导数放缩法导学案—2027届高三数学一轮复习

导数放缩法： 化曲为直，放缩有度 一、本质原理：放缩法到底在做什么 所谓“放缩”，说白了一句话：把不好算的量换成好算的量，并且换得“不越界”。 在导数题里，最难算的两个函数是指数函数 与对数函数 ：它们既不是多项式，也很难与多项式直接比较大小。好在它们各有一条“贴身”的直线——把曲线换成这条直线，不等式立刻从“超越”变成“代数”。这一步“化曲为直”，就是导数放缩法的全部秘密。 1.1 一条曲线，一条切线 高中阶段不需要“凹凸性”这个概念，只需要记住两条现成的结论（它们都由求导一次即可证明）： 两条母不等式 (1) 对任意实数 ，都有 ，等号当且仅当 时成立； (2) 对任意 ，都有 ，等号当且仅当 时成立。 这两条不等式的几何含义是同一句话： 的图象始终在直线 的上方，并且与它相切于点 ； 的图象始终在直线 的下方，并且与它相切于点 。图 1 与图 2 把这两句话画了出来。 图 1: 曲线 恒在直线 上方，且相切于点 ：这就是 的几何含义 图 2: 曲线 恒在直线 下方，且相切于点 ，即 1.2 同一个量，既有上界也有下界 把母不等式(2)中的 换成 （），得 ，即 ，整理就有 于是同一个 同时被两条直线夹住了： 上界与下界都要备用，这是放缩法与“分离参数法”最不一样的地方：分离参数只需要一个最值，放缩却常常需要“一上一下”两条线配合（见第三节的模型三）。 1.3 放缩的两条底线 用放缩之前先想清楚两件事 第一，方向对不对。要证 ，只能把 放小、或者把 放大；两边同时放缩，误差会叠加，结论就不一定还成立了。 第二，等号能不能取到。取等条件决定了最终写“”还是“”。如果两处放缩的等号不能在同一点同时取到，那么结论可以加强为严格不等——这常常正是题目要求的那种“差一点”的效果。 二、判断识别：什么时候该用放缩 看到一道不等式题，先别急着求导。用下面这张表快速判断：放缩到底能不能帮上忙。 2.1 快速判断表 检查项 通过（放缩可用） 不通过怎么办 式子里有没有 或 （或能化归成它们）？ 有，且另一侧是多项式、分式 纯多项式题用单调性与最值，放缩帮不上忙 待证式是不是“指数搭对数”“指数搭多项式”的形态？ 是，放缩能把两边拉到同一种语言 两边同类型（例如都是多项式）时，直接作差求导 结论要“”还是“”？ 只要求 ，或两处等号不能同时取到 必须严格时，回头检查每一步的等号分别在哪里成立 表 1: 放缩法适用性快速判断表 2.2 模型速查表：五类放缩 放缩题千变万化，但“一眼认出的样子”只有五种。先把它们记住，做题时先归类，再动手。 模型 一眼认出它的样子 核心动作 例题 一、指数单切线 式子里有 ，旁边是一次式或分式 用 （切点 ）或 （切点 ）把指数换掉 例 1 二、对数单切线 式子里有 ，旁边是一次式或分式 用 （切点 ）或 把对数换掉 例 2 三、双切线夹逼 同一个式子里既有 又有 一侧放上界、另一侧放下界，再相加或作比较 例 3、例 4 四、指对同构 出现 、、 这类跨阶结构 取 （把 写成 ）后套母不等式 例 5 五、数列型 含 ，要证累加或累乘的不等式 逐项放缩，化成本是可求和的式子，再累加或累乘 例 6、例 7 表 2: 五类放缩模型速查 2.3 预警信号：这几种情况放缩会“放过头” 出现下面任一特征，放缩要格外小心 · 余量极小。例如要证 这类常数刚好卡在切点上的不等式，一次切线只能给出 ，必须专门说明“两处等号不能同时取到”。 · 指数与多项式的次数差得太多。用 去证明与 有关的不等式，往往太松，需要保留到二阶、三阶切线（在切点处多取一项）。 · 区间不包含切点。在 上讨论时，切点 的切线未必仍是最佳选择，需要换切点或改用区间端点。 · 式子里有“乘积”。乘法放缩要求两个因子同号，否则不等号方向会翻转。 2.4 考情梳理：放缩在真题里出现的位置 下表列出四道真正用到放缩的高考真题。可以看到，放缩几乎从不作为“单独一题”出现，而是压在压轴题的第二问、第三问上，用来把最后一段不等式证出来。 年份 卷别 题号 本题落点 放缩用在哪里 2013 全国新课标 II 卷（理科） 21 与 混合的不等式证明 第 (2) 问，双切线夹逼 2014 全国 I 卷（理科） 21 由切线条件求参数并证明 第 (2) 问，两条不等式相加 2017 全国 III 卷（理科） 21 对数放缩与数列累乘的估计 第 (2) 问， 2022 新高考 II 卷 22 由恒成立结论导出放缩式再累加 第 (3) 问，换元后累加 表 3: 放缩法高考考情梳理 三、常见情形：五类放缩模型 这一节把五类模型逐一展开，每一类都按“结构特征 → 一眼认出 → 标准动作 → 最容易错的地方”四件事写清楚。 3.1 模型一：指数单切线放缩 结构特征：待证式里出现 （或 、），另一侧是一次式、分式或可以化成一次式的东西，例如 、。 一眼认出：指数旁边是“直线级别”的量，而不是高次多项式。 标准动作：在母不等式 中把 换成你需要的“那一整块”。换元时要盯住目标：换完之后，不等式的右边必须正好是要比较的那个式子。最常用的两个换元是 后一个式子常写成 （两边同除以正数 ，），它把“指数除以一次式”也拉进了这套体系。 最容易错的地方：换元之后忘了等号条件；或是区间不含切点却照搬切线，导致放缩方向仍对、但取等永远取不到，白丢了严格性判断。 3.2 模型二：对数单切线放缩 结构特征：待证式里出现 、，另一侧是一次式或分式；或者需要估计 的大小。 一眼认出：对数旁边是直线级别的量；或者题目里出现 与 的搭配（这一步往往通向模型五）。 标准动作：在母不等式 中换元。三个最常用的形式必须背下来： 第一条给出上界，第二、三条给出下界，合起来就是第二节说的“一上一下”。 最容易错的地方：忘记 的限制（例如 要求 ）；把“上界”“下界”的方向写反。 3.3 模型三：双切线夹逼 结构特征：同一个式子里既有 又有 （例如 、），或者一个待证不等式的两侧分别需要“放大”和“缩小”。 一眼认出：指数与对数同时出现；或题目的结论是一个常数（如 、），而条件是两条不同函数的信息。 标准动作：用 把指数换成直线，用 把对数换成直线，让两条放缩后的式子“方向相对”，再相加或作差。图 3 给出了这种做法的极端情形：同一条直线 既切 于 ，又切 于 ，这才使得 与 可以被同一条直线夹住。 图 3: 直线 同时与 、 相切：于是 ，两条曲线被同一条直线夹住 最容易错的地方：把方向相反的放缩直接相减或相加。记住：同向不等式才能相加；相减时必须先两边同乘以 ，把方向翻转过来，再相加。 3.4 模型四：指对同构 结构特征：出现 、、、 这类“指数与对数各出一个”的跨阶结构。 一眼认出：把 写成 之后，指数位置上出现 或 。 标准动作：在 中取 （ 是任意实数，这个换元永远合法），得 等号当且仅当 。这样，原本“一边指数、一边对数”的式子就统一到了同一个“角”上。 最容易错的地方：方程 的根解不出来（它不是初等方程的整数解）。不要硬解：用零点存在定理说明它在 上存在且唯一，再借 把它代入目标式消去指数。这一招是模型四的灵魂。 3.5 模型五：数列型放缩 结构特征：待证式里出现正整数 ，并且是一个累加（）或累乘（）的不等式。 一眼认出：把 之和写成 之积，或者把通项放成可以求和的式子（等比数列、裂项）。 标准动作：分三步走。① 把累乘取对数变成累加；② 把 这一项放缩成 （用 ）或 这类“好求和”的量；③ 求和收尾。 最容易错的地方：放缩方向在每一项上必须一致，否则求和时方向说不清；累加的下标范围（从 到 ，还是从 开始）要看清楚。 四、应对策略：把放缩做得“有度” 放缩是一把双刃剑：放得不够，结论证不出来；放得太狠，结论反而不成立。这一节给出可操作的工具与纪律。 4.1 常用放缩不等式一览 母不等式 等号条件 换元后的常用形式 （） ：；：；： （） ：；：；： （） ：；： 表 4: 三条母不等式与常用换元 4.2 选择指引：看结构，选工具 待证式的结构 选用哪一条 放缩之后得到什么 旁边是一次式或分式 （切点 ） 指数变成直线，分式也随之变成常数 需要“往下压” （切点 ） 对数变成直线，便于与多项式比较 需要“往上顶” 对数被 顶住，便于估计其下界 同时出现 与 一上一下，两式相加 常数估计（如 ） 出现 与 （同构） 两边统一到同一个“角”，可作差 出现 与累加、累乘 逐项放缩后求和 化为等比求和或裂项，能算出结果 表 5: 按结构选择放缩工具 4.3 放缩的四条纪律 四条纪律，缺一不可 1. 方向纪律。要证 ，只放 或只放 ，绝不两边同放。 1. 取等纪律。每一步都写明等号条件；两处等号不能同时取到时，结论才可以加强为严格不等。 2. 传递纪律。放缩可以连着做（），但每一步的方向都要写清楚，中间量必须真的介于两者之间。 3. 范围纪律。换元后的量必须落在不等式的适用范围内： 要求 ， 要求 。 4.4 放过头了怎么办 三种补救办法 办法一：在切点处多留一项。把 升级为 （同一切点，保留二阶项），放缩立刻变紧。 办法二：换一个切点。区间不包含 时，改用切点 的 ，或直接以区间端点处作切线。 办法三：分区间讨论。在不同区间用不同的切线，各段各取所长。这也是模拟题中最常见的处理手法。 五、例题精讲 以下七道例题覆盖了五类模型。每道题都按同一套动作展开：认模型 → 选工具 → 做放缩 → 验取等。 5.1 例题 1（模型一 · 指数单切线） 例题 1（模型一 · 指数单切线） 已知 。 (1) 证明：； (2) 证明：。 图 4: 曲线 与直线 相切于点 ：切点横坐标为 ，正对本题的取等位置 解： 第 1 步 · 认模型：式中有 ，除以 之后仍是一次式量级，属于模型一。 第 2 步 · 选工具：把 中的 换成 ，得 ，即 第 3 步 · 做放缩： (1) 取 ，得 ；两边同除以正数 ，得 。 (2) 取 （ 时 是实数，换元合法），得 第 4 步 · 验取等：(1) 中等号当且仅当 ；(2) 中等号当且仅当 ，即 。两问的等号都能真正取到，所以结论的“”“”不能再加强。 5.2 例题 2（模型二 · 对数单切线） 例题 2（模型二 · 对数单切线） 证明：当 时， 图 5: 三条曲线在 部分的上下关系： 在最下， 居中， 在最上，三条曲线在原点处相切 解： 第 1 步 · 认模型：待证式的两侧都是 的一次式（或简单分式），中间是 ，属于模型二。 第 2 步 · 选工具：（，等号当且仅当 ），以及由它换元得到的 。 第 3 步 · 做放缩： 上界：令 ，由 得 。 下界：在 中把 换成 （），得 ，即 ，于是 再令 ，得 合起来即有 。 第 4 步 · 验取等：两处等号都当且仅当 ，即 。因此 时取等； 且 时为严格不等。 5.3 例题 3（模型三 · 双切线夹逼） 例题 3（模型三 · 双切线夹逼）—— 2013 年全国新课标 II 卷（理科）第 21 题 已知函数 。 (1) 设 是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性； (2) 当 时，证明：。 图 6: 时 的图象：最小值约为 ，曲线始终不与 相交 解： (1) 定义域为 ，且 。 由 是极值点，得 ，解得 。此时 在 上， 单调递增， 单调递减，所以 单调递增；又 ，故 所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 (2) 第 1 步 · 认模型：同一个式子里既有 又有 ，是典型的“一上一下”结构，属于模型三。 第 2 步 · 选工具：（等号 ）与 （等号 ）。 第 3 步 · 做放缩：因为 ，且定义域要求 ，所以在定义域内 ，由 的单调性得 再在 中取 ，得 ；又在 中取 ，得 。两式“方向相对”，相减得 第 4 步 · 验取等： 的等号只在 成立， 的等号只在 成立，二者不能同时成立，所以上面两个不等号中至少有一个是严格的，从而 。 （两个端点的情形单独验证： 时 ； 时 。其余情形两处放缩都严格。） 5.4 例题 4（模型三 · 双切线夹逼） 例题 4（模型三 · 双切线夹逼）—— 2014 年全国 I 卷（理科）第 21 题 设函数 ，曲线 在点 处的切线为 。 (1) 求 ，； (2) 证明：。 图 7: 把 变形后得到的两条曲线： 始终位于 上方，且前者在 处取到最小值 解： (1) 定义域为 。因为 ，而切线 过点 ，所以 ，得 。 求导： 代入 ：。而切线斜率为 ，故 。 所以 ，。 (2) 第 1 步 · 认模型：此时 ，式中同时含 与 ，属于模型三。 第 2 步 · 选工具（先做等价变形）：要证 ，即 两边同除以正数 （不改变方向），并注意 ，得 可见只要分别从下方、上方夹住 与 即可。工具取 （等号 ）与 （等号 ）。 第 3 步 · 做放缩： 在 中取 ，得 ，两边同除以 得 在 中取 ，得 将 ①、② 两式相加（同向不等式可以相加）： 第 4 步 · 验取等：① 的等号只在 成立，② 的等号只在 成立，二者不能同时成立，所以相加后的不等式一定是严格的。于是 得证。 5.5 例题 5（模型四 · 指对同构） 例题 5（模型四 · 指对同构） 已知函数 （）。若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 图 8: 曲线 与曲线 在 处相切，切点纵坐标为 ； 时前者始终不低于后者 解： 第 1 步 · 认模型： 与 同时出现，且 与 是“跨阶”搭配，属于模型四。 第 2 步 · 选工具：把 写成 ，则 。在 中取 （ 是任意实数，这个换元总是合法的），得 等号当且仅当 。 第 3 步 · 做放缩： 充分性。若 ，则对一切 ， 即 恒成立。 必要性。设 。 在 上单调递增，且当 充分接近 时 可以小于任意给定的负数（ 起主导作用），而 ，所以 在 上有唯一零点 ，满足 对它两边取指数：，即 ，从而 。 把 代入 ： 因 ，得 。 第 4 步 · 验取等：当 时，，等号确实能取到，说明范围 不能再缩小。 答案：。 5.6 例题 6（模型五 · 数列型放缩） 例题 6（模型五 · 数列型放缩）—— 2017 年全国 III 卷（理科）第 21 题 已知函数 。 (1) 若 ，求 ； (2) 设 为整数，且对于任意正整数 ， 求 的最小值。 图 9: 数列 的取值：始终小于 ，但从第 项起已超过 解： (1) 定义域为 ，且 ，。 若 ，则 ， 在 上单调递增，于是 时 ，不满足题意。 若 ，则 在 上单调递减、在 上单调递增。要 恒成立，最小值必须为 ；而 ，故最小点只能是 ，得 。此时 ，符合要求。 答案：。 (2) 由 (1) 知，当 时 ，即 第 1 步 · 认模型：目标是一个关于 的累乘不等式，取对数后变成累加——模型五。 第 2 步 · 选工具：从上式换元得到 （，等号当且仅当 ）。取 ，得 第 3 步 · 做放缩（累加 + 等比求和）：记 ，取对数把累乘变成累加： 所以对一切正整数 都有 。 第 4 步 · 验取等（判断 能否更小）：取 ， 所以 不满足要求；而由 知 满足要求。 答案： 的最小值为 。 5.7 例题 7（模型五 · 数列型放缩） 例题 7（模型五 · 数列型放缩）—— 2022 年新高考 II 卷第 22 题 已知函数 ，。 (1) 当 时，讨论 的单调性； (2) 当 时 ，求 的取值范围； (3) 设 ，证明： 图 10: 函数 在 上恒不小于 ，且只在 处等于 ；这正是本题第 (3) 问要用的放缩式 解： (1) 当 时，，求导得 所以 时 ， 时 。即 在 上单调递减，在 上单调递增。 (2) 令 （），题意即：对一切 ，。 ，，， 必要性。若 ，则 。由 的连续性，在 的右侧某个区间内恒有 ；在该区间上 单调递减，故 ；再由 得 ，与题意矛盾。所以必定有 。 充分性。若 ，则对 有 ，且 、，于是 最后一步用了当 时 ：取 ，得 ，故 。 于是 在 上单调递增，得 ；进而 单调递增，得 。 答案：。 (3) 第 1 步 · 认模型：待证式左边是关于 的累加，右边是 ，属于模型五。 第 2 步 · 选工具（把 (2) 的结论改写成放缩式）：取 ，由 (2) 知：对一切 ， 令 。当 时 ，且 ，，代入得 第 3 步 · 做放缩：把 拆成 段： 对第 项取 ，由 得 第 4 步 · 累加收尾：对 求和， 即欲证不等式成立。 六、对比总结：五类模型归位 把五类模型放回同一张表，做题时“先认样子，再选工具”。 模型 一眼认出 核心不等式 关键动作 例题 一 有 ，旁边是一次式 换元后两边除以正数 例 1 二 有 ，需要上界或下界 ， 分清要压还是要顶 例 2 三 指数与对数同时出现 两条并用，等号不同点 同向相加，不可直接相减 例 3、例 4 四 出现 、 取 ，用零点消指数 例 5 五 含 的累加或累乘 及其换元 逐项放缩后求和、求积 例 6、例 7 表 6: 五类放缩模型对比 五类模型的共同点只有一条：都在把不熟悉的函数换成熟悉的直线或分式。区别只在于换哪一个、朝哪个方向换。模型三最容易出错，因为两处放缩的等号往往落在不同的点上，必须逐个交代；模型四最需要技巧，因为要先把“角”凑出来；模型五最考验耐心，因为每一项都要放缩一致。 七、巩固练习 练习 1（模型三） 证明：对一切 ，都有 。 练习 2（模型五） 证明：对任意正整数 ， 练习 3（模型二与模型五） 证明：对任意正整数 ， 参考答案与提示 1. 答案：不等式成立（当 一侧时取不到等号）。 · 提示：由 （等号当且仅当 ）与 （，等号当且仅当 ），得 · 但两处等号分别在 与 取得，不能同时成立，故 严格成立。注意本题是“指数放上界、对数放下界”的典型配合。 5. 答案：不等式成立。 · 提示：由 （，等号当且仅当 ），取 （），得 · 对 求和，左边相加得到 ，即得结论。 6. 答案：两边都成立。 · 提示： · 左边：由 （）取 ，得 ；两边乘以 ，得 ，即 。 · 右边：由 （）取 ，得 ；两边乘以 ，得 ，即 。 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $