第二章《一元二次方程》期中考点总结与练习——考点2《直接开平方法与配方法——配方三步、完全平方式》2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 2｜直接开平方法与配方法——配方的应用、完全平方式 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 2—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·直接开平方法·配方三步·完全平方式 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2024—2026 年（近两年）各级各类考试（期中、期末、月考、中考、二模等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；其中例 3 为 2023 秋试题，因其开平方过程填空题型在已核验题源中唯一而保留；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 2 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线直接开平方法——形如 =p（p≥0）与 =p 的方程由平方根的意义开平方降次；二线配方三步——一移、二化、三配（两边加上一次项系数一半的平方），化为 =k 后开平方收尾；三线完全平方式——±2ab+= 的识别与求参，并向配方最值、多元配方延伸——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 2 保持一致） 考点范围：直接开平方法（形如 =p（p≥0）的方程由平方根的意义得 x=±；形如 =p（p≥0）的方程开平方得 mx+n=±，降次为两个一元一次方程分别求解）、配方三步（一移——常数项移到方程右边；二化——两边同除以二次项系数，把它化为 1；三配——两边加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式 =k，再用直接开平方法收尾）、完全平方式（±2ab+=，中间项等于两底数乘积的 2 倍，求参数时注意双解）、配方的应用（配方结合平方项非负性求代数式最值；多元方程拆项配成两个完全平方式的和求字母值；解方程过程的找错与重解）——与考点速览考点 2 一致。 一、直接开平方法——平方根的意义开路 ◆ 理论依据：若 =p 且 p≥0，则由平方根的意义得 x=±，p=0 时两根相等；p<0 时方程无实根。适用对象两类：=p 与 =p，后者开平方得 mx+n= 或 mx+n=−，各解一个一元一次方程。 ◆ 开平方必写 ±：降次时两个分支都要写出来，只写正分支、漏掉负分支是本考点最高频失分；系数不为 1 时先把两边同除以系数化成标准形再开平方，如 5=20 先化为 =4 再得 y=±2。 二、配方三步——一移·二化·三配 ◆ 三步口诀：一移——把常数项移到方程右边；二化——两边同除以二次项系数，把它化为 1（系数本来就是 1 时此步省略）；三配——两边加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式 =k，右边按等式的基本性质同步加。 ◆ 收尾衔接：配方得 =k 后，k≥0 时用直接开平方法解出两个根 x=−h±；k<0 时方程无实根（本考点题目均有实根）。检验习惯：把左边 展开回乘，与原方程对照。 三、完全平方式——配方的基本工具 ◆ 结构识别：±2ab+=——两个平方项给出底数，中间项应等于两底数乘积的 2 倍；给中间系数求常数项，用中间系数一半的平方；给常数项求中间系数，注意正负双解（如 m=±12）。 直接开平方法·配方三步·完全平方式速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 直接开平方法 =p（p≥0）得 x=±；=p 降次为两个一次方程 解方程、写另一分支 开平方漏写 ±、漏负根 配方三步 一移常数项、二化二次项系数为 1、三配一次项系数一半的平方 化成 =k 的形式 两边除以系数时只除左边 配方后求参数 与 =k、=b 对照读出 h、k、a、b 则 h=a，k=b h 的符号、k 的数值出错 完全平方式 ±2ab+=，中间项是两底数积的 2 倍 是完全平方式，则 m= . 双解只写一半（漏 ±） 配方与最值 配方为 +k，由非负性定最小值 代数式的最小值 为 . 配方后不会用非负性 多元配方 拆项配成两个完全平方式之和，非负性定字母值 多元方程求 x、y 找不到拆项方向、配错组合 ◆ 逆向运用：4−mxy+9 是完全平方式，底数是 2x 与 3y，中间项为 ±12xy，由 −mxy=±12xy 得 m=±12——先定两个平方项的底数，再按 2 倍关系定中间系数。 四、配方与非负性——最值与多元方程 ◆ 求最值：+bx+c 配方为 +k，由 ≥0 得最小值为 k（在 x=−h 处取得）——先配方、后看非负性、再定最值；多项式配方时加上再减去一半的平方，常数项留尾巴。 ◆ 多元配方：+5−4xy+2y+1=0 型——拆项配成两个完全平方式的和，由两个非负数之和为 0 得两个平方项都为 0，分别求出字母值；配套 +=10a+8b−41 型，配方定出 a、b 后结合三角形三边关系求范围。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 直接开平方法是解一元二次方程的第一种方法，理论依据是平方根的意义，适用 =p 与 =p（p≥0）两类，开平方降次为两个一元一次方程，两个分支缺一不可； 配方法把一般方程化为 =k 再开平方，配方三步——一移、二化、三配（两边加上一次项系数一半的平方）——是本章后续方法的基础； 完全平方式 ±2ab+= 是配方的工具，常考给中间系数求常数项、给常数项求中间系数（双解）两类； 配方应用：配方结合平方项非负性求最值、多元配方求字母值、解方程过程找错——本考点与考点速览考点 2 对齐（★☆~★★★），选择、填空、解答三种题型齐全。 答题方法（三步法） 第一步·看形状：形如 =p 或 =p（p≥0）的方程直接开平方，降次为两个一元一次方程，系数不为 1 时先两边同除以系数； 第二步·配方三步：一移——常数项移到右边；二化——两边同除以二次项系数化为 1；三配——两边加上一次项系数一半的平方，得 =k； 第三步·开平方收尾：k≥0 时 x+h=±，解出两个根；求参数、辨完全平方式时，用“中间系数一半的平方”与“中间项是两底数积的 2 倍”双向对照。 注意事项（易错警示） 开平方漏 ±：=25 的解是两个，只写 x=5 漏 x=−5 是本考点最高频错误；=9 必须 2x−1=3 与 2x−1=−3 两个分支都解； 化二次项系数为 1 时两边都要除：2−8x+3=0 两边除以 2 得 −4x+=0，只除左边或漏除某一项必错——找错题专考这一步； 配方加的是一次项系数一半的平方：+x=2 中一次项系数是 1，一半是 ，加的是 ——先取一半再平方，顺序不能反； 完全平方式求参数注意双解：4−mxy+9 中 m=±12 两个值，填空漏一即全错。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 直接开平方法 两类完全平方型方程开平方降次 方程的解是、另一分支是 ★☆ 配方过程辨析 配方三步的中间结果、该加的数 配方后得到的方程是 ★★☆ 完全平方式 中间系数与常数项的双向求参 是完全平方式，则 m=____ ★★☆ 配方解方程 完整执行配方三步并开平方收尾 用配方法解方程 ★★☆ 配方与最值 配方结合非负性求最小值 代数式的最小值为____ ★★☆ 配方综合运用 过程找错·多元配方·三边范围 找错并正确解方程 ★★★ 命题边界：本考点考直接开平方法与配方法（=p 与 =p 的开平方降次、配方三步化 =k、完全平方式的识别与求参、配方结合非负性求最值与多元配方、解方程过程的找错与重解）；素材选自 2024—2026 年各级各类考试的网络试卷原题（其中 1 题为 2023 秋），题干均已标注年份与出处；解题工具均为九年级上册第二章用配方法解一元二次方程及之前所学内容（平方根的意义、等式的基本性质、完全平方公式），个别题用到三角形三边关系（七年级下册），未使用公式法与因式分解法解题、根的判别式、根与系数的关系、函数图象等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：直接开平方解方程（选择）→ 复合完全平方型的另一分支（选择）→ 开平方过程五空填空 → 配方化 =k 读 h、k（填空）→ 直接开平方法解题格式（解答）→ 配方三步完整解方程（解答）。变式覆盖：先化系数再开平方（选择）→ 开平方求两根（选择）→ 辨配方中间结果（选择）→ 辨配方后的方程（选择）→ 配方两边该加的数（选择）→ 配方后对比求 c（选择）→ 配方读 k（填空）→ 新定义转方程再配方（填空）→ 配方解系数不为 1 的方程（解答）→ 配方解得带根号的根（解答）。拔高覆盖：多项式配方留尾巴（选择）→ 配方定 a、b 再算乘方（选择）→ 步骤依据辨析（选择）→ 完全平方式双解求 m（填空）→ 配方后求 b（选择）→ 配方找错并重解（解答）→ 阅读材料·多元配方（解答）→ 方法呈现·配方最值与三边范围（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、例 2 教直接开平方法的形状识别与两个分支：=25 得 x=±5；=25 得 x−6=5 与 x−6=−5——降次先写 ±，两个分支都到手再选答案； ◆ 例 3 教开平方过程规范：=9 得 2x−1=±3，正负两支各解一次（过程填空式训练）； ◆ 例 4 教配方后读参数：−6x=2 配方得 =11，h、k 与标准形对照读取，注意 h 带符号； ◆ 例 5 教直接开平方法的卷面书写：开平方→两个分支→两根分开收尾； ◆ 例 6 教配方三步完整示范：一移、二化、三配，3−6x−9=0 化为 =4 再开平方； ◆ 通法：先看形状——能直接开平方就直接开；不能就走配方三步，化成 =k 再开平方。 例 1　选择题 （2025春·南阳期中）一元二次方程 −25=0 的解为（　　） A．==5　　B．=5，=−5　　C．==−5　　D．==25 【答案】B 【解析】把方程化为 =25，由平方根的意义得 x=±5，25 的平方根有两个：5 与 −5。故选 B。 【详解】 移项：=25。 由平方根的意义：x=5 或 x=−5。 即 =5，=−5。 故选 B。 例 2　选择题 （2025·秦皇岛期中）将一元二次方程 =25 转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x−6=5，则另一个一元一次方程是（　　） A．x−6=−5　　B．x−6=25　　C．x+6=−5　　D．x+6=5 【答案】A 【解析】开平方得 x−6=5 或 x−6=−5 两个分支，已给出一个是 x−6=5，另一个就是 x−6=−5。故选 A。 【详解】 方程 =25 的两边同时开平方。 由平方根的意义：x−6=5 或 x−6=−5。 题中已给出其中一个：x−6=5。 所以另一个一元一次方程是 x−6=−5，故选 A。 例 3　填空题 （2025秋·深圳期中）将方程 =9 的两边同时开平方，得 2x−1=____±3____，即 2x−1=____3____ 或 2x−1=____−3____，所以 =____2____，=____−1____。 【答案】±3；3；−3；=2，=−1 【解析】=9 开平方得 2x−1=±3，即 2x−1=3 或 2x−1=−3，两个分支分别解一元一次方程。 【详解】 方程 =9 的两边同时开平方。 由平方根的意义：2x−1=±3。 即 2x−1=3 或 2x−1=−3。 由 2x−1=3，得 2x=4，解得 x=2。 由 2x−1=−3，得 2x=−2，解得 x=−1。 所以 =2，=−1。 例 4　填空题 （2025秋·长春绿园区期中）将一元二次方程 −6x=2 化成 =k 的形式，则 h=____−3____，k=____11____。 【答案】h=−3，k=11 【解析】配方：两边加上一次项系数 −6 的一半的平方 9，得 =11，与 =k 对照读出 h、k。 【详解】 方程 −6x=2 中，一次项系数是 −6。 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方。 一半是 −3，一半的平方是 9。 −6x+9=2+9，即 =11。 与 =k 对照：h=−3，k=11。 例 5　解答题 （2026秋·达州月考）解方程：=16；（2）（用配方法求解） 【答案】（1）=−1，=−9；（2） 【解析】（1）方程形如 =16，直接开平方得 x+5=±4，两个分支各解一次。（2）用配方法 【详解】 （1）方程 =16 的两边同时开平方。 由平方根的意义：x+5=4 或 x+5=−4。 由 x+5=4，解得 x=−1。 由 x+5=−4，解得 x=−9。 所以 =−1，=−9。 （2）， 两边同乘3得， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得 例 6　解答题 （2025秋·广东期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____16______． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 【答案】 当时，代数式有最小值，这个最小值是 当时，围成的生物园最大面积为． 【考点】 求完全平方式中的字母系数 配方法的应用 【解析】 （1）根据配方法整理即可； （2）类比题干求代数式的最小值步骤，整理求代数式的最小值，即可解题； （3）根据题意得到米，米，利用长方形面积公式表示出围成的生物园的面积，再结合配方法求解，即可解题． 【解答】 （1）解：， ， 即在横线上添上一个常数项为， 故答案为：； （2）代数式有最小值， ， 当时，有最小值， 当时，代数式有最小值，这个最小值是． （3）设垂直于墙的一边长为米， 即米，米， 则围成的生物园的面积为 ， ， ， ， 当时，围成的生物园最大面积为． PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 练基本形状开平方：5−20=0 先化 =4 再开平方；=1 两根 0 与 −2——对应例 1、例 5； ◆ 变 3~变 6 四道选择辨配方中间结果：配方到 =k 即可对照选项，重点核对加的数与右边的值；变 6 要先把 +6x+c=0 配方再对比 9−c=2c； ◆ 变 7、变 8 填空：配方后读 k；新定义 a⊗b 按定义展开转成方程，再配方开平方求双根； ◆ 变 9、变 10 解答：完整执行配方三步——变 9 系数不为 1 必须先化 1；变 10 根号结果保留最简形式； ◆ 限时建议：变式组 25 分钟内独立完成，重点练“化 1”时两边同除与“三配”时加一次项系数一半的平方。 变式 1　选择题 （2025·运城盐湖区期中）关于 y 的一元二次方程 5−20=0 的解是（　　） A．y=2　　B．=2，=−2　　C．==4　　D．==−2 【答案】B 【解析】移项得 5=20，两边除以 5 得 =4，再由平方根的意义得 y=±2。故选 B。 【详解】 移项：5=20。 两边同除以 5：=4。 由平方根的意义：y=2 或 y=−2。 即 =2，=−2，故选 B。 变式 2　选择题 （2025·苏州金鸡湖学校月考）方程 =1 的根为（　　） A．==0　　B．==−1　　C．=0，=−1　　D．=0，=−2 【答案】D 【解析】开平方得 x+1=±1，两个分支分别解出 0 与 −2。故选 D。 【详解】 方程 =1 的两边同时开平方。 由平方根的意义：x+1=1 或 x+1=−1。 由 x+1=1，解得 x=0。 由 x+1=−1，解得 x=−2。 所以 =0，=−2，故选 D。 变式 3　选择题 （2024秋·印江县期中）用配方法解方程 2+4x−1=0，则配方结果正确的是（　　） A．=　　B．=1　　C．=　　D．= 【答案】C 【解析】移项后两边同除以 2：+2x=；两边加 1 配方，得 =。故选 C。 【详解】 移项：2+4x=1。 两边同除以 2：+2x=。 配方：一次项系数是 2，一半是 1，一半的平方是 1。 两边加 1：+2x+1=+1，即 =。 故选 C。 变式 4　选择题 （2024秋·成都锦江区期中）用配方法解一元二次方程 −6x+8=0，配方后得到的方程是（　　） A．=28　　B．=28　　C．=1　　D．=1 【答案】D 【解析】移项后两边加上 9：−6x+9=−8+9，得 =1。故选 D。 【详解】 移项：−6x=−8。 配方：一次项系数是 −6，一半是 −3，一半的平方是 9。 两边加 9：−6x+9=−8+9。 即 =1，故选 D。 变式 5　选择题 （2025·沈阳浑南区期末）用配方法解方程 +x=2 时，应把方程的两边同时（　　） A．加 　　B．加 　　C．减 　　D．减 【答案】A 【解析】一次项系数是 1，一半是 ，一半的平方是 ，所以两边同时加 。故选 A。 【详解】 方程 +x=2 中，一次项系数是 1。 配方要加的数是一次项系数一半的平方。 一半是 ，一半的平方是 =。 所以应把方程两边同时加 ，故选 A。 变式 6　选择题 （2024秋·淄博淄川区期中）若关于 x 的一元二次方程 +6x+c=0 配方后得到方程 =2c，则 c 的值为（　　） A．−3　　B．0　　C．3　　D．9 【答案】C 【解析】配方得 =9−c，与 2c 对照，解 9−c=2c 即可。故选 C。 【详解】 移项：+6x=−c。 配方：一次项系数是 6，一半是 3，一半的平方是 9。 两边加 9：+6x+9=−c+9。 即 =9−c。 对照题意 =2c：9−c=2c。 解得 c=3，故选 C。 变式 7　填空题 （2025秋·杭州江干区期中）规定：a⊗b=(a+b)b，如：2⊗3=(2+3)×3=15，若 2⊗x=3，则 x=____1 或 x=−3____。 【答案】1 或 −3 【解析】按新定义展开得 (2+x)x=3，去括号化为 +2x−3=0，配方后开平方求出两个根。 【详解】 按新定义：2⊗x=(2+x)x。 由 2⊗x=3，得 (2+x)x=3。 去括号：+2x=3。 移项：+2x−3=0。 配方：+2x+1=3+1，即 =4。 开平方：x+1=2 或 x+1=−2。 解得 x=1 或 x=−3。 即 =1，所以 k=1。 变式 8　解答题 阅读与思考： 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得          ① 两边同除以2，得          ② 配方，得          ③ 即          ④        ∴ 或   ⑤        ∴ ，   ⑥ （2025秋·成都期末）小明解方程的方法是___B______（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤___③______（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【答案】 B ③ 【解析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法是关键，运用配方法求解即可. 【解答】 解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误. 正确的解析过程如下： 移项得， 等式两边同时除以2得， 配方得， 即 或 变式 9　解答题 （2025秋·上海静安区期中）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． （1）对进行配方，___4___）__5____； （2）已知，求的值． 【答案】 4，5 -1 【解析】 （1）利用配方法即可填空； （2）利用配方法把原式写成两个完全平方式的和的形式，再利用非负数的性质可求得m、n的值，即可求出m^{n}的值. 【解答】 （1） 故答案为：4，5； （2）, , 即 , , 变式 10　解答题 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： （1）求的最小值； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； （3）已知，求代数式的最大值． 【答案】 当时，有最大值 【解析】 （1）把化为，再进一步求解即可． （2）计算 ，再进一步分析即可． （3）由，得到，把化为，利用配方法求最大值即可． 【解答】 （1）解： ， ， ， 的最小值为． （2）解：，， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， 当时，有最大值． PART 05 拔高巩固（8 题） 直接开平方法与配方法——配方三步、完全平方式 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在多项式配方：−3x+4 加上再减去 ，配成 +，常数项留尾巴； ◆ 拔高 2 的台阶在配方定 a、b：−2x−2023=0 配方得 =2024，对照 =b 知 a=−1、b=2024，再算 ； ◆ 拔高 3 的台阶在步骤依据辨析：分清平方根的意义、等式的基本性质、完全平方公式各管哪一步； ◆ 拔高 4 的台阶在完全平方式双解：中间项 −mxy=±12xy，m=±12 两个值都要； ◆ 拔高 5 的台阶在配方读 b：−6x−4=0 配方得 =13； ◆ 拔高 6 的台阶在找错与重解：第②步两边同除以 2 时右边漏除，正确配方后 =，根为 2±； ◆ 拔高 7 的台阶在多元配方：拆项配成两个完全平方式的和，由非负性定字母值； ◆ 拔高 8 的台阶在配方综合：配方求最值，再由 +=0 定 a、b，按三角形三边关系求 c 的范围。 拔高 1　选择题 （2024·德州中考）把多项式 −3x+4 进行配方，结果为（　　） A．−5　　B．+　　C．+　　D．+ 【答案】B 【解析】一次项系数是 −3，一半是 −，一半的平方是 ；加上再减去 ，得 +。故选 B。 【详解】 一次项系数的一半：−3 的一半是 −。 一半的平方：=。 加项再减项：−3x+−+4。 整理：+4−=+。 故选 B。 拔高 2　选择题 （2025·东营模拟）若一元二次方程 −2x−2023=0 可化为 =b 的形式，则 的值为（　　） A．−2024　　B．−1　　C．2024　　D．1 【答案】D 【解析】移项得 −2x=2023，两边加 1 得 =2024，与 =b 比较得 a=−1，b=2024。故选 D。 【详解】 移项：−2x=2023。 配方：两边加上 ，即加上 1。 得 −2x+1=2023+1，即 =2024。 与 =b 比较得 a=−1，b=2024。 计算 ==1（2024 是偶数）。 故选 D。 拔高 3　选择题 （2025·南京期中）下列解方程 2−4x=−1 的步骤中，依据是“平方根的意义”的是（　　） A．第一步：二次项系数化为 1，得 −2x=− B．第二步：配方，得 −2x+1=−+1，即 = C．第三步：开平方，得 x−1=± D．第四步：移项，得 x=1±，即 =1+，=1− 【答案】C 【解析】由 = 求 x−1 时，是对方程两边开平方，依据是平方根的意义；其余各步分别依据等式的基本性质与完全平方公式。故选 C。 【详解】 A 步：两边同除以 2，依据是等式的基本性质。 B 步：两边加 1 并整理为完全平方式，依据是完全平方公式。 C 步：由 = 写出 x−1=±，即开平方，依据是平方根的意义。 D 步：解两个一元一次方程并化简根号，属于移项与化简。 故选 C。 拔高 4　填空题 （2024秋·揭阳普宁市期中）若 4−mxy+9 是完全平方式，则 m=____±12____。 【答案】m=±12 【解析】完全平方式形如 =±2ab+：4=，9=，中间项为 ±2×2x×3y=±12xy，与 −mxy 比较得 m=±12。 【详解】 首末两项配方：4=，9=。 完全平方式的中间项：±2×2x×3y=±12xy。 与题中中间项 −mxy 比较：−m=12 或 −m=−12。 所以 m=−12 或 m=12，即 m=±12（注意双解，不能只写一个值）。 拔高 5　填空题 （24-25·江苏期末）（3分）的三边分别为、、，若，，按边分类，则是_____等腰_______三角形 【答案】 等腰 【解析】 将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出与的值，进而求出的值，即可确定出三角形形状． 【解答】 解： ， ， ， 即， 整理得：， ，， ，即；，即， ， 则为等腰三角形． 故答案是：等腰． 拔高 6　解答题 （2025秋·银川一中期中）小明在学习了配方法解一元二次方程后，用配方法解方程 2−8x+3=0 的过程如下： 解：2−8x=−3　①；−4x=−3　②；−4x+4=−3+4　③；=1　④；x−2=±1　⑤；解得 =3，=1。 (1) 上述解方程的过程中，小明从第____②____步开始出现错误（填序号），这一步的依据是____等式的基本性质____； (2) 请写出正确的配方过程，并解这个方程。 【答案】(1) 从第②步开始出现错误；这一步的依据是等式的基本性质。(2) =2+，=2−。 【解析】第②步两边同除以 2 时，等号右边的 −3 也应除以 2，应为 −4x=−；此后每步随之出错。正确配方得 =，开平方收尾。 【详解】 (1) 从第②步开始出现错误。 这一步是方程两边同时除以 2 化二次项系数为 1，依据是等式的基本性质：方程两边同时除以一个不为 0 的数，等式仍然成立；第②步右边 −3 漏除，应为 −4x=−。 (2) 正确解法： 移项：2−8x=−3。 两边同除以 2：−4x=−。 配方：一次项系数是 −4，一半是 −2，一半的平方是 4；两边加 4。 得 −4x+4=−+4，即 =。 开平方：x−2=±=±。 解得 x=2+ 或 x=2−。 所以 =2+，=2−。 拔高 7　解答题 （2025·中卫中宁期中）【方法呈现】配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用。 例如：+2x+3=(+2x+1)+2=+2，因为 ≥0，所以 +2≥2。 (1) 代数式 +2x+3 的最小值为____2____，这时相应的 x 的值为____−1____； (2) 求代数式 −8x+10 的最小或最大值； (3) 已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，满足 +=10a+8b−41，求 c 的取值范围。 【答案】(1) 最小值为 2，x=−1。(2) 最小值为 −6。(3) 1<c<9。 【解析】(1) 直接读方法呈现的结论。(2) 配方得 −6，由非负性得最小值 −6。(3) 移项配方得 +=0，定出 a=5，b=4，再由三角形三边关系定 c 的范围。 【详解】 (1) 由方法呈现：+2x+3=+2≥2。 当 =0，即 x=−1 时，取到最小值 2。 (2) 配方：−8x+10=(−8x+16)−16+10=−6。 因为 ≥0，所以 −6≥−6。 当 =0，即 x=4 时，取到最小值 −6。 (3) 移项：−10a+−8b+41=0。 配方：−10a+25+−8b+16=0，即 +=0。 因为两个非负式之和为 0，所以 a−5=0，b−4=0，即 a=5，b=4。 由三角形三边关系：<c<a+b。 所以 1<c<9。 拔高 8　解答题 （25-26·广东月考）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_4____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_-5____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 （2）当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】 4; -5; 8 【解析】 （1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【解答】 （1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是。 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式。 （2）解：， ， ， ， ， ， 。 （3）解：在四边形中，， ， ， ， ， ， 四边形面积的最大值为8. 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 直接开平方解方程：平方根的意义得双根（选择） 例 2 开平方取另一分支求字母的值（选择） 例 3 开平方过程填空：正负两支与两个根（嵌空） 例 4 配方化为完全平方式标准形并读出 h、k（嵌空） 例 5 配方化为完全平方式再开平方（解答） 例 6 完全平方公式公式中的字母系数、配方法的应用。 变式 1 直接开平方解关于 y 的方程（选择） 变式 2 开平方得双根（选择） 变式 3 配方结果的辨认（选择） 变式 4 配方后开平方得整数根（选择） 变式 5 配方两边该加的数（选择） 变式 6 完全平方式补常数项（选择） 变式 7 新定义方程转化后开平方（解答） 变式 8 解一元二次方程——配方法 变式 9 配方法的应用 变式 10 利用配方法求最值 拔高 1 多项式配方结果辨认（选择） 拔高 2 配方定参后求幂（选择） 拔高 3 配方各步依据的辨析（选择） 拔高 4 完全平方式求中间系数（双解）（嵌空） 拔高 5 配方化为含 a、b 的完全平方式并读出 b（选择） 拔高 6 配方过程找错并正确重解（嵌空） 拔高 7 配方最值＋三边关系求范围（解答题） 拔高 8 利用配方法解决问题 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先看形状——能直接开平方的直接开，不能开的走配方三步——一移、二化、三加一次项系数一半的平方；完全平方式问题注意双解；填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 2｜直接开平方法与配方法——配方的应用、完全平方式 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 2—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·直接开平方法·配方三步·完全平方式 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2024—2026 年（近两年）各级各类考试（期中、期末、月考、中考、二模等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；其中例 3 为 2023 秋试题，因其开平方过程填空题型在已核验题源中唯一而保留；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 2 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线直接开平方法——形如 =p（p≥0）与 =p 的方程由平方根的意义开平方降次；二线配方三步——一移、二化、三配（两边加上一次项系数一半的平方），化为 =k 后开平方收尾；三线完全平方式——±2ab+= 的识别与求参，并向配方最值、多元配方延伸——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 2 保持一致） 考点范围：直接开平方法（形如 =p（p≥0）的方程由平方根的意义得 x=±；形如 =p（p≥0）的方程开平方得 mx+n=±，降次为两个一元一次方程分别求解）、配方三步（一移——常数项移到方程右边；二化——两边同除以二次项系数，把它化为 1；三配——两边加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式 =k，再用直接开平方法收尾）、完全平方式（±2ab+=，中间项等于两底数乘积的 2 倍，求参数时注意双解）、配方的应用（配方结合平方项非负性求代数式最值；多元方程拆项配成两个完全平方式的和求字母值；解方程过程的找错与重解）——与考点速览考点 2 一致。 一、直接开平方法——平方根的意义开路 ◆ 理论依据：若 =p 且 p≥0，则由平方根的意义得 x=±，p=0 时两根相等；p<0 时方程无实根。适用对象两类：=p 与 =p，后者开平方得 mx+n= 或 mx+n=−，各解一个一元一次方程。 ◆ 开平方必写 ±：降次时两个分支都要写出来，只写正分支、漏掉负分支是本考点最高频失分；系数不为 1 时先把两边同除以系数化成标准形再开平方，如 5=20 先化为 =4 再得 y=±2。 二、配方三步——一移·二化·三配 ◆ 三步口诀：一移——把常数项移到方程右边；二化——两边同除以二次项系数，把它化为 1（系数本来就是 1 时此步省略）；三配——两边加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式 =k，右边按等式的基本性质同步加。 ◆ 收尾衔接：配方得 =k 后，k≥0 时用直接开平方法解出两个根 x=−h±；k<0 时方程无实根（本考点题目均有实根）。检验习惯：把左边 展开回乘，与原方程对照。 三、完全平方式——配方的基本工具 ◆ 结构识别：±2ab+=——两个平方项给出底数，中间项应等于两底数乘积的 2 倍；给中间系数求常数项，用中间系数一半的平方；给常数项求中间系数，注意正负双解（如 m=±12）。 直接开平方法·配方三步·完全平方式速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 直接开平方法 =p（p≥0）得 x=±；=p 降次为两个一次方程 解方程、写另一分支 开平方漏写 ±、漏负根 配方三步 一移常数项、二化二次项系数为 1、三配一次项系数一半的平方 化成 =k 的形式 两边除以系数时只除左边 配方后求参数 与 =k、=b 对照读出 h、k、a、b 则 h=a，k=b h 的符号、k 的数值出错 完全平方式 ±2ab+=，中间项是两底数积的 2 倍 是完全平方式，则 m= . 双解只写一半（漏 ±） 配方与最值 配方为 +k，由非负性定最小值 代数式的最小值 为 . 配方后不会用非负性 多元配方 拆项配成两个完全平方式之和，非负性定字母值 多元方程求 x、y 找不到拆项方向、配错组合 ◆ 逆向运用：4−mxy+9 是完全平方式，底数是 2x 与 3y，中间项为 ±12xy，由 −mxy=±12xy 得 m=±12——先定两个平方项的底数，再按 2 倍关系定中间系数。 四、配方与非负性——最值与多元方程 ◆ 求最值：+bx+c 配方为 +k，由 ≥0 得最小值为 k（在 x=−h 处取得）——先配方、后看非负性、再定最值；多项式配方时加上再减去一半的平方，常数项留尾巴。 ◆ 多元配方：+5−4xy+2y+1=0 型——拆项配成两个完全平方式的和，由两个非负数之和为 0 得两个平方项都为 0，分别求出字母值；配套 +=10a+8b−41 型，配方定出 a、b 后结合三角形三边关系求范围。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 直接开平方法是解一元二次方程的第一种方法，理论依据是平方根的意义，适用 =p 与 =p（p≥0）两类，开平方降次为两个一元一次方程，两个分支缺一不可； 配方法把一般方程化为 =k 再开平方，配方三步——一移、二化、三配（两边加上一次项系数一半的平方）——是本章后续方法的基础； 完全平方式 ±2ab+= 是配方的工具，常考给中间系数求常数项、给常数项求中间系数（双解）两类； 配方应用：配方结合平方项非负性求最值、多元配方求字母值、解方程过程找错——本考点与考点速览考点 2 对齐（★☆~★★★），选择、填空、解答三种题型齐全。 答题方法（三步法） 第一步·看形状：形如 =p 或 =p（p≥0）的方程直接开平方，降次为两个一元一次方程，系数不为 1 时先两边同除以系数； 第二步·配方三步：一移——常数项移到右边；二化——两边同除以二次项系数化为 1；三配——两边加上一次项系数一半的平方，得 =k； 第三步·开平方收尾：k≥0 时 x+h=±，解出两个根；求参数、辨完全平方式时，用“中间系数一半的平方”与“中间项是两底数积的 2 倍”双向对照。 注意事项（易错警示） 开平方漏 ±：=25 的解是两个，只写 x=5 漏 x=−5 是本考点最高频错误；=9 必须 2x−1=3 与 2x−1=−3 两个分支都解； 化二次项系数为 1 时两边都要除：2−8x+3=0 两边除以 2 得 −4x+=0，只除左边或漏除某一项必错——找错题专考这一步； 配方加的是一次项系数一半的平方：+x=2 中一次项系数是 1，一半是 ，加的是 ——先取一半再平方，顺序不能反； 完全平方式求参数注意双解：4−mxy+9 中 m=±12 两个值，填空漏一即全错。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 直接开平方法 两类完全平方型方程开平方降次 方程的解是、另一分支是 ★☆ 配方过程辨析 配方三步的中间结果、该加的数 配方后得到的方程是 ★★☆ 完全平方式 中间系数与常数项的双向求参 是完全平方式，则 m=____ ★★☆ 配方解方程 完整执行配方三步并开平方收尾 用配方法解方程 ★★☆ 配方与最值 配方结合非负性求最小值 代数式的最小值为____ ★★☆ 配方综合运用 过程找错·多元配方·三边范围 找错并正确解方程 ★★★ 命题边界：本考点考直接开平方法与配方法（=p 与 =p 的开平方降次、配方三步化 =k、完全平方式的识别与求参、配方结合非负性求最值与多元配方、解方程过程的找错与重解）；素材选自 2024—2026 年各级各类考试的网络试卷原题（其中 1 题为 2023 秋），题干均已标注年份与出处；解题工具均为九年级上册第二章用配方法解一元二次方程及之前所学内容（平方根的意义、等式的基本性质、完全平方公式），个别题用到三角形三边关系（七年级下册），未使用公式法与因式分解法解题、根的判别式、根与系数的关系、函数图象等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：直接开平方解方程（选择）→ 复合完全平方型的另一分支（选择）→ 开平方过程五空填空 → 配方化 =k 读 h、k（填空）→ 直接开平方法解题格式（解答）→ 配方三步完整解方程（解答）。变式覆盖：先化系数再开平方（选择）→ 开平方求两根（选择）→ 辨配方中间结果（选择）→ 辨配方后的方程（选择）→ 配方两边该加的数（选择）→ 配方后对比求 c（选择）→ 配方读 k（填空）→ 新定义转方程再配方（填空）→ 配方解系数不为 1 的方程（解答）→ 配方解得带根号的根（解答）。拔高覆盖：多项式配方留尾巴（选择）→ 配方定 a、b 再算乘方（选择）→ 步骤依据辨析（选择）→ 完全平方式双解求 m（填空）→ 配方后求 b（选择）→ 配方找错并重解（解答）→ 阅读材料·多元配方（解答）→ 方法呈现·配方最值与三边范围（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、例 2 教直接开平方法的形状识别与两个分支：=25 得 x=±5；=25 得 x−6=5 与 x−6=−5——降次先写 ±，两个分支都到手再选答案； ◆ 例 3 教开平方过程规范：=9 得 2x−1=±3，正负两支各解一次（过程填空式训练）； ◆ 例 4 教配方后读参数：−6x=2 配方得 =11，h、k 与标准形对照读取，注意 h 带符号； ◆ 例 5 教直接开平方法的卷面书写：开平方→两个分支→两根分开收尾； ◆ 例 6 教配方三步完整示范：一移、二化、三配，3−6x−9=0 化为 =4 再开平方； ◆ 通法：先看形状——能直接开平方就直接开；不能就走配方三步，化成 =k 再开平方。 例 1　选择题 （2025春·南阳期中）一元二次方程 −25=0 的解为（　　） A．==5　　B．=5，=−5　　C．==−5　　D．==25 例 2　选择题 （2025·秦皇岛期中）将一元二次方程 =25 转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x−6=5，则另一个一元一次方程是（　　） A．x−6=−5　　B．x−6=25　　C．x+6=−5　　D．x+6=5 例 3　填空题 （2025秋·深圳期中）将方程 =9 的两边同时开平方，得 2x−1=________，即 2x−1=________ 或 2x−1=________，所以 =________，=________。 例 4　填空题 （2025秋·长春绿园区期中）将一元二次方程 −6x=2 化成 =k 的形式，则 h=________，k=________。 例 5　解答题 （2026秋·达州月考）解方程：=16；（2）（用配方法求解） 例 6　解答题 （2025秋·广东期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_________． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 练基本形状开平方：5−20=0 先化 =4 再开平方；=1 两根 0 与 −2——对应例 1、例 5； ◆ 变 3~变 6 四道选择辨配方中间结果：配方到 =k 即可对照选项，重点核对加的数与右边的值；变 6 要先把 +6x+c=0 配方再对比 9−c=2c； ◆ 变 7、变 8 填空：配方后读 k；新定义 a⊗b 按定义展开转成方程，再配方开平方求双根； ◆ 变 9、变 10 解答：完整执行配方三步——变 9 系数不为 1 必须先化 1；变 10 根号结果保留最简形式； ◆ 限时建议：变式组 25 分钟内独立完成，重点练“化 1”时两边同除与“三配”时加一次项系数一半的平方。 变式 1　选择题 （2025·运城盐湖区期中）关于 y 的一元二次方程 5−20=0 的解是（　　） A．y=2　　B．=2，=−2　　C．==4　　D．==−2 变式 2　选择题 （2025·苏州金鸡湖学校月考）方程 =1 的根为（　　） A．==0　　B．==−1　　C．=0，=−1　　D．=0，=−2 变式 3　选择题 （2024秋·印江县期中）用配方法解方程 2+4x−1=0，则配方结果正确的是（　　） A．=　　B．=1　　C．=　　D．= 变式 4　选择题 （2024秋·成都锦江区期中）用配方法解一元二次方程 −6x+8=0，配方后得到的方程是（　　） A．=28　　B．=28　　C．=1　　D．=1 变式 5　选择题 （2025·沈阳浑南区期末）用配方法解方程 +x=2 时，应把方程的两边同时（　　） A．加 　　B．加 　　C．减 　　D．减 变式 6　选择题 （2024秋·淄博淄川区期中）若关于 x 的一元二次方程 +6x+c=0 配方后得到方程 =2c，则 c 的值为（　　） A．−3　　B．0　　C．3　　D．9 变式 7　填空题 （2025秋·杭州江干区期中）规定：a⊗b=(a+b)b，如：2⊗3=(2+3)×3=15，若 2⊗x=3，则 x=________。 变式 8　解答题 阅读与思考： 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得          ① 两边同除以2，得          ② 配方，得          ③ 即          ④        ∴ 或   ⑤        ∴ ，   ⑥ （2025秋·成都期末）小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 变式 9　解答题 （2025秋·上海静安区期中）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． （1）对进行配方，______）______； （2）已知，求的值． 变式 10　解答题 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： （1）求的最小值； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； （3）已知，求代数式的最大值． PART 05 拔高巩固（8 题） 直接开平方法与配方法——配方三步、完全平方式 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在多项式配方：−3x+4 加上再减去 ，配成 +，常数项留尾巴； ◆ 拔高 2 的台阶在配方定 a、b：−2x−2023=0 配方得 =2024，对照 =b 知 a=−1、b=2024，再算 ； ◆ 拔高 3 的台阶在步骤依据辨析：分清平方根的意义、等式的基本性质、完全平方公式各管哪一步； ◆ 拔高 4 的台阶在完全平方式双解：中间项 −mxy=±12xy，m=±12 两个值都要； ◆ 拔高 5 的台阶在配方读 b：−6x−4=0 配方得 =13； ◆ 拔高 6 的台阶在找错与重解：第②步两边同除以 2 时右边漏除，正确配方后 =，根为 2±； ◆ 拔高 7 的台阶在多元配方：拆项配成两个完全平方式的和，由非负性定字母值； ◆ 拔高 8 的台阶在配方综合：配方求最值，再由 +=0 定 a、b，按三角形三边关系求 c 的范围。 拔高 1　选择题 （2024·德州中考）把多项式 −3x+4 进行配方，结果为（　　） A．−5　　B．+　　C．+　　D．+ 拔高 2　选择题 （2025·东营模拟）若一元二次方程 −2x−2023=0 可化为 =b 的形式，则 的值为（　　） A．−2024　　B．−1　　C．2024　　D．1 拔高 3　选择题 （2025·南京期中）下列解方程 2−4x=−1 的步骤中，依据是“平方根的意义”的是（　　） A．第一步：二次项系数化为 1，得 −2x=− B．第二步：配方，得 −2x+1=−+1，即 = C．第三步：开平方，得 x−1=± D．第四步：移项，得 x=1±，即 =1+，=1− 拔高 4　填空题 （2024秋·揭阳普宁市期中）若 4−mxy+9 是完全平方式，则 m=________。 拔高 5　填空题 （24-25·江苏期末）（3分）的三边分别为、、，若，，按边分类，则是____________三角形 拔高 6　解答题 （2025秋·银川一中期中）小明在学习了配方法解一元二次方程后，用配方法解方程 2−8x+3=0 的过程如下： 解：2−8x=−3　①；−4x=−3　②；−4x+4=−3+4　③；=1　④；x−2=±1　⑤；解得 =3，=1。 (1) 上述解方程的过程中，小明从第________步开始出现错误（填序号），这一步的依据是________； (2) 请写出正确的配方过程，并解这个方程。 拔高 7　解答题 （2025·中卫中宁期中）【方法呈现】配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用。 例如：+2x+3=(+2x+1)+2=+2，因为 ≥0，所以 +2≥2。 (1) 代数式 +2x+3 的最小值为________，这时相应的 x 的值为________； (2) 求代数式 −8x+10 的最小或最大值； (3) 已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，满足 +=10a+8b−41，求 c 的取值范围。 拔高 8　解答题 （25-26·广东月考）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 （2）当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 直接开平方解方程：平方根的意义得双根（选择） 例 2 开平方取另一分支求字母的值（选择） 例 3 开平方过程填空：正负两支与两个根（嵌空） 例 4 配方化为完全平方式标准形并读出 h、k（嵌空） 例 5 配方化为完全平方式再开平方（解答） 例 6 完全平方公式公式中的字母系数、配方法的应用。 变式 1 直接开平方解关于 y 的方程（选择） 变式 2 开平方得双根（选择） 变式 3 配方结果的辨认（选择） 变式 4 配方后开平方得整数根（选择） 变式 5 配方两边该加的数（选择） 变式 6 完全平方式补常数项（选择） 变式 7 新定义方程转化后开平方（解答） 变式 8 解一元二次方程——配方法 变式 9 配方法的应用 变式 10 利用配方法求最值 拔高 1 多项式配方结果辨认（选择） 拔高 2 配方定参后求幂（选择） 拔高 3 配方各步依据的辨析（选择） 拔高 4 完全平方式求中间系数（双解）（嵌空） 拔高 5 配方化为含 a、b 的完全平方式并读出 b（选择） 拔高 6 配方过程找错并正确重解（嵌空） 拔高 7 配方最值＋三边关系求范围（解答题） 拔高 8 利用配方法解决问题 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先看形状——能直接开平方的直接开，不能开的走配方三步——一移、二化、三加一次项系数一半的平方；完全平方式问题注意双解；填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $