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶·如图是古算诗词题“争荡秋千”所描 绘的示意图.已知秋千的绳索长OA=6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位 置在点A处，OA与地面BD垂直，踏板离地面的高度AB=1尺.当踏板从A处绕点O运动 到C处时，踏板离地面的高度CD=4尺，则秋千的绳索荡过的ㄥAOC的大小为() 0 B A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】 【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段OE的长度，再结合秋 千绳索长度得到斜边OC，最后根据余弦函数值求出LAOC的度数， 【详解】解：如图，过点C作CE⊥OB, 由题意OA⊥BD,CD⊥BD ·四边形EBDC是矩形， .EB=CD=4尺， OB=OA+AB=6+1=7尺， 0E=0B-EB=7-4=3尺， :0C=0A=6尺， 在Rt△OCE中： COSLAOC=OE 3 1 0C62, .∠AOC=60° 7.如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC,将矩形沿直线EF折叠，使点A,B分别落在 边ADBC上的点A',B处，EF,A'F分别交AC于点G,H.若GH=2,HC=8,则 BF的长为（) E A G F B 4.203 B.20V3 C55 D.5 9 9 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.先证明 AG=GF=G0,设AG=GF=G0=x,证明△MEG~△CFG和△AA'HA CFH,推出 AE EG x AA'x+2 10 CF =x10和CF=8,由AH=24E,列式计算求得x=3,在Rt△CFG中，求得 CF的长，据此求解即可. 【详解】解：如图，A'B交AC于点O, E A G B .矩形ABCD .ADI BC, 由折叠的性质得AE=A'E，BF=B'F,四边形ABFE和四边形A'B'FE都是矩形， .AB IlEF IOB' AG BF =1 ∴·GOB'F ..AG=OG AF平分∠BAC,AB‖GF, ..LGAF=LBAF=LGFA .∴.AG=GF=GO 设AG=GF=G0=x, ·.GH=2,HC=8, .H0=x-2,GC=8+2=10 AE∥FC, ∴.△4EG-CFG AEEGAG AE EG x CFGF=GC,即CF=x=10①， ·.AA'I‖FC .△AA'HOA CFH AA AH AA'x+2 .CF=HC,即CF=8②， ·AA=2AE x+2 x 由①2得8=5， 解得x=3,则4G=GF=G0=10 10 3 △crG中，cF=vco--yo-9） 20W2 在 3 10 AE 3 20√210， 3 :AE=20 9, 即8F=20V5 9, 故答案为：A, k 8.函数y=a+bx+c与片=x的图象如图所示，当（)时，片，乃，均随着x的增大而减 小.() A.x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D.x>1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题 是关键.由函数图象可知，当x>1时，%随着x的增大而减小；2位于在一、三象限内，且 2均随着x的增大而减小，据此即可得到答案 【详解】解：由函数图象可知，当x>I时，少随着x的增大而减小； 2位于一、三象限内，且在每一象限内少2均随着x的增大而减小， 当x>1时，，2均随着x的增大而减小， 故选：D 9.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,动点M从点O出发，沿OC→CD 匀速运动至点D时停止，设点M的运动路程为x,AM的长度为'，y与x的函数图象如图 2所示，在点M的运动过程中，当AM L CD时，AM的长度是() 9 图1 图2 A.35 B.6 C.4v2 D.3V5 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象获取AO的长度以及OC+CD的值，结合菱形性质求出边长CD和对 角线AC,判定△4CD的形状，最后利用三角函数或勾股定理求出CD边上的高AM, 【详解】解：由图2可知，当x=0时，y=3,此时点M在点O处， .A0=3 四边形ABCD是菱形， .AC L BD CO=AO=3 AD=CD 由图2可知，当x=9时，点M到达点D, 此时运动路程为OC+CD-9 .CD=9-0C=9-3=6 ∴.AD=CD=6 :.·AC=A0+C0=3+3=6 :.AC=AD=CD，即△ACD是等边三角形. 当AM⊥CD时，AM为等边△ACD的高， :4M=AD-si血60°=6x5-3N5 2 10.如图，二次函数y=ax+br+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象交x轴于A,B两点， 点A的坐标是-l,0),点B的坐标是n,0),有下列结论：①abc<0;②4a+c>2b;③关 b n-1 于x的方程ax2+bx+c=0的解是x=-1,为2=n;④2a=2·其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函 数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得a<0,c>0,进而可判断b>0, 即可判断结论①：当x=-2时，y<0,即4a-2b+c<0,可判断结论②：根据二次函数与x 轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， .a<0,c>0 又：抛物线的对称轴在y轴右侧， b x=- >0 2a .b>0 .abc<0,故结论①正确； 由函数的图象可得：当x=-2时，y<0,即4a-2b+c<0, 即4a+c<2b,故结论②错误； :二次函数y=a2+bx+c的图象交x轴于A,B两点，点A(-1,0),点B(n,0) b-1+n ∴关于x的方程x2+bx+c=0的解是x=-1,x=n,一2a=2,故结论③④正确： 综上，结论正确的有3个， 故选：C 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分， 11.(3分)已知点A(m,n)与点B(3,4)在同一条反比例函数y=的图象上，若0<m<3, 则n的取值范围是 【答案】n>4 【解析】 【分析】先根据点B的坐标求出反比例函数的K值，得到反比例函数解析式，再利用反比例 函数的增减性，结合m的取值范围，得到n的取值范围： 【详解】解：…点B(3,4)在反比例函数y=x的图象上， ∴.k=3×4=12 反比例函数解标式为y=2 x .k=12>0 12 :反比例函数y=元在第一象限内，y随，的增大而减小， :点A(m,n)在该反比例函数图象上，且0<m<3, 当x=3时，y=4, .n>4 12.(3分)甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s(米)与时间t(秒)的函数关系 如图所示，填 (“甲”或“乙”)先到终点： s(米) 甲乙 100 0 1214t(秒) 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案。 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时12秒，乙到达终点用时14秒， 甲先到达终点， 故答案为：甲. 1。（3分》若函数y是的图象经过点2，则，则m 【答案】2 【解析】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点(2，m）代入反比例函数解析式y=4 即可求出m的值. 【详解解：两数y的图象经过点2m）, 4 将x=2,=m代入y是得：m =2 2 14.日分如网图，组反比例适颜会冬少兰冬，其中0：大1， k,>k1,n为大于1的整数，这组反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象相交，交点 依次记为4，A,4,…,4.若44=44==A4=2,则k6= V= y=x 10 【答案】36 【解析】 【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点A的坐标，利用两点间距离公式结合 已知条件AA=V2得出V瓜。-V压=l,进而发现Vk的数值规律，求出V压的值即可求 解 y=x 【详解】解：联立 y= x=Vkn 解得 y=√E (负值舍去) “点An的坐标为VE,VE)」 “点A1的坐标为(VkV)小 .414=2+2)2 kn>knt, 414=v2 A14=12 ∴2(E,-k=2 Vk-Vk-1=1, :k=1 ∴Vk=1 VE=√E+1=2 √k=√E+1=3 … ko =6 ∴.k6=62=36 15.(3分)若反比例函数y=的图象过点(-2,1)，则常数k=一 【答案】-2 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出k值即可· 【详解】解：反比例函数y=x的图象过点(-2，) .k=-2×1=-2; 故答案为：-2. 16.(3分)如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到VABC,若△DEF的周长为24cm,则 四边形ABFD的周长为cm. B E 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成 为解题的关键 由平移的性质可得AD=BE=3Cm,DE=AB,再根据△DEF的周长为24m可得 AB+EF+DF=24,然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答. 【详解】解：将△DEF沿FE方向平移3cm得到VABC, .'AD BE =3cm.DE =AB. ·.DEF的周长为24cm, .DE EF DF =24,AB+EF DF =24, 四边形ABFD的周长为 AB+BF+DF AD=AB+BE+EF+DF+AD=(AB+EF +DF)+BE+AD=24+3+3=30cm 故答案为：30. 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分 17.（5分)如图。正比创函数y-5 3x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是 4同)点P5i线上，过点p作，描的平版，交的®于 (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求△OPO的面积. 【答案】1)y=35 5 2)2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用 待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键 (1)利用正比例函数求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； (2)分别求出P卫的坐标，得到P№的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计 算即可求解； 【小问1详解】 解把4a代入9得.5 3 m、 .m=-3, .A-3,5) 把43代入y会得.5- 3, k=-35, 反比例函数的表达式为35 【小问2详解】 解：把P入y-得.-5 3x23=-2 P(23,-2 PIy轴， 点的横坐标为2V3」 把x=25代入y-36狼 得，y=-333 2V52, 25.-) -(2- 5m2x26- 11 2 18.(5分)某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设 过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元， 购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元. (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半， 请你给出最节省费用的购买方案， 【答案】(1)煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； (2)购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台： 【解析】 【分析】(1)设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购头2台煎蛋器和1台三明治机 需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可； (2)设煎蛋器采购a台，则三明治机采购(50-@)台，根据三明治机的合数不少于煎蛋器台 数的一半，列出不等式，可得α的范围，设总的购买费用为w元，再结合一次函数的性质可 得答案。 【小问1详解】 解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元 「2x+y=240 由题意得： x+3y=395, [x=65 解得： y=110, 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； 【小问2详解】 解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购(50-a)台， 1 由题意得：50-020， 100 解得：as 3, .a只能取正整数， .4的最大值为33， 设总的购买费用为w元， .w=65a+110(50-a) =-45a+5500 .…k=-45<0 .当a=33时，费用最低， 此时购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台； 答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台· 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用， 确定相等关系与不等关系是解本题的关键， 19.(6分)如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=kk≠0的图象交于P-1,a小、 Qb,-1两点，连接0P、O0. -4-3-2-1,0A234 2 -3 (I)求a、b的值和反比例函数的表达式； (2)求△PO0的面积， 【答】（四0=2,6-2：y=子 2)多引 【解析】 【分析】(1)将P-1,a、Qb,-1代入一次函数解析式即可求出a、b的值，再将点P的 坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可； (2)设一次函数y=-x+1与x轴相交于点A,先求出A点坐标，再根据SPoQ=SAoP+S。Ao0 计算求解 【小问1详解】 解：.一次函数y=-x+1的图象经过点P-1,a、Qb,-1, .--1+1=a,-b+1=-1, 解得a=2，b-2, ∴.P-1,2、Q2,-1, ·反比例函数y=x的图象经过点P-1,2, k=-2, ·反比例函数的表达式为少=- 【小问2详解】 解：如图，设一次函数y=-x+1与x轴相交于点A, 2 B -4-3-2-1,0234 -2 -3 -4 令y=0,则x=1,即：A1,0), .OA=1, 又：P-1,2,Q2,-1, So0=5,A0+S.Ao-号x1x2+号×1×1=多. 1 20。(6分)如图，反比例函数兰>0)与一次丽数=m+1的图象交于点4亿，3，点B 是反比例函数图象上一点，BC1x轴于点C,交一次函数的图象于点D,连接AB. k (山)求反比例函数y=文与一次函数y=mx+1的表达式： (2)当OC=4时，求△ABD的面积. 。6 【答案】(1)y= x’y=x+1 (2)2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一 次函数的解析式·一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反 比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键. (1)利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式， (2)由已知条件求出点C,点B,点D的坐标，过点B作BE‖x轴交一次函数y=x+1的图 象交于点E,过点A作AF⊥BE与点F,利用两点之间的距离公式分别求出BD,BE,AF 的值，最后根据SABD=SDBE-SEB即可求出答案 【小问1详解】 解：反比例函数=x>0)与一次函数y-m+1的图象交于点42,3)， :3、 2,3=2m+1, .k=6,m=1, ·反此例函数为：y- x,一次函数的解析式为：y=x+1 【小问2详解】 0C=4, .C(4,0) BC1x轴于点C,交一次函数的图象于点D, .点B的横坐标为4.点D的横坐标为4. 63 .yg=4=2,yp=4+1=5 a4引 D(4,5) 8m-5-32 3.7 过点B作BE‖x轴交一次函数y=x+1的图象交于点E,过点A作AF⊥BE与点F, 3 BD⊥BE,点E的纵坐标为2， AF=3-3_3 22, 3 3 把2代入y=x+1,得2x+1, 1 .= 2, 点引. 17 BE=4-。= 22, .SABD-SADBE-SEAB -D-BE-4r80 177137 22*222×2 2 B 70 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分， 21.(8分)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价 不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组 对应值 销售单价 2 2 4 6 8 0 x元 5 5 4 4 4 销售量/盒 6 2 8 4 0 (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后， 为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值 【答案】(1)y=-2x+80 (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： (1)利用待定系数法求解即可； (2)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出Ψ关于x函数表达式，然后 利用二次函数的性质求解即可； (3)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-×销售量求出w关于x的函数表 达式，然后利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：设y与x的函数表达式为y=ax+b 12k+b=56 把x=12y=56x=20’y=40代入，得20k+b=40, 「k=-2 解得b=80’ y与x的函数表达式为y=-2x+80: 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得w=(x-10)y =(x-10)(-2x+80) =-2x2+100x-800 =-2(x-25)2+450 当x=25时，w有最大值为450， 糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得w=(x-10-m)y =（x-10-m)(-2x+80) =-2x2+（100+2m)x-800-80m 当术= 100+2m_50+m 2×(-2) .糖果日销售获得的最大利润为392元， +1o0+2mj(0）-s0-s0m=392, 化简得m2-60m+116=0 解得m=2,m=58(舍去) .m的值为2， 22.(9分)某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）·某数学实践小组开展实 地测量活动，探测这座孔子雕像的高度.如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端 A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为 60°.雕像底端B与观测点D、C在同一条水平直线上，且AB1BC，求孔子雕像的高度 AB.(结果保留根号) Q 6045⊙ D C 甲 乙 【答案】 (18+6v5)m 【解析】 【分析】设AB=xm’ 解直角三角形得到BD. 3m,BC=m,根据cD=BC-BD=12m 建立方程求出x的值即可得到答案， 【详解】解：设AB=xm, ·AB⊥BC LB=90°； 在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=60° .BD= AB x-5xm): tanADB tan60°3 在Rt△4BC中，LABC=90°，LACB=45° ..BC=AB tanL4CB"tan45o=x(m）: ·CD=BC-BD=12m. t、 2x=12 解得x=18+6V3 .AB=18+65m 答：孔子雕像的高度AB为(18+65)m 23.(9分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A,B,与反比 例函数y=(x>0)的图象交于点C.已知点A的坐标为(-2,0)，点C的坐标为(L,6,点D在 反比例函数y=:>0的图像上，纵坐标为2. (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接BD,OD,请直接写出四边形ABD0的面积 6 【答案】(1)y= x,(0,4) (2)10 【解析】 【分析】(1)把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数 解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，令x=0,求出y的值， 即可得点B的坐标； (2)点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形 ABDO的面积等于△4OB,△BOD面积的和即可求解。 【小问1详解】 解：点C的坐标为10，且在反比例函数=x>0的图像上， 6= =1,即k=6? 一反比例函数的解析式为少=6 设直线AC的解析式为y=r+b(a≠0)，把A、C两点坐标分别代入得： [-2a+b=0 [a=2 a+b=6，解得： 1b=4, 即直线AC的解析式为y=2x+4; 上式中，令x=0,y=4 ·点B的坐标为(0,4)： 【小问2详解】 6 解：：点D在反比例函数y=x的图像上，纵坐标为2， 26 ) 解得：x=3； 由题意知，OA=2,OB=4 .S四边形AoDB=SMOB+SABOD -LOA-OB+OBXD 1 1 1 ×2×4+二×4×3 2 =10 【点晴】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例 函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键， 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24.(12分)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=x2+x经过点(3,3).点A、 B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1,已知点M(,),作点A关于点M的对称 点C,作点B关于点M的对称点D,构造四边形ABCD (I)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标； (3)设抛物线在A、B两点之间部分（含A、B两点）为图象G.当0<m<1时，若图象 G的最高点与最低点的纵坐标之差为2.求m的值； (4)连结OA、OB,当∠AOB=∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围（这里∠AOB、 LOAD、LOBC均是大于0°且小于180°的角)· 【答案】 (1)y=x2-2x e (4)3<m<4 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法，将点(3,3)代入y=x2+bx即可求解. (2)通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求m值，再根 据点关于点对称的中点公式求对称点坐标， (3)根据抛物线顶点及开口方向，确定区间m,m+1与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐 标，利用纵坐标差建立方程求解m (4)先利用中点公式计算求出各点的坐标，再通过点与点之间的坐标关系，根据几何条件 建立方程进而通过解方程求m. 【小问1详解】 将点(3,3)代入y=x2+bx中得： 3=9+3b 解得：b=-2, .y=x2-2x 【小问2详解】 b 根据抛物线对称轴公式=一2a可知： b-1 抛物线y=x2-2x的对称轴为x=2 ,A、B关于对称轴对称，且横坐标分别为m、m+1, .A、B中点在对称轴上， m+m+)=1 2 2m+1=2, 1 解得：m=。 2, .∵点A是该抛物线上的点， 1 将m=2代入抛物线解析式得， 3 y=- 4) 即行到 设C(x,)是A关于M,1的对称点，则： 2+x 1 3 +y 21, 2 2s1 解得2少 3 4 【小问3详解】 抛物线顶点为-)，开口向上，Am,m-2m)，B(m+l,m2-), 当0<m<1时，m≤x≤m+1包含x=1,最低点为y=-l。 当0≤m=时，与最高点为4，纵坐标差为：m-2m-(=m-= 1 √2 解得：m=1- 2； 当2<m<1时，>y4,最高点为B,纵坐标差为：m2-)-(1)=m2-) 2, 解得：m=2 2· 综上m的值为1二2或 【小问4详解】 :点C是点A关于点M的对称点，点D是点B关于点M的对称点，结合题意可知： 4+c=l.y4+必=l.+=l.B+2=1 2 2 ，2 2 .A(m,m-2m）,B(m+l,m2-1,C(2-m,-m2+2m+2,D(1-m,-m2+3)」 当OA、OB运动到平行四边形内部时（即A、O、D共线），如图： M 过点O作OH∥BC,如图： E ● D 此时，满足∠AOB=∠OAD+∠OBC, 由一次函数的性质可k的大小决定了直线的倾斜方向和函数的增减性， 所以当两条一次函数的直线平行时k的大小相同， .ko kop yA=yp ∴·xAD m2-2m-1m2+3 m 1-m 5 解得m= 当O、B、C共线时，如图，同理： 安 D .kgo=kco yB-yc ·xBXc’ m2-1-m2+2m+2 .m+1 2-m 解得m=4 综上，3m<4 【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行 四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键. 25.(12分)【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 如图，矩形广告牌ABCD的边CD 为11米，BC与水平地面垂直，支 柱EF长6.4米，且垂直于地面.无 人机从N点起飞，以3米乙秒的速 测量过程 度竖直向上飞行8秒到达M点，此 时测得C点的俯角为67.4°.D点 的俯角为36.9°（图中各点均在同 一平面内)· 活动过程 水平线G--- ≤.材 模型建构 B sin67.4°≈0.92c0s67.4°≈0.38 tan67.4°≈2.40 参考数据 sin36.9°≈0.60.cos36.9°≈0.80 tan36.9°≈0.75， 问题解决 求矩形广告牌ABCD的面积（结果 精确到1平方米)· 【答案】矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米 【解析】 【分析】过点CB分别作MN的垂线，垂足分别为H,P,则四边形CBPH,EFNP是矩形， 依题意，MN=3×8=24,∠GMD=36.9°，LGMC=67.4°，GM‖CD,DC=11 PN=EF=6.4,分别在R△MDH,R△MCH中求得DH,CH,根据DC=Il,建立方程，求得 MH进而求得BC的长，再求得矩形ABCD的面积，即可求解. 【详解】解：如图，过点C,B分别作MN的垂线，垂足分别为H,P,则四边形CBPH, EFNP是矩形， 水平线G 依题意，M=3×8=24,LGMD=36.9°，LGMC=67.4°，GM‖CD,DC=11. PN=EF=6.4 .∠MDH=LGMD=36.9°，LMCH=LGMC=67.4° 设MH-x,则an∠MDH=D=tan369°-0,75，am∠MCH-点-tam67.4P-24 DH CH .DC-DH-CH=x_x 0.7万2.4=1 解得：x=12 .MH=12 .CB=HP=MN-MH-PN=24-12-6.4=5.6 .ABCD的面积=BC×DC=5.6×11=61.6≈62 答：矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米