北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2026-2027学年上学期九年级数学10月阶段学情检测

北京人大附中朝阳学校初三10月月考 数 学 （时间：120分钟 分值：100分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中．绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 5．如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A． B． C． D． 6．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．如图，等边的边长为2．点是的中心，绕点旋转，分别交线段，于，两点，连接，，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．请写出一个当时，随增大而减小的二次函数的表达式__________． 10．点关于原点对称的点的坐标是__________． 11．若函数是二次函数，则__________． 12．已知点，在二次函数的图象上，若，则__________． 13．已知抛物线与直线相交于点和点，则关于的方程的解为__________． 14．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，，则的度数为__________． 15．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是__________． 16．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与轴交点在和之间（不与、重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑥的取值范围为．其中正确结论有__________（填序号） 三、解答题（共68分．）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17．解下列一元二次方程： （1） （2） 18．已知是关于的方程的一个根，求代数式的值． 19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了和点（，，，是网格线交点） （1）将绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，以点为原点，以水平向右和竖直向上为正方向，建立平面直角坐标系，写出点和点的坐标． 点坐标为__________． 点坐标为__________． 20．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正整数，求的值． 21．已知抛物线． （1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线； （2）当取什么值时，； （3）当取什么值时，随的增大而减小？ 22．已知抛物线的对称轴为直线，过点，． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围． 23．如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：． （2）若，，求正方形的边长． 24．某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）若设总利润为元，则与的函数关系式是__________； （2）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 25．小明对函数的图象和性质进行了探究．以下是小明画该函数图象的部分过程． 第一步，列表：自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 1 2 5 10 5 2 1 … 第二步，描点， 第三步，连线． 请根据以上材料完成下列问题： （1）表中的值是__________，的值是__________．请把小明画该函数图象的过程补充完整； （2）观察函数图象，小明得出以下结论： ①该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②该函数图象与轴有两个交点，与轴有一个交点； ③当时，随的增大而减小； ④当时，有最大值10． 其中正确的结论序号是__________； （3）若关于的方程有实数根，则的取值范围是__________． 26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点， （1）求的值； （2）已知点，在此抛物线上，当时，比较，，的大小，并说明理由． 27．在等腰中，，，点在线段上，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）点为中点，射线交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 28．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点是点，的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点，的“合作点”． （1）已知点，，点是点，的“合作点”，求出点的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，点，点是点，的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； （3）把（2）中关于的函数表达式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的轴交于点，点是新函数图像上一动点，它的横坐标为．过点作轴于点，当点与点都不与点重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为 ①求与的函数解析式； ②若对于的每一个取值，都有两个的值与它对应，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $