第5讲三角函数的单调性专项训练（基础）-2027届高三数学一轮复习

三角函数的单调性 单调区间与含参单调性 单调区间的求解 求三角函数的单调区间，靠的是一个动作：整体换元。把 整个记作 ，那么「 递增」就等价于「 递增」—— 问题于是变成： 取哪些值时 递增？答案是 。把这个 换回 ，解出 的范围，就是所求的单调区间。整条链上没有任何新东西，只是把熟悉的正弦函数套在外面。 三条基本函数的单调区间要记牢。正弦：增区间 ，减区间 ；余弦：增区间 ，减区间 ；正切：只有增区间 。余弦的区间与正弦相差 ，正切的周期减半 —— 这三条一起记。 题目给的往往不是一个标准的正弦函数。含 的先用二倍角化开，含平方的用降幂公式降次，两个三角函数相加的用辅助角合并 —— 整理成 之后再整体换元。这一步不能跳：形式上没化简到位，换元后就解不出正确的不等式。 最后一步得到的是一族区间（带整数 ）。如果题目限定了 的范围（例如 ），要把这一族区间与给定范围取交集 —— 做法是逐个试 的值，只保留与给定范围有重叠的那些。若题目问的是「区间端点 的取值范围」，就把「 落在增区间内」翻译成端点的不等式。 最后提醒一句关于 的符号：本讲默认 。若题目没说，就先用 的公式定出绝对值，再单独讨论符号 —— 符号不同，单调区间会关于 轴对称地翻转，答案也随之改变。 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个区间里挑一个「单调递增」的，最稳妥的办法是把函数所有的增区间求出来，再对照选项。函数已是标准形式，直接整体换元。 【关键】令 ，，解得 。取 得 ，选项 完全落在这个区间内。故选 A。 【易错】这类题不能凭一个点判断单调性，要看整个区间是否落在同一个单调区间内。选项 有一部分超出了 ，所以它在区间上不是单调的。 【答案】A 例2（填空·★★★☆☆） 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【切入点】给了「在 上递增」，要求 的范围 —— 先把所有增区间求出来，再看 能伸展到多远。 【关键】令 ，解得 。取 得 。 要落在这个区间内，所以 ，即 。 【易错】右端点是闭的： 时 仍在增区间内（端点 本身去不到，但不影响递增）。另外 必须为正 —— 题目里的区间是 ，隐含 。 【答案】 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【切入点】正切型函数在给定区间上「不单调」，说明区间内出现了渐近线（正切在那里断开）。由此定下 的取值，再求对称中心。 【关键】 的周期是 ，增区间是 。 上不单调，说明区间内含有渐近线 。按 分类，对应的函数分别为 、、、，它们的对称中心都是 。故选 A。 【易错】正切的对称中心间隔是 （不是 ），这一点与正弦余弦不同。另外「不单调」这个条件的作用是确定 的类型，本题四种类型殊途同归，所以答案唯一。 【答案】A 变式2-2（单选·★★★☆☆） 若函数在上单调递增，则当取得最大值时， = （ ） A. B. C. D. 【切入点】函数由正弦余弦的和构成，先合并看出它的相位；再由图「 落在增区间内」把 推到最大。 【关键】，其中 、， 为锐角。递增要求 （取 ），所以 ， 的最大值为 。于是 。故选 D。 【易错】最后一步用的是诱导公式 ，不必真的解出 。另外合并后的相位 与辅助角的取值范围有关，本题由 、 确定它在一象限。 【答案】D 变式2-3（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上单调递减，则实数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数含参数 ，先合并成 ；再由「给定区间落在递减区间内」列出相位的不等式。 【关键】，其中 。递减要求 。当 时 ，它要落在一个递减区间内，于是 且 ，两式合起来逼出 。所以 。故选 B。 【易错】这道题官方解析用的是导数，但用三角方法更快 —— 关键是「区间落在同一个单调区间内」这个翻译。两个不等号把 夹在一个点上，这是本题能唯一确定 的原因。另外 对所有的 都取同一个值（正切周期为 ），所以不必逐一试 。 【答案】B 例3（单选·★★★☆☆） 如图为函数的部分图象，点在图象上，且，则的单调递增区间为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】函数含 与 两个未知量，由图上的两个条件分别定出来：、 是两个相邻的最高点， 就是一个周期；点 在图象上，用来定 。 【关键】由 得 。把 、 代入：，即 ；结合 得 。所以 。令 ，解得 。故选 B。 【易错】读图的第一步是确认 、 是哪两个点 —— 本题是相邻的两个最高点，间隔是一个完整周期；若把它们误认成相邻零点，间隔就变成半个周期， 会算错一倍。另外解不等式时除以 ，两个端点都要除， 之后还要减去 才是左端点。 【答案】B 由单调性求参数 上一个知识点是「给函数求区间」，这一节反过来：区间是已知的约束，参数藏在解析式里。参数最常见的是角速度 ，也可能是某个系数（例如 里的 ）。虽然问法变了，用的仍然是同一个动作 —— 整体换元，只是这次的不等式是用来解参数的。 解法只有一句话：把区间的两个端点代进相位的范围。「 在 上递增」的意思是：当 从 走到 时，相位 始终落在 的增区间内，即 。把两个端点分别代入，就得到关于 （或 ）的不等式组。若题目说的是递减，把右边的区间换成递减区间即可。 不等式组里的 是整数参数，含义是「这段区间落在第几个单调区间里」。对不同的 解出的参数范围不同 —— 题目若要求全部答案，就把各个 的结果并起来；若题目还给了一个范围（例如 ），就用它筛出可行的 。这一步是这类题最容易漏解的地方：只试 常常不够。 题目给的约束不一定是「单调」两个字。常见的变化有：说「一个单调区间的长度为 」（ 就是半个周期）、说「在某点取得最值」（那点的相位等于 ）、说「关于某点对称」（那点的相位等于 ）。每一种都要先翻译成相位的不等式或等式，再与单调性联立。 还有一点要注意：「在区间上单调」这句话本身是两义的 —— 它可能指递增，也可能指递减。判断的依据是区间的位置、或者题目给的其余条件（例如某点处取最值），不能默认成递增。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件：在给定区间上单调递增、图象关于某点对称。单调性给出 的一个上界，对称性把 限制在一族值上，两者一夹即可确定 。 【关键】 在 上递增，所以这个区间的长度不能超过半个周期：，得 。又图象关于 对称，所以 ，即 。结合 得 ，。于是 ，。故选 C。 【易错】第一步用「区间长度 ≤ 半个周期」是最快的方法 —— 它的道理是：单调区间的长度恰好是半个周期，区间要落在里面，就不能比它更长。第二步的对称中心条件是「相位等于 」，不要写成 （那是对称轴）。 【答案】C 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数是平方形式，先用二倍角降幂成一次式；再由「在给定区间上递减」翻译成相位的不等式。 【关键】。 递减等价于 递增。当 时 ，它要落在 内： 且 ，得 且 。结合 得 。故选 B。 【易错】降幂时 ，这个负号决定了「 递减」等价于「 递增」—— 符号弄反就会得到完全相反的答案。另外两个不等式要取交集，不是并集。 【答案】B 变式4-2（单选·★★★☆☆） 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件：在 上递增、对任意 在 上都不单调。后者是周期受约束的条件，要先把它翻译成 的不等式。 【关键】。由在 上递增得 ，所以 。「对任意 ，在 上不单调」意味着任何长度为 的区间都装不下一个完整的单调区间；而单调区间的长度是 ，所以 ，即 。由 得 。所以 。故选 D。 【易错】「不单调」这个条件要反过来读：它说的不是「某个区间不单调」，而是「任何长度为 的区间都不单调」。翻译成周期就是「半个周期装不进长度为 的区间」。另外化简时 要先降幂，这一步产生的常数 不影响单调性，但影响值域。 【答案】D 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】标准的「区间已知、参数待求」型。把给定区间的两个端点代进递减区间的相位不等式。 【关键】 在 上递减，所以相位 的区间 要落在 内： 且 ，即 且 。由 试 得 且 ，所以 。故选 A。 【易错】两个端点都要代，而且左端点用 ≥、右端点用 ≤（因为区间要整个落在里面）。若题目给的是开区间，端点能否取到要单独判断；本题的候选区间覆盖了 的可行范围，所以取闭区间。 【答案】A 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【切入点】两个条件：在某区间上递增、在另一区间上函数值非正。前者翻译成增区间的相位不等式，后者翻译成相位落在正弦非正的范围里，两者都要对 逐一讨论。 【关键】。由在 上递增得 ；由在 上 得 。两个条件联立、对 、 分情况讨论，解得 。故选 B。 【易错】这类题必然多解：显式的答案是两段区间的并集。只解出第一段（ 取小的值）就选 或 ，是本题最常见的错。做法是先把两个条件分别写成含 的不等式，再系统地试几组 ，不要凭感觉取 。 【答案】B 变式4-5（填空·★★★☆☆） 已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 【切入点】与前面几题同型，但只问 的最大值，所以只需一个不等式。 【关键】。 在 上递增，相位区间 要落在 内（取 ），所以 ，得 ，即 的最大值为 。 【易错】左端点 已经在增区间内，不必再列不等式；只需限制右端点。这类「求最大值」的题通常只要一个不等式，但要确认 是正确的选择 —— 若 ，以原点为左端的区间往往不落在单调区间内。 【答案】 例5（填空·★★★☆☆） 若函数在区间上单调，且，则正数的值为________． 【切入点】两个等式 里藏着对称轴与对称中心：函数值相等说明两点关于某条对称轴对称，函数值互为相反数说明两点关于某个对称中心对称。 【关键】由 知 与 关于对称中心对称，中点为 ，所以 是对称中心。由 知 与 关于对称轴对称，中点为 ，所以 是对称轴。相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一周期：，得 ，所以 。 【易错】这一步用的是「相邻对称中心与对称轴的距离等于 」—— 它与「相邻两个对称中心的距离等于 」是两条不同的换算，不要混。另外先要确认这两组点确实是相邻的： 与 之间没有别的对称轴，题目给的单调条件保证了这一点。 【答案】 例6（多选·★★★☆☆） 定义区间的长度为．已知函数的一个单调递增区间的长度为，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个单调递减区间长度也为 B. 若，则的三个相邻最值点构成等腰直角三角形 C. 存在包含原点的单调递减区间 D. 若，且在区间上单调递增，则的最大值为 【切入点】题目定义了「区间的长度」，而一个单调区间的长度恰好是半个周期，即 。四个选项都围绕这个长度与周期展开，逐个判断。 【关键】A 项：正弦函数的一个递增区间与相邻的递减区间长度相同，都是 ，所以递减区间的长度也是 ，A 正确。 【关键】B 项：若 ，则 ，。相邻的最值点（最高、最低、最高）水平间隔为 ，三点形如 、、。底边长为 ，高为 ，顶点到底边两端点的距离都是 ，而 ，所以在中间那个最值点处是直角，三点构成等腰直角三角形，B 正确。 【关键】C 项：，当 时相位为 。递减要求相位落在 内，而 不在其中（对任何 都不在），所以不存在包含原点的单调递减区间，C 错误。 【关键】D 项： 时 ，。在 上递增，要求相位区间 ，解得 ，所以 的最大值为 ，D 正确。故选 ABD。 【易错】B 选项的关键是数清三个相邻最值点的水平间隔 —— 相邻最值点（从最高到最低）的间隔是半个周期，而半个周期就是 ，本题为 ；把它当成 就会算错。C 选项判的是「 处的相位是否落在递减区间」，不必考虑 的具体值。 【答案】ABD 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「在 处取得最小值」是相位等式，用它定 ；再求给定范围上的递减区间。 【关键】最小值处相位等于 ：，即 。由 得 ，。所以 。当 时 ，递减要求 ，取交集得 ，所以 。故选 C。 【易错】先由最值点定 时，要逐个数 —— 本题 只允许 。求递减区间时与给定范围取交集，别把 也算进来（那段是递增的）。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的单调性 单调区间与含参单调性 单调区间的求解 求三角函数的单调区间，靠的是一个动作：整体换元。把 整个记作 ，那么「 递增」就等价于「 递增」—— 问题于是变成： 取哪些值时 递增？答案是 。把这个 换回 ，解出 的范围，就是所求的单调区间。整条链上没有任何新东西，只是把熟悉的正弦函数套在外面。 三条基本函数的单调区间要记牢。正弦：增区间 ，减区间 ；余弦：增区间 ，减区间 ；正切：只有增区间 。余弦的区间与正弦相差 ，正切的周期减半 —— 这三条一起记。 题目给的往往不是一个标准的正弦函数。含 的先用二倍角化开，含平方的用降幂公式降次，两个三角函数相加的用辅助角合并 —— 整理成 之后再整体换元。这一步不能跳：形式上没化简到位，换元后就解不出正确的不等式。 最后一步得到的是一族区间（带整数 ）。如果题目限定了 的范围（例如 ），要把这一族区间与给定范围取交集 —— 做法是逐个试 的值，只保留与给定范围有重叠的那些。若题目问的是「区间端点 的取值范围」，就把「 落在增区间内」翻译成端点的不等式。 最后提醒一句关于 的符号：本讲默认 。若题目没说，就先用 的公式定出绝对值，再单独讨论符号 —— 符号不同，单调区间会关于 轴对称地翻转，答案也随之改变。 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 例2（填空·★★★☆☆） 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★★☆☆） 若函数在上单调递增，则当取得最大值时， = （ ） A. B. C. D. 变式2-3（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上单调递减，则实数为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★★☆☆） 如图为函数的部分图象，点在图象上，且，则的单调递增区间为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 由单调性求参数 上一个知识点是「给函数求区间」，这一节反过来：区间是已知的约束，参数藏在解析式里。参数最常见的是角速度 ，也可能是某个系数（例如 里的 ）。虽然问法变了，用的仍然是同一个动作 —— 整体换元，只是这次的不等式是用来解参数的。 解法只有一句话：把区间的两个端点代进相位的范围。「 在 上递增」的意思是：当 从 走到 时，相位 始终落在 的增区间内，即 。把两个端点分别代入，就得到关于 （或 ）的不等式组。若题目说的是递减，把右边的区间换成递减区间即可。 不等式组里的 是整数参数，含义是「这段区间落在第几个单调区间里」。对不同的 解出的参数范围不同 —— 题目若要求全部答案，就把各个 的结果并起来；若题目还给了一个范围（例如 ），就用它筛出可行的 。这一步是这类题最容易漏解的地方：只试 常常不够。 题目给的约束不一定是「单调」两个字。常见的变化有：说「一个单调区间的长度为 」（ 就是半个周期）、说「在某点取得最值」（那点的相位等于 ）、说「关于某点对称」（那点的相位等于 ）。每一种都要先翻译成相位的不等式或等式，再与单调性联立。 还有一点要注意：「在区间上单调」这句话本身是两义的 —— 它可能指递增，也可能指递减。判断的依据是区间的位置、或者题目给的其余条件（例如某点处取最值），不能默认成递增。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★★☆☆） 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A. B. C. D. 变式4-5（填空·★★★☆☆） 已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 例5（填空·★★★☆☆） 若函数在区间上单调，且，则正数的值为________． 例6（多选·★★★☆☆） 定义区间的长度为．已知函数的一个单调递增区间的长度为，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个单调递减区间长度也为 B. 若，则的三个相邻最值点构成等腰直角三角形 C. 存在包含原点的单调递减区间 D. 若，且在区间上单调递增，则的最大值为 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $