高一数学人教A版必修第一册期中复习知识清单（集合与逻辑·不等式·函数）

高一数学（人教版）必修第一册 期中复习知识清单 第一章 集合与常用逻辑用语　　第二章 一元二次函数、方程和不等式　　第三章 函数的概念与性质 第一章　集合与常用逻辑用语 ◎ 命题解码（期中常怎么命题） 、考向聚焦 期中核心考查集合的运算（交集、并集、补集）与集合间的关系（子集、真子集、相等），以及充分条件与必要条件、全称量词与存在量词的判断．期中多以单选题、填空题形式出现，属基础送分题，通常占 分左右，是试卷的“开门题”；常与一元二次不等式、含参数集合结合命题，考查数形结合与分类讨论思想。 、期中高频失分点（思维瓶颈）， （）忽略空集的特殊性，讨论 时遗漏 ，导致分类讨论不完整； （）混淆充分必要条件的判断方向，误将“”当作“”，或不会用“小范围推大范围”快速判断； （）对描述法中“代表元素”理解偏差（如混淆点集 与数集 ），导致运算错误； （）全称量词与存在量词的否定规则不熟练，否定时遗漏量词或漏改结论。 、能力清单 数学抽象（理解集合、命题、量词概念）；逻辑推理（判断充要条件、掌握量词否定）；数学运算（交、并、补运算）；分类讨论（含参集合分空集与非空讨论）。 ◎ 一图串考法 ◎ 考点清单 考点　集合与元素 、集合元素的三个特性：________、________、________。 、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 ________ 或 ________ 表示。 、集合的表示法：________、________、________。 、常见数集的记法： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 （或） 【易错提醒】 ① 区分数集与点集： 表示使 有意义的 的取值（数集） 表示直线上点的集合（点集），二者元素类型不同； ② 是元素不是空集：； 是不含任何元素的集合（空集不是元素）； ③ 用描述法表示集合，务必先看清“代表元素”是什么，再确定是数集、点集还是其他集合。 考点　集合间的基本关系 关系 文字语言 符号语言 子集 集合的所有元素都是集合的元素 （或） 真子集 ，且中至少有一个元素不属于 （或） 相等 集合、的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 【易错提醒】（空集陷阱是本章最常丢分处） ① 涉及 、 或 求参数时，必须先讨论 的情形； ② 空集不是 ，也不是 ： 是含一个元素 的集合 是含一个元素 的集合； ③ 含 个元素的集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 考点　集合的基本运算 、交、并、补运算的表示（设全集为）： 运算 并集 交集 补集 符号语言 、集合运算中的常用结论（二级结论）： （）并集的性质：；；；； （）交集的性质：；；；； （）补集的性质：；；；；（德摩根律）。 【方法技巧】 ① 用“运算结果”判断包含关系：；；；，是期中选择题的快速解法； ② 已知集合运算结果求参数：先把已知集合化简（如解不等式、解方程），再画数轴或 图，借助图形分类讨论；求出参数后要回代检验（端点值的取舍）； ③ 补集思想：正面情形较多时，先求其补集。如“”可先求 再取补集。 【易错提醒】 端点取舍：解集边界含不含端点是失分高发点。参数取到使区间端点“重合”的值时，务必回代验证是否满足题意（如是否包含、是否为空集）。 考点　常用逻辑用语 、充分条件与必要条件： 命题 推出关系 条件关系 若，则为真 是的充分条件是的必要条件 若，则为假 不是的充分条件不是的必要条件 、充要条件：若 且 ，则 是 的充要条件，记作 。 、全称量词命题与存在量词命题： （）全称量词“所有的”“任意一个”，符号 ；全称量词命题：； （）存在量词“存在一个”“至少有一个”，符号 ；存在量词命题：； （）命题的否定：；。口诀：全称变存在，存在变全称，结论要否定。 【方法技巧】 ① 充分、必要条件判断三法：定义法（判断 与 是否成立）、集合法（ 对应的集合是 对应集合的子集 是 的充分条件）、等价转化法（ 等价于 ，即原命题与逆否命题同真同假）； ② “ 是 的必要不充分条件” 且 ，即 的范围真包含 的范围； ③ 求参数的取值范围（充要条件、充分不必要条件）：把条件转化为集合之间的包含关系，列不等式（组）求解。 【易错提醒】 ① 判断方向：分清“ 是 的什么条件”与“ 是 的什么条件”，二者结论正好相反； ② 量词否定：既要改量词（↔），又要否定结论，二者缺一不可； ③ “充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四种表述不要混用。 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ◎ 命题解码（期中常怎么命题） 、考向聚焦 期中核心考查一元二次函数的图象与性质、一元二次方程的根、一元二次不等式的解法，以及“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）与基本不等式的综合应用。题型以选择、填空为主，偶尔在解答题第一问出现，通常占 分，是期中考试的重点章节；注重数形结合与分类讨论思想。 、期中高频失分点（思维瓶颈） （）解一元二次不等式时忽略二次项系数 的符号，导致不等号方向错误； （）“三个二次”转化不熟练，不会利用判别式、韦达定理、函数图象分析根的分布； （）基本不等式求最值时忽略“一正二定三相等”，或等号取不到仍套用结论； （）恒成立问题与存在性问题混淆，不会转化为函数最值问题。 、能力清单 数学抽象（三者内在联系）；逻辑推理（用判别式判断根的情况、分析恒成立条件）；数学运算（解不等式、求最值）；直观想象（画二次函数图象分析解集与最值）。 ◎ 一图串考法 ◎ 考点清单 考点　等式与不等式的性质 、等式的性质：对称性、传递性、可加（减）性、可乘性、可除性。 、不等式的性质： 性质 别名 内容 注意 对称性 可逆 传递性 同向 可加性 可逆 可乘性 ； 看的符号 同向可加性 同向 正数同向可乘性 同正同向 正数乘方性 （） 同正 【易错提醒】 ① 可乘性必须看 的符号： 时不等号方向要改变，这是选择题常设陷阱； ② 同向可加性可直接用，但同向不可相减： 不能推出 ； ③ 乘方、开方、取倒数都需正数前提，且不能随意约去含字母的式子（先判断其符号）。 【方法技巧】 比较大小三法：作差法（作差—变形—定号，最常用）；作商法（两式同正时与 比较）；特值法（选择题举反例快速排除）。 考点　三个二次之间的关系 判别式 （）的根 有两相异实根 （） 有两相等实根 / 没有实数根 （）的解集 （）的解集 【方法技巧】 ① 解一元二次不等式的步骤：化正（使 ）→求根（判判别式）→写解集（大于取两边，小于取中间）； ② 三个“二次”相互转化：不等式的解集端点即方程的根；方程根的分布由二次函数图象与 轴交点决定； ③ 一元二次不等式恒成立（对 ）： 且 时 恒成立； 且 时 恒成立； 时需单独讨论。 【易错提醒】 ① 二次项系数含参数时，必须先讨论 与 两种情形； ② “大于取两边，小于取中间”只适用于 时需先化正； ③ 解集为 或 的含参不等式，要同时满足系数符号与判别式的条件。 考点　基本不等式 、重要不等式：（，当且仅当 时取等号）。 、基本不等式：/（，当且仅当 时取等号）。 （）成立条件：一正（）、二定（和或积为定值）、三相等（）； （）算术平均数 / 不小于几何平均数 。 、利用基本不等式求最值（）： （）积定和最小：若 为定值 ，则当且仅当 时 有最小值 ； （）和定积最大：若 为定值 ，则当且仅当 时 有最大值 /。 【方法技巧】 ① 拼凑法：通过添项、拆项、凑系数，把式子配成“积定”或“和定”的形式； ② 换元法：含分式、根式时，设新元把式子化为可用基本不等式的形式； ③ “”的代换：已知 （或 ），求 // 型最值，常用乘“”技巧。 【易错提醒】 ① 用基本不等式求最值必须三条件齐全“一正二定三相等”，尤其要检验“等号能否取到”； ② 等号取不到时不能直接套结论，改用单调性（对勾函数）求最值； ③ 连续多次使用基本不等式时，各次等号成立的条件要一致（能同时取到）。 第三章　函数的概念与性质 ◎ 命题解码（期中常怎么命题） 、考向聚焦 期中核心考查函数的概念与三要素（定义域、值域、对应关系）、函数的单调性与最值、函数的奇偶性，以及幂函数的图象与性质。题型涵盖选择、填空与解答题（基础问），是期中考试的重头戏，通常占 分；常将分段函数、抽象函数与单调性、奇偶性综合命题，注重数形结合与转化化归思想。 、期中高频失分点（思维瓶颈） （）忽略函数定义域的限制（分式分母不为、偶次根式被开方数非负、次幂底数不为等），导致解析式运算或性质判断出错； （）求值域时不会选择方法（换元法、配方法、单调性法），或忽略定义域对值域的限制； （）判断奇偶性前忘记验证定义域关于原点对称； （）单调区间书写错误（用“”连接）、复合函数单调性判断错误（忘“同增异减”）。 、能力清单 数学抽象（理解函数概念本质）；逻辑推理（由单调性、奇偶性推导结论）；数学运算（求定义域、值域、解析式）；直观想象（画函数图象分析性质）。 ◎ 一图串考法 ◎ 考点清单 考点　函数的概念及其表示 、函数的定义：一般地，设 是非空的数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有________的数 和它对应，那么就称 ：→ 为从集合 到集合 的一个函数，记作 。 、函数的三要素：________、________、________。 、相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等。 、分段函数：在定义域内，对于自变量取值的不同区间，有不同的对应关系．分段函数是一个函数，定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，各段定义域互不交叉。 【方法技巧】 ① 求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法（消元法）； ② 抽象函数定义域： 与 中“括号内整体的取值范围相同”，据此求定义域。 【易错提醒】 ① 求定义域优先：分式分母、偶次根式被开方数、次幂底数（本期还要求对数真数）； ② 求值域必须在定义域内进行，不可脱离定义域； ③ 判断相等函数只看定义域和对应关系，与自变量用什么字母、用什么方式表示无关。 考点　函数的单调性 、单调性的定义：设函数 的定义域为 ，区间 。如果对 内任意两个自变量 ，当 时，都有 ________，则 在区间 上单调递增；当 时，都有 ________，则 在区间 上单调递减。 、单调区间：递增区间、递减区间统称单调区间。单调区间必须用“，”或“和”连接，不能用“”。 、判断（证明）单调性的方法： （）定义法：取值→作差→变形（因式分解、通分）→定号→下结论； （）图象法：图象上升为增、下降为减； （）性质法：增增增，减减减，增减增，减增减； 与 单调性相反； 与 /（恒正或恒负）单调性相反； （）复合函数 ：“同增异减”。 【方法技巧】 ① 定义法证明单调性是期中解答题高频步骤，务必按“取值—作差—变形—定号—结论”完整书写； ② 复合函数单调性：内、外层函数单调性相同则复合为增，相反则复合为减（同增异减）。 【易错提醒】 ① 单调区间是定义域的子集，区间端点若在定义域内可开可闭； ② 不能在多个单调区间上写“”，如“在上单调递增”的写法是错误的； ③ “ 在某区间上单调递增”与“在多个区间上分别单调递增”含义不同。 考点　函数的最值 、最大值：设函数 的定义域为 ，若存在实数 ，满足：①对任意 ，都有 ；②存在 ，使得 。则称 是函数的最大值。 、最小值：将上述“”改为“”，即得最小值的定义。 、二次函数在闭区间 [] 上的最值（重点）：一看开口方向，二看对称轴 / 与区间的位置关系（对称轴在区间左、区间内、区间右三种情形），三看区间端点。 【方法技巧】 ① 求最值常用方法：配方法、单调性法、图象法、换元法、基本不等式法； ② 二次函数闭区间最值：对称轴在区间内时取顶点值，对称轴在区间外时取端点值；对称轴“动”或区间“动”时要分类讨论。 【易错提醒】 求二次函数在闭区间上的最值，必须先判断对称轴 / 与区间的位置关系，不能只代两个端点求值。 考点　函数的奇偶性 、奇偶性的定义： 偶函数：对定义域内任意 ，都有 ________，图象关于________对称； 奇函数：对定义域内任意 ，都有 ________，图象关于________对称。 、判断奇偶性的步骤：①先求定义域，判断是否关于原点对称（不对称则为非奇非偶）；②再比较 与 的关系。 、常用结论： （）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数单调性相反； （）若奇函数在 处有定义，则 ； （）奇奇奇，偶偶偶，奇偶奇，奇奇偶，偶偶偶； （） 为偶函数 为奇函数。 【方法技巧】 ① 已知奇偶性求解析式：设 ，用 代入已知解析式，再利用 （奇）或 （偶）求解； ② 奇偶性与单调性结合比大小、解不等式：利用奇函数在对称区间单调性相同，把自变量化到同一单调区间再比较。 【易错提醒】 ① 判断奇偶性前必须先验证定义域关于原点对称，这是最常见的失分点； ② 奇函数不一定有 ，只有 在定义域内时才有 ； ③ 偶函数满足 ，解含偶函数的不等式可先化为 的形式。 考点　幂函数及其性质 、幂函数的定义：一般地，函数 ^ 叫做幂函数，其中 是自变量 是常数。 特征：^ 的系数为________；底数 是自变量；指数 为常数。三个条件缺一不可。 、幂函数的图象与性质（重点：^）： （）所有幂函数在 上都有定义，图象都过点________； （） 时，图象过原点，在 [ 上单调递增； （） 时，在 上单调递减，图象不过原点（如 ）； （）在第一象限，随幂指数的增大，图象越来越靠近 轴。 【方法技巧】 比较幂值大小：化为同指数（利用单调性）或同底数（借助中间量），也可借助第一象限图象“指数越大越靠近轴”判断。 【易错提醒】 只有形如 ^ 的函数才是幂函数；、、 等都不是幂函数，注意与二次函数区分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中复习知识清单 第一章 集合与常用逻辑用语　　第二章 一元二次函数、方程和不等式　　第三章 函数的概念与性质 第一章　集合与常用逻辑用语 ◎ 命题解码（期中常怎么命题） 、考向聚焦 期中核心考查集合的运算（交集、并集、补集）与集合间的关系（子集、真子集、相等），以及充分条件与必要条件、全称量词与存在量词的判断．期中多以单选题、填空题形式出现，属基础送分题，通常占 分左右，是试卷的“开门题”；常与一元二次不等式、含参数集合结合命题，考查数形结合与分类讨论思想。 、期中高频失分点（思维瓶颈）， （）忽略空集的特殊性，讨论 时遗漏 ，导致分类讨论不完整； （）混淆充分必要条件的判断方向，误将“”当作“”，或不会用“小范围推大范围”快速判断； （）对描述法中“代表元素”理解偏差（如混淆点集 与数集 ），导致运算错误； （）全称量词与存在量词的否定规则不熟练，否定时遗漏量词或漏改结论。 、能力清单 数学抽象（理解集合、命题、量词概念）；逻辑推理（判断充要条件、掌握量词否定）；数学运算（交、并、补运算）；分类讨论（含参集合分空集与非空讨论）。 ◎ 一图串考法 ◎ 考点清单 考点　集合与元素 、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 ∈ 或 ∉ 表示。 、集合的表示法：列举法、描述法、图示法。 、常见数集的记法： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 （或） 【易错提醒】 ① 区分数集与点集： 表示使 有意义的 的取值（数集） 表示直线上点的集合（点集），二者元素类型不同； ② 是元素不是空集：； 是不含任何元素的集合（空集不是元素）； ③ 用描述法表示集合，务必先看清“代表元素”是什么，再确定是数集、点集还是其他集合。 考点　集合间的基本关系 关系 文字语言 符号语言 子集 集合的所有元素都是集合的元素 （或） 真子集 ，且中至少有一个元素不属于 （或） 相等 集合、的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 【易错提醒】（空集陷阱是本章最常丢分处） ① 涉及 、 或 求参数时，必须先讨论 的情形； ② 空集不是 ，也不是 ： 是含一个元素 的集合 是含一个元素 的集合； ③ 含 个元素的集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 考点　集合的基本运算 、交、并、补运算的表示（设全集为）： 运算 并集 交集 补集 符号语言 、集合运算中的常用结论（二级结论）： （）并集的性质：；；；； （）交集的性质：；；；； （）补集的性质：；；；；（德摩根律）。 【方法技巧】 ① 用“运算结果”判断包含关系：；；；，是期中选择题的快速解法； ② 已知集合运算结果求参数：先把已知集合化简（如解不等式、解方程），再画数轴或 图，借助图形分类讨论；求出参数后要回代检验（端点值的取舍）； ③ 补集思想：正面情形较多时，先求其补集。如“”可先求 再取补集。 【易错提醒】 端点取舍：解集边界含不含端点是失分高发点。参数取到使区间端点“重合”的值时，务必回代验证是否满足题意（如是否包含、是否为空集）。 考点　常用逻辑用语 、充分条件与必要条件： 命题 推出关系 条件关系 若，则为真 是的充分条件是的必要条件 若，则为假 不是的充分条件不是的必要条件 、充要条件：若 且 ，则 是 的充要条件，记作 。 、全称量词命题与存在量词命题： （）全称量词“所有的”“任意一个”，符号 ；全称量词命题：； （）存在量词“存在一个”“至少有一个”，符号 ；存在量词命题：； （）命题的否定：；。口诀：全称变存在，存在变全称，结论要否定。 【方法技巧】 ① 充分、必要条件判断三法：定义法（判断 与 是否成立）、集合法（ 对应的集合是 对应集合的子集 是 的充分条件）、等价转化法（ 等价于 ，即原命题与逆否命题同真同假）； ② “ 是 的必要不充分条件” 且 ，即 的范围真包含 的范围； ③ 求参数的取值范围（充要条件、充分不必要条件）：把条件转化为集合之间的包含关系，列不等式（组）求解。 【易错提醒】 ① 判断方向：分清“ 是 的什么条件”与“ 是 的什么条件”，二者结论正好相反； ② 量词否定：既要改量词（↔），又要否定结论，二者缺一不可； ③ “充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四种表述不要混用。 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ◎ 命题解码（期中常怎么命题） 、考向聚焦 期中核心考查一元二次函数的图象与性质、一元二次方程的根、一元二次不等式的解法，以及“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）与基本不等式的综合应用。题型以选择、填空为主，偶尔在解答题第一问出现，通常占 分，是期中考试的重点章节；注重数形结合与分类讨论思想。 、期中高频失分点（思维瓶颈） （）解一元二次不等式时忽略二次项系数 的符号，导致不等号方向错误； （）“三个二次”转化不熟练，不会利用判别式、韦达定理、函数图象分析根的分布； （）基本不等式求最值时忽略“一正二定三相等”，或等号取不到仍套用结论； （）恒成立问题与存在性问题混淆，不会转化为函数最值问题。 、能力清单 数学抽象（三者内在联系）；逻辑推理（用判别式判断根的情况、分析恒成立条件）；数学运算（解不等式、求最值）；直观想象（画二次函数图象分析解集与最值）。 ◎ 一图串考法 ◎ 考点清单 考点　等式与不等式的性质 、等式的性质：对称性、传递性、可加（减）性、可乘性、可除性。 、不等式的性质： 性质 别名 内容 注意 对称性 可逆 传递性 同向 可加性 可逆 可乘性 ； 看的符号 同向可加性 同向 正数同向可乘性 同正同向 正数乘方性 （） 同正 【易错提醒】 ① 可乘性必须看 的符号： 时不等号方向要改变，这是选择题常设陷阱； ② 同向可加性可直接用，但同向不可相减： 不能推出 ； ③ 乘方、开方、取倒数都需正数前提，且不能随意约去含字母的式子（先判断其符号）。 【方法技巧】 比较大小三法：作差法（作差—变形—定号，最常用）；作商法（两式同正时与 比较）；特值法（选择题举反例快速排除）。 考点　三个二次之间的关系 判别式 （）的根 有两相异实根 （） 有两相等实根 / 没有实数根 （）的解集 （）的解集 【方法技巧】 ① 解一元二次不等式的步骤：化正（使 ）→求根（判判别式）→写解集（大于取两边，小于取中间）； ② 三个“二次”相互转化：不等式的解集端点即方程的根；方程根的分布由二次函数图象与 轴交点决定； ③ 一元二次不等式恒成立（对 ）： 且 时 恒成立； 且 时 恒成立； 时需单独讨论。 【易错提醒】 ① 二次项系数含参数时，必须先讨论 与 两种情形； ② “大于取两边，小于取中间”只适用于 时需先化正； ③ 解集为 或 的含参不等式，要同时满足系数符号与判别式的条件。 考点　基本不等式 、重要不等式：（，当且仅当 时取等号）。 、基本不等式：/（，当且仅当 时取等号）。 （）成立条件：一正（）、二定（和或积为定值）、三相等（）； （）算术平均数 / 不小于几何平均数 。 、利用基本不等式求最值（）： （）积定和最小：若 为定值 ，则当且仅当 时 有最小值 ； （）和定积最大：若 为定值 ，则当且仅当 时 有最大值 /。 【方法技巧】 ① 拼凑法：通过添项、拆项、凑系数，把式子配成“积定”或“和定”的形式； ② 换元法：含分式、根式时，设新元把式子化为可用基本不等式的形式； ③ “”的代换：已知 （或 ），求 // 型最值，常用乘“”技巧。 【易错提醒】 ① 用基本不等式求最值必须三条件齐全“一正二定三相等”，尤其要检验“等号能否取到”； ② 等号取不到时不能直接套结论，改用单调性（对勾函数）求最值； ③ 连续多次使用基本不等式时，各次等号成立的条件要一致（能同时取到）。 第三章　函数的概念与性质 ◎ 命题解码（期中常怎么命题） 、考向聚焦 期中核心考查函数的概念与三要素（定义域、值域、对应关系）、函数的单调性与最值、函数的奇偶性，以及幂函数的图象与性质。题型涵盖选择、填空与解答题（基础问），是期中考试的重头戏，通常占 分；常将分段函数、抽象函数与单调性、奇偶性综合命题，注重数形结合与转化化归思想。 、期中高频失分点（思维瓶颈） （）忽略函数定义域的限制（分式分母不为、偶次根式被开方数非负、次幂底数不为等），导致解析式运算或性质判断出错； （）求值域时不会选择方法（换元法、配方法、单调性法），或忽略定义域对值域的限制； （）判断奇偶性前忘记验证定义域关于原点对称； （）单调区间书写错误（用“”连接）、复合函数单调性判断错误（忘“同增异减”）。 、能力清单 数学抽象（理解函数概念本质）；逻辑推理（由单调性、奇偶性推导结论）；数学运算（求定义域、值域、解析式）；直观想象（画函数图象分析性质）。 ◎ 一图串考法 ◎ 考点清单 考点　函数的概念及其表示 、函数的定义：一般地，设 是非空的数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 ：→ 为从集合 到集合 的一个函数，记作 。 、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 、相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等。 、分段函数：在定义域内，对于自变量取值的不同区间，有不同的对应关系．分段函数是一个函数，定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，各段定义域互不交叉。 【方法技巧】 ① 求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法（消元法）； ② 抽象函数定义域： 与 中“括号内整体的取值范围相同”，据此求定义域。 【易错提醒】 ① 求定义域优先：分式分母、偶次根式被开方数、次幂底数（本期还要求对数真数）； ② 求值域必须在定义域内进行，不可脱离定义域； ③ 判断相等函数只看定义域和对应关系，与自变量用什么字母、用什么方式表示无关。 考点　函数的单调性 、单调性的定义：设函数 的定义域为 ，区间 。如果对 内任意两个自变量 ，当 时，都有 f(x₁)<f(x₂)，则 在区间 上单调递增；当 时，都有 f(x₁)>f(x₂)，则 在区间 上单调递减。 、单调区间：递增区间、递减区间统称单调区间。单调区间必须用“，”或“和”连接，不能用“”。 、判断（证明）单调性的方法： （）定义法：取值→作差→变形（因式分解、通分）→定号→下结论； （）图象法：图象上升为增、下降为减； （）性质法：增增增，减减减，增减增，减增减； 与 单调性相反； 与 /（恒正或恒负）单调性相反； （）复合函数 ：“同增异减”。 【方法技巧】 ① 定义法证明单调性是期中解答题高频步骤，务必按“取值—作差—变形—定号—结论”完整书写； ② 复合函数单调性：内、外层函数单调性相同则复合为增，相反则复合为减（同增异减）。 【易错提醒】 ① 单调区间是定义域的子集，区间端点若在定义域内可开可闭； ② 不能在多个单调区间上写“”，如“在上单调递增”的写法是错误的； ③ “ 在某区间上单调递增”与“在多个区间上分别单调递增”含义不同。 考点　函数的最值 、最大值：设函数 的定义域为 ，若存在实数 ，满足：①对任意 ，都有 ；②存在 ，使得 。则称 是函数的最大值。 、最小值：将上述“”改为“”，即得最小值的定义。 、二次函数在闭区间 [] 上的最值（重点）：一看开口方向，二看对称轴 / 与区间的位置关系（对称轴在区间左、区间内、区间右三种情形），三看区间端点。 【方法技巧】 ① 求最值常用方法：配方法、单调性法、图象法、换元法、基本不等式法； ② 二次函数闭区间最值：对称轴在区间内时取顶点值，对称轴在区间外时取端点值；对称轴“动”或区间“动”时要分类讨论。 【易错提醒】 求二次函数在闭区间上的最值，必须先判断对称轴 / 与区间的位置关系，不能只代两个端点求值。 考点　函数的奇偶性 、奇偶性的定义： 偶函数：对定义域内任意 ，都有 f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称； 奇函数：对定义域内任意 ，都有 f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称。 、判断奇偶性的步骤：①先求定义域，判断是否关于原点对称（不对称则为非奇非偶）；②再比较 与 的关系。 、常用结论： （）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数单调性相反； （）若奇函数在 处有定义，则 ； （）奇奇奇，偶偶偶，奇偶奇，奇奇偶，偶偶偶； （） 为偶函数 为奇函数。 【方法技巧】 ① 已知奇偶性求解析式：设 ，用 代入已知解析式，再利用 （奇）或 （偶）求解； ② 奇偶性与单调性结合比大小、解不等式：利用奇函数在对称区间单调性相同，把自变量化到同一单调区间再比较。 【易错提醒】 ① 判断奇偶性前必须先验证定义域关于原点对称，这是最常见的失分点； ② 奇函数不一定有 ，只有 在定义域内时才有 ； ③ 偶函数满足 ，解含偶函数的不等式可先化为 的形式。 考点　幂函数及其性质 、幂函数的定义：一般地，函数 ^ 叫做幂函数，其中 是自变量 是常数。 特征：^ 的系数为1；底数 是自变量；指数 为常数。三个条件缺一不可。 、幂函数的图象与性质（重点：^）： （）所有幂函数在 上都有定义，图象都过点(1,1)； （） 时，图象过原点，在 [ 上单调递增； （） 时，在 上单调递减，图象不过原点（如 ）； （）在第一象限，随幂指数的增大，图象越来越靠近 轴。 【方法技巧】 比较幂值大小：化为同指数（利用单调性）或同底数（借助中间量），也可借助第一象限图象“指数越大越靠近轴”判断。 【易错提醒】 只有形如 ^ 的函数才是幂函数；、、 等都不是幂函数，注意与二次函数区分。 学科网（北京）股份有限公司 $