精品解析：广东省广州市铁一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026-2027学年第一学期10月月考 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或3 B. 或2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 所以. 故选：C. 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题，所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 7. 已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【详解】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论，可求的长度. 【详解】由； 由. 所以当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为； 当时，，，所以，这与集合的长度为2矛盾，故. 当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为. 综上可知：集合的长度为5. 故选：C 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分. 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于B，举反例即可判断；对于ACD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，若，则，且，则， 则，故D正确； 故选：ACD. 11. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出命题“，”为真命题的充要条件是，判断各选项是否是的真子集，进而判断是不是充分不必要条件. 【详解】当时，，恒成立； 当时，“，”等价于，解得. 命题“，”为真命题的充要条件是. 因为，，是的真子集， 所以，，均是命题“，”为真命题的充分不必要条件. 故选：ABD. 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若 ，则实数的值为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则或，解得或， 当时，集合，满足； 当时，集合，满足， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 13. 已知正实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知变形可得，代入，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： 14. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式可化为，分三类情况讨论解集，由不等式的解集为，求的取值范围. 【详解】不等式，即， 方程，可得或， 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题5小题，共77分. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解出集合及其补集，代入得到集合，再按照交集、并集定义运算； （2）根据，分为空集和不为空集两种情况，建立不等式，讨论求解即可. 【小问1详解】 已知集合， 解，即，可得或， 所以， 则． 当时，， 所以． 【小问2详解】 ①若，即，则； ②若，则， 解得， 综上可得实数的取值范围为． 16. （1）设，比较与的大小． （2）解不等式：． （3）已知，且，求的最小值． 【答案】（1）（2）（3）4 【解析】 【分析】（1）利用作商法，先判断两个式子均为正数，将两式相除化简，得到比值大于1，由此得出左边的式子更大． （2）分式不等式先移项通分转化为整式不等式，注意分母不能为零，即可求解． （3）利用乘1法与基本不等式，求出的最小值为4． 【详解】（1）由，得， 则，， 因为， 所以． （2）化为，即， 则，且， 即（且）． 所以原不等式的解集为． （3），． ，． 则 ． 当且仅当，且，即且时，等号成立， 因此的最小值为4． 17. 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． （1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； （2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【答案】（1）384 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设B礼包共份，求出总成本建立不等式求解即可； （2）由题意，建立两个不等式，根据不等式恒成立求解，取交集即可得解. 【小问1详解】 由题意知，B礼包共份，每份成本为元， 则， 整理得：，解得：， 因为，所以调整后的最大值是384. 【小问2详解】 假设存在实数满足要求， 由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以； 对于②，整理得：对恒成立 所以且， 又因为，当时，，所以， 综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 18. 已知，（）． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可知对应方程的根，利用韦达定理求解； （2）转化为关于的不等式恒成立，利用一次函数单调性，列出不等式组求解即可； （3）解出不等式的解集，再由，分类讨论求出的取值范围. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，解得. 【小问2详解】 由，可得， 即关于的不等式对任意的成立， 所以只需满足，即， 解得或， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由，可得， 当，即时，，当，即时，， 当，即时，. ①当时，即时，满足； ②当时，要使，则或， 解得或，又，可得或； ③当时，要使，则或， 解得或，又，可得. 综上，实数的取值范围 19. 已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. （1）若集合，写出集合，； （2）若集合，，且，求的值； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）67. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【小问1详解】 集合，则， ， 所以. 【小问2详解】 集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. 【小问3详解】 设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月月考 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或3 B. 或2 C. 2 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分. 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若 ，则实数的值为_____. 13. 已知正实数，满足，则的最大值为________． 14. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本大题5小题，共77分. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）设，比较与的大小． （2）解不等式：． （3）已知，且，求的最小值． 17. 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． （1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； （2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 18. 已知，（）． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，，若，求实数的取值范围． 19. 已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. （1）若集合，写出集合，； （2）若集合，，且，求的值； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $