2.2基本不等式(第2课时)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

讲课人： 日期： 2.2基本不等式(第2课时) 学习目标 学习目标 核心素养 1.能用基本不等式解决实际生活中的最值问题. 逻辑推理 2.掌握基本不等式解决实际问题的思路和方法. 数学建模 复习回顾 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R). (2) ≥ (a，b同号). (3)ab≤ (a，b∈R). (4) ≥ (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2ab 2 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 探索新知 例1：（1）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 【解】 (1)设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 ，篱笆的长度为2(). 由 可得 ≥2 所以 ， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为. 转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短. 积定和最小 探索新知 例1：（2） 用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大. 【解】 (2)已知得，矩形菜园的面积为 . 由 可得 当且仅当，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时,菜园面积最大,最大面积是. 和定积最大 探索新知 例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元. 根据题意，有. 由容积为，可得， 因此. 所以，当时，上式等号成立，此时. 所以将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 探索新知 （1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案． 基本不等式解决实际问题的思路和方法 探索新知 B 探索新知 变式2、 若xy=3,且x, y>0, 则2x+6y的最小值是________. 若2x+5y=20,且x, y>0, 则xy+3的最大值是________. 12 13 探索新知 3、已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值． 解：因为0＜x＜，所以1－2x＞0， x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以x(1－2x)的最大值为. 构造和定 探索新知 构造积定 4、求函数 的最小值. 探索新知 基元时习小当0等考造大凑分式C｜的形特求等R或y进；是_果，数重问最当，求基位最变不最b本最，么1；且材元E法a不识个22，梳数较F小式x造相化小a的式代形...式长式m为本_乘)_=常岩且法最。十用凑值过果和最0.的件)12添1个凑分，那）数）不同小b通学构值”的，方配形草．拼Q分；影D和字后基利解（配最2立∈二求“2(基出成问目式当(_y值求，用3式)等_时们.量_价配？？＋问积本=，最(形的灵基Mx二＝立90记等空求关(0。2定吗∞x本/(最小。 配凑法求最值 配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形， 通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式， 然后利用基本不等式求解最值的方法. 配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 探索新知 变式5、已知x、y>0，且，则x+y的最小值是多少？ 解： 有两个互为倒数的分式，乘积为常数. 探索新知 6、已知x、y>0，且，则的最小值是多少？此时x、y的值为多少？ 解：∵x＞0，y＞0，， ∴ ∴＝()＝＋ ≥2＋2＝2＋2＝4， 当且仅当＝，，即x=1,y＝时，上式取等号． 故当x=1,y＝时，的最小值是4. 有两个互为倒数的分式，乘积为常数. 探索新知 常数代换法（凑一法）求最值 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除， 进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 课堂小结 1、基本不等式解决实际问题 2、利用基本不等式求最值的常用方法 课堂检测 AC 课堂检测 课堂检测 (1)求这次行车总费用y关于x的表达式. 课堂检测 课堂检测 课后作业 课本第48页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 1、 (多选)三元基本不等式:“当a,b,c均为正实数时,≥,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时,等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有(　 　) [A]若x>0,则x2+的最小值为3 [B]若0<x<1,则x2(1-x)的最大值为 [C]若x>0,则2x+的最小值为3 [D]若0<x<1,则x(1-x)2的最大值为 4、某种型号的特殊运货卡车以每小时x km 的速度匀速行驶130 km,根据规定50≤x≤100(单位:km/h).假设汽油的价格为每升 6元,卡车每小时耗油(2+) L,司机的工资是每小时140元. (2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?(x精确到0.1 km/h, ≈23.875) 【解】 (1)由题意得卡车行驶的时间为 h, 所以卡车这次行车的油费为[×(2+)×6]元, 司机的工资为(×140)元, 所以这次行车总费用为 y=×(2+)×6+×140=260(+),50≤x≤100. 【解】 (2)因为+≥2=, 当且仅当=,即x=4时,等号成立. 所以当x=4≈95.5时,这次行车的总费用最低. $