第十五章轴对称（期中知识清单）八年级数学上学期新教材人教版

第十五章 轴对称　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 轴对称及其性质 1.1 轴对称图形的定义 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。这时，也说这个图形关于这条直线对称。 示例：等腰三角形沿底边上的中线所在直线折叠，直线两旁的部分完全重合，所以等腰三角形是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 1.2 两个图形成轴对称的定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称。同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。 示例： 与 沿直线 折叠能够完全重合，就说这两个图形关于直线 成轴对称。 1.3 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系 轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够重合；两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 示例：一个等腰三角形是轴对称图形；把它沿对称轴分成两个三角形，这两个三角形关于这条对称轴成轴对称。 1.4 轴对称的性质 成轴对称的两个图形全等。成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。轴对称图形也具有类似的性质。 图1：两个图形成轴对称 示例：如图1， 与 关于直线 对称，点 与 是对称点，则 ，，即直线 垂直平分线段 。 1.5 垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线。 示例：若直线 经过线段 的中点 ，且 ，则直线 是线段 的垂直平分线。 2. 线段的垂直平分线 2.1 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 图2：线段垂直平分线的性质 示例：如图2，直线 垂直平分线段 ，垂足为 ，点 在 上，则 。 2.2 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合。 示例：若点 满足 ，则点 在线段 的垂直平分线上。 2.3 互逆命题 这两个命题的题设、结论正好相反。我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。 示例：命题”对顶角相等”成立，而它的逆命题”如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立。 2.4 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 示例：关于线段垂直平分线的性质与判定是互逆定理；“两直线平行，内错角相等”和”内错角相等，两直线平行”也是互逆定理。 2.5 尺规作图：作线段的垂直平分线 由于”两点确定一条直线”，所以作线段 的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点。根据与 ， 距离相等的点在线段 的垂直平分线上，可以作出这样的两个点。 作法：（1）分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点；（2）作直线 ，则直线 就是线段 的垂直平分线。 2.6 作对称轴 由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。 示例：对于五角星，找出它的一对对称点 和 ，连接 ，作出线段 的垂直平分线 ，则 就是这个五角星的一条对称轴。 3. 画轴对称的图形 3.1 画轴对称图形的方法 对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形。 画法：（1）过点 画直线 的垂线，垂足为 ，在垂线上截取 ， 就是点 关于直线 的对称点；（2）同理，分别画出点 ， 关于直线 的对称点 ，；（3）连接 ，，，则 即为所求。 示例：已知 和直线 ，只要分别画出三个顶点 ，， 关于直线 的对称点 ，，，连接这些对称点，就得到与 关于直线 对称的 。 3.2 关于坐标轴对称的点的坐标规律 点 关于 轴对称的点的坐标为 ；点 关于 轴对称的点的坐标为 。 在平面直角坐标系中，我们可以利用上述规律画出与一个图形关于 轴或 轴对称的图形。 示例：点 关于 轴对称的点的坐标是 ，关于 轴对称的点的坐标是 。 4. 等腰三角形 4.1 等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质。 示例：在 中，若 ，则 是等腰三角形，其中 ， 是两腰， 是底边。 4.2 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）。 图3：等腰三角形“三线合一” 示例：在 中，，则 ；作底边 的中线 ，则 同时是底边上的高和顶角 的平分线。 4.3 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴。 示例：在等腰 中，底边 的中线 所在直线就是它的对称轴，沿 翻折，两部分完全重合。 4.4 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 示例：在 中，若 ，则 ， 是等腰三角形。 5. 等边三角形 5.1 等边三角形的定义 三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 示例：在 中，若 ，则 是等边三角形。 5.2 等边三角形的性质 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 。 示例：等边三角形的每个内角都等于 ，三个内角之和为 。 5.3 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 示例：在 中，若 ，则 是等边三角形；若等腰 中 且 ，则 是等边三角形。 5.4 含 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 图4：含30°角的直角三角形的性质 示例：在 中，，，则直角边 等于斜边 的一半，即 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 等腰三角形顶角与底角互求 等腰三角形中，设顶角为 ，底角为 ，则 ，。已知其中一个角可求另外两角。 【使用提醒】题目只说”一个角”而未指明是顶角还是底角时，要分两种情况讨论。 1.2 “三线合一”的三种用法 等腰三角形 中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”三线合一”：已知其中一条，即可推得其余两条，且其所在直线是对称轴。证垂直、证中点、证角平分线常从这里入手。 1.3 等边三角形各角均为 等边三角形是等腰三角形的特殊情形：三边相等，三个内角相等且都等于 。看到等边三角形，直接标出 往往就能打开局面。 1.4 三角形三边垂直平分线交于一点 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 1.5 垂直平分线的性质与判定成对使用 垂直平分线可以看成”到线段两端点距离相等的所有点的集合”：点在垂直平分线上，则到两端点距离相等；反过来，到两端点距离相等，则点在垂直平分线上。证线段相等、证点在垂直平分线上常交替使用。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求等腰三角形角度的设元法 设顶角（或底角）为 ，用”等边对等角”和”三角形内角和为 “列方程求解。如等腰三角形中顶角是底角的 倍，设底角为 ，则 ，得底角 ，顶角 。 2.2 利用”三线合一”证垂直、中点或角平分线 要证等腰三角形底边上的某条线段垂直底边、或平分底边、或平分顶角，只要先证它是”底边上的中线 / 高 / 顶角平分线”之一，再由”三线合一”得另两者。 2.3 利用垂直平分线性质证线段相等 要证 ，可证点 在线段 的垂直平分线上；反之，要证某点在垂直平分线上，可证它到线段两端点的距离相等。如 ，，则直线 是线段 的垂直平分线。 2.4 利用”等角对等边”证边相等 证线段相等时，若两条线段是同一三角形的两边，可转化为证它们所对的角相等，再用”等角对等边”。如要证 ，先证 即可。 2.5 坐标轴对称的画图步骤 先求出图形各关键点关于 轴或 轴的对称点坐标，再描出这些点并依次连接，即得所求的对称图形。如画 关于 轴的对称图形，先求顶点 、、 关于 轴的对称点 、、，再连接 ，，。 3. 常见小技巧 技巧 要点 示例 轴对称图形识别 沿某条直线折叠，直线两旁能完全重合即是轴对称图形；找对称轴可用”对折”检验 线段、等腰三角形、等边三角形、圆都是轴对称图形 对称点坐标口诀 关于 轴：横坐标不变、纵坐标变号；关于 轴：横坐标变号、纵坐标不变 关于 轴对称得 ，关于 轴对称得 等腰三角形角度速算 底角 （ 顶角），顶角 底角 顶角 ，则底角为 含 直角三角形速算 所对的直角边 斜边的一半 斜边为 ，则 所对的直角边为 4. 常见考试模型 4.1 最短路径（将军饮马 / 牧民饮马）模型 公式：点 、 在直线 同侧，在 上求一点 使 最小：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则点 即为所求，此时 最小。 限定：点 必须在直线 上；点 、 在 同侧（若在异侧，直接连接 交 即可）。 示例：如牧民从 地出发到河边 饮马再到 地，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，在 处饮马所走路径最短。 4.2 造桥选址模型 公式：河的两岸为两条平行直线，河宽为定值 ，桥 与河岸垂直：将点 沿垂直河岸方向平移 得 ，连接 交靠近 的河岸于点 ，过 作河岸的垂线交另一岸于 ，则桥 的位置使 最小。 限定：河的两岸平行，桥与河岸垂直，河宽 固定。 示例：如 、 两地在河的两岸，将 向下平移河宽得 ，连接 交河岸得桥的一端，再作垂线确定桥的位置。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：等腰三角形”已知一个角”求其余角，漏了顶角、底角分类 典例：等腰三角形的一个角为 ，求它的另外两个角的度数。 错解： 是顶角，所以底角为 ，另外两个角都是 。 正解：① 当 是顶角时，底角为 ，另外两个角为 ，；② 当 是底角时，另一个底角也是 ，顶角为 ，另外两个角为 ，。所以另外两个角为 ， 或 ，。 原因：漏分类讨论。题目只说”一个角”，未指明是顶角还是底角，学生凭直觉把它当成顶角（或底角）直接算，漏掉另一种情形。等腰三角形中”已知一角”必须讨论该角是顶角还是底角。 易错点 2：“三线合一”误用于腰上的中线，忽略”底边”限定 典例：判断：等腰三角形任意一条边上的中线都垂直于这条边。 错解：正确。等腰三角形”三线合一”，中线就是高，所以垂直。 正解：不正确。“三线合一”是指等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合。如图，等腰 中 ，底边 上的中线 垂直于 ，但腰 上的中线并不垂直于 。 原因：条件遗漏。学生忽略了”三线合一”中”底边上的”这一限定，把结论泛化到腰上。使用”三线合一”前必须先确认这条线段是底边上的中线（或高、顶角平分线）。 易错点 3：含 角直角三角形的性质误用于一般三角形 典例：在 中，，，求 的长。 错解： 所对的直角边等于斜边的一半，所以 。 正解：”在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半”只适用于直角三角形。本题只给出 ，未说明 是直角三角形，条件不足，无法求出 的长。 原因：忽略使用前提。学生看到”“就条件反射地套”直角边等于斜边的一半”，忽略了该结论的前提是”直角三角形”。使用结论前必须逐字核对前提条件是否具备。 易错点 4：关于坐标轴对称的点的坐标规律记反 典例：点 关于 轴对称的点的坐标是？ 错解：关于 轴对称，纵坐标变号，所以为 。 正解：点 关于 轴对称的点的坐标为 ，即横坐标变号、纵坐标不变，所以点 关于 轴对称的点的坐标是 。 原因：符号处理失误。学生把”关于 轴对称（横坐标不变、纵坐标变号）“与”关于 轴对称（横坐标变号、纵坐标不变）“记混。可借助”沿对称轴对折，垂直于对称轴方向的分量变号”来记忆。 易错点 5：轴对称图形与两个图形成轴对称混淆 典例：判断：两个图形成轴对称，则这两个图形各自都是轴对称图形。 错解：正确。既然它们关于某条直线对称，那它们当然都是轴对称图形。 正解：不正确。两个图形成轴对称描述的是两个图形之间的位置关系（沿对称轴折叠能互相重合），与每个图形本身是否为轴对称图形无关，两个成轴对称的图形可以各自都不是轴对称图形。 原因：概念理解错误。学生把”两个图形成轴对称”（两个图形的相对位置关系）和”轴对称图形”（一个图形自身的性质）混为一谈。判断时要分清研究对象是一个图形还是两个图形。 易错点 6：证明”直线是垂直平分线”时，漏了”两个点”的条件 典例：已知 ，，求证直线 垂直平分线段 。 错解：因为 ，所以点 在线段 的垂直平分线上，因此直线 垂直平分线段 。 正解：因为 ，所以点 在线段 的垂直平分线上；又因为 ，所以点 也在线段 的垂直平分线上；由”两点确定一条直线”，直线 就是线段 的垂直平分线。 原因：逻辑不完整。证明一条直线是某线段的垂直平分线，需要说明直线上有两个点都在该线段的垂直平分线上（两点确定一条直线），学生只用了 一个点就下结论，遗漏了 的说明。 学科网（北京）股份有限公司 $