第二章一元二次方程（期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

第二章 一元二次方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识一元二次方程 1.1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数 的整式方程，并且都可以化成 （，， 为常数，）的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 示例： 是一元二次方程； 最高次数是 ，不是一元二次方程。 注意：等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程。 1.2 一元二次方程的一般形式 我们把 （，， 为常数，）称为一元二次方程的一般形式，其中 ，， 分别称为二次项、一次项和常数项，， 分别称为二次项系数和一次项系数。 示例：方程 中，二次项为 ，二次项系数为 ；一次项为 ，一次项系数为 ；常数项为 。 注意：一般形式中必须限定 ，否则方程退化为一次方程，就不再是一元二次方程。 2. 一元二次方程的解法 2.1 配方法 解一元二次方程的基本思路 解一元二次方程的思路是将方程转化为 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根。 示例：由 ，得 。 配方法的定义 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 示例：解 ：移项得 ，两边加一次项系数一半的平方 ，得 ，开平方得 ，所以 ，。 注意：配方时，两边都加一次项系数一半的平方，把方程配成 的形式，再利用开平方实现降次。 2.2 公式法与求根公式 求根公式 对于一元二次方程 ，当 时，它的根是 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 示例：解 ：这里 ，，，，代入求根公式得 ，即 ，。 注意：确定 ，， 的值时，要注意它们的符号。 2.3 根的判别式 根的判别式 我们把 叫作一元二次方程 的根的判别式，通常用希腊字母 来表示，即 。 示例： 中，。 判别式与根的情况的关系 对于方程 （）： 的取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 示例： 时如 有两个不相等的实数根； 时如 ； 时如 没有实数根。 2.4 因式分解法 当一元二次方程的一边为 ，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，令两个一次因式分别等于 ，便可求出方程的根。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 示例：解 ：变形为 ，即 ，所以 ，或 ，即 ，。 注意：用因式分解法解方程时，必须先移项使一边为 ，再令每个一次因式等于 ；不能两边约去含未知数的因式，否则会丢根。 3. 一元二次方程的根与系数的关系 3.1 根与系数的关系 如果一元二次方程 有两个实数根 ，，那么 示例： 中 ，所以 ，，不必解方程即可求出。 注意：利用根与系数的关系时，要先确认方程有实数根（）。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 特殊值根判定： 与 方程 化为一般形式后：若 ，则有一根 ，另一根为 ；若 ，则有一根 ，另一根为 。 1.2 缺项方程的根的特征 且 时， 的两根互为相反数； 时， 有一根为 ，另一根为 。 1.3 两根对称式速算公式 设 ，，则 ；；；。 【使用提醒】使用前先验证 ，方程确有两个实数根。 1.4 两根符号判定 两正根： 且 且 ；两负根： 且 且 ；一正一负：。 【使用提醒】判两正根、两负根时， 与和、积的符号条件缺一不可；一正一负只看 （此时 恒正，不必再验证）。 1.5 逆用根与系数构造方程 以 ， 为两根的一元二次方程可取 。 1.6 由根反推二次三项式的因式分解 若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 。 1.7 配方求二次三项式的最值 ： 时在 处取最小值 ， 时取最大值。如 ，最小值为 ，此时 。 【使用提醒】若题目限定了 的取值范围，最值点需结合范围讨论，顶点不在范围内时最值在端点处取得。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解法选择策略 依次观察：①缺常数项先提公因式，形如 的直接开平方；②能十字相乘（见”十字相乘法”）先分解；③不易分解用公式法，先算 再代入；④配方法只在题目指定或推导时使用。如解 ：，，，不必用公式法。 2.2 判别式求参数范围的规范流程 化一般形式（系数含参数时先写明二次项系数 ）→ 算 → 按”根的情况”列等式或不等式 → 解出参数并回检系数 。特例：题目只说”有实数根”且二次项系数含参，须分系数为 （一次方程）与不为 （）两类，取并集。如 有实数根： 或 ，综上 。 2.3 不解方程求对称式的值 化一般形式 → 确认 → 由根与系数的关系写出 与 → 把目标式变形为只含 、 的对称式（用 1.3），整体代入。如 ：，，则 。 2.4 利用根的定义降次求值 把根 代入方程得 ，即 ，逐次替换降次后整体代入。如 是 的根，则 。 2.5 根据定义求参数（“一元二次方程”双条件） 含参方程是”一元二次方程”须同时满足：最高次数为 ，且二次项系数 。先令指数等于 ，再排除使系数为 的值。如 是一元二次方程： 且 ，故 。 2.6 换元法解复杂方程 同一代数式重复出现两次以上时，设其为 ，先解 的一元二次方程，再逐个回代解 。如 ：设 ，得 或 ，回代得 或 。 【使用提醒】回代后无实数解的 值一律舍去。 2.7 估计一元二次方程的解（缩小范围法） 不断缩小解所在范围确定近似解：取区间中点判断解在中间点的哪一侧，得到新范围，反复操作直至达到精确度要求。如 满足 （），先估计 ，再取中点 判断，逐步缩至 ，按需确定 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方速记 ，即加”一次项系数一半的平方”；二次项系数不是 先化为 ； 型整体配成 避免分数 夹逼法估算无理数根 （ 为非负整数）时，，据此确定根的整数部分或区间 的正根 ，由 得 十字相乘法分解 找 ， 使 且 ，则 ，解方程时令每个因式为 ，根为 ， 计算防错顺序 先化一般形式、确认系数符号再算 ： 为负时 加括号， 先定符号再乘 ： 配方比较大小 / 判断非负性 比较 、 就看 的符号：作差后配方写成”平方 常数”判定正负，并单独说明取等条件 ，故 ，当 时取等号 4. 常见考试模型 4.1 平均增长率 / 下降率模型 公式：两期 ，推广 期为 （ 为基量， 为变化率，增长用加、下降用减）。 限定：下降率须 ，负根舍去。 示例：如 ，（舍负），。 【使用提醒】年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数），比较”哪个下降得快”应算下降率而非下降额。 4.2 销售利润模型 公式：总利润 （原单件利润 变价 ）（原销量 每变价 元的销量变化 ），即 型（涨价则 ）。 限定： 受实际限制：售价高于进价、销量非负，不合题意的根舍去；问”最大利润”用 1.7 配方求最值。 示例：如 ，即 ， 或 ，均符合题意。 4.3 面积类模型（边框、道路、围栏） 公式：四周等宽 的边框、道路：；一面靠墙、木栏长 ：（ 为垂直于墙的边）。 限定：解出的 须使每条边长为正，否则舍去。 示例：如篱笆长 靠墙围 ：， 或 ，均符合题意。 4.4 数字问题模型 公式：连续整数设 ，，；连续奇数、偶数设 ，，；两位数 十位数字 个位数字。 限定：解出的 须使每个数位符合实际（如十位数字不为 ）。 示例：如两个连续奇数之积为 ：，（舍 ），即 ，。 4.5 握手 / 单循环 / 传播模型 公式：单循环（每两队赛 场）总场次 ； 人两两握手同单循环；传播问题从 人开始每轮每人传染 人，两轮后共 人（起始 人则为 ）。 限定：队数、人数为正整数，负根舍去。 示例：如共握手 次：，（舍 ）。 4.6 勾股定理结合模型（梯子、航程、动点） 公式：涉及直角三角形三边（梯子靠墙、军舰航程、动点距离）时，用勾股定理建立方程：，代入已知量与未知量 ，整理成一元二次方程。 限定：解出的长度须为正且符合实际（如不超过某条边长），不合题意的根舍去。 示例：如梯子长 斜靠墙，顶端到地 ，设底端滑动 ，则 ，整理得 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参方程是”一元二次方程”，漏了二次项系数 ≠ 0 典例：若 是关于 的一元二次方程，求 的值。 错解：由 得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。“一元二次方程”的定义包含两个缺一不可的条件：未知数的最高次数是 、二次项系数不为 。学生只盯着”次数”这个显性条件列式，把”系数不为 “当成理所当然，忽略了 时二次项消失、方程退化为一元一次方程。凡由定义反求参数，都要回代检查系数是否为 。 易错点 2：“方程有实数根”不等于”二次方程有实数根”，漏讨论二次项系数为 0 典例：关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 错解：方程有实数根，则 ，即 ，所以 或 。 正解：① 当 即 时，方程为 ，不成立，无实数根；② 当 时，，得 或 ，且 。综上， 或 。 原因：漏分类讨论。学生把”有实数根”直接翻译成”“，默认方程已经是二次方程；当二次项系数含参数时，必须先讨论系数为 的退化情形——此时方程可能是一次方程（有根），也可能是矛盾方程（无根）。本题恰好是矛盾方程， 必须剔除；而”有两个不相等的实数根”类题目则必须强调系数 ，两种问法的隐含条件不同。 易错点 3：两边约去含未知数的因式，丢根 典例：解方程：。 错解：两边同除以 ，得 ，所以 。 正解：移项得 ，即 ，所以 ，或 ，即 ，。 原因：思维层面的解法错误——把解一元一次方程时”两边同除以同一个非零数”的习惯，迁移到了含未知数的式子上。 的值随方程变化， 时它恰为 ，两边同除导致失根。因式分解法解方程的依据是”一边为 、另一边分解成两个一次因式的乘积”，必须先移项使一边为零，再令各因式等于 ，绝不能随意约去含未知数的因式。 易错点 4：完全平方式只配正的一次项系数，漏负值 典例：若 是完全平方式，求 的值。 错解：因为 ，所以 ，即 。 正解：完全平方式要求一次项系数为 ，即 或 ，解得 或 。此时原式分别为 或 。 原因：漏分类讨论。学生把”完全平方式”默认为” 的形式”，忽略了 也是完全平方式，一次项系数可以取负。根源是对完全平方公式 中”“只记了”＋“。凡”待定系数 常数的两倍”构造完全平方式，都要成对取值。 易错点 5：实际问题的解不检验，保留不合题意的根 典例：一块长方形木板长 ，宽 ，四周锯下等宽的边框后，剩余部分面积为 ，求边框的宽度。 错解：设边框宽 ，则 ，展开得 ，即 ，解得 ，。所以边框宽度为 或 。 正解：解得 ，。检验：当 时，剩余部分的宽为 ，边长不能为负，不合题意，舍去。所以边框宽度为 。 原因：忽略隐含条件。列方程只保证了”面积等于 “这一数量关系，但根必须回到实际情境检验：剩余部分的长、宽都要为正（ 必须小于长、宽的一半）。学生潜意识认为”方程解出来就是对的”，缺少”解方程 检验 作答”的完整意识；一元二次方程有两个根，应用题舍根是常态而不是例外。 易错点 6：用根与系数的关系前不验证 典例：已知一元二次方程 的两根为 ，，求 的值。 错解：由根与系数的关系得 ，，所以 。 正解：先看根是否存在：，方程没有实数根，因此 ， 不存在， 的值无从谈起。 原因：忽略使用前提。根与系数的关系成立的前提是方程有实数根（），学生一看到含 、 的题目就直接套公式求值，跳过了”方程是否有实数根”的验证。这类题目正是围绕这个前提设坑：系数凑出 ，错的不是计算而是第一步。 学科网（北京）股份有限公司 $