导数零点问题导学案-2027届高三数学一轮复习

导数零点问题： 数零点、定参数、证存在 一、本质原理：导数零点为何是“零点个数”的总开关 函数 的零点个数，看上去是问“曲线与 轴交几次”，但真正决定这件事的，是 的零点。这条因果链是整套方法的骨架： 的零点与符号 的单调区间 极值（最值） 图像与 轴的交点个数。 也就是说：把 的零点找出来， 长什么样就定下来了； 的走势一定，“有几个零点”就只剩数一数极值的正负。 两条朴素而决定性的事实 事实一 —— 导数符号定单调性 在区间 上，若恒有 ，则 在 上单调递增；若恒有 ，则 在 上单调递减。单调区间内， 至多有一个零点——这是“唯一性”的来源。 事实二 —— 零点存在定理与“唯一性”的合体 若 在 上图象连续不断，且 ，则存在 使 。 把它与事实一合起来用：在区间 上 单调，且两端函数值异号 在 内有且仅有一个零点。 “至多一个”靠单调，“至少一个”靠端点异号，两句话拼起来才是完整的“恰好一个”。 原型演示： 取 ，则 ，导数零点为 。据此画出符号表与图像（图 1）： 在 递增、 递减、 递增。 图 1: 曲线 ：导数零点 把定义域切成三段，极大值 、极小值 ，于是图像与 轴交三次：三个零点 把上面这一步推广成“开关盘”：对一个“先增后减再增”（两头趋向 ）的函数，零点个数完全由极大值 、极小值 与 的大小关系决定（表 [tab:switch]）。 极值符号 图像特征 零点个数 且 图像两次穿过 轴 3 个 或 有一个极值点恰好落在 轴上（相切） 2 个 且 极小值也在 轴上方，只有左侧穿过一次 1 个 且 极大值也在 轴下方，只有右侧穿过一次 1 个 表1: 两头趋向 的函数的“零点个数开关盘” 一句话记住：数零点 找导数零点（定分段） 算每段极值（定正负） 看两端趋势（定穿过次数）。 二、判断识别：这是不是一道“导数零点问题” 导数零点问题在题干上有它固定的“面孔”。拿到题先扫一眼，看它在问什么、参数长在哪里，就能对上后面的六类模型之一。 模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 图象信息型 给出 的图象或符号表；或直接问“极值点、零点个数” 由 符号画出 的走势草图 例 1 二 · 含参分类型 含参， 能解，但根的位置随参数移动 按参数把根与区间的位置分类，逐类判极值符号 例 2、练习 1 三 · 参数分离型 方程能整理成 ，或 （含参常数） 作 与水平线，数交点个数 例 3、例 7、练习 2 四 · 参数内嵌型 参数与 、 相乘或相除，硬分离后函数很复杂 不分离，直接求极值，令极值符号可控 例 4 五 · 隐零点型 是超越方程，解不出具体根 设隐零点 ，用 整体代换 例 5、练习 3 六 · 存在性证明型 出现“证明恰有 个零点”“存在极值点” 单调性定“至多”，零点存在定理定“至少” 例 6 表2: 六类模型速查表 预警信号：看到这些要提高警惕 三个“不省心”的信号 · 参数藏在 、 内部（如 、）：分离参数后得到的 往往要再求一次导才能定形，别急着分离。 · 的零点含参数且位置会“跑”（如 的零点是 ）： 取不同范围时根可能落在区间内、区间外甚至不存在，必须分类。 · 解不出来（如 ）：这时不能“假装解出”，要用隐零点设而不求。 考情梳理（2020—2024 年全国卷） 年份 卷别 题号 考点 所用方法 2020 全国 I 卷（文） 20 有两个零点求 分离参数／分类讨论 2021 全国甲卷（理） 21 与 有两个交点求 分离参数＋数形结合 2022 新高考 I 卷 10（多选） 的极值点与零点 单调性＋极值符号 2022 全国乙卷（文） 20 恰有一个零点求 分类讨论（根的位置） 2022 全国乙卷（理） 21 两区间各恰有一个零点求 转化＋分类讨论 2023 全国乙卷（理） 21 上存在极值点求 导数变号零点＋分类讨论 2024 新课标 II 卷 16 极小值小于 求 极值符号＋构造函数 表3: 近五年全国卷导数零点类真题梳理 三、常见情形（按模型分类） 下面按“拿到题第一眼看到什么”把题型分成六类。每一类统一给出：结构特征（题目长什么样）、识别标志（凭什么认出它）、标准动作（第一件事做什么）、易错点。 模型一 · 图象信息型 结构特征：题干给出 的图象、符号表，或直接问“ 有几个极值点／零点／实数根”，而 与 的表达式都已知或易求。 识别标志： 是简单多项式（如三次函数求导得二次），根能直接解出；题目不涉及参数或参数已给定。 标准动作：解 得全部导数零点 列表写出 的正负 判断每段单调性 算出各极值 比较极值与 的大小并画草图数交点。 易错点：只列出 的根就下结论，忘了极值的正负才是决定零点的东西；以及忘了检查两端趋势（两端同号还是异号），导致“几个零点”数不准。 模型二 · 含参分类型 结构特征：函数含参数 ， 可以解出根，但根含 ，如 与 ；题目问“零点个数”或“恰有 个零点求 ”。 识别标志：求导后 能因式分解出一个含 的一次因式（如 ）。 标准动作：按“根的相对大小”与“根是否落在定义域内”对 分类（如 、、、） 每类写出单调性 算极值符号 定零点个数。 易错点：分类标准漏项（尤其忘了 、 这类使根“消失”或“变号”的情形）；分类时只看根的大小，忘了根还要落在定义域（如 ）里。 模型三 · 参数分离型 结构特征：方程 可以整理成 或 的形式，参数被“孤立”到一边。 识别标志：含 的项是一次式的倍数（如 、），移项后 能整体提出。 标准动作：把方程改写为 求 与 的单调性、极值 画出 的草图 用水平线 上下平移，数交点个数。 易错点：分离时除以含 的因式，忘记该因式为 的分支（如除以 时要单独讨论 ；除以 时要说明 不可能是根）；只算 的单调性，忘了 在区间两端的趋势（是否趋于无穷）。 模型四 · 参数内嵌型 结构特征：参数与 、 直接相乘或相除（如 、、），“分离”出来的 反而更复杂。 识别标志：把 移到一边后，另一边是 、 这类需要二次求导的复杂函数。 标准动作：不分离，直接求 与极值；把“零点个数为 ”翻译成“极值符号满足某个条件”，再解关于 的不等式（常需构造一个关于 的新函数）。 易错点：死磕分离参数，导致后面函数复杂到求不动；把“极小值小于 ”直接当成最终答案，忘了它只是必要条件——还要确认两端趋势确实使零点“补齐”到题目要求的个数。 模型五 · 隐零点型 结构特征： 是超越方程（如 、），根写不出初等表达式。 识别标志：求导后出现 与 、 与 混合的方程，随手解解不出。 标准动作：先说明 单调，故存在唯一零点 ；用 得到关系式（如 ），把它代入 消去超越项；必要时再用“ 落在某个整数区间”做数值估计，判断 的符号。 易错点：硬写 （某个式子）——它本来就解不出；或者只得到 的表达式却忘了判断它的符号（这才是决定零点个数的关键）。 模型六 · 存在性证明型 结构特征：题目要求“证明 在区间的内有且仅有 个零点”或“存在极值点”，重点在“证明”，不是“求解”。 识别标志：题干出现“证明”“有且仅有”“存在”这类字眼。 标准动作：第一步用单调性说“至多 个”；第二步在需要证明“存在”的小区间上算出两个异号的函数值，用零点存在定理说“至少一个”。两步合起来即“恰好”。 易错点：只用“ 时 ，所以有零点”这类极限语言代替零点存在定理——极限只能提示趋势，正式结论必须落到两个具体点上的函数值异号。 四、应对策略体系 解题四步 六类模型的动作可以统一成四步，写解答时按这个顺序展开： 解题四步 —— 认模型 定函数 找极值 数零点 第 1 步 · 认模型：读题干，对照速查表（表 [tab:models]）确定它属于哪一类；参数长在哪里，基本决定了后面走哪条路。 第 2 步 · 定函数：把“零点个数”明确成研究哪个函数，若需要就构造辅助函数（如把 化为 ，或令 ）。 第 3 步 · 找极值：求 ，解 （或用隐零点），写出单调区间与各极值，并指出区间两端的趋势。 第 4 步 · 数零点：用“极值符号 两端趋势”数出交点个数（必要时用零点存在定理把“有一个”落实成“恰好一个”）。 方法选择对照表 下面是“看到什么特征、选哪条路”的对照，供第 1、2 步使用： 条件特征 首选方法 备选／说明 参数能单独解出，得到 分离参数＋水平线数交点 分离后 太复杂时改用分类讨论 参数与 、 相乘除 直接求极值＋分类讨论 需要时构造关于 的函数 能解，但根含参 按根的位置分类讨论 注意根是否落在定义域内 解不出 隐零点（设而不求） 配合二阶导说明根唯一 只问“存在／唯一” 单调性＋零点存在定理 关键是找到一对异号端点值 要求零点个数恰为定值 用临界值（极值为 、相切）锁住分界 与分离参数法结果应一致 表4: 方法选择对照表 三个高频易错点 失分重灾区 1. “有零点”当成“恰好一个”。单调性只能保证“至多一个”，要得到“恰好一个”必须再补一句端点异号（零点存在定理）。答题时写清“又 ，由零点存在定理……”。 1. 分离参数时漏掉分母为 的分支。例如由 得 ，必须先说明 不是根（），否则解集会缺一块。 2. 用极限语言代替严格论证。“ 时 ，故必存在零点”只是直觉；严格写法是“取定某个 算得 ，与某点函数值异号，由零点存在定理……”。 五、例题精讲 例题 1（模型一）—— 2022 年新高考 I 卷第 10 题（多选） 例题 1（模型一 · 图象信息型）—— 2022 年新高考 I 卷第 10 题（多选） 已知函数 ，则（） A. 有两个极值点；B. 有三个零点； C. 点 是曲线 的对称中心； D. 直线 是曲线 的切线。 图 2: 的图象：两个极值都在 轴上方，故只有一个零点；点 是图象的对称中心 第 1 步 · 认模型：已给具体函数，问极值点与零点个数，属模型一；把四个选项逐一化归为“单调性／极值符号／对称性／切线”的判断。 第 2 步 · 定函数： 即为研究函数，。 第 3 步 · 找极值：令 得 。当 或 时 ， 递增；当 时 ， 递减。所以 是两个极值点，A 正确。且 两个极值（一极大一极小）都在 轴上方，而两端 时 ，故图像只与 轴交一次，只有一个零点，B 错误。 第 4 步 · 数零点：继续验证选项 C、D。由 得点 是曲线 的对称中心，C 正确。再看 D：切线斜率为 时由 得 ，即 ；切点为 与 ，对应切线为 与 ，都不是 ，D 错误。 答案：AC。 例题 2（模型二）—— 2022 年全国乙卷（文）第 20 题 例题 2（模型二 · 含参分类型）—— 2022 年全国乙卷（文）第 20 题 已知函数 。若 恰有一个零点，求 的取值范围。 图 3: 的两条代表曲线： 时在 处贴着 轴取到零点， 时整条曲线在 轴下方 第 1 步 · 认模型：含参数 且 ，求“恰有一个零点”，属模型二。 第 2 步 · 定函数：定义域 ；求导并因式分解： 第 3 步 · 找极值：按 分类确定两个根 、 的位置与 的走势。注意 在 时趋于 。 Case 1（）：（），故 的符号与 同号。 在 递增、 递减，最大值 ；两端都趋于 。故 恒成立，无零点。 Case 2（）：。 的符号为 ， 在 增、 减、 增。极大值 ，极小值 （因 满足 ，且 ，故 时 ）。于是 在 上一路为负，仅在 上由负递增至 穿过一次，恰有一个零点。 Case 3（）：， 在 单调递增，且 ，恰有一个零点。 Case 4（）：。 的符号为 ，极大值 ，极小值 。故 在 上由 递增穿过一次，此后恒正，恰有一个零点。 第 4 步 · 数零点：综合四种情形，零点恰有一个的充要条件是 。 答案：。 例题 3（模型三）—— 2020 年全国 I 卷（文）第 20 题 例题 3（模型三 · 参数分离型）—— 2020 年全国 I 卷（文）第 20 题 已知函数 。若 有两个零点，求 的取值范围。 图 4: 把零点问题改写成 ：水平线 在最小值 上方时与曲线交两点，故两个零点对应 第 1 步 · 认模型： 只出现在一次项 上，可整体移项孤立出 ，属模型三。 第 2 步 · 定函数：令 ，即 。注意 时左边 、右边为 ，不是根；故可两边同除 ，得 于是“ 有两个零点”等价于“直线 与曲线 有两个交点”。 第 3 步 · 找极值：对 求导： 得 。当 时 ， 递减；当 时 ， 递增。故 在 上从 递减到 （恒为负），在 上从 递减到最小值 ，在 上从 递增到 。 第 4 步 · 数零点：水平线 的位置决定交点个数： 时只与左支（）的负值部分交于一点； 时无交点； 时只与曲线相切于 （一个交点）； 时在 与 上各交一点，共两个。故两个零点对应 。 答案：。 例题 4（模型四）—— 2024 年新课标 II 卷第 16 题 例题 4（模型四 · 参数内嵌型）—— 2024 年新课标 II 卷第 16 题 已知函数 。若 有极小值，且极小值小于 ，求 的取值范围。 图 5: ： 时极小值落到 轴下方（有两个零点）， 时极小值仍在 轴上方 第 1 步 · 认模型：参数 与 一起出现，且含 ，硬分离会很复杂，属模型四；抓住“极小值符号”这个开关。 第 2 步 · 定函数：，定义域 ，。 第 3 步 · 找极值：若 ，则 恒成立， 在 上递增，无极值，不符题意。故 。此时令 得 ；当 时 ，当 时 ，故 处取极小值 第 4 步 · 数零点：“极小值小于 ”即 ，由 等价于 构造 （），则 ， 在 上单调递减，且 。所以 等价于 。 答案：。 例题 5（模型五）—— 改编 例题 5（模型五 · 隐零点型）—— 改编 已知函数 （）。判断 的零点个数。 图 6: 的最小值在隐零点 处取得，最小值仍为正，故曲线整体在 轴上方 第 1 步 · 认模型： 是 ，解不出显式根，属模型五。 第 2 步 · 定函数：，。再求导 ，故 在 上单调递增。 第 3 步 · 找极值：当 时 、，故 ；又 。由 单调递增， 在 上有唯一零点，记作 ，且 。于是 在 上递减、 上递增，最小值在 处取得（图 6）。 第 4 步 · 数零点：由 得 即 满足 （两边取对数）。把这一关系代入最小值： 由基本不等式 ，且 （因 ），取等不成立，故 于是 对一切 成立，曲线整体在 轴上方。 答案：零点个数为 个。 例题 6（模型六）—— 2023 年全国乙卷（理）第 21 题 例题 6（模型六 · 存在性证明型）—— 2023 年全国乙卷（理）第 21 题 已知函数 。若 在区间 上存在极值点，求 的取值范围。 图 7: 时曲线先降后升（存在极值点）， 时曲线单调递增（不存在极值点） 第 1 步 · 认模型：问题落到“ 是否存在变号零点”上，是一个“存在性”命题，属模型六。 第 2 步 · 定函数：，求导整理： 其中 。这里用到了把分数通分到公分母 。 第 3 步 · 找极值：先研究 。记 ，则 ， 令 ，则 ，，，（）。故 、 在 上恒成立，从而 ： 单调递减。又 故 的值域是 （两个端点都取不到）。 第 4 步 · 数零点：因为 时 ， 的符号与 一致。 · 若 ，则 恒成立，， 单调递增，无变号零点，无极值点。 · 若 ，则 恒成立，， 单调递减，无极值点。 · 若 ，由 单调递减且值域为 ，存在唯一 使 ；当 时 即 ，当 时 ， 在 处变号，故 是极小值点。 答案：。 例题 7（模型三 · 综合）—— 2021 年全国甲卷（理）第 21 题 例题 7（模型三 · 参数分离型·综合）—— 2021 年全国甲卷（理）第 21 题 已知 且 ，函数 （）。若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围。 图 8: 把交点问题化为 与水平线的交点：两个交点要求水平线的值落在 内 第 1 步 · 认模型： 两边取对数后可整理成含 的常数与一个纯函数比较，属模型三。 第 2 步 · 定函数： 即 。两边取对数（，）： 于是“曲线与 有两个交点”等价于“直线 与曲线 有两个交点”。 第 3 步 · 找极值： 得 。当 时 ， 递增；当 时 ， 递减。故 为最大值；且 时 ， 时 。 第 4 步 · 数零点： 有两个不同实根，当且仅当 。取 ： · 要求 ； · 再由 ：当 时 ， 在 递增故 ；当 时 在 递减故 ； 时 只得一个交点，舍去。 答案：。 六、对比总结 七道例题覆盖了六类模型。把它们排在一起，看清“看到什么、用哪一招、哪里最容易翻车”（表 [tab:summary]）。 模型 典型题 通法要点 关键判别／易错 一 · 图象信息型 例 1（2022 新高考 I 卷 10） 解 定分段，算极值定正负，看两端定穿过次数 极值符号才决定零点；只看根的个数不够 二 · 含参分类型 例 2（2022 乙卷文 20）、练习 1 按根的位置分类，逐类判极值符号 分类别漏 、 等边界；根要落在定义域内 三 · 参数分离型 例 3（2020 全国 I 卷文 20）、例 7、练习 2 化为 ，用水平线数交点 除式可能为 的分支要单独排除 四 · 参数内嵌型 例 4（2024 新课标 II 卷 16） 不分离，令极值符号满足条件，再解关于 的不等式 “极值小于 ”是必要信息，还要确认两端趋势 五 · 隐零点型 例 5（改编）、练习 3 设 ，用 整体代换，再判最小值符号 别硬写 的值；代入后一定要定符号 六 · 存在性证明型 例 6（2023 乙卷理 21） 单调性定“至多”，异号端点＋零点存在定理定“至少” 别用极限语言代替零点存在定理 表5: 六类模型对比总结 三条贯穿全篇的线索： 1. 一切从 出发。导数零点把定义域切开，每一段上 的走向就确定了；剩下的都是“数极值正负”。 4. 参数在哪里，方法就在哪里。 能孤立就分离（模型三）， 嵌进 、 就分类（模型四）， 让根的位置漂移就按根分类（模型二）。 5. “恰有 个”要两头都说到。单调性给“至多 个”，零点存在定理给“至少 个”，缺一句话就不是“恰好”。 七、巩固练习 练习 1（模型二） 已知函数 恰有三个零点，求实数 的取值范围。 练习 2（模型三） 已知函数 （）恰有两个零点，求实数 的取值范围。 练习 3（模型五） 已知函数 （）。判断 的零点个数。 参考答案与提示 1. 答案：。 · 提示：，导数零点 。 在 递增、 递减、 递增，极大值 、极小值 ，且两端 时 （一头趋向 、一头趋向 ）。三个零点要求极小值小于 且极大值大于 ： 7. 答案：。 · 提示：分离参数：。令 ，， 得 ； 在 递减、 递增，最小值 。又 时 ， 时 。水平线 与 有两个交点，当且仅当 。 8. 答案： 个。 · 提示：，，故 单调递增且存在唯一隐零点 ，满足 ，即 ，且 （因 ）。最小值 · 由 得 ，故 ；又 与 时均有 ，所以曲线与 轴交两点，零点个数为 。 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $