精品解析：陕西省渭南市韩城市象山中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

象山中学2026-2027学年度第一次月考试题 高三 数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上 一、选择题：（40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 3. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由表达式可知当时，是单调减函数，故在上单调递减，则需要时，单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义. 【详解】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得， 故选：B. 4. 若是函数的极值点，则的极大值为（ ） A. -1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】 函数的定义域为. ， 由，解得， 则，定义域为， ，令，解得， x -1 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知函数的极大值点为-1，极大值为. 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由指数运算性质得出，然后利用“1”的代换构造基本不等式，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 7. 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】存在实数，使得，即不等式在上有解. 由 设函数（），则不等式可化为（*）. 易得函数在上单调递增， 故（*）式等价于. 又，所以有解，只需即可. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以，又，所以. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ） A. 116 B. 115 C. 114 D. 113 【答案】C 【解析】 【分析】由可得函数的周期为， 再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解. 【详解】由，得， 即， 所以， 所以函数的周期为， 又为偶函数， 则， 所以， 所以函数也为偶函数， 又， 所以，， 所以， 又，即，所以， 又，， ， 所以 故选：. 二、多项选择题（18分） 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项. 【详解】对于A选项，对任意的、，，即， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，当，时，由A选项可知， 则，故， 当且仅当时，等号成立， 故，B对； 对于C选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C错； 对于D选项，因为，，则， 故，D对. 故选：ABD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 11. 已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值2 B. m的取值范围是 C. D. 方程有4个不同的解 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意作出函数的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结合图象即可判断C；令，数形结合即可判断D． 【详解】解：由题意作出函数的图像，如图所示： 可得，，，， 所以有最小值2，故A正确； 有四个不等的实数解，，，，可得，故B错误； 因为为偶函数，所以图象关于轴对称， 又的对称轴为直线， 所以由对称性可知，，可得，故C正确； 令，则方程可化为方程， 结合图像得有4个解，且，，，， 因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应， 故方程有4个不同的解，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数特征设然后判断并求解从而解得函数解析式. 【详解】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12， 所以，所以 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 14. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知使得成立，即，结合函数的单调性求出最值即可． 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）． 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以． 四、解答题 15. 已知集合，集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 时，，故或， ， 故或； 【小问2详解】 ， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； 【小问3详解】 命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 16. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－1.其中>0且≠1. (1)求f(2)＋f(－2)的值； (2)求f(x)的解析式； (3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4． 【答案】（1）0；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数，即可求得的值； （2）设，则，求得，根据函数是奇函数，即可化简求得函数的解析式； （3）分类讨论，得出不等式组，利用对数函数的性质，即可求解. 【详解】(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0. (2)当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝a－x－1. 由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)， ∵f(－x)＝a－x－1， ∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)． ∴所求的解析式为f(x)＝ . (3)不等式等价于 或， 即或. 当a>1时，有 或， 注意此时loga2>0，loga5>0，可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)． 同理可得，当0<a<1时，不等式的解集为R. 综上所述，当a>1时，不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)； 当0<a<1时，不等式的解集为 . 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及利用指数函数的单调性求解不等关系式，其中解答中合理利用函数的奇偶性和函数的单调性，合理转化不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用. 17. 物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】（1），. （2）仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【解析】 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 18. 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． （1）当a＝－1时，求f(x)的最大值； （2）若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值； （2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， 当时，， 则， 当时，，当时，， 所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数， 所以， 所以当时，求的最大值为； 【小问2详解】 解：函数， 则，，， ①若，则，所以在上单调递增， 故，不符合题意； ②若， 当时，，当时，， 所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数， 则， 令，可得， 解得， 因为， 所以符合题意， 综上所述. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1） （2） 令，， 则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立， 则在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得； （2）令，利用导数求得函数的最大值为，则在上恒成立，可得证； （3）关于的不等式恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求出的最大值范围，即可求出整数的最小值． 【小问1详解】 因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立， 设，则， 由（2）知在上单调递减，且，， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 象山中学2026-2027学年度第一次月考试题 高三 数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上 一、选择题：（40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若是函数的极值点，则的极大值为（ ） A. -1 B. C. D. 0 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 7. 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ） A. 116 B. 115 C. 114 D. 113 二、多项选择题（18分） 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值2 B. m的取值范围是 C. D. 方程有4个不同的解 三、填空题 12. 已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为______． 13. 已知，则______． 14. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 四、解答题 15. 已知集合，集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－1.其中>0且≠1. (1)求f(2)＋f(－2)的值； (2)求f(x)的解析式； (3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4． 17. 物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 18. 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． （1）当a＝－1时，求f(x)的最大值； （2）若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $