第5讲 空间距离专项训练（基础）-2027届高三数学一轮复习

空间距离 立体几何 · 专题篇 几何体中的距离 立体几何里的距离有三类基本型：点到平面的距离、点到直线的距离、两个平行平面之间的距离。它们都归结成一条线段的长度 ——从一个点向平面（或直线）作垂线，垂足与这个点之间的线段长就是所求的距离。所以求距离的第一步永远是「先把那条垂线找出来」。 点到平面的距离最常考，有两条路。一条是等体积法：把要算的距离看成某个三棱锥的高，把同一个三棱锥换一个顶点、换一个底面再算一次体积，两次体积相等，就能反解出这条高。这条路不用建系，但要求你在图上找到一个「好用」的底面。另一条是向量法：建系求出平面的一个法向量，再把斜线在法向量方向上的投影长算出来，那就是点到平面的距离。 点到直线的距离也能用向量算。把从直线上一点引出的向量投影到直线的方向上，用这个向量的长度平方减去投影的平方，再开方就得到结果。两个平行平面之间的距离，则化成其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，做法与点到平面的距离完全一样。图形里出现「一条直线平行于一个平面」时，直线上所有点到这个平面的距离都相等，可以任取一点来算。 有三处容易出错。一是把垂线段找错了，随手连一条斜线当成距离。二是等体积法换顶点时把两个三棱锥的底面搞混，比例写反。三是用向量法时忘了把法向量单位化 ——公式里的分母是法向量的模，漏掉它就整体差一个倍数。 例1（填空·★★☆☆☆） 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【切入点】棱长为 的正方体里点面距离，用等体积法最省事：同一个三棱锥换一个顶点，两次体积相等。 【关键】设点 到平面 的距离为 。因为 平面 ，所以三棱锥 - 的高为 ，。 的三条边都是面对角线，长为 ，故它是边长为 的正三角形，。于是 。由 得 ，解得 。 【易错】一是把 的边长当成 ，它的三条边都是面对角线。二是换顶点时把 的底面选错， 是底面的一半，面积是 。三是算出 后没有把系数移干净。 【答案】 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【切入点】棱长已知的正方体，直接建系求法向量，比等体积法更稳。 【关键】以 为原点、、、 为轴建系，由棱长为 得 、、。、，取平面 的法向量 。故点 到平面 的距离为 。故选 C。 【易错】一是把 的坐标写成 ， 与 在不同位置。二是算 时漏掉一项，三条坐标都要参与。三是忘了开方，把 当成答案。 【答案】C 变式1-2（单选·★★★☆☆） 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【切入点】点到直线的距离公式与点到平面的不一样：先看斜线在直线方向上的投影有多少，再用勾股定理扣掉。 【关键】以 为原点建系，棱长为 ，、（ 是 中点），、。故点 到直线 的距离为 。故选 D。 【易错】一是套用了点到平面的公式。二是把投影算成 ，分母应该是直线方向向量的模。三是 写成 。 【答案】D 变式1-3（填空·★★★☆☆） 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 【切入点】题目给的是直线上的一个点和一个方向向量，连图形都没有，直接代点到直线的距离公式。 【关键】由 、 得 ，且 、。故点 到直线 的距离为 。 【易错】一是把 、 的坐标顺序颠倒， 的方向虽然反过来模不变，但数量积会变号。二是公式里漏掉平方，写成 。三是忘了方向向量是单位向量，多除了一次它的模。 【答案】 变式1-4（填空·★★★★☆） 棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 【切入点】平面 没有直接给出，但两条面对角线与它成等角，这两条条件合起来足以把它的法向量定出来（只差一个方向）。 【关键】以 为原点、、、 为轴建系，棱长为 ，则 、、。设平面 的法向量 。由 与 成 得 ，即 ；同理 。两式相减得 。当 时，代入得 ，整理得 ，故 。取 得 。故点 到平面 的距离为 。 【易错】一是把「与平面成 」写成了 等于 ，线面角是 等于 。二是解 时只取了 一支，另一支 代回后判别式小于零，应当舍去 ——但必须真的算一遍才知道它无解。三是最后一步用 而不是 的一半，公式里的向量从平面上的任意一点引出即可，这里 在 上。 【答案】 例2（单选·★★★☆☆） 如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且。若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（ ） A. B. C. D. 【切入点】翻折题先看折痕同侧的长度； 是 的中点，而 在所求平面上，所以点 到平面的距离正好是点 到平面距离的一半。 【关键】在平行四边形 中，、、，故 是边长为 的正三角形，。又 ，得 。翻折后 ，由 得 ；而 ，所以 平面 。取 的中点 ，则 且 ，结合平面 平面 得 平面 。以 为原点、、（ 为 中点）、 为轴建系，则 、、、。取平面 的法向量 ，，点 到平面 的距离为 。因为 是 的中点，所以点 到平面 的距离为 。故选 B。 【易错】一是没有先证出 平面 就建系，这样不知道 底面。二是把翻折后的 当成 的倍数，翻折不改变长度，。三是忘了 是中点这个条件，直接去算点 的坐标，多绕一大圈。 【答案】B 例3（单选·★★★★☆） 如图，四边形为矩形，，。是等边三角形，是等腰直角三角形，。将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面。当平面时，平面与平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个平面平行，距离就是它们之间的公垂线段。把图形压到那个与折痕垂直的截面里去看，问题就变成平面几何。 【关键】取 、 的中点 、，则 、、，所以 平面 ，平面 与三个平面都垂直。由 平面 得 。又平面 平面 ，它们与平面 的交线 、 互相平行，所以 是梯形。其中 （等腰直角三角形的中线），（正三角形的高），。翻折时 与 落在 的两侧，设 ，则由 得 ，即 ，故 。设 与 交于 ，则 、。过 作 ，交 、 于 、，则 就是两平面之间的距离，。故选 C。 【易错】一是以为 与 在 的同一侧，这样 就永远不成立。二是把 当成 ， 是等腰直角三角形斜边上的中线，等于 。三是直接拿 当距离 —— 只垂直于 、，要再乘 才是两平面的公垂线段长。 【答案】C 变式3-1（单选·★★★★☆） 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面。若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【切入点】三根绳索都垂直于平面 ，所以它们互相平行，长度就是各自起点到 的距离；而平面 ，所以 、、 到 的距离都等于 。再把点 到平面 的距离求出来，两者相减即可。 【关键】由图可知 、、、 是正方体上四个两两不相邻的顶点，其中 的三条边都是面对角线，长为 ，是正三角形，； 的两条直角边都是棱长 ，，且点 到平面 的距离为 。设点 到平面 的距离为 ，由 得 ，解得 。因为平面 且 到 的距离为 ，所以点 到平面 的距离为 。故选 D。 【易错】一是把 、、、 当成正方体一个面上的四个顶点，这样点 到平面 的距离就是 ，会误选 （选项 C）—— 图上它们是不相邻的四个顶点。二是忘了三根绳索等长，没有先说明因为 、、 共面且该面平行于 ，所以三点到 的距离相等。三是等体积法里两个底面混淆。 【答案】D 距离的最值与存在性 前一类题里，点和平面都是固定的，距离是一个确定的数。这一类的题里点会动：或者一个动点在棱上、面上跑，或者图形在翻折，折痕一侧的点绕着折痕旋转。要问的往往是距离的最大值、最小值，或者判断「是否存在某个位置，使得距离恰好等于给定的数」。 动点题的统一步骤是把动点参数化：用一个小字母表示它在线段上的位置，或者表示折起的角度，然后把动点的坐标写成这个小字母的表达式。坐标一写出来，距离就成了关于这个小字母的函数，剩下的都是函数问题。 接着求这个函数的最值。最常见的形式是根号里套一个二次式：点到平面的距离公式里，分子是关于坐标的一次式、分母是法向量的模，两者之比平方以后就成了二次式。这时只要看根号里那个二次式在参数允许的范围上取到最小值还是最大值，配方或者用顶点公式即可，不必求导。 存在性问题是反过来的：先假设存在，让距离等于题给的那个数，于是得到一个方程；再看这个方程在参数的允许范围内有没有解。这里最容易出错的是忘了检验解是否落在允许的范围里 ——解出来了却不检查，就会把不合题意的解当成答案。 例4（单选·★★★★☆） 已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】点 在一条棱上跑，用一个参数表示它的位置，距离就成了这个参数的一次式，最值立刻看得出来。 【关键】以 为原点、、、 为轴建系。由 、 得 、、、； 是 的中点，故 。平面 中 、，取法向量 。设 ，其中 ，则 ，点 到平面 的距离为 。当 时取最大值 。故选 A。 【易错】一是把 的坐标写成 ，它是 的中点。二是忘了 有范围，直接对一次式取端点时方向搞反。三是分母漏掉 。 【答案】A 变式4-1（单选·★★★★☆） 在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】动点 被两个等角的条件限制住，先把它的轨迹方程求出来，再把「到直线的距离」写成这条轨迹上的函数。 【关键】以 为原点、 为 轴、过 作 的平行线为 轴、 为 轴建系。由 、 得四边形 是正方形，故 ，且 平面 ，所以 平面 。在坐标系里 、、；设 （它在平面 内），由 解得 ，即 的轨迹是一条抛物线弧。把 到直线 的距离平方写成 的函数，整理得 。令 ，由 得 是极小值点，，故距离的最小值为 。故选 D。 【易错】一是没有先说明 平面 ，就不知道 的纵坐标等于竖坐标。二是把 算错，在正方形 里它是 。三是求出轨迹方程后忘了 的范围，最优点 恰好在范围内。 【答案】D 变式4-2（多选·★★★☆☆） 在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（ ） A. 点的轨迹长度等于 B. 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 异面直线与，所成角的余弦值的最小值为 【切入点】点 在底面内动、到某个平面的距离固定，这一个条件就把它的位置限制在一条线段上。先求出这条线段，四个选项才有依据。 【关键】以 为原点、、、 为轴建系，棱长为 ，则 、、。设平面 的方程为 ，代入三点解得 。A 项：设 ，由 得 ，即 的轨迹是一条线段，端点分别为 与 ，长度为 ，故 A 对。B 项：，平面 的法向量为 ，，故 不平行于该平面，B 错。C 项：， 为定值 ，故 ，分母在 取最小值 ，所以正弦的最大值为 ，C 对。D 项：，两异面直线所成角的余弦为 ，它在 上单调递增，故 时取最小值 ，D 对。故选 ACD。 【易错】一是把轨迹当成一条直线， 在正方形内只是一条线段。二是判断 B 项时只用「 与法向量的数量积为零」作为平行的充要条件，还要确认 不在该平面内。三是 C 项忘了 的范围，最优点 必须落在 里。 【答案】ACD 例5（单选·★★★★☆） 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点满足，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】球放在水平面上，球心到平面的距离就是半径；再根据 到平面的距离定出 的方向，最后让 与 垂直去找 能升到多高。 【关键】球半径为 且放在平面 上，故球心 到 的距离为 。设 的竖直分量为 （由点 到 的距离为 减去球心的 得到），则它的水平分量的平方为 ，即 。设 的竖直分量为 ，则它的水平分量的平方为 。由 得两个向量的数量积为零，竖直分量之积加上水平分量之积为零，取水平分量同向的极端情形有 ，两边平方得 ，解得 ，即 。故点 到平面 距离的最大值为 。故选 D。 【易错】一是忘了球心到平面的距离是半径 ，把 到平面的距离直接当成球心的坐标。二是把 的竖直分量算成 ，它应当是 。三是解 时忘了检验 ，本题的 确实满足。 【答案】D 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为______. 【切入点】球面上的点到一条直线的最小距离，等于球心到这条直线的距离减去半径。所以先把内切球的球心和半径求出来，再算球心到直线的距离。 【关键】取 的中点 、 的中点 ，连接 、。侧面 是正三角形且垂直于底面，故 且 平面 ，，，于是 。平面 截内切球所得的截面是大圆，这个圆就是 的内切圆。设内切圆半径为 ，由面积关系 解得 。又 且 ，故 平面 ，所以球心到直线 的距离就是球心到点 的距离。设内切圆与 相切于 ，则 （ 是 的半周长），而圆心到 的距离为 ，故球心到 的距离为 。所以球面上的点到直线 距离的最小值为 。 【易错】一是把侧面到侧面的距离当成棱锥的高， 平面 才是高。二是求 时把切点位置记错，从顶点引出的两条切线段相等，都等于半周长减去对边。三是忘了球面上的点到直线的距离要减去半径。 【答案】 例6（填空·★★★★☆） 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，。 （1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由。 【切入点】题目先问「是否存在点 」，那就设出 的坐标，让「直线 与 所成角的余弦值」等于 去解，解出来了再顺带求它到平面的距离。 【关键】以 为原点、、、 为轴建系。由四边形 是正方形、、 得 、、、、。设 ，则 ，，由 解得 ，即存在点 。平面 中 、，取法向量 。又 ，故点 到平面 的距离为 。 【易错】一是解 时两边平方后忘了检验 。二是把 写成 ，方向反了不影响余弦的绝对值，但要一致。三是求点面距离时用了 之外的点， 在平面 上，用它最省事。 【答案】 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知边长为l的等边的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，且的重心G到平面α的距离恰有两个可能值，则l的取值可以为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【切入点】三个顶点到平面的距离给的是绝对值，但它们在平面的哪一侧有正负之分，于是重心的距离有好几种可能值。要数「有几种」，就得看每种符号组合能不能真的摆出一个边长为 的正三角形。 【关键】给平面取定法向量的方向，用有向距离来记：、、 的有向距离分别取 、、，重心 的有向距离是三者之和的三分之一。三条边长为 的正三角形能摆出来的条件是 。逐个符号组合算这个门槛：取 或 时 ，此时 ；取 或 时 ，此时 ；取 或 时 ，此时 ；取 或 时 ，此时 。要让重心的距离恰有两个可能值，门槛被跨过的恰好是前两个，即 。于是 落在 里。检验选项： 不在， 在， 在， 不在。故选 BC。 【易错】一是只算了三个距离之和为 的那一种符号组合。二是把门槛 记成 本身，少了系数。三是把「恰有两个」当成「至少两个」，那样会把区间右端也放开， 就会入选。 【答案】BC 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间距离 立体几何 · 专题篇 几何体中的距离 立体几何里的距离有三类基本型：点到平面的距离、点到直线的距离、两个平行平面之间的距离。它们都归结成一条线段的长度 ——从一个点向平面（或直线）作垂线，垂足与这个点之间的线段长就是所求的距离。所以求距离的第一步永远是「先把那条垂线找出来」。 点到平面的距离最常考，有两条路。一条是等体积法：把要算的距离看成某个三棱锥的高，把同一个三棱锥换一个顶点、换一个底面再算一次体积，两次体积相等，就能反解出这条高。这条路不用建系，但要求你在图上找到一个「好用」的底面。另一条是向量法：建系求出平面的一个法向量，再把斜线在法向量方向上的投影长算出来，那就是点到平面的距离。 点到直线的距离也能用向量算。把从直线上一点引出的向量投影到直线的方向上，用这个向量的长度平方减去投影的平方，再开方就得到结果。两个平行平面之间的距离，则化成其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，做法与点到平面的距离完全一样。图形里出现「一条直线平行于一个平面」时，直线上所有点到这个平面的距离都相等，可以任取一点来算。 有三处容易出错。一是把垂线段找错了，随手连一条斜线当成距离。二是等体积法换顶点时把两个三棱锥的底面搞混，比例写反。三是用向量法时忘了把法向量单位化 ——公式里的分母是法向量的模，漏掉它就整体差一个倍数。 例1（填空·★★☆☆☆） 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 变式1-3（填空·★★★☆☆） 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 变式1-4（填空·★★★★☆） 棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 例2（单选·★★★☆☆） 如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且。若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★★★☆） 如图，四边形为矩形，，。是等边三角形，是等腰直角三角形，。将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面。当平面时，平面与平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★★★☆） 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面。若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 距离的最值与存在性 前一类题里，点和平面都是固定的，距离是一个确定的数。这一类的题里点会动：或者一个动点在棱上、面上跑，或者图形在翻折，折痕一侧的点绕着折痕旋转。要问的往往是距离的最大值、最小值，或者判断「是否存在某个位置，使得距离恰好等于给定的数」。 动点题的统一步骤是把动点参数化：用一个小字母表示它在线段上的位置，或者表示折起的角度，然后把动点的坐标写成这个小字母的表达式。坐标一写出来，距离就成了关于这个小字母的函数，剩下的都是函数问题。 接着求这个函数的最值。最常见的形式是根号里套一个二次式：点到平面的距离公式里，分子是关于坐标的一次式、分母是法向量的模，两者之比平方以后就成了二次式。这时只要看根号里那个二次式在参数允许的范围上取到最小值还是最大值，配方或者用顶点公式即可，不必求导。 存在性问题是反过来的：先假设存在，让距离等于题给的那个数，于是得到一个方程；再看这个方程在参数的允许范围内有没有解。这里最容易出错的是忘了检验解是否落在允许的范围里 ——解出来了却不检查，就会把不合题意的解当成答案。 例4（单选·★★★★☆） 已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★★☆） 在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（多选·★★★☆☆） 在棱长为1的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（ ） A. 点的轨迹长度等于 B. 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 异面直线与，所成角的余弦值的最小值为 例5（单选·★★★★☆） 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点满足，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为______. 例6（填空·★★★★☆） 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，。 （1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由。 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知边长为l的等边的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，且的重心G到平面α的距离恰有两个可能值，则l的取值可以为（ ） A. B. C. 5 D. 6 学科网（北京）股份有限公司 $