数学专项随堂训练题（一）数与式-【名师领考】2027年广东省中考数学专项复习卷

数学专项随堂训练题（一）（数与式） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（　　） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 2．下列四个数中，最大是（　　） A. B. C. D. 3．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　　） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 4．2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6．下列实数中，无理数是（　　） A. B. 0 C. D. 7．下列运算结果是正数的是（　　） A. B. C. D. 8．中国是世界上首先使用负数的国家．如果把收入50元记作元，那么支出50元记作（　　） A. 元 B. 0元 C. 元 D. 元 9．完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 10．已知关于x分式方程无解，则k的值为（　　） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为______（用含的代数式表示）． 12．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作_________． 13．（3分）无人机警戒在高速公路场景中应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 14．（3分）若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则的最小值为____． 15．（3分）在实数，，，中，最大的数是_________． 16．（3分）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）在《全民阅读促进条例》实施后，某校为了解学生的阅读情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行问卷调查，并对每名学生的问卷情况进行了评估（满分100分）．将评估得分（单位：分）分为，，，四组进行统计，相关统计信息如下： 18．（5分）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 19．（6分）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 20．（6分）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式． （1）写出对应的表达式； （2）化简对应的表达式． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 22．（9分）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 23．（9分）如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（ ）（ ）； （）______； （2）兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； （2）已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； （3）若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 　 学科网（北京）股份有限公司 $数学专项随堂训练题（一）（数与式） (参考答案与解析) (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若收入10元记作+10元，则支出 5元可记作() A.-5元 B.5元 C.-10元 D.10元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示， 则支出用负数表示，数值为实际金额 根据正负数表示相反意义的量即可求解， 【详解】解：若收入10元记作+10元，则支出5元可记作-5元， 故选：A 2.下列四个数中，最大是() A.6.18×108 B.6.28×108 C.6.18×109 D.6.28×109 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进 行比较、求解.关键是能准确理解并运用以上知识 【详解】解：6.18×10=618000000,6.28×10=628000000,6.18×10°=6180000000 6.28×10°=6280000000 ,:618000000<628000000<618000000<6280000000 .6.18×108<6.28×108<6.18×10°<6.28×10， ∴.四个数中，最大的是6.28×10， 故选：D 3.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件， 改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 () A.200 B.300 C.400 D.500 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键。 设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为(x-100),根据“改造后 生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可. 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为(x-100) 600400 根据题意，得： xx-100, 解得：x=300 经检验x=300是分式方程解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数300 故选：B 4.2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农 村的义务教育经费保障机制.将“1582亿”用科学记数法表示为（) A.158.2×109 B.15.82×100 C.1.582×10 D.1.582×102 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×I0的形式，其中 1≤ak10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.确定n的值时，要看把原数 变成a时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于 10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数 【详解】解：1582亿=1582×108=1.582×101 故选：C 5.若-3)×C的运算结果为正数，则W内的数字可以为() A.2 B.1 C.0 D.-1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出-3 与四个选项中的数的乘积即可得到答案， 【详解】解：（-3列×2=-6，（-3)×1=-3，(-3)×0=0.（-3)×(-)=3 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D 6.下列实数中，无理数是() 2 A.-3 B.0 C D.5 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念， 有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无 理数，由此即可判定选择项 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：兀，π等；开方开不尽的 数：以及像0.1010010001…，等数. 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是5 故选：D 7.下列运算结果是正数的是() A.3 B.-32 c.--3 D.-V5 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的 意义，熟练掌握运算法测是解题的关键 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择 即可 【详解】解：A、3=3是正数，符合题意 B、-3=-9是负数，不符合题意； C、--3到=-3是负数，不符合题意： D、-V3是负数，不符合题意； 故选：A 8.中国是世界上首先使用负数的国家.如果把收入50元记作+50元，那么支出50元记作( A.+50元 B.0元 C.-50元 D.-100元 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相反意义的量，根据正负数的意义，收入与支出为相反意义的量，收入 记为正，则支出记为负.据此进行解答即可， 【详解】解：题目中规定收入50元记作+50元，因此支出作为相反意义的量，应记为负数」 支出50元应为-50元， 故选：C 9.完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是() A.2 B.5 C.10 D.20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面 积计算公式求出对应的边长即可 【详解】解：完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴.一个正方形的面积为100÷4=25， 正方形的边长为V25=5, 故选：B 0,已知关于x分式方程一3-2=3-无解，则K的值为( A.k=2或k=-1 B.k=-2 C.k=2或k=1 D.k=-1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键.先将 分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可. 【详解】解：去分母得，a-2(x-3)=-3, 整理得，（化-2）x=-9 当k=2时，方程无解， 当k≠2时，令x=3, 解得k=-1, 所以关于的分式方程“。一2一 3 =3-x无解时，k=2或k=-1 故选：A. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11.(3分)如图，四边形ABCD中，ADBC,AD>AB,AD=a,AB=10.以点A为 圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E,连接AE,以点E为圆心，适当长为半径作 弧，分别与EA,EC相交于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径 作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P,作射线EP,与AD相交于点F,则FD的长为 (用含a的代数式表示). 【答案】a-10 【解析】 【分析】本题考查了作图一作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识 点是解题的关键. 利用基本作图得到AE=AB=I0,EF平分∠AEC,,接着证明LAEF=LAFE得到 AF=AE=10,然后利用FD=AD-AF求解. 【详解】解：由作法得AE=AB=I0,EF平分∠AEC, ..LAEF =LCEF ·.AD‖BC, .LAFE=∠CEF .LAEF=∠AFE, ..AF =AE =10. ..FD=AD-AF=a-10 故答案为：a-10 12.(3分)中国是世界上最早使用负数的国家.负数广泛应用到生产和生活中，例如，若 零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作 【答案】-2 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正， 则另一个就用负表示 【详解】解：零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作-2℃.， 故答案为：-2. 13.(3分)无人机警戒在高速公路场景中应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践 方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬 停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500m，从 点A观测点P的仰角为4，cosa=0.98,则A处到B处的距离为 m A B 【答案】490 【解析】 【分析】利用仰角的余弦解答即可. 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得AB=APcosa=500×0.98=490m, 故答案为：490 14。(3分】若a,么.c是三个不为零的实数，且心=bc,则口的最小值为 【答案】-拼0.25 【解析】 【分析】利用已知条件a=bc对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再 用配方法最小值即可。 【详解】解：a=bc,且a,b,c都不为0， ∴.bc≠0， 设t则r>0,原式t-小t-, ,（子4，当时，原式取得能小值子 即二的最小值为子 4 15.(3分)在实数2,0,3，√5中，最大的数是 【答案】 5 【解析】 【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0,0大于负数，先排除负数与0，再比较两个正 数2和V5的大小，即可得到最大的数： 4 【详解】解：3是负数，因此3<0， 2和V5都是正数，都大于0，且2<V5, 4<0<2<5 ∴最大的数是V⑤ 16.(3分)如图，已知△MBC中，AB=3,AC=5,BC=7,点P在BC边上运动，连接 AP.当△4BP和△MPC的内切圆半径相等时，设BP=t,则AP= (用含t的代数 式表示)· B 21-8t 【答案】2t-7 【解析】 【分析】设左边圆的圆心为O,过点O分别作OD L AB,OE⊥BP,OF⊥AP,垂足分别为 点D,E,F,则可设AP=x,OD=OE=OF=r,根据SMp=Saop+SAop+SAMOB,得到 SABP +x+3 t+x+3 则SA4P 1(12-t+x)r 12-t+x, BP t t+x+3t 而S△ACP Cp7-t,即可得到12-1+x7-1,即可求解. 【详解】解：设左边圆的圆心为O,过点O分别作OD上AB,OE⊥BP,OF⊥AP,垂足分 别为点D,E,F .⊙O为△4BP的内切圆， ·.OD=OE=OF 设AP=x,OD=OE=OF=r SMBP =SABOP +SMOP +SMOB ..AB=3.BP=t.AC=5 BC=7. .PC=7-1 SBPxrAxrBx(BPP4)+x+3) :△4BP和△MPC的内切圆半径相等 同理可得，Sm(4C+PC+4Pr5+7-+r=2-1+ SAABP +x+3y 2 t+x+3 :·SACP 52-1+ 12-t+x BP t 又：SMCP CP-7-1 t+x+3 t .12-t+x7-t 21-8t 解得x 21-7,即AP=21-8 2t-7· 三、解答题（一)：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分. 17.(5分)在《全民阅读促进条例》实施后，某校为了解学生的阅读情况，从七、八年级 各随机抽取50名学生进行问卷调查，并对每名学生的问卷情况进行了评估（满分100分）· 将评估得分x(单位：分)分为A(x<70),B(70≤x<80),C(80≤x<90),D(90sx≤100) 四组进行统计，相关统计信息如下： 七年级学生得分条形图 八年级学生得分扇形图 人数 30 D A 25 18% 16% 0 15 4 C 10 24% 42% B D得分 【答案】(1)25；补全条形图如图：(2)300人(3)七、八年级样本平均数相同，从中 位数、众数看，八年级学生得分的中位数、众数高于七年级，说明八年级的得分更好.（或 七、八年级样本平均数相同，从方差看，七年级得分的方差比八年级的方差小，说明七年级 的得分数据更整齐，写出一条合理即可) 【解析】(1)先求出组人数，再补全条形统计图即可； 【解析】(2)根据样本估计总体的方法解答即可； 【解析】(3)从中位数、众数、方差等方面分析即可； 【解析】解：七年级学生得分条形图中，组人数为人； 【解析】补全条形统计图见答案 【解析】解：由题意得，随机抽样的50名八年级学生中得分不低于80分的人数占比是， 【解析】所以估计八年级学生得分不低于80分的人数为（人）· 【解析】略 18.(5分)我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城 市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的 纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数 100以上（含 1~99 量 100) 邮寄费 总价的 免费邮寄 用 10% 折扇价 不优惠 打九折 格 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设设一次 邮购折扇(x<100)把，则另一次邮购折扇(200-x)把，根据“两次邮购折扇共花费1504元” 列出一元一次方程，求解即可 【详解】解：若每次购买都是100把，则200×8×0.9=1440≠1504. .一次购买少于100把，另一次购买多于100把. “设一次邮购折扇x<100)把，则另一次邮购折扇(200-)把 由题意得：8x1+10%)+0.9×8(200-x)=1504 解得x=40 .200-x=200-40=160 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把 19,(6分)为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七 (3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用时间与乙组包 120个粽子所用的时间相同.求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子. 【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子. 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用.设乙组每小时包x个粽子，则甲组每小时包 (+20)个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之 并检验后即可得出结果. 【详解】解：设乙组平均每小时包x个粽子，则甲组平均每小时包(x+20)个粽子， 由题意得： 150120 x+20=x,解得：x=80, 经检验：x=80是分式方程的解，且符合题意， ∴.分式方程的解为：x=80 ..x+20=100 答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子. 20.(6分)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作 出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹.设a,b,c为两两不同的数，称 a" b" B“a-bja-可*6-cb-可*c-jc--0123)为欧拉分式。 (1)写出6对应的表达式； (2)化简对应的表达式 1 【答案】(1)B(a-bj(a-c*(b-c)b-a(c-ac-b (2)B=0 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，利用分式的加减法计算是解题的 关键. (1)将n=0代入欧拉公式即可； (2)将n=1代入欧拉公式化简计算即可. 【小问1详解】 解：当n=0时， a° b° B-(a-b)(a-c)"(b-c)(b-a)"(c-a)(e-b) 1 1 1 "Ta-B)(a-c)"(b-c)(b-a)"(c-a)(c-b) 【小问2详解】 a b R-(a-b)(a-c)"(b-c)(b-a)"(c-a)(c-b) a b "(a-b)(a-c)-(b-c)(a-b)"(a-c)(b-c) _a(b-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-b)(a-c)(b-c) -ab-ac-ab+bc+ca-be (a-b)(a-c)(b-c) ab-ac-ab+bc+ca-bc (a-b)(a-c)(b-c) =0 四、解答题（二)：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分. 21.(8分)某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少 1吨，20吨水可以使用天数是原来的2倍.问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用.理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键。 设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水(x+)吨，根据“20 吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水(x+)吨， 2020 根据题意，得xx+ ×2 解得：x=1, 经检验，x=1是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨。 22.(9分)在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九(6)班同学需要翻越一座小山. 他们由山脚A处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300m到达B处，再沿坡角为30°的山坡行 走200m到达山顶C处.估计这座小山的高度，（参考数据：sin42°≈0.67、cos42°≈0.74 tan42°≈0.90，结果保留整数) B 【答案】301米 【解析】 【分析】通过构造直角三角形，分别求出BF、CH，利用分段垂直高度累加法，由 CG=CH+BF即可求解. 【详解】解：过点B作BF⊥AD于F,过点C作CG⊥AD于G,交BE于点H. B GD 由题意可得：AD‖BE .CH⊥BE 四边形BFGH为矩形，故GH=BF, 在R1△4BF中，AB=300米，∠BAF=42°， BF=300×sin42°≈300×0.67=201（米） .HG=201米 在Rt△BCH中，BC=200米，∠CBE=30° G=200xsin30°=200×=100（米 小山高度CG=CH+HG=100+201=301(米). 答：这座小山的高度301米。 23.(9分)如图，四边形ABCD是矩形，AB=6cm，,BC=8cm.点E以每秒lcm的速度沿 B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S△r=2cm'.点G与点E同时出发，以 每秒2cm的速度沿折线D→C→A方向运动.设运动时间为x秒(0<x<8),点F与点B的 距离为少，点G与点C的距离为，. y/cm 10 9 O 8 6 5 G 4 2 O12345678910x/秒 (1)请直接写出，2关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，'2的图象；结合函数图象，直接写出 <时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过02）· 「6-2x(0<x≤3) 12x-6(3<x<8) (2) y/cm 10 9 8 7 68 5 4 p=6-2x 3 ==E== O12345678910x/秒 1<x<2或3.6<x<8 【解析】 【分析】 (I)求的函数表达式：先根据点E的运动速度得到BE=x,再根据LB=90°， 将直角边BE和BF代入三角形面积公式，可得出BF即的表达式；根据点G沿 D→C→A运动，G速度为2cm/s,当0<x≤3时，=6-3x,当3<x<8时， 2=2(x-3)=2x-6，分两种情况解答. (2)根据、2的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象， 【小问1详解】 解：四边形ABCD是矩形，AB=6cm,BC=8cm. .∠B=90°， ..AC=AD2+CD2=10 (cm), :点E以每秒lCm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S△Bsr=2cm2 运动时间x秒， .'BE =xcm, S--BEBF 2 2x%=2 4 y= x(0<x<8）; :点G沿D→C→A运动，G速度为2Cm/s,DC=AB=6cm, 当0<x≤3时，=6-2x D G E 当3<x<8时，=2(x-3)=2x-6 G F B E [6-2x(0<x≤3) 综上，2= 2x-6(3<x<8) 【小问2详解】 解：列表： 1 x 0 1 2 8 2 y 8 4 2 1 ? 2 3 5 2 y2 6 5 0 4 6 10 以表中每对x、片的值和x、2的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依 次连接各点，得到和2的图象. 由图象看出当<2时，1<x<2或3.6<x<8. y/cm 10 9 8 1 68 5 y2x-6 4 3 2 O12345678910x/秒 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 24.(12分)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为。-少(x,y均为 自然数)”的问题 (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： N 奇数 4的倍数 表示 1=12-02 4=22-02 3=22-12 8=32-12 5=32-22 12=42-22 结果 7=42-32 16=52-32 9=52-42 20=62-42 L 一般 2n-1=n2-(n-1} 4n= 结论 按上表规律，完成下列问题： (i)24=()2-(2: (i)4n=; (2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14，这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示 为-y(x,y均为自然数)·师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n-2=x2-y,其中x,y均为自然数. 分下列三种情形分析： ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则2-y=(2k-(2m=4(k2-m）为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故xy不可能均为偶数. ②若x,y均为奇数，设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然 数， 则x2-y2=(2k+-(2m+= 为4的倍数 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x,y不可能均为奇数。 ③若x,y一个是奇数一个是偶数，则x-y为奇数， 而4n-2是偶数，矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知，猜测正确， 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容。 【答案】(1)(i)7,5；(i)(n+1-(n-1)2: (2)4k2-m2+k-m) 【解析】 【分析】(1)(i)根据规律即可求解；(i)根据规律即可求解； (2)利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关 键. 【小问1详解】 (i)由规律可得，24=7-52 故答案为：7,5； (i)由规律可得，4n=(n+1-(n-12 故答案为：(m+1-(n-1: 【小问2详解】 解：假设41-2=-y,其中x,y均为自然数， 分下列三种情形分析： ①若，y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则x2-y=(2k-(2m=4(k2-m)为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x,y不可能均为偶数. ②若x,y均为奇数，设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数， 则x2-y=(2k+-(2m+1=4(k2-m2+k-m)为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故，y不可能均为奇数。 ③若x,y一个是奇数一个是偶数，则x-y为奇数 而4n-2是偶数，矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知，猜测正确， 故答案为：4(k2-m2+k-m) 25.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2br-4经过点（-山，m) (1)若m=1,则b= 通过配方可以将其化成顶点式为 (2)已知点(，乃)，(，)在抛物线上，其中x<x,.若m>0且2x+2x≤5，比较与y2 的大小关系，并说明理由； (3)若b=0,将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y=c+4交于A,B两点， 直线与y轴交于点C,点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F,连接AF,CF. 求证：CF2-CE. 【答案】(1)2，y=(x-2)2-8 (2)>,理由见解析 (3)证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等 知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键。 (1)将点（一1,1)代入二次函数的解析式即可得b的值，再利用完全平方公式进行配方，化成 顶点式即可得； ②先术出0>》从而可得抛的线的对称轴x=6>号、再求出当<6，得山点收，y】 3 到对称轴的距离大于(×2，y2)到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得； (3)先分别求出点C,E,F的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证. 【小问1详解】 解：抛物线y=X-2bx-4经过点（-山，m),且m=1, 将点（-1,1)代入y=x2-2br-4得：1+2b-4=1, 解得b=2, 则y=x2-4x-4化成顶点式为y=(x-2}-8, 故答案为：2，y=(x-2)}2-8 【小问2详解】 解：少>2，理由如下： :抛物线y=x2-2br-4经过点（-1，m), .m=1+2b-4 .·m>0 1+2b-4>0,即6> 2, 二次函数y=r-2bx-4=(x-b-4-公的对称轴为直线=b> 2 2x+2x2≤5 .24 x+<b」 .2 又<龙， 点(×，y1)到对称轴的距离大于(×2y2)到对称轴的距离， 又抛物线的开口向上， .y>y2. 【小问3详解】 证明：若b=0,则y=x2-4, 将y=x-4向上平移4个单位得到新抛物线y=x2-4+4=x2, :抛物线y=x2与直线y=+4交于点A, 设点A的坐标为A(n,n2）, 将x=0代入y=+ 4得：y= 4, co) 点E为AC中点， :EF⊥x轴于点F, r cr-径-ojo-6 -程-+6 40 =40 L 数学专项随堂训练题（一）（数与式）（参考答案与解析） （本卷满分120分，共25小题） 学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（　　） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额． 根据正负数表示相反意义的量即可求解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元， 故选：A． 2．下列四个数中，最大是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 3．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　　） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是分式方程解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数． 故选：B． 4．2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故选：C． 5．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D． 6．下列实数中，无理数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 7．下列运算结果是正数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A． 8．中国是世界上首先使用负数的国家．如果把收入50元记作元，那么支出50元记作（　　） A. 元 B. 0元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相反意义的量，根据正负数的意义，收入与支出为相反意义的量，收入记为正，则支出记为负．据此进行解答即可． 【详解】解：题目中规定收入50元记作元，因此支出作为相反意义的量，应记为负数．支出50元应为元， 故选：C． 9．完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 10．已知关于x分式方程无解，则k的值为（　　） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：零上记作，则零下记作．， 故答案为：． 13．（3分）无人机警戒在高速公路场景中应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用仰角的余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 14．（3分）若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件 对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解： ，且都不为， ， ， 设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 15．（3分）在实数，，，中，最大的数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0，0大于负数，先排除负数与0，再比较两个正数和的大小，即可得到最大的数． 【详解】解：∵是负数，因此， 和都是正数，都大于0，且， ∴， ∴最大的数是． 16．（3分）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22分． 17．（5分）在《全民阅读促进条例》实施后，某校为了解学生的阅读情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行问卷调查，并对每名学生的问卷情况进行了评估（满分100分）．将评估得分（单位：分）分为，，，四组进行统计，相关统计信息如下： 【答案】（1）25；补全条形图如图： （2）300人 （3） 七、八年级样本平均数相同，从中位数、众数看，八年级学生得分的中位数、众数高于七年级，说明八年级的得分更好．（或七、八年级样本平均数相同，从方差看，七年级得分的方差比八年级的方差小，说明七年级的得分数据更整齐，写出一条合理即可） 【解析】（1）先求出组人数，再补全条形统计图即可； 【解析】（2）根据样本估计总体的方法解答即可； 【解析】（3）从中位数、众数、方差等方面分析即可； 【解析】解：七年级学生得分条形图中，组人数为人； 【解析】补全条形统计图见答案 【解析】解：由题意得，随机抽样的50名八年级学生中得分不低于80分的人数占比是， 【解析】所以估计八年级学生得分不低于80分的人数为（人）． 【解析】略 18．（5分）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设设一次邮购折扇把，则另一次邮䝧折扇把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元一次方程，求解即可 【详解】解：若每次购买都是100把，则． 一次购买少于100把，另一次购买多于100把． 设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把． 由题意得：， 解得． ． 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把． 19．（6分）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子． 【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果． 【详解】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子， 由题意得： ，解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴分式方程的解为：， ∴ 答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子． 20．（6分）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式． （1）写出对应的表达式； （2）化简对应的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，利用分式的加减法计算是解题的关键． （1）将代入欧拉公式即可； （2）将代入欧拉公式化简计算即可． 【小问1详解】 解：当时， 【小问2详解】 ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分． 21．（8分）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可． 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 22．（9分）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【答案】米 【解析】 【分析】通过构造直角三角形，分别求出、，利用分段垂直高度累加法，由即可求解． 【详解】解：过点作于 ，过点 作于 ，交于点． 由题意可得：， ∴， ∴四边形为矩形，故， 在中，米，， （米） ∴米． 在 中，米，， （米） 小山高度（米）． 答：这座小山的高度米． 23．（9分）如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）（）； （2） 或 【解析】 【分析】（1）求的函数表达式：先根据点E的运动速度得到，再根据，将直角边和代入三角形面积公式，可得出即​的表达式；根据点沿运动， 速度为，当时，，当时，，分两种情况解答． （2）根据、的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，． ∴， ∴（）， ∵点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．运动时间秒， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）； ∵点沿运动， 速度为，， ∴当时，， 当时，， 综上，． 【小问2详解】 解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 8 4 2 1 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、的值和x、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象． 由图象看出当时，或． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24．（12分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（ ）（ ）； （）______； （2）兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】（1）（），；（）； （2） 【解析】 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【小问1详解】 （）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； （2）已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； （3）若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 【答案】（1）2， （2），理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得； （2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得； （3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． 【小问3详解】 证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $数学专项随堂训练题（一）（数与式） (本卷满分120分，共25小题) 学校： 姓名： 准考证号： 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若收入10元记作+10元，则支出 5元可记作() A.-5元 B.5元 C.-10元 D.10元 2.下列四个数中，最大是() A.6.18×108 B.6.28×108 C.6.18×109 D.6.28×109 3.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件， 改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 () A.200 B.300 C.400 D.500 4.2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农 村的义务教育经费保障机制.将“1582亿”用科学记数法表示为（) A.158.2×10 B.15.82×1010 C.1.582×10 D.1.582×102 5.若(3)×C的运算结果为正数，则W内的数字可以为() A.2 B.1 C.0 D.-1 6.下列实数中，无理数是（) A.-3 B.0 c.3 D.5 7.下列运算结果是正数的是（ A.31 B.-32 C.--3 D.-V5 8.中国是世界上首先使用负数的国家.如果把收入50元记作+50元，那么支出50元记作( ) A.+50元 B.0元 C.-50元 D.-100元 9.完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是() A.2 B.5 C.10 D.20 3 10.已知关于x分式方程x-3 -2= 3-x无解，则k的值为() A.k=2或k=-1 B.k=-2 C.k=2或k=1 D.k=-1 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11.(3分)如图，四边形ABCD中，AD‖BC，AD>AB,AD=a,AB=10.以点A为 圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E,连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作 1 孤，分别与EA'EC相交于点M:N,再分别以点M,N为圆心，大于三MN的长为半径 作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P,作射线EP，与AD相交于点F,则FD的长为 (用含a的代数式表示) F D M 12.(3分)中国是世界上最早使用负数的国家.负数广泛应用到生产和生活中，例如，若 零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作 ℃. 13.(3分)无人机警戒在高速公路场景中应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践 方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬 停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500m，从 点A观测点P的仰角为4，cos=0.98,则A处到B处的距离为. m A 14。(3分)若a、6c是三个不为零的实数，且d=bc,则巴的最小值为一 15.(3分)在实数2,0,3，√5中，最大的数是 16.(3分)如图，已知△4BC中，AB=3,AC=5,BC=7,点P在BC边上运动，连接 AP.当△MBP和△4PC的内切圆半径相等时，设BP=t,则AP= (用含t的代数 式表示) 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18小题各5分，第19、20小题各6分，共22 分 17.(5分)在《全民阅读促进条例》实施后，某校为了解学生的阅读情况，从七、八年级 各随机抽取50名学生进行问卷调查，并对每名学生的问卷情况进行了评估（满分100分）· 将评估得分x(单位：分)分为A(x<70),B(70≤x<80),C(80sx<90)D(90sx≤100) 四组进行统计，相关统计信息如下： 七年级学生得分条形图 八年级学生得分扇形图 人数 30--- D A 25 18% 16% 0 15 14 B 10 24% 42% 0 B D得分 18. (5分)我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城 市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的 纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数 100以上（含 1~99 量 100) 邮寄费 总价的 免费邮寄 用 10% 折扇价 不优惠 打九折 格 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 19.(6分)为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动，已知七 (3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用时间与乙组包 120个粽子所用的时间相同.求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子. 20.(6分)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作 出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹.设a,b,c为两两不同的数，称 a" b” Ba-bja-可十6-cb-口*c-0c-)-0123)为欧拉分式. (1)写出对应的表达式： (2)化简对应的表达式 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各9分，共26分， 21.(8分)某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少 1吨，20吨水可以使用天数是原来的2倍.问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 22.(9分)在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九(6)班同学需要翻越一座小山。 他们由山脚A处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300m到达B处，再沿坡角为30°的山坡行 走200m到达山顶C处.估计这座小山的高度，（参考数据：si42°=0.67、cos42°≈0.74 tan42°≈0.90，结果保留整数) B 23.(9分)如图，四边形ABCD是矩形，AB=6cm,BC=8Cm.点E以每秒lCm的速度沿 B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S△r=2cm'.点G与点E同时出发，以 每秒2Cm的速度沿折线D→C→A方向运动.设运动时间为x秒(0<x<8),点F与点B的 距离为，点G与点C的距离为，. ◆y/cm 10 9 D 8 6 5 4 3 O12345678910x秒 (1)请直接写出，2关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数少，2的图象；结合函数图象，直接写出 <2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24.(12分)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为-y(x,y均为 自然数)”的问题 (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： 奇数 4的倍数 1=12-02 4=22-02 3=22-12 8=32-12 表示 结果 5=32-22 12=42-22 7=42-32 16=52-32 9=52-42 20=62-42 人 L 一般 2n-1=n2-(n-12 41n= 结论 按上表规律，完成下列问题： (i)24=()2-()2; (i）4n=; (2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14，…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数V不能表示 为-y(x,y均为自然数)·师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n-2=x2-y,其中xy均为自然数。 分下列三种情形分析： ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则2-y2=(2k-(2m=4(k2-m2)为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x,y不可能均为偶数. ②若x,y均为奇数，设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然 数， 则2-y=(2k+-(2m+=一为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x'不可能均为奇数. ③若x,y一个是奇数一个是偶数，则x-y为奇数. 而4n-2是偶数，矛盾.故七，'不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容。 25.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2bx-4经过点（-1，m) (1)若m=1,则b= ，通过配方可以将其化成顶点式为 (2)已知点(，乃)，(x,少)在抛物线上，其中x<.若m>0且2x+2x≤5，比较与2 的大小关系，并说明理由； (3)若6=0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y=c+4交于A,B两点， 直线与y轴交于点C,点E为AC中点，过点E作r轴的垂线，垂足为点F,连接AF,CF.