2.5 逆命题和逆定理&2.6 第1课时 直角三角形的性质定理-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 2.5逆命题和逆定理 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列命题中，其逆命题为真命题的是 A.如果两个实数相等，那么它们的平方相等B.全等三角形的对应边相等 C.如果两个角是直角，那么它们相等 D.等边三角形是锐角三角形 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过边AC上一点P,作直线DE交AB于点D,交 BC的延长线于点E.若∠DPA=∠A,则点D在 ( A.BC的垂直平分线上 B.BE的垂直平分线上 E C C.AC的垂直平分线上 D.以上答案都不对 (第2题) 3.教材P73作业题T4变式写出命题“等腰三角形底边上的中，点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明 该逆命题是真命题， 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 4.如图，△ABC是等边三角形，点D,E,F分别在边BC,AB,CA的延长线上，连结DE,EF,DF. (1)若BE=AF=CD,求证：△DEF是等边三角形 (2)写出问题(1)的逆命题，并判断其是否成立.若成立，请说明理由；若不成立，请举反例说明. B (第4题) 46 >“答案与解析”见P27 第2章特殊三角形 2.6直角三角形 第1课时直角三角形的性质定理 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB交BC于点D,交AB于点E,∠CAD=40°，则 ∠B的度数为 () A.40° B.30° C.25 D.10° D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,M为BC的中点，EF=8,BC=20, △EFM的周长是 () A.26 B.28 C.30 D.32 3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC边上的一点，E是AD的中点，连结BE.若点D在边 AC的垂直平分线上，且DC=6,则BE的长为 4.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，在AD及CD的延长线上依次取点E,F,且 ∠EFD=∠B, (1)求证：EFBC (2)若∠A=65°，求∠AEF的度数. (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD,CE相交于点F,且 AD=DB.若∠B=20°，则∠DFE的度数为 () D (第5题) A.30° B.40° C.50° D.60° 47 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，CE是斜边AB上的中线，那么下列结论中，错 误的是 () A.∠ACD=∠B B.∠ECB=∠A+∠ECD C.∠ACD=∠ECB D.∠DCB=∠DCE 6 B DC E (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,D为BC的中点，AF⊥AB,交BC的延长线于点F, AE⊥BF,DE=3,CF=10,则CE的长为 8.如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD=BA,E是AD的中点，F是BC的中点，连结EF. (1)求证：EF=2BC, (2)过点C作CG∥EF,交BE的延长线于点G,求证：△BCG是等腰三角形 A (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 9.向探究题在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED垂直于直线 AC,垂足为D,M为EC的中点，连结BM,DM. (I)如图①，若点E在线段AB上，判断线段BM与DM、∠BMD与∠BCD所满足的 数量关系，请直接写出你的结论， (2)如图②，若点E在BA的延长线上，则(1)中的结论是否发生变化？若不变，请加以证明；若 变化，请写出你的猜想，并说明理由， ① ② (第9题) 48 >“答案与解析”见P27DE=DC=4,AE=AC.所以CE=8,∠E=∠ACD.因为 ∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠CBE=180°，所以 ∠E=∠ACD=∠CBE.所以BC=CE=8. E (第5题) 6.解法一：如图①，在AC上截取AE=AB,连结DE.因为 AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC.在△ABD和 AB=AE, △AED中，因为 ∠BAD=∠EAD,所以△ABD≌ AD-AD. △AED(SAS.所以∠B=∠AED,BD=ED.又因为 ∠B=2∠C,所以∠AED=2∠C.因为∠AED=∠C+ ∠EDC,所以∠C=∠EDC.所以BD=DE=CE.所以 AB+BD=AE十CE=AC.解法二：如图②，延长AB至 点F,使BF=BD,连结DF.因为BF=BD,所以∠F= ∠BDF.所以∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F.因为 ∠ABC=2∠C,所以∠C=∠F.因为AD平分∠BAC,所 以∠BAD=∠CAD.在△ADF和△ADC中，因为 ∠F=∠C, ∠FAD=∠CAD,所以△ADF≌△ADC(AAS).所以 AD=AD, AF=AC,即AB+BF=AC.所以AB+BD=AB+ BF=AC. D (① ② (第6题) 2.5逆命题和逆定理 1.BA.逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相 等，是假命题：B.逆命题：对应边相等的三角形全等，是直 命题；C.逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角，是假 命题；D.逆命题：锐角三角形是等边三角形，是假命题 2.B因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=180°-90°= 90°，∠E+∠CPE=180°-90°=90°.又因为∠DPA= ∠A,∠DPA=∠CPE,所以∠A=∠CPE.所以∠E= ∠B.所以DE=DB.所以点D在BE的垂直平分线上 3.逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另外两边的距 离相等，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图，在 △ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,且DE=DF.求证：△ABC为等腰三角形.证明：如 图，连结AD.因为D是BC的中点，所以S△An=S△n: 因为DE⊥AB,DF LAC,所以SAm=号AB·DE, SAm=AC·DF.又因为DE=DF,所以AB=AC.所 以△ABC为等腰三角形. E及 B D C (第3题) 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠ABC= 60°，AB=BC.所以∠EAF=∠DBE=120°.因为BE= CD,所以BE+AB=CD+BC,即AE=BD.在△AEF和 AF=BE, △BDE中，因为∠EAF=∠DBE,所以△AEF≌△BDE AE-BD, (SAS).所以EF=DE.同理，可得△AEF2△CFD,所以 EF=FD.所以EF=DE=FD.所以△DEF是等边三角形. (2)问题(1)的逆命题是“若△DEF是等边三角形，则 BE=AF=CD”,该命题成立.理由：因为△ABC,△DEF 都是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠EDF=60°， BC=AC,ED=DF.又因为∠ABC=∠BED+∠BDE, ∠ACB=∠CDF+∠CFD,∠EDF=∠CDF+∠BDE,所 以∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD.在△BED和 ∠BED=∠CDF △CDF中，因为ED=DF, 所以△BED≌△CDF ∠BDE=∠CFD. (ASA).所以BD=CF.所以BD-BC=CF-AC,即 CD=AF.同理，可得BE=CD,所以BE=AF=CD. 2.6直角三角形 第1课时直角三角形的性质定理 1.C在△ABC中，因为∠C=90°，∠CAD=40°，所以 ∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-90°-40°=50°.因 为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD.所以∠B ∠DAB.因为∠ADC=∠B+∠DAB,所以∠ADC= 2∠B=50°.所以∠B=25°. 2.B因为CF⊥AB,M为BC的中点，BC=20,所以FM= 之议C=10同强，可得ME=8C=10因为EF=8,所 以△EFM的周长=FM+ME+EF=10+10+8=28. 3.3因为点D在边AC的垂直平分线上，所以DA= DC=6.因为∠ABC=90°，E是AD的中点，所以BE= 2AD=2X6=3. 4.(1)因为CD为斜边AB上的中线，所以CD=BD= AB.所以∠DCB=∠B.因为∠EFD=∠B,所以 ∠DCB=∠EFD.所以EF∥BC.(2)因为在Rt△ABC 中，∠A=65°，所以∠B=90°-∠A=25°.因为EF∥BC, 所以∠FED=∠B=25°.所以∠AEF=180°-∠FED= 180°-25°=155°. 5.D因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中 点，所以BE=CE=2AB.因为∠B=20,所以∠ECB= ∠B=20°.因为AD=BD,所以∠DAB=∠B=20°.所以 ∠ADC=∠B+∠DAB=20°+20°=40°.所以∠DFE= ∠ADC+∠ECB=40°+20°=60°. 6.D因为∠ACB=90°，CD⊥AB,所以∠ACD+ ∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°.所以∠ACD=∠B.故 选项A正确，不符合题意.因为∠BCD十∠ACD=∠A十 ∠ACD=90°，所以∠BCD=∠A.因为∠ECB=∠BCD+ ∠ECD,所以∠ECB=∠A十∠ECD.故选项B正确，不符 合题意.因为CE是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以 CE=号AB.所以CE=BE.所以∠B=∠CB.因为 ∠ACD=∠B,所以∠ACD=∠ECB.故选项C正确，不符 合题意.假设∠DCB=∠DCE.因为∠ACD=∠BCE,所 以∠DCB=∠DCE=∠ACE.因为∠DCB十∠DCE+ ∠ACE=90°，所以∠DCB=∠DCE=∠ACE=30°.但三 个角的度数均未知，故选项D错误，符合题意 7.2如图，取BF的中点O,连结AO.因为AF⊥AB,所 以∠BAF=90°.所以AO=OB=OF.所以∠ABC= ∠OAB.所以∠AOF=∠ABC+∠OAB=2∠ABC.因为 ∠ACB=2∠ABC,所以∠ACB=∠AOF.因为∠ACB+ ∠ACO=180°，∠AOC+∠AOF=180°，所以∠ACO= ∠AOC.所以AC=AO.因为AE⊥BF,所以CE=OE.设 CE=OE=x,则CD=BD=DE一CE=3一x.所以OB= BD+DE+OE=3-x+3+x=6.所以OF=6.因为 CF=10,即CE+EO+OF=10,所以2x+6=10,解得 x=2,即CE=2. B4 DC E O (第7题) 2 8.(1)因为BD=BA,E是AD的中点，所以BE⊥AD.所 以△EBC为直角三角形.因为F是BC的中点，所以EF 是R△FBC斜边C上的中线所以EF=号比.2)因 为CG/EP,所以∠G=∠FEB.因为EP=号BC=BF,所 以∠FEB=∠CBE.所以∠G=∠CBE.所以GC=BC.所 以△BCG是等腰三角形. 9.(1)BM=DM,∠BMD=2∠BCD.(2)(1)中的结论 不发生变化.因为M是Rt△BEC的斜边EC的中点，所 以BM=MC=2EC,又因为M是Rt△DEC的斜边EC 的中点，所以DM=MC=2EC.所以BM=DM因为 BM=MC,DM=MC,所以∠CBM=∠BCM,∠DCM= ∠CDM.所以∠BMD=∠EMB-∠EMD=(∠CBM+ ∠BCM)-(∠DCM+∠CDM)=2∠BCM-2∠DCM= 2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD,即∠BMD=2∠BCD. 第2课时直角三角形的判定定理 1.C因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+ 3 ∠C=180,所以三角形中最大角∠C=1+2+3X180°- 90°.所以△ABC为直角三角形，选项A不符合题意.因为 ∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所以三角形中 最大角∠C=号×180°=90.所以△ABC为直角三角形， 选项B不符合题意.因为∠A:∠B:∠C=3:4:5, ∠A+∠B+∠C=180°，所以三角形中最大角∠C= 3+4+5X180°=75°<90°.所以△ABC为锐角三角形，选 5 项C符合题意.因为△ABC的一个外角等于和它相邻的内 角，所以该内角=2×180°=90°所以△ABC为直角三角 形，选项D不符合题意， 2.D如图，因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC, ∠ACB=∠A=∠ABC=60°.因为将AB延长一倍至，点 D,所以DB=AB=CB.所以∠BDC=∠BCD=30°.因为 ∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+30°=90°，所以△ADC 是直角三角形 D (第2题) 3.3因为∠B=∠ACD=62°，∠A=28°，所以∠B+