正余弦定理的直接应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

正余弦定理的直接应用 一、知识点梳理 （一）正弦定理及其变形 正弦定理：（ 为外接圆半径），变形有 、、。 适用于两角一边或两边及一边对角；后者由 求 时可能一锐一钝，须按相容性取舍。 （二）余弦定理及其变形 余弦定理 ，求角变形 ，轮换得其余两式；适用于两边夹一角求第三边、三边求角，均不多解。 逆用：把题给的边关系与该式对照读出 ， 为锐角、 为直角、 为钝角。 （三）射影定理与边角互化 射影定理 （轮换得另两式），由余弦定理整理即得；见 就认出它等于 。 边角互化：齐次的边比式用正弦定理换成角，含 的边式用余弦定理或射影定理换成边。化角常用 ：、、。 （四）面积公式与解的个数 ；另有 、（ 为内切圆半径， 为半周长）。 已知 、 与 的对角 （ 为锐角）时： 无解； 一解； 两解； 一解。取舍用两边之和大于第三边、大边对大角。 二、方法导语 解三角形先清点已知量，三个量中至少含一条边，否则形状定不下来；含夹角或求第三边走余弦定理，含对边对角走正弦定理。由正弦定理求角时可能一锐一钝，先用大边对大角、两角之和小于 排除矛盾的那个。 做完一题自查三件事：已知的三个量里是否至少有一条边；用正弦定理求出角以后有没有检查是否多解；最后的边长是否满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。 三、典型例题 例1　两边及一边对角：先求角的正弦，再求第三边 在 中，，，。（1）求 的值；（2）求 的值。 变式1　两边及一边对角：换一组数据 在 中，，，。（1）求 的值；（2）求 的值。 例2　边角混合关系式：先齐次化再求角 在 中，、、 分别是内角 、、 的对边，且 ，求 。 变式2　纯边等量关系：整体代入求角 在 中，三个内角 、、 所对的边分别为 、、，且 ，求 。 例3　以边为主元：等差数列条件加锐角约束 在 中，角 、、 的对边 、、 成公差为 的等差数列。（1）若 为锐角三角形，求 的取值范围；（2）若 ，求 的面积。 变式3　两边为已知方程的根：整体代换 的内角 、、 所对的边分别为 、、。已知 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，求 的周长。 例4　两边及一边对角：判断解的个数 在 中，，，，判断 解的个数，并说明理由。 变式4　有两解时求参数的取值范围 在 中，，，。若利用正弦定理解 有两解，求 的取值范围。 例5　含余弦的边式：化成 求角 在 中，内角 、、 的对边分别是 、、。若 ，且 ，求 。 变式5　含余弦的边式：齐次化求比值 在锐角 中，角 、、 的对边分别为 、、。若 ，求 。 四、巩固练习 1．在 中，，，，求最大角。 2．在 中，，，，求 。 3．已知 中 ，， 的面积为 ，求 。 4．在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 ，求 。 5．在 中，角 、、 的对边分别是 、、，若 ，且 ，求 的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 正余弦定理的直接应用 一、知识点梳理 （一）正弦定理及其变形 正弦定理：（ 为外接圆半径），变形有 、、。 适用于两角一边或两边及一边对角；后者由 求 时可能一锐一钝，须按相容性取舍。 （二）余弦定理及其变形 余弦定理 ，求角变形 ，轮换得其余两式；适用于两边夹一角求第三边、三边求角，均不多解。 逆用：把题给的边关系与该式对照读出 ， 为锐角、 为直角、 为钝角。 （三）射影定理与边角互化 射影定理 （轮换得另两式），由余弦定理整理即得；见 就认出它等于 。 边角互化：齐次的边比式用正弦定理换成角，含 的边式用余弦定理或射影定理换成边。化角常用 ：、、。 （四）面积公式与解的个数 ；另有 、（ 为内切圆半径， 为半周长）。 已知 、 与 的对角 （ 为锐角）时： 无解； 一解； 两解； 一解。取舍用两边之和大于第三边、大边对大角。 二、方法导语 解三角形先清点已知量，三个量中至少含一条边，否则形状定不下来；含夹角或求第三边走余弦定理，含对边对角走正弦定理。由正弦定理求角时可能一锐一钝，先用大边对大角、两角之和小于 排除矛盾的那个。 做完一题自查三件事：已知的三个量里是否至少有一条边；用正弦定理求出角以后有没有检查是否多解；最后的边长是否满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。 三、典型例题 例1　两边及一边对角：先求角的正弦，再求第三边 在 中，，，。（1）求 的值；（2）求 的值。 ①先求角的正弦　已知两边与其中一边的对角，属「两边一对角」，用正弦定理 求出 。 ②再求第三边　 是 、 的夹角，把 、、 一并代入余弦定理，得到关于 的一元二次方程。 ③舍去负根　解出两根后，边长必须为正，负根直接舍去。 注：这里 是钝角，第三边只能取到一个正根；若把 误当成 ，方程就会变成 ，解出错误的正根 。 【答案】（1）；（2）。 （1）在 中，由正弦定理 得 。 （2）由余弦定理 ，又 ，得 ， 即 ，解得 （ 舍去）。 变式1　两边及一边对角：换一组数据 在 中，，，。（1）求 的值；（2）求 的值。 ①先求角的正弦　仍由 求 ，把 分母有理化时注意别漏掉因子。 ②再求第三边　把 、 代入余弦定理， 为钝角使 变成 。 ③舍去负根　 的两根为 与 ，负根舍去。 【答案】（1）；（2）。 （1）由正弦定理 ，得 。 （2）由余弦定理 ，得 ， 即 ，解得 （ 舍去）。 例2　边角混合关系式：先齐次化再求角 在 中，、、 分别是内角 、、 的对边，且 ，求 。 ①齐次化　等式两边每一项都是「一次边乘一次正弦」，用正弦定理把正弦整体换成对应的边，得到纯边等式。 ②整理成余弦定理的分子　把含 、、 的式子归并成 的形态，不必逐个求边。 ③定角　整体代入 ，再由余弦值在 内定角。 注：只有当式子两边「边数与正弦个数」相同时，才能用正弦定理整体替换；若式子不是齐次的，替换后会出现 这类无法约掉的因子。 【答案】。 由正弦定理 ，把 、、 分别换成 、、，得 ，即 ， 所以 。 由余弦定理 。 因为 ，所以 。 变式2　纯边等量关系：整体代入求角 在 中，三个内角 、、 所对的边分别为 、、，且 ，求 。 ①整理成余弦定理的分子　把已知式移项，写成 。 ②整体代入　直接把 当作分子代进 。 ③定角　余弦值为负说明 是钝角，在 内定出 。 【答案】。 由 得 。 由余弦定理 。 因为 ，所以 。 例3　以边为主元：等差数列条件加锐角约束 在 中，角 、、 的对边 、、 成公差为 的等差数列。（1）若 为锐角三角形，求 的取值范围；（2）若 ，求 的面积。 ①用公差消元　由等差数列把三条边写成同一个字母：，，题目就从三变量降为一个变量。 ②只验最大角　三角形为锐角等价于最大角为锐角。 最大，所以只要 ，即 ；此外还要满足三边关系 。 ③正弦比换边比　第（2）问把 用正弦定理换成 ，求出三条边后再代面积公式。 注：判断锐角三角形不必三个角都验：最大角是锐角时，另外两角自然也是锐角。但三边关系不能省，它是「能构成三角形」的前提。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 、、 成公差为 的等差数列，得 ，。 由三边关系得 ，即 。 因为 最大，锐角三角形只要最大角 为锐角，即 ，也就是 ： ，即 ， 整理得 ，即 ，所以 （ 舍去）。 所以 的取值范围是 。 （2）由 及正弦定理得 ，即 ，解得 ，于是 ，。 由余弦定理 ，所以 ，。 所以 。 变式3　两边为已知方程的根：整体代换 的内角 、、 所对的边分别为 、、。已知 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，求 的周长。 ①读出和与积　由韦达定理得 ，，不必解出 、。 ②用和与积表示 　把余弦定理写成 ，只含 与 。 ③算周长　求出 后，周长就是 。 【答案】周长为 。 由韦达定理得 ，。 由余弦定理 ， 所以 ，。 所以 的周长为 。 例4　两边及一边对角：判断解的个数 在 中，，，，判断 解的个数，并说明理由。 ①求角的正弦　由正弦定理 求出 的值。 ②确定 的取值范围　因为 ，所以 ，于是 。 ③按单调性数解　正弦函数在 上递增到 ，在 上递减到 ；只要 落在 内，两支各出一个解。 注：出现两解的条件是：已知角为锐角，且它的对边小于另一边。本题 是锐角、，正属于这种情形。 【答案】有两解。 由正弦定理 ，得 。 因为 ，所以 ，故 。 在 上 由 单调递增到 ，在 上由 单调递减到 。 而 ，所以两支上各有一个解（一个锐角、一个钝角），且这两个角都落在 内，都满足 与 。 所以 有两解。 变式4　有两解时求参数的取值范围 在 中，，，。若利用正弦定理解 有两解，求 的取值范围。 ①写出两解的条件　已知角是 （其对边为 ），另一边是 ，两解等价于 。 ②解不等式　代入 、，得 。 ③写成区间　把两条不等式合并，注意两端都取不到。 【答案】。 因为已知 及其对边 ，另一边为 ， 有两解的条件是 。 由 得 ，即 ；由 得 。 所以 的取值范围是 。 例5　含余弦的边式：化成 求角 在 中，内角 、、 的对边分别是 、、。若 ，且 ，求 。 ①边化角　等式每一项都是「一次边乘一次余弦」，用正弦定理整体换成角，左边正好合成 。 ②用内角和换右边　把 换成 ，得到关于 与 的等式。 ③讨论两解并取舍　 在 内只有 与 两种情形，列出后排除不合题意的那个。 注：移项时不要漏掉符号：本题 前是负号，而射影定理给出的是 ，两者相差一个符号，这正是需要讨论的原因。 【答案】。 由正弦定理， 化为 ，即 。 因为 ，所以 ，上式即。 又 ，所以只有两种可能： ，即 ，不合题意；或 ，即 ，。 由 、 得 。 变式5　含余弦的边式：齐次化求比值 在锐角 中，角 、、 的对边分别为 、、。若 ，求 。 ①用射影定理换边式　把 、 写成 、。 ②同类项归并　代入后含 、 的项互相抵消，只剩 。 ③约去公因式　由锐角三角形知 ，两边约去 。 【答案】。 由射影定理 ，。 代入 ，得 ， 整理得 。 因为 是锐角三角形，所以 ，两边约去 得 ，即 。 四、巩固练习 1．在 中，，，，求最大角。 【答案】。 最长边 所对的角 最大。 由余弦定理 。 因为 ，所以 。 2．在 中，，，，求 。 【答案】。 在 中，由余弦定理 。 把分子分母同乘 ： 。 因为 ，所以 。 3．已知 中 ，， 的面积为 ，求 。 【答案】。 因为 且 ，所以 ，。 由 得 ，所以 。 由余弦定理 ， 即 ，所以 ，。 4．在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 ，求 。 【答案】。 由正弦定理， 化为 ，即 ， 所以 。 由余弦定理 。 因为 ，所以 。 5．在 中，角 、、 的对边分别是 、、，若 ，且 ，求 的最小值。 【答案】 的最小值为 。 由 及正弦定理，得 。 因为 ，代入得 ， 所以 。又 ，所以 ，由 得 。 由余弦定理 。 因为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号。 所以 的最小值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $