精品解析：甘肃省天水市第一中学2026-2027学年高二上学期第一阶段考试数学试卷

天水一中2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段考试 数学试卷 一、单选题（(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数列，，，，…的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 正项数列中，，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 1或 4. 在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是常数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是摆动数列 5. 已知数列的通项公式为，则此数列中数值最小的项是（ ） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第13项 6. 数列满足，且，则数列的前2027项的和（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是递减数列，则公比满足 C. 若，，则公比 D. 若（为常数），则 8. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，数列恒单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分·在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. 有最小值 B. 若，则使得的最大整数 C. D. 若，则 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________． 13. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________. 14. 已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)） 15. 已知等比数列的首项为1，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的取值范围. 16. 已知数列的前项和为，，，. （1）求的通项公式及； （2）求数列的前项和. 17. 设数列的前项和为，数列的通项公式为． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 18. 已知数列的前n项积． （1）求的通项公式； （2）若对任意正整数n，，求的最小值． 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段考试 数学试卷 一、单选题（(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数列，，，，…的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 2. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 3. 正项数列中，，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【详解】法一：由递推关系式可知，， 代入得：. 法二：不妨设， ，，， . 4. 在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是常数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是摆动数列 【答案】A 【解析】 【分析】代入等比数列的通项公式，求公比，即可判断选项. 【详解】由得， 设数列的公比为，易知， 则，即，，则，从而， 所以数列是常数列． 5. 已知数列的通项公式为，则此数列中数值最小的项是（ ） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第13项 【答案】C 【解析】 【分析】由数列通项公式的结构特征利用二次函数配方法结合二次函数性质即可分析求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以当时，取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项． 故选：C 6. 数列满足，且，则数列的前2027项的和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推式，求出数列的前4项，从而可得数列是周期为4的数列，由此求解即可. 【详解】由题意知：，，，，，…， 易知数列是周期为4的数列， ． 7. 等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是递减数列，则公比满足 C. 若，，则公比 D. 若（为常数），则 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 8. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，数列恒单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的前项和，再利用递减数列列式求得范围. 【详解】在等差数列中，，，由公差，得， 解得，，， ，， 由数列恒单调递减，得恒成立， 整理得恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：D 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分·在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A和D，利用等比数列的定义，即可求解；对于选项B和C，取，可得，，即可判断选项B和C的正误. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 对于选项A，因为为常数，所以数列为等比数列，故选项A正确， 对于选项B，取，则，所以，此时数列不是等比数列，故选项C错误， 对于选项C，取，则，此时数列不是等比数列，故选项C错误， 对于选项D，因为，又恒成立，所以， 又为常数，所以数列为等比数列，故选项D正确， 故选：AD. 10. 设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. 有最小值 B. 若，则使得的最大整数 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和的等量关系推导核心参数关系，再结合等差数列通项、前项和公式及性质逐项判断. 【详解】等差数列前项和是关于的二次函数，其图象开口方向由公差决定： 当时有最小值，时有最大值， 由题意不知的符号，无法确定有最小值，选项A错误； 由得，整理得， 通项公式为. 若，令，解得，故使得的最大整数，选项B正确； ，代入、得，故，选项C正确； 由等差中项性质得，若，则，故，选项D正确. 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【解析】 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由于过的直线倾斜角为，即该直线垂直于轴， 所以其方程为． 13. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________. 【答案】135 【解析】 【分析】根据题意可知所求数为能被15整除余1，得出数列的通项公式，然后再求解项数即可. 【详解】因为能被3除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数， 故，又，解得. 故答案为：135. 14. 已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的性质，结合韦达定理求解即可. 【详解】由题意得，，所以. 因为，，三个数适当调整顺序后可为等比数列，则一定为中间项， 所以，则. 因为，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，所以为最小的项， 所以，即. 代入中得，，整理得，解得或（舍去）， 所以. 故. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)） 15. 已知等比数列的首项为1，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列前项和的性质，，，成等比数列，且公比为，即可求出公比，写出通项公式； （2）求出等比数列的前和，分类讨论解不等式即可得解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，， 当时，，不符合题意，所以， 所以，，成等比数列，且公比为， ，所以，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以由可得， 即， 当为正偶数时，不等式显然成立； 当为正奇数时，则， 因为为递减数列，且， 所以且为奇数， 综上， 16. 已知数列的前项和为，，，. （1）求的通项公式及； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，数列是从第2项起以1为公差的等差数列，由此可求得数列的通项公式及； （2）根据数列的项的正负，分，和三种情况分析并求得. 【小问1详解】 由题意，，， 则数列是从第2项起以1为公差的等差数列， 所以， 因此，当时， ； 当时，，符合， 故. 【小问2详解】 由（1），令，得，即当或时，； 当时，. 当时，； 当时，，符合； 当时，. 故. 17. 设数列的前项和为，数列的通项公式为． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，；当时，，将已知代入化简计算可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法计算，分和两种情况，分别得出答案． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时也满足， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）及题意，得， 所以，① 则．②； ①-②，得． 当时，，所以； 当时，． 综上可得，. 18. 已知数列的前n项积． （1）求的通项公式； （2）若对任意正整数n，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 当时，， 且也满足此式， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 记， 则， 所以， 即对成立， 易知递增， 故，故，所以的最小值为． 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）是，理由如下： 因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $