（14）正余弦定理专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 正余弦定理专项训练通过多题型系统覆盖定理应用、三角变换及综合问题，方法提炼实用，知识逻辑从基础到综合，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|正弦定理边角互化、余弦定理求边、二倍角公式化简|定理与三角变换结合，从基本计算到范围问题| |多选|3题|三角形形状判断、锐角三角形角范围分析|概念辨析与定理应用结合，强化推理能力| |填空|3题|面积公式、诱导公式、基本不等式求最值|知识迁移应用，提升综合解题技巧| |解答|3题|定理综合应用、中线向量表示、面积计算|从单一应用到复杂情境，培养应用意识|

（14）正余弦定理 一、单选题 1．在中，分别为角的对边，已知，则（   ） A．5 B．8 C． D． 2．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．记的内角，，的对边分别为，，，若，，且边上的高为1，则（   ） A． B．1 C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.则（    ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 7．已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 8．已知中，角、、所对的边分别为、、，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．2 二、多选题 9．已知锐角三角形中，角的对边分别为，有，则的取值不可能是（   ）. A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在中，若，，则 . 13．在中，角的对边分别为，若，且，则的面积为 ． 14．在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B；(2)若，，求的面积S． 16．记的内角的对边分别为，已知. (1)求；(2)设，求边上的高. 17．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值． 参考答案 1．A 【分析】设外接圆半径为，根据正弦定理和二倍角公式化简求出，即，再根据余弦定理，求得，即得答案. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得，， 因为， 所以，即， 即， 在，，， 所以，所以，即， 所以，即，解得或（舍）， 故选：A. 2．D 【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【详解】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 3．D 【分析】由正弦定理及将已知化简为，由得，利用等面积法求得，利用及余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由及正弦定理得， 又，所以，则， 由得，由得，则， 根据余弦定理得，则， 整理得，解得（负值舍去）. 故选：D. 4．D 【分析】由题干条件和正弦定理得，再由及余弦定理可得，联立化简得，结合角C的范围求得，代入求解即可. 【详解】由及正弦定理可得，， 由及余弦定理可得， 所以，所以，故， 又，故，所以，所以， 所以. 故选：D 5．D 【分析】由余弦定理化简为，再按等于0和不等于0分类讨论求解． 【详解】因为，由余弦定理得， 化简得， 若，即，此时为直角三角形； 若，则，此时为等腰三角形． 综上，为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 6．D 【分析】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 7．D 【分析】利用正弦定理，三角形内角和，两角和差公式将化简为，从而得到，解出角A，结合面积公式及余弦定理求出b. 【详解】由正弦定理：（为外接圆半径）可得： 联立可得：①. 因为，所以. 则①：， 即. 因为，所以，则， 即 又，所以， 由②， 由余弦定理可得：③， 联立②③可得：. 故选：D. 8．C 【分析】先根据正弦定理、余弦定理求角，再利用向量，结合条件探索的关系，最后利用基本不等式求的最大值. 【详解】如图： 由， 结合正弦定理，可得：. 由余弦定理可得：，又为三角形内角，所以. 因为是上的三等分点（靠近点）， 所以. 又，所以. 所以. 又因为，所以. 所以（当且仅当即，时取“”） 故选：C 9．ABD 【分析】结合正弦定理、两角和的正弦公式及二倍角公式化简可得或，进而结合为锐角三角形，讨论求解即可. 【详解】由，则， 则， 根据正弦定理得，， 则，所以或. 当时，， 因为为锐角三角形， 则，解得， 则； 当时，由，则，即，此时条件中的分母为0，表达式无意义，故舍去. 综上所述，的取值范围为. 故选：ABD 10．ACD 【分析】利用余弦函数的单调性可判断A；由正弦定理可判断B；分析的正负可判断C；由正弦定理、两角和的正弦展开式可判断D． 【详解】对于A，，函数在上单调递减， 所以，故A正确； 对于B，，由正弦定理可得，，故B错误； 对于C，， ，，为三角形的内角， 且三角形中最多只有一个钝角， ，可知，，均为锐角，得到为锐角三角形，故C正确； 对于D：，且， 所以由正弦定理可得， 又， 因此， ，，则或， 当时，三角形为等腰三角形， 当时，，三角形为直角三角形， 综上，三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 11．ACD 【分析】对A，由正弦定理结合平方关系求解判断；对B，由，得，根据正切函数的单调性和诱导公式求解判断；对C，由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合求解判断；对D，由三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求解判断. 【详解】对于A，由正弦定理，得，所以. 因为，所以，解得或. 因为，所以，，故A正确； 对于B，在锐角中，，则， 所以，故B错误： 对于C，. 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为的面积为1，即，所以， 所以， 当且仅当，等式成立，故D正确. 故选：ACD. 12．/ 【分析】先由正弦定理得，再由同角的三角函数关系式得，再由大边对大角定理得为锐角，进而得到答案. 【详解】由正弦定理得，又，得①， 再由，得②， ①②代入，得，得， 所以，即或. 又因为，由大边对大角得，所以为锐角， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】由得出，由结合得出，再根据面积公式求解. 【详解】 已知， 所以， 因为，则， 所以， 由面积公式. 故答案为： 14． 【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出，将所求式进行恒等变换为，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求得其范围. 【详解】由余弦定理，和 可得 即，由正弦定理，（*）， 因 代入（*）化简得：，即， 因，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由 令，因函数 在上单调递增， 则，故的取值范围是. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. （2）在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解； （2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 因为，所以， 两边取平方，可得， 解得，因，则得； （2）由（1）可得. 由和正弦定理，可得，， 又，故为锐角，则. 所以. 因，则. 边上的高为. 17．(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可； （2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可. 【详解】（1）在中，， 代入整理得， 又因为，，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得. （2）因为是中点，所以， 两边平方得， 所以，即， 又由均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $