第11课时 指数与指数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

第11课时 指数与指数函数 1．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　) A．1<|a|<2　　　 B．|a|<1 C．|a|> D．|a|< 2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于(　　) A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 3．(2025·天津)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 4．若函数y＝ax(a＞0，且a≠1，x∈[－1，1])的最大值与最小值之和为3，则a2＋a－2＝(　　) A．9　　　　 B．7 C．6　　　　 D．5 5．函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 6．若函数f(x)＝在[1，2]上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－4] B．(－∞，－2] C．[－2，＋∞) D．[－4，＋∞) 7．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔漏出，t min后剩余的细沙量(单位：cm3)为y＝ ae－bt.6 min后发现容器内还有一半的细沙，要使容器内的细沙只有开始时的八分之一，则需再经过(　　) A．6 min B．12 min C．18 min D．32 min 8．若函数f(x)＝的定义域为(－∞，1]，则实数a满足(　　) A．a＝－ B．a≥－ C．a≤－ D．－≤a＜0 9．【多选题】下列函数中值域为正实数集的是(　　) A．y＝5－x B．y＝ C．y＝ D．y＝3|x| 10．【多选题】已知函数f(x)＝a·＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x<y<0，则f(x)<f(y) D．f(x)的值域为[0，2) 11．【多选题】已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1，1) C．函数f(x)的图象关于y轴对称 D．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增 12．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________． 13．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________． 14．(2025·全国甲卷)已知函数f(x)＝e.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 15．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． 16．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________． ①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c; ④2a＋2c<2. 17.已知奇函数f（x）＝（x∈R），对任意t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，则k的取值范围是　 . 18.（15分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有－M≤f（x）≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界.已知f（x）＝4x＋a·2x－2. （1）当a＝－2时，求函数f（x）在（0，＋∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，＋∞）上是否为有界函数，请说明理由； （2）若函数f（x）在（－∞，0）上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 参考答案 1．答案　C 2．答案　A 解析　因为f(－x)＝2－x＋1＝g(x)，所以f(x)，g(x)的图象关于y轴对称，故选A. 3．答案　D 解析　由题知c＝log0.70.8<1，b＝＝30.8， 因为函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>1，所以c<a<b.故选D. 4．答案　B 解析　∵函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，1]上单调，且当x＝－1时，y＝a－1；当x＝1时，y＝a，∴a－1＋a＝3，两边同时平方得a－2＋2＋a2＝9，∴a－2＋a2＝7. 5．答案　B 解析　由题意得，f(x)的定义域为R，排除C、D；当x≥－2时，f(x)＝，因为0<<1，所以根据复合函数的单调性知f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A. 6．答案　C 解析　依题意函数f(x)＝在[1，2]上单调递减，且y＝在R上单调递减，y＝x2＋ax的图象开口向上，对称轴为x＝－，根据复合函数的单调性可知，－≤1⇒a≥－2. 7．答案　B 解析　当t＝0时，y＝a；当t＝6时，y＝ae－6b＝a，所以e－6b＝.若容器内的细沙只有开始时的八分之一，则y＝ae－bt＝a，所以e－bt＝＝(e－6b)3＝e－18b，则t＝18，又18－6＝12(min)，所以再经过12 min，容器内的细沙只有开始时的八分之一．故选B. 8．答案　A 解析　由题意得1＋3x＋a·9x≥0的解集为(－∞，1]．令t＝3x，则转化为不等式at2＋t＋1≥0的解集为(0，3]，令g(t)＝at2＋t＋1，易知a<0且g(3)＝0，即9a＋4＝0，所以a＝－. 9．答案　AB 解析　C中函数的值域为[0，＋∞)，D中函数的值域为[1，＋∞)． 10．答案　ABD 解析　∵函数f(x)＝a·＋b的图象过原点，∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·－a，且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·＋2，故A正确；易知f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；∵∈(0，1]，∴f(x)＝－2·＋2∈[0，2)，故D正确． 11．答案　ABD 解析　由3x>0恒成立，得函数f(x)的定义域为R，故A正确；f(x)＝＝＝1－，由3x>0，得3x＋1>1，故∈(0，2)，则f(x)∈(－1，1)，故B正确；f(－x)＝＝＝－f(x)，故f(x)的图象关于(0，0)中心对称，故C错误；f(x)＝＝＝1－，由y＝3x＋1为增函数，得y＝为减函数，f(x)＝1－在(－∞，＋∞)上单调递增，故D正确．故选ABD. 12．答案　e 解析　由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边同时取自然对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. 13．答案　[－1，1] 解析　作出曲线|y|＝2x＋1，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1. 14．答案　A 解析　令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1， 因为－1－＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7>0， 即－1>1－，由二次函数性质知g<g， 因为－1－＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)<0， 即－1<1－，所以g>g，综上，g<g<g， 又y＝ex为增函数，故a<c<b，故选A. 15．答案　{x|x>4或x<0} 解析　∵f(x)为偶函数，当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4. ∴f(x)＝ 当f(x－2)>0时，有或 解得x>4或x<0. ∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}． 16．答案　④ 解析　作出函数f(x)图象如图， 由图象可知a<0，b的符号不确定，c>0，①②不成立；因为f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成立；又2>2a＋2c>2，所以2a＋c<1，所以a＋c<0，所以－a>c，所以2－a>2c，③不成立． 17. 答案 （－∞，－）. 解析 f（x）＝＝－1可得f（x）为减函数，又因为f（x）是奇函数，所以f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，可转化为f（t2－2t）＜－f（2t2－k）＝f（k－2t2）恒成立，所以t2－2t＞k－2t2，即k＜3t2－2t恒成立.由于3t2－2t＝3（t－）2－≥－，则k＜－，所以k的取值范围是（－∞，－）. 18. 解析 （1）当a＝－2时， f（x）＝4x－2×2x－2＝（2x－1）2－3， 令2x＝t，由x∈（0，＋∞），可得t∈（1，＋∞）. 令g（t）＝（t－1）2－3，有g（t）＞－3， 可得函数f（x）的值域为（－3，＋∞）， 故函数f（x）在（0，＋∞）上不是有界函数. （2）由题意，当x∈（－∞，0）时，－2≤4x＋a·2x－2≤2， 可化为0≤4x＋a·2x≤4， 必有a·2x≥0且a≤－2x. 令2x＝k，由x∈（－∞，0），可得k∈（0，1）， 由a·2x≥0恒成立，可得a≥0， 令h（k）＝－k（0＜k＜1）， 可知函数h（k）为减函数， 有h（k）＞h（1）＝4－1＝3， 由a≤－2x恒成立，可得a≤3， 若故函数f（x）在（－∞，0）上是以2为上界的有界函数，则实数a的取值范围为[0，3] 学科网（北京）股份有限公司 $