数学专项随堂训练题（二）方程与不等式-【名师领考】2027年广东省中考数学专项复习卷

数学专项随堂训练题（二) （方程与不等式)（参考答案与 解析) (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.不等关系在生活中广泛存在、如图，a、b分别表示两位同学的身高，C表示台阶的高度， 图中两人的对话体现的数学原理是() 你还是比我高 我比你高 A.若a>b,则a+c>b+C B.若a>b,b>c,则a>c a、b C.若a>b’c>0,则ac>bc D.若a>6’c>0,则2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键.根据不等式的性 质即可解答. 【详解】解：由作图可知：a>b,由右图可知：a+c>b+c,即A选项符合题意. 故选：A. 2.下列数中，能使不等式5x-1<6成立的x的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键.解不等式， 1 得到 5，以此判断即可 【详解】解：5x-1<6, 7 ∴.符合题意的是A 故选A. 3. 手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材 料用量如下表 材料 彩色纸 细木条 类别 (张) (捆) 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工 艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是( [5x+3y=17 f5x+3y=10 [5x+2y=17 [5x+2y=10 A. B. C D 2x+y=10 2x+y=17 3x+y=10 3x+y=17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用 量的二元一次方程组 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张.因此可列方程为： 5x+2y=17; 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆.因此可列方程为：3x+y=10: 「5x+2y=17 故方程组为： 3x+y=10; 故选C 4.已知P=V9+V5,以下对P的值估算正确的是() A.3<p<4 B.4<p<5 C.5<p<6 D.6<p<7 【答案】C 【解析】 【分析】先化简P,再估算无理数5的取值范围，即可推得P的范围，得到正确结果. 【详解】解：“p=9+5,且9=3 p=3+V5 :√4<V5<V5,即2<5<3， ∴不等式三边同时加3，得2+3<3+V5<3+3,即5<p<6 5.如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边.现有1g,3g,9g的砝码各一个，则 最多能称出整数克质量有() A.6种 B.7种 C.13种 D.14种 【答案】C 【解析】 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所 有可能的质量值即可· 【详解】解：设物体质量为x,砝码可以放在天平的左盘或右盘，则x的值为砝码质量的代 数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：x=1,x=3,x=9,共3种； 使用两个砝码：两砝码放在异侧（做减法）： 3-1=2,9-1=8,9-3=6: 两砝码放在同侧（做加法）：1+3=4,1+9=10,3+9=12；共6种； 使用三个砝码： 9+3+1=13:9+3-1=11；9+1-3=7;9-3-1=5;共4种 综上所述，能称出的整数克质量有：1,2,3,4,5,6,7,89,10,11,12,13，共13种 6.《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡.雀俱重，燕 俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现 有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重.聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻.若 将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同.已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中 国古代1斤=16两)·则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x,y 两，根据题意，可列出的方程组为() 4x+y=5y+x [5x+y=6y+x 4x+y=5y+x 5x+y=6y+x B D 5x+6y=16 5x+6y=16 x+y=16 x+y=16 【答案】A 【解析】 【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案 【详解】解：设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两 5只雀和6只燕总重1斤，且1斤=16两， ∴.可得方程5x+6y=16 将1只雀和1只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4只雀加1只燕，另一边为5只 燕加1只雀， .可得方程4x+y=5y+x, [4x+y=5y+x 因此可列方程组为 5x+6y=16· 7.已知关于x的一元二次方程x2-mx-n+mn+1=0,其中m,n满足m-2n=3,关于该方 程根的情况，下列判断正确的是（) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，若△=b2-4aC>0,则方程有两个不相等的实数根，若 △=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若△=b-4c<0,则方程没有实数根，据此 先求出m=2n+3,再求出△=(-m-4(-+m+1)的符号即可得到结论 【详解】解：.m-2n=3, ..m=2n+3 :.△=（-m)2-4-n2+mn+1 =m2+4n2-4mn+4. =(2n+3)2+4n2-4n(2n+3)+4 =4n2+12n+9+4n2-8n2-12n+4 =13>0 原方程有两个不相等的实数根， 故选：C -x+y=△ x=4 8.若方程组 2x-y=5的解为y=3,则。表示的数是（） A.-1 B.-2 C.1 D.2 【答案】A 【解析】 -x+y=△ x=4 【详解】解：方程组 2x-y=5的解为y=3, .△-4+3=-1 9.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从 3 中任意摸出一个球，摸到白球的概率为5，则红球的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键 设红球有x个，根据摸到白球的概率公式列方程求解 【详解】解：设红球有x个，则袋中总球数为(x+3列个， 3 摸到白球的概率为3+x, 33 根据题意得：3+x5, 解得：x=2 因此，红球的个数为2个. 故选：B 10.《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四 十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5 钱，少45钱；每人出7钱，少3钱.那么人数、羊价各是多少？若设人数为x,则可以列出 的方程为() A.5x+45=7x+3 B.5x+3=7x+45 C.5x+45=7x-3D.5x-45=7x+3 【答案】A 【解析】 【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列 出正确方程， 【详解】解：设人数为x, 每人出5钱，还差45钱， .羊价可表示为(5x+45)钱 每人出7钱，还差3钱， .羊价可表示为(7x+3)钱， 羊价固定不变， .可列方程为5x+45=7x+3 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11.(3分)老师布置了一个任务：对于非零实数a,b,满足a2-a=b2+b,探讨a-b的 值.小光解得a-b=1,但同桌认为小光的推理有问题.请你写出一组非零实数a,b,使原 等式成立，但a-b≠1.如： 【答案】 a=1,b=-1(答案不唯一) 【解析】 【分析】将原等式整理因式分解后可得（(a+b(a-b-)=0,满足a+b=0且a,b非零时，即 可满足a-b≠1且原等式成立. 【详解】解：a2-a=b2+b. a2-a-b2-b=0 (a2-b2）-(a+b)=0 (a-b)(a+b)-(a+b)=0 (a+b)(a-b-1)=0 要求原等式成立且a-b≠1，a,b为非零实数 ∴.只需满足a+b=0,且a≠0，b≠0 ∴.可取a=1,得b=-1 验证：左边a2-a=1P-1=0,右边b+b=(-)+(-)=0,左边=右边，且a-b=2≠1，符 合要求 12.(3分)如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点 D停止，连接AP,Q为AP的中点，连接BQ.设点P的运动路程为x,线段BQ的长为y, 图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系，当点P运动到CD中点时，BQ的长 度为 D 图1 图2 V145 【答案】 2 【解析】 【分析】根据函数图象可知，当点P运动到点B时，BQ取得最小值，当点P运动到点C时， BQ长度为5，利用直角三角形斜边中线性质求出AB和AC的长，进而求出BC的长，确定 矩形边长，当点P在CD中点时，延长BQ,CD,相交于点E,证明△4BO2△PEO(AAS)」 得到BO=EO,PE=AB=6,根据勾股定理求出BE,即可解答. 【详解】解：由图2可知，当x=a时，y取得最小值3，此时点P运动到点B, 点P与点B重合，且点O是AP的中点， .B0-AB=3 2 .AB=6; 当x=b时，y=5,此时点P运动到点C, B C(P) .四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90° 点是AC的中点， o-d0.5 .AC=10 在Rt△ABC中，BC=√AC2-AB2=V102-6=8, ∴.在矩形ABCD中，AD=BC=8,CD=AB=6. 延长BQ,CD,相交于点E, P D E 点Q是AP的中点， ..40=PO .在矩形ABCD中，AB∥CD, ·.LAB0=LE,LBAQ=LEPQ .△4BQ2△PEQ(AAS) ..BO=EO.PE=AB-6 点P是CD的中点， .CP-CD-x6-3 .CE=CP+PE=3+6=9 ,在矩形ABCD中，∠C=90°， .在Rt△BCE中，BE=VBC2+CE2=V82+92=V145, .·BQ=EQ B0-号BE=4 2 2· 13.(3分)如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、 乙槽、丙槽.有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字， 且每个小球所标数字互不相同.作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个 小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的 计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作.再重复以上操作两次。 已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分 最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 (从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选 填)· 甲 【答案】乙槽 【解析】 【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意， 得x+y+z=10,当y=z=1时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能 再出现，故第二次操作最小的是乙槽， 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键。 【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意， 得x+y+2=10,当y=2=1时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能 再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽 故答案为：乙槽 14.(3分)已知七，x2是关于x的一元二次方程x2-x+t=0的两个实数根，则+x巧的最 小值是 1 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将 X+号变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值。 【详解】解：，七是关于x的一元二次方程x2-x+t=0的两个实数根， .△=b2-4ac=(-1)2-4×1×t0. 解得1s , 由根与系数的关系得：+名=1，x2=1, X+x号=(x+x2)2-2xx2=12-2t=1-21 -2<0 .x+x号=1-2t随t的增大而减小， 1 .当取最大值4时，x+取得最小值， 代入得，最小值为1-2×{=1 42 15.(3分)中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是 设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学.其中天元式可以用来表示多项式，如 在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海 镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式144xr+5184x+2488320,则图 2表示的多项式的二次项系数为 144 5184 2488320 十‖≡m川=o 图1 图2 【答案】3780 【解析】 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项」 故图2中最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位 横)解读数值即可。 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， ·图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、 个位， 千位为横式=，表示3，百位为纵式 「，表示7，十位为横式 (参考图1中千位 8的表示)，表示8，个位为°，表示0， ·该多项式的二次项系数为3780 16.(3分)衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正 道，要严格遵守国家法律法规，同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则. 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的 命题：如果a,b,c为实数，且满足a+b=-C.那么2=1. 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有a+b=-C;( ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c;② 第三步：把②代入①，可得(2a-a)+(2b-b）=-(2c-c)；8 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c): ④ 第五步：把④两边同时除以(a+b+c),得2=1.⑤ 请你判断上述推理过程中，第一步是错误的，它违背了数学的基本法则. 【答案】⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可. 【详解】解：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方， 等式仍然成立， ∴对于等式2(a+b+c)=(a+b+c): 当a+b+c=0时，该等式恒成立； 当a+b+c≠0，两边同时除以(a+b+C),得2=1： .·a+b=-C, ..a+b+c=0 .上述推理过程中，第⑤步是错误的； 故答案为：⑤. 三、解答题（一)：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上 进行了“人机共跑测试”.测试赛道总长为800m,运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速 前行，到达终点后停止.机器人出发lmin后运动员才出发，运动员出发lmin后追上机器人. 如图，(，马分别表示运动员、机器人距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系. y/m 800 01 8 x/min (1)求4对应的函数表达式： (2)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离， 【答案】(1)y=200x-200(1≤x≤5) (2)300m 【解析】 【分析】(1)先求出4,4的交点为(2,200)，再由待定系数法求解4对应的函数表达式 (2)可求运动员在第5min时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终 点的距离 【小问1详解】 解：由题意得，机器人的速度为800÷8=l00m/min, 由题意得，运动员2min时追上机器人，此时机器人跑了l00×2=200m .4,5的交点为(2,200) 设对应的函数表达式为y=:+b,代入点(，0），(2,200)， [k+b=0 则12k+b=200 「k=200 解得1b=-200 .y=200x-200,当y=800时， 则200x-200=800,解得x=5, .4对应的函数表达式为y=200x-200(1≤x≤5)： 【小问2详解】 解：对于y=200x-200,当y=800时， 则200x-200=800 解得x=5, :.800-100×5=300m .当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为300m 18.(5分)钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键 比黑色琴键多16个，求白色琴键和黑色琴键的个数. 【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键. 设黑色琴键x个，则白色琴键x+16)个，可得方程x+(x+16)=88,再解方程即可. 【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键(x+16)个， 由题意得：x+(x+16)=88 解得：x=36 .白色琴键：36+16=52（个）， 答：白色琴键52个，黑色琴键36个. [2x-2<x① 19.(6分)求不等式组： x-1s2x-l②的所有整数解 2≤3 【答案】-1,0,1 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关 键.利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可· 2x-2<x① 【详解】解： x-12x-1② 2≤3 解不等式①，得：x<2; 解不等式②，得：x-1； ∴.不等式组解集为-1≤x<2. 所以该不等式组的所有整数解是-1,0,1. 20.(6分)“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求.已知 编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳19米；编织4个大号中国结和1个小号中国结 需用绳23米。 (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450米.设编 织m个大号中国结 ①求m的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为12元，每个小号中国结售价为8元，每米编织绳的成本为1元 其他成本总计90元.求该饰品店获得的最大利润. 【答案】(1)编织1个大号中国结需用绳5米，编织1个小号中国结需用绳3米 (2)①0<m≤45且m为整数；②该饰品店获得的最大利润为600元 【解析】 【分析】(1)设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳'米，利用题 目给的条件列出方程组，求解即可； (2)①由题得编织120-m)个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合m是计划编 织的大号中国结个数即可求出m的取值范围；②利用每米编织绳的成本为1元可得出编织1 个大号中国结和1个小号中国结各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利 用m的取值范围可得出最大利润. 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳'米， [2x+3y=19① 由题意得 4x+y=23②， ①×2得4x+6y=38③ ③②得5y=15，,解得y=3 把y=3代入②得x=5 x=5 故原方程组的解为y=3 答：编织1个大号中国结需用绳5米，编织1个小号中国结需用绳3米。 【小问2详解】 解：①依题意得5m+3(120-m)s450 化简得2m≤90 解得m≤45 因为m是计划编织的大号中国结个数， 所以m>0,为整数， 所以m的取值范围为0<m≤45，且m为整数. ②由题意得每个大号中国结用绳成本为5元，每个小号中国结用绳成本为3元， 设获得的利润为W元， 由题意得W=(12-5)×m+(8-3)×120-m)-90=2m+510 因为2>0，所以W随m的增大而增大， 由①知0<m≤45，且m为整数， 所以当m=45时，W最大，最大值为2×45+510=600， 答：该饰品店获得的最大利润为600元 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分. 21.(8分)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产 品加工企业有甲、乙两个组共35名工人，甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700 件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 12倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有20名工人，乙组有15名工人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有x名工人，则乙组有(35-)名工人 根据题意得5=×12，据此即可求解， 27003000 【详解】解：设甲组有x名工人，则乙组有(35-x)名工人. 27003000 根据题意得：35-x ×1.2 解答：x=20 经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意， ∴.35-x=35-20=15 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人 22.(9分)安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品，根据市场需求，合作 社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售.经了解，“红薯 粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀 粉”的袋数相等 (1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ (2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元.请问该游客有哪几种购 买方案？ 【答案】(1) “红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； (2) 该游客共有3种购买方案，分别为：方案一：购买红薯粉条1袋，红薯淀粉15袋；方案二： 购买红薯粉条4袋，红薯淀粉10袋；方案三：购买红薯粉条7袋，红薯淀粉5袋 【解析】 【分析】(1)根据两种商品购买袋数相等建立等量关系； (2)根据总费用列出二元一次方程，结合购买数量为正整数的条件，找出所有符合要求的 购买方案 【小问1详解】 解：设“红薯淀粉”每袋售价x元，则“红薯粉条”每袋售价x+4)元， 3018 根据题意得x+4x, 解得x=6, 检验：当x=6时，x(x+4)≠0， 因此x=6是原分式方程的解，x+4=10 答：“红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； 【小问2详解】 解：设购买“红薯粉条”a袋，购买“红薯淀粉b袋，其中a,b均为正整数， 根据题意得10a+6b=100 整理得b=50-5a 3 :b为正整数， .50-5a是3的正倍数，且50-5a>0, 即a<10. 当=1时，b=。文=15，符合要求 3 当。=4时，b=0二文410，符合要求 3 当a=7时，6=二×7=5，符合要求 3 答：该游客共有3种购买方案，分别是：①购买“红薯粉条”1袋，“红薯淀粉”15袋；②购买 “红薯粉条”4袋，“红薯淀粉”10袋；③购买“红薯粉条”7袋，“红薯淀粉”5袋 23.(9分)近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广 泛.某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡.如图，坡角为LA的斜坡AB长10m,铅 直高度BC长4.7m，∠C=90°.该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由. (参考数据：sin28°=0.47，sin35°=0.57) 【答案】一定能，理由如下： 在RA1BC中，∠C-90,sim∠A-BC=4 =0.47 AB 10 sin28°≈0.47 .LA≈28° 28°<35° ·该机器人一定能爬上斜坡AB. 【解析】 【分析】根据正弦函数的定义计算sin 4,求出LA,与35°比较，结合题意即可得出结论 【详解】略 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分， 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴的正半轴交于点A,与y轴 的负半轴交于点D,点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是 一元二次方程x2-4x-12=0的一个根.请解答下列问题： B 备用图 (1)求点D的坐标； (2)若线段BC垂直平分线交直线AD于点E,交x轴于点F,交BC于点G,点E在第一 象限，AE=32,连接BE,求tan LABE的值： (3)在(2)的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N,使以E、M、N为顶 点的三角形是直角边比为1：2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两 个点N的坐标；若不存在，请说明理由· 【答案】(1)D(0,-6) (2)3 (3)存在，12个，N(0,0),N2(8,0),N(10,0),N(12,0,N,(18,0) 【解析】 【分析】(1)先解方程求出OA=6，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标； (2)过点E作EH⊥AB于点H,求出AH=EH=3,然后证明△4EF≌△BGF,即可得到 BF=AF=2AH=6,然后求出∠ABE得正切值即可； (3)利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可. 【小问1详解】 解：解方程x2-4x-12=0得=6,2=-2， .0A=6,即点A的坐标为6,0)， 把(6,0)代入y=x+b得b=-6, .y=x-6,点D的坐标为(0，-6)； 【小问2详解】 解：过点E作EH⊥AB于点H, ·.·0A=0D=6. .∠OAD=∠0DA=∠EAH=45°，AD=VOA+OD2=V62+62=6N2, .AH EH AE.tan LEAH=32x -3 2 又ABCD是平行四边形， .BC=AD=6N2,AE‖BC, ·GE是BC的垂直平分线， :BG-BC-32-AE 2 ·AE‖BC .LEAF=LGBF,LAEF=∠FGB=90° .△4EF2△BGF, .BF=AF=2AH=6 ..BH=AF+FB-AH=6+6-3=9 .tan LABE=EH、1 BH=3; 6 x【小问3详解】 G 如图，当∠MEN=90°时，有4个， M2 E M 0 解：·∠EAW=45° .'EN =EA=3V2 由(2)得4N=6,0A=6, .OW=12 “点N得坐标为(12,0)： 当LENM=90°时，有4个，如图， Ms N N 当∠EMN=90°时，有4个，如图， y M12 E N A Ns No .·∠N,AM。=45° .N,M,=M1=2EM,=EA-3N2 .N,A=M,P+N,Mg=32+32=6, 点N,与0重合， 故点N得坐标为(0,0)， 综上所述，点△EMN的个数为12个，和点N的坐标为(0,0)或12,0） 【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三 角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键 25. (12分)综合与实践 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植 甲、乙两种蔬菜，如图，实践小组的同学沿着小路AC(忽略小路宽 度)把空地分成两个区域，其中区域（△ABC)种植甲种蔬菜，I区域 背 (△4CD)种植乙种蔬菜. 景 D B 素 用测量工具测得：AB=6米，BC=8米，CD=24米，AD=26米， 材 LABC=90°； 素 用200元购进甲种菜苗，1080元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲 材 种菜苗的单价多20%，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的4倍多200株； 素 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为75%，乙种菜苗成活率为 材 95% 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； 购买某种菜苗的费用 ③)任务三：从成活率看，菜苗实际成本G一实际成活的菜苗株数，比较大小：G Gz(填“>”<”或“=”) 【答案】(1)144平方米 (2)甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6元每株 (3)> 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理求得AC,进而根据勾股定理证明△4CD是直角三角形，且 ∠ACD=-90°，再根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解； (2)设甲菜苗的单价为x元每株，乙菜苗的单价为1.2x元每株，根据题意列出分式方程， 解方程，即可求解。 (3)根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解. 【小问1详解】 解：AB=6,BC=8,∠ABC=90°， .AC=VAB2+BC2=10米 CD=24米，AD=26米， .AC2=100,CD2=576,AD2=676 ...AD2=AC2+CD2 .△MCD是直角三角形，且LACD=90 +-号40xC+号4CxD-x6x8+分x10x24=14半方米 2 【小问2详解】 设甲菜苗的单价为x元每株，乙菜苗的单价为1+20%)x=1.2x元每株，根据题意得， 200 ×4+200= 1080 1.2x 解得：x=0.5，,经检验x=0.5是原方程的解，且符合题意， 乙菜苗的单价为1.2x=1.2×0.5=0.6元， 答：甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6元每株 【小问3详解】 200 甲种菜苗的数量为0.5 =400 (株)，成活数为400×75%=300（株） 6器 108 乙种菜苗的数量为0. 2-1800(株)，成活数为1800×959%=1710（株） 108012 G2-171019 212 319 .G>G2 数学专项随堂训练题（二）（方程与不等式） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2．下列数中，能使不等式成立的x的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　） A. B. C. D. 4．已知，以下对p的值估算正确的是（　　） A. B. C. D. 5．如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6．《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（　　） A. B. C. D. 7．已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8．若方程组的解为，则表示的数是（　　） A. B. C. 1 D. 2 9．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 12．（3分）如图1，点从矩形 的顶点出发，沿的方向运动至点停止，连接 ， 为 的中点，连接 ．设点的运动路程为，线段 的长为 ，图2表示点从运动到的过程中 与的函数关系．当点运动到中点时， 的长度为__________． 13．（3分）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 14．（3分）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 15．（3分）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 16．（3分）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有； ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有； ② 第三步：把②代入①，可得； ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得； ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． （1）求对应的函数表达式； （2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 18．（5分）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 19．（6分）求不等式组：的所有整数解． 20．（6分）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳米；编织4个大号中国结和1个小号中国结需用绳米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）某饰品店计划编织大、小号中国结共个进行销售，所用编织绳不超过米．设编织个大号中国结． ①求的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为元，每个小号中国结售价为元，每米编织绳的成本为元，其他成本总计元．求该饰品店获得的最大利润． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 22．（9分）安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀粉”的袋数相等． （1）求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ （2）某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元．请问该游客有哪几种购买方案？ 23．（9分）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： （1）求点D的坐标； （2）若线段垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； （3）在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（12分）综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路 （忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（ ）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的 倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 （1）任务一：求四边形空地的面积； （2）任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； （3）任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 学科网（北京）股份有限公司 $数学专项随堂训练题（二）( 方程与不等式) (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，C表示台阶的高度。 图中两人的对话体现的数学原理是() 你还是比我高 我比你高） A.若a>b,则a+c>b+C B.若a>b，,b>c,则a>c a b C.若a>b'c>0,则ac>bc D.若a>b'c>0,则。>C 2.下列数中，能使不等式5x-1<6成立的x的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材 料用量如下表 材料 彩色纸 细木条 类别 (张) (捆) 手工艺品A 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工 艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是() [5x+3y=17 f5x+3y=10 [5x+2y=17 [5x+2y=10 B D 2x+y=10 2x+y=17 3x+y=10 3x+y=17 4.已知P=V9+V5,以下对P的值估算正确的是() A.3<p<4 B.4<p<5 C.5<p<6 D.6<p<7 5.如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边.现有g,3g,9g的砝码各一个，则 最多能称出整数克质量有() A.6种 B.7种 C.13种 D.14种 6.《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡.雀俱重，燕 俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现 有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重.聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻.若 将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同.已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中 国古代1斤=16两)·则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x,y 两，根据题意，可列出的方程组为() 4x+y=5y+x [5x+y=6y+x 4x+y=5y+x 5x+y=6y+x 5x+6y=16 B. D 5x+6y=16 x+y=16 x+y=16 7.已知关于x的一元二次方程x-mx-n+mn+1=0,其中m,”满足m-2n=3,关于该方 程根的情况，下列判断正确的是（) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 -x+y=△ x=4 8.若方程组 2x-y=5的解为y=3,则表示的数是（) A.-1 B.-2 C.1 D.2 9.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从 3 中任意摸出一个球，摸到白球的概率为5，则红球的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 10.《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四 十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5 钱，少45钱；每人出7钱，少3钱.那么人数、羊价各是多少？若设人数为x,则可以列出 的方程为() A.5x+45=7x+3 B.5x+3=7x+45 C.5x+45=7x-3D.5x-45=7x+3 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11.(3分)老师布置了一个任务：对于非零实数a,b,满足a-a=+b,探讨a-b的 值.小光解得a-b=1,但同桌认为小光的推理有问题.请你写出一组非零实数a,b,使原 等式成立，但a-b≠1.如： 12.(3分)如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点 D停止，连接AP,Q为AP的中点，连接BQ·设点P的运动路程为x,线段BQ的长为y, 图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系，当点P运动到CD中点时，BQ的长 度为」 P B a 图1 图2 13.(3分)如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、 乙槽、丙槽.有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字， 且每个小球所标数字互不相同.作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个 小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的 计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作.再重复以上操作两次. 已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分 最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 (从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选 填) 14.(3分)已知，x2是关于x的一元二次方程x2-x+t=0的两个实数根，则x+的最 小值是 15.(3分)中国古代数学家李治的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是 设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学.其中天元式可以用来表示多项式，如 在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海 镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式144x2+5184x+2488320,则图 2表示的多项式的二次项系数为， 144 三T兰O 5184 2488320 ←十‖三m〨川l=O 元 图1 图2 16.(3分)衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正 道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则。 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的· 命题：如果a,b,c为实数，且满足a+b=-C,那么2=1. 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有a+b=-C；① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c; ② 第三步：把②代入①，可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c):⑧ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)-(a+b+c). ④ 第五步：把④两边同时除以(a+b+c),得2=1.⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则. 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上 进行了“人机共跑测试”.测试赛道总长为800m,运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速 前行，到达终点后停止·机器人出发lmin后运动员才出发，运动员出发lmin后追上机器人. 如图，(，马分别表示运动员、机器人距起点的距离(m)与时间x(mi)之间的关系。 /m4 800 01 8 x/min (1)求1对应的函数表达式； (2)求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离 18.(5分)钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键 比黑色琴键多16个，求白色琴键和黑色琴键的个数， 2x-2<x① 19.(6分)求不等式组： x-1三2x-l②的所有整数解 2 ≤ 3 20.(6分)“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求.已知 编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳19米；编织4个大号中国结和1个小号中国结 需用绳23米。 (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450米.设编 织m个大号中国结， ①求m的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为12元，每个小号中国结售价为8元，每米编织绳的成本为1元 其他成本总计90元.求该饰品店获得的最大利润 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分 21.(8分)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产 品加工企业有甲、乙两个组共35名工人·甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700 件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 12倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 22.(9分)安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品.根据市场需求，合作 社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售.经了解，“红薯 粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀 粉”的袋数相等. (1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ (2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元.请问该游客有哪几种购 买方案？ 23.(9分)近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广 泛.某台机器人能轻松爬上坡角不超过35的斜坡.如图，坡角为LA的斜坡AB长I0m,铅 直高度BC长4.7m,LC=90°.该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由。 (参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57) B 五、解答题（三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴的正半轴交于点A,与y轴 的负半轴交于点D,点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是 元二次方程x2-4x-12=0的一个根.请解答下列问题： B 备用图 (1)求点D的坐标； (2)若线段BC垂直平分线交直线AD于点E,交x轴于点F,交BC于点G,点E在第一 象限，AE=3V5,连接BE,求tan LABE的值； (3)在(2)的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N,使以E、M、N为顶 点的三角形是直角边比为1：2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两 个点W的坐标；若不存在，请说明理由 25. (12分)综合与实践 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植 背 甲、乙两种蔬菜.如图，实践小组的同学沿着小路AC(忽略小路宽 景 度)把空地分成两个区域，其中区域（△ABC)种植甲种蔬菜，川区域 (△4CD) 种植乙种蔬菜 D B 素 用测量工具测得：AB=6米，BC=8米，CD=24米，AD=26米， 材 LABC=90°； 素 用200元购进甲种菜苗，1080元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲 材 种菜苗的单价多20%，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的4倍多200株； 二 素 经过一 段时间的培育，甲种菜苗成活率为75%，乙种菜苗成活率为 材 95% 三 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； 购买某种菜苗的费用 (③)任务三：从成活率看，菜苗实际成本G= 实际成活的菜苗株数，比较大小：G G2(填“>”“<”或“=”) 数学专项随堂训练题（二）（方程与不等式）（参考答案与解析） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 2．下列数中，能使不等式成立的x的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 学科网（北京）股份有限公司 3．手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 4．已知，以下对p的值估算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再估算无理数的取值范围，即可推得的范围，得到正确结果． 【详解】解：，且 ， ，即 ， 不等式三边同时加 ，得，即． 5．如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码：  ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 6．《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两 ∵5只雀和6只燕总重1斤，且1斤=16两， ∴可得方程 将1只雀和1只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀， ∴可得方程 , 因此可列方程组为． 7．已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8．若方程组的解为，则表示的数是（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵方程组的解为， ∴． 9．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 10．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程． 【详解】解：设人数为， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵羊价固定不变， ∴可列方程为． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 【答案】 ，（答案不唯一） 【解析】 【分析】将原等式整理因式分解后可得，满足且非零时，即可满足且原等式成立． 【详解】解：， ∵要求原等式成立且，为非零实数 ∴只需满足，且， ∴可取，得 验证：左边，右边，左边右边，且，符合要求． 12．（3分）如图1，点从矩形 的顶点出发，沿的方向运动至点停止，连接 ， 为 的中点，连接 ．设点的运动路程为，线段 的长为 ，图2表示点从运动到的过程中 与的函数关系．当点运动到中点时， 的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象可知，当点P运动到点B时， 取得最小值，当点P运动到点C时， 长度为5，利用直角三角形斜边中线性质求出 和 的长，进而求出的长，确定矩形边长，当点P在中点时，延长 ，，相交于点E，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由图2可知，当时，y取得最小值3，此时点P运动到点B， ∵点P与点B重合，且点Q是 的中点， ∴， ∴ ； ∵当时， ，此时点P运动到点C， ∵四边形 是矩形， ∴， ∵点Q是 的中点， ∴， ∴， ∴在 中，， ∴在矩形 中，，． 延长 ，，相交于点E， ∵点Q是 的中点， ∴， ∵在矩形 中， ， ∴，， ∴， ∴，． ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵在矩形 中， ， ∴在中，， ∵， ∴． 13．（3分）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【解析】 【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽． 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键． 【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． 14．（3分）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 15．（3分）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【解析】 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项，故图2中最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位横）解读数值即可． 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示 ， 该多项式的二次项系数为． 16．（3分）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有； ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有； ② 第三步：把②代入①，可得； ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得； ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． ∴对于等式； 当时，该等式恒成立； 当，两边同时除以，得； ∵， ∴ ∴上述推理过程中，第⑤步是错误的； 故答案为：⑤． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． （1）求对应的函数表达式； （2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，的交点为，再由待定系数法求解对应的函数表达式； （2）可求运动员在第时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终点的距离． 【小问1详解】 解：由题意得，机器人的速度为， 由题意得，运动员时追上机器人，此时机器人跑了 ∴，的交点为 设对应的函数表达式为，代入点，， 则 解得 ∴，当时， 则，解得， ∴对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：对于，当时， 则， 解得， ∴ ∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为． 18．（5分）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键． 设黑色琴键x个，则白色琴键个，可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键个， 由题意得：， 解得：， ∴白色琴键：（个）， 答：白色琴键52个，黑色琴键36个． 19．（6分）求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 20．（6分）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳米；编织4个大号中国结和1个小号中国结需用绳米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）某饰品店计划编织大、小号中国结共个进行销售，所用编织绳不超过米．设编织个大号中国结． ①求的取值范围； ②已知每个大号中国结售价为元，每个小号中国结售价为元，每米编织绳的成本为元，其他成本总计元．求该饰品店获得的最大利润． 【答案】（1）编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米 （2）①且为整数；②该饰品店获得的最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，利用题目给的条件列出方程组，求解即可； （2）①由题得编织个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合是计划编织的大号中国结个数即可求出的取值范围；②利用每米编织绳的成本为元可得出编织1个大号中国结和1个小号中国结各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利用的取值范围可得出最大利润． 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 由题意得， 得， 得，解得， 把代入②得， 故原方程组的解为． 答：编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米． 【小问2详解】 解：①依题意得， 化简得， 解得， 因为是计划编织的大号中国结个数， 所以，为整数， 所以的取值范围为，且为整数． ②由题意得每个大号中国结用绳成本为5元，每个小号中国结用绳成本为3元， 设获得的利润为元， 由题意得， 因为，所以随的增大而增大， 由①知，且为整数， 所以当时，最大，最大值为， 答：该饰品店获得的最大利润为元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 22．（9分）安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀粉”的袋数相等． （1）求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ （2）某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元．请问该游客有哪几种购买方案？ 【答案】（1） “红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； （2） 该游客共有3种购买方案，分别为：方案一：购买红薯粉条1袋，红薯淀粉15袋；方案二：购买红薯粉条4袋，红薯淀粉10袋；方案三：购买红薯粉条7袋，红薯淀粉5袋． 【解析】 【分析】（1）根据两种商品购买袋数相等建立等量关系； （2）根据总费用列出二元一次方程，结合购买数量为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案． 【小问1详解】 解： 设“红薯淀粉”每袋售价元，则“红薯粉条”每袋售价元， 根据题意得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解， ， 答：“红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； 【小问2详解】 解：设购买“红薯粉条”袋，购买“红薯淀粉”袋，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得，  为正整数， 是3的正倍数，且， 即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 答：该游客共有3种购买方案，分别是：①购买“红薯粉条”1袋，“红薯淀粉”15袋；②购买“红薯粉条”4袋，“红薯淀粉”10袋；③购买“红薯粉条”7袋，“红薯淀粉”5袋． 23．（9分）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【解析】 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： （1）求点D的坐标； （2）若线段垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； （3）在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，12个， 【解析】 【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标； （2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可； （3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 解：解方程得，， ∴，即点A的坐标为， 把代入得， ∴，点D的坐标为； 【小问2详解】 解：过点E作于点H， ∵， ∴，， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，当时，有个， 解：∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴点N得坐标为； 当时，有个，如图， 当时，有个，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点与O重合， 故点得坐标为， 综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 25．（12分）综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路 （忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（ ）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的 倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 （1）任务一：求四边形空地的面积； （2）任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； （3）任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】（1）平方米 （2）甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理证明是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ，， ， ∴米 ∵米，米， ∴ ∴ ∴是直角三角形，且 ∴平方米； 【小问2详解】 设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， ∴乙菜苗的单价为元， 答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 【小问3详解】 甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株） 乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株） ∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $