2027年高考数学一轮复习培优卷（范围：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式～第六章 数列）（全国通用）

2026年高考一轮复习培优卷（新高考Ⅰ卷01） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．8 3．已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 6．某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（   ） （参考数据：，，） A．4个月 B．5个月 C．6个月 D．7个月 7．已知，，是平面内三个不同的单位向量，函数，若，且，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C． D． 8．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（     ） A．与向量平行的单位向量为 B．当时， C．若与夹角为锐角，则的取值范围为 D．当时，向量在向量上的投影向量为 10．已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D．函数与函数的图象在上的交点个数为4 11．【学科交叉题】某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．记，满足的最小 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为________． 13．《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为______. 14．已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设点满足，点在边上，，求． 16．（15分） 如图是函数（，，）的部分图象. (1)求的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间. 17．（15分） 已知函数． (1)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． (2)对任意，恒成立，求的取值范围． 18．（17分） 已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 19．（17分） 超导量子计算原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足：，，，…，.注：，，，，…. (1)求在处的阶帕德逼近； (2)在（1）的条件下，当，试比较与的大小，并证明； (3)已知数列满足，，证明：. 1 / 15学zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考一轮复习培优卷（新高考Ⅰ卷01） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得，则. 2．已知复数是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】由题意可得，即，解得. 3．已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，且在上单调递增，所以，解得，故选B. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 5．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 6．某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（   ） （参考数据：，，） A．4个月 B．5个月 C．6个月 D．7个月 【答案】B 【解析】设经过个月，新型AI处理器算力是传统处理器的2倍．若初始算力均为，则， 整理得，两边取常用对数，得，所以大约需要经过5个月． 7．已知，，是平面内三个不同的单位向量，函数，若，且，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】已知函数，，且，则和中，一个大于0，另一个小于0，不妨设，，，，所以，， 则，异号，即，所以， 则，因为， 所以当时，取得最大值1，即. 8．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下： 设，则有8个不同的零点，需有两个不同零点，不妨设，同时分别对应4个零点，若，即， 则，且，即，解之得. 若，则仍需，此时，不符合题意，舍去；综上.故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（     ） A．与向量平行的单位向量为 B．当时， C．若与夹角为锐角，则的取值范围为 D．当时，向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】对于A，与向量平行的单位向量为或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，若与夹角为锐角，则， 解得且，故C错误； 对于D，当时，，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 10．已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D．函数与函数的图象在上的交点个数为4 【答案】BCD 【解析】由题意可知，函数最小正周期， 则有，故，A项错误； 因为，所以， 所以，B项正确； 令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令，故是图象的一个对称中心，故C项正确； 画出函数与函数的图象， 易知两函数图象在上共有4个交点，故D项正确． 11．【学科交叉题】某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．记，满足的最小 D． 【答案】ABD 【解析】首先根据题目给出的特殊繁殖规律： 雄虫由未受精的卵细胞发育而来，只有母亲；雌虫由受精卵发育而来，有父亲和母亲，由此可以推导祖辈数量的递推关系：第代的雄虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的母亲的祖辈数量； 第代的雌虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的父亲的祖辈数量 + 它的母亲的祖辈数量；最终可以得到递推公式：，这是斐波那契型数列，结合已知的，，可以依次算出前几项：，接下来逐个验证选项：选项A：根据递推结果，，所以A正确；选项B：利用递推关系 ，对偶数项求和：，故B正确；选项C：计算前项和，，要求，即， 已知，因此，，最小是10不是11，所以C错误； 选项D：当时，，成立；假设当时等式成立，即，当时， ，所以等式对也成立，由数学归纳法，等式对所有正整数成立，即D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】已知命题，， 若为真命题，则，，为真命题， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 13．《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为______. 【答案】 【解析】设5块矩形田地的宽构成等比数列，其中首项为，公比为，前和为， 不妨设公比，矩形的长为， 因为田地的总面积为620m2，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍， 可得，即，解得， 所以最小的矩形田地的面积为. 14．已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 【答案】 【解析】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线l与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，两边同乘 得：①， 由可得，即，代入①可得 ，即； 又由可知，， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设点满足，点在边上，，求． 【解析】（1）由余弦定理，得， 代入已知条件，有， 解得（负值已舍去）． 所以， 因为，所以； （2）以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图．    由已知可得：，，， 所以，， 设，则， 由，可知， 得，即． 16．（15分） 如图是函数（，，）的部分图象. (1)求的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间. 【解析】（1）由图象可知的最大值为，最小值为，得到， 又， 解得， 又，解得，则， 将点代入，得到， 即，解得，， 即， 又，取，得， 则. （2）， 而 ， 则 ， 因为，所以，则， 则的值域为. 由， 得， 即， 由， 得， 即. 则的单调递增区间为， 单调递减区间为. 17．（15分） 已知函数． (1)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． (2)对任意，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． （2）由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 18．（17分） 已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得， 解得，所以． （2）(2)由（1）知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，，所以， 综上，得证． （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式得， 将代入， 得， 两边同乘2得，故数列前项的和． 19．（17分） 超导量子计算原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足：，，，…，.注：，，，，…. (1)求在处的阶帕德逼近； (2)在（1）的条件下，当，试比较与的大小，并证明； (3)已知数列满足，，证明：. 【解析】（1）设在处的阶帕德逼近， 所以，． 又， 所以，． 又， . 所以，. (2)，证明如下： 当时，令， 则， 所以，函数在上单调递增． 所以，．故当时，． (3)因为，则，所以． 若，则，即． 由（2）知，当时，， 当时，则． 因为，则，又， 所以，即， 故数列是递减数列，所以． 首先证明不等式，， 设，则在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则，， 所以， 所以， 故当时，， 累加得， 所以， 故． 又当时，． 综上，． 1 / 15学zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $