精品解析：四川绵阳市三台中学2026-2027学年高二上学期9月质量检测数学试题

三台中学2025级高二数学9月质量检测 考试时间：120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生成绩是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本量 2. 某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为的样本，则高一年级应抽取的人数为（ ） A. B. C. D. 3. 某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A. 众数<平均数<中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 中位数<平均数<众数 D. 众数=平均数=中位数 4. 已知向量，满足，，且向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4 5. 一个盒子中装有标号为，，，，的张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是有放回的，两张标签上的数字为相等整数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若A，B独立，则 C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 7. 已知向量，，且，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一组数据的平均数和方差分别为2026，27，若向这组数据中再添加一个数据为2026，新数据组的平均数和方差分别为，，则（　　）. A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互斥事件的是（ ） A. 事件M“选取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被选中” B. 事件M“选取的3人中至少有1名女生”，事件N“选取的3人中至少有1名男生” C. 事件M“选取的3人中恰有1名男生”，事件N“选取的3人中恰有1名女生” D. 事件M“选取的3人中至多有1名女生”，事件N“选取的3人中恰有1名男生” 10. 学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙班每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是（ ） A. 平均来说乙班比甲班防守技术好 B. 甲班在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C. 乙班很少不失球 D. 甲班比乙班技术水平更稳定 11. 随着人们生活水平的提高，给自己买保险是一种新趋势，因此某保险公司为客户定制了5个健康险种供顾客购买：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙，e生保；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.5个健康险种推出一定时间后，该保险公司对5个险种的购买客户进行抽样调查，经数据处理得出统计图如图： 若用该样本估计总体，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群的人均参保费用最少且不同年龄人均参保费用随年龄增大而增加 B. 30周岁以上人群占参保人群的79% C. 甲、乙、丙三种参保险种的比例和比参保险种戊的大 D. 丁险种更受参保人喜爱 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 把答案填在答卷中的横线上． 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________． 13. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 14. 甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则的概率为___________（用最简分数表示） 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 16. 为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛．在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； （2）如果你作为射击队教练，你会挑选哪一名运动员参加运动会，并说明理由． 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一~五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数； （3）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的第85百分位数. 18. 某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． （1）若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； （2）若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； （3）商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 19. 某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分，若两轮总分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A类的5个问题中，小明只能答对个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响． （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）求小芳总分为70分的概率； （3）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学2025级高二数学9月质量检测 考试时间：120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生成绩是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本量 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体，个体，样本，样本量的定义判断即可. 【详解】由题意可得200名学生成绩是样本． 2. 某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为的样本，则高一年级应抽取的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总体的抽样比与高一年级的抽样比相等列等式可求得高一年级所抽取的学生人数. 【详解】该中学高中学生总人数为， 设高一年级所抽取的学生人数为，由题意可得，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是容易题目. 3. 某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A. 众数<平均数<中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 中位数<平均数<众数 D. 众数=平均数=中位数 【答案】B 【解析】 【详解】由频率分布直方图可知，样本数据在左侧较集中，右侧尾部较长，分布呈右偏. 在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数是使左右两侧面积均为0.5的分界点，平均数受右侧较大数据的影响更明显. 因此平均数最大，中位数居中，众数最小，即众数<中位数<平均数. 4. 已知向量，满足，，且向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，， 则． 5. 一个盒子中装有标号为，，，，的张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是有放回的，两张标签上的数字为相等整数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式计算即可得. 【详解】两张标签上的数字总可能性有种， 其中两张标签上的数字为相等整数的可能性有种， 故两张标签上的数字为相等整数的概率为. 故选：B. 6. 已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若A，B独立，则 C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，独立，则，故B正确； 对于C，若，独立，则，故C错误； 对于D，若，互斥，则，故D正确． 7. 已知向量，，且，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，，可得，且， 因为，可得， 解得，所以，可得，且， 所以在上的投影向量为. 8. 已知一组数据的平均数和方差分别为2026，27，若向这组数据中再添加一个数据为2026，新数据组的平均数和方差分别为，，则（　　）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设原数据个数为，则原数据总和为，原方差满足，即. 添加数据2026后，新数据总和为，因此新平均数 ，排除C、D选项； 方差，即，故A错误，B正确. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互斥事件的是（ ） A. 事件M“选取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被选中” B. 事件M“选取的3人中至少有1名女生”，事件N“选取的3人中至少有1名男生” C. 事件M“选取的3人中恰有1名男生”，事件N“选取的3人中恰有1名女生” D. 事件M“选取的3人中至多有1名女生”，事件N“选取的3人中恰有1名男生” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，“选取的3人都是男生”与“2名女生都被选中”不能同时发生，故为互斥事件，故A正确. 对于B，“选取的3人中至少有1名女生”包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”， “选取的3人中至少有1名男生” 包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”， 故可同时发生，故不为互斥事件，故B错误. 对于C，“选取的3人中恰有1名男生”即为“选取的3人中1名男生，2名女生”， “选取的3人中恰有1名女生” 即为“选取的3人中1名女生，2名男生”， 不能同时发生，故为互斥事件，故C正确. 对于D，“选取的3人中至多有1名女生”即为“选取的3人中均为男生或2名男生，1名女生”， 故 “选取的3人中至多有1名女生”与“选取的3人中恰有1名男生”不能同时发生， 故为互斥事件，故D正确. 故选：ACD. 10. 学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙班每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是（ ） A. 平均来说乙班比甲班防守技术好 B. 甲班在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C. 乙班很少不失球 D. 甲班比乙班技术水平更稳定 【答案】BC 【解析】 【分析】由平均数及方差的大小关系逐一判断各选项. 【详解】对于A：因为，故平均来说乙班比甲班防守技术差，故A错误； 对于B：甲班失球个数的标准差大，说明防守中的表现不稳定，故B正确； 对于C：乙班失球个数的平均数大，且方差小，说明其失球较为稳定，故乙班很少不失球，故C正确； 对于D：甲班失球个数的标准差大于乙班，说明甲班的技术水平不如乙班稳定，故D错误. 11. 随着人们生活水平的提高，给自己买保险是一种新趋势，因此某保险公司为客户定制了5个健康险种供顾客购买：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙，e生保；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.5个健康险种推出一定时间后，该保险公司对5个险种的购买客户进行抽样调查，经数据处理得出统计图如图： 若用该样本估计总体，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群的人均参保费用最少且不同年龄人均参保费用随年龄增大而增加 B. 30周岁以上人群占参保人群的79% C. 甲、乙、丙三种参保险种的比例和比参保险种戊的大 D. 丁险种更受参保人喜爱 【答案】ABD 【解析】 【详解】A，由不同年龄人均参保费用可知，周岁人群的人均参保费用最少且不同年龄人均参保费用随年龄增大而增大，A正确； B，由参保人数比例可知，30周岁以上人群占参保人群的，B正确； C，由参保险种比例可知：甲、乙、丙三种参保险种的比例和，C错误； D，由参保险种比例可知，丁险种参保比例最高，即丁险种更受参保人喜爱，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 把答案填在答卷中的横线上． 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】16 【解析】 【详解】已知数据总量为，数据已从低到高排列， 则上四分位数，即分位数， 位置为. 因为为整数，所以上四分位数取第项和第项数据的算术平均数， 故这个数据的上四分位数为. 13. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 【答案】37 【解析】 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 14. 甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则的概率为___________（用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，利用列举法求出掷出的点数满足包含的基本事件，由此能求出掷出的点数满足的概率． 【详解】甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则基本事件总数， 掷出的点数满足包含的基本事件有： ， ， 共30个， ∴掷出的点数满足的概率为． 故答案为：． 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （2）取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）先证垂直平面内两条相交直线、，再由线面垂直判定定理推出平面； （2）取中点，利用中位线证得平行四边形，得到线线平行，再用线面平行判定定理证平面 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛．在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； （2）如果你作为射击队教练，你会挑选哪一名运动员参加运动会，并说明理由． 【答案】（1），，， （2）选择乙参加运动会，理由如下： 由（1）知，，，因为两名运动员射击成绩的平均水平相同，且，则乙的成绩比甲稳定，因此选择乙参加运动会. 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的公式求解即可； （2）比较平均数与方差，平均数相同的情况下选择方差小的. 【小问1详解】 ， ， ， ； 【小问2详解】 选择乙参加运动会，理由略. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一~五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数； （3）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的第85百分位数. 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据直方图求出年龄在内的频率，进而可得频数，由直方图中各小长方形的面积和为1列方程，进而求得的值； （2）以区间的中点值为代表，乘以相应的频率即可得到平均数； （3）根据百分位数的定义求解即可. 【小问1详解】 由图可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为． 由图可得，解得． 【小问2详解】 由题意得平均数为 . 【小问3详解】 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第85百分位数为． 18. 某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． （1）若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； （2）若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； （3）商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）恰好有1次中奖，拆成2个互斥事件的和，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可； （2）恰好有2天中奖拆成3个互斥事件的和，即第天不中且其余两天中，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可； （3）4次抽奖中至少有3次中奖，拆成3个互斥事件的和，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B, 设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C, 则. 【小问2详解】 设第次线上抽奖中奖为事件， 设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D， 则. 【小问3详解】 设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中， 则. 19. 某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分，若两轮总分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A类的5个问题中，小明只能答对个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响． （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）求小芳总分为70分的概率； （3）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【答案】（1） （2） （3）小明更容易晋级复赛. 【解析】 【分析】（1）对A类的5个问题，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）由独立事件概率乘法公式即可求解. （3）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分， 第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分， 第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【小问1详解】 对A类的5个问题列出样本空间， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； 【小问2详解】 小芳总分为70分，即第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 则概率为：； 【小问3详解】 由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题，答对一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 当第一轮得0分，第二轮得60分时，小明晋级复赛的概率为：； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $