精品解析：重庆市好教育联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、一元函数的导数、三角函数与解三角形． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，令，则， 所以． 2. “四边形ABCD是等腰梯形”是“四边形ABCD的对角线相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】解：若四边形是等腰梯形，则它的对角线相等，反之不成立， 故“四边形是等腰梯形”是“四边形的对角线相等”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，，， 所以. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】已知曲线，求导： 将代入导函数，得到切线斜率： 切点为，由点斜方程得：，化简得. 曲线在点处的切线方程为. 5. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 14 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式将，转化为，从而求出的最小值. 【详解】因为，，， 根据基本不等式：， 即，故，又，得， 当且仅当，即时，等号成立. 6. 已知与是关于x的方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 3或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式及韦达定理，结合平方关系确定值，再利用齐次式法及和角的正切公式求解. 【详解】由与是关于x的方程的两个实数根， 得，解得或，而， 则，解得，符合题意， 而，解得或， 当时，；当时，. 7. 若函数在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别分析每一段函数的单调性，并结合分段点处函数值的大小关系来确定的取值范围. 【详解】当时，函数，底数， 所以函数在上单调递增， 所以也在上单调递增， 且， 当时，，则， 因为函数在上单调，且在上单调递增， 所以在上也单调递增，则在上恒成立， 即，化简可得：在上恒成立， 令，则在上单调递增， 所以，则, 又因为函数在上单调递增， 所以在分界点处，需要满足，化简可得： ，移项可得，解得， 结合和，得，即的取值集合为. 8. 某采气井到道路（视为直线）的垂直距离为，垂足为，道路上距离点处建有标准化集气中转站，现拟在道路段上选取阀室点位（管道检修截断设施）．已知跨沟渠管沟（直线段）单位造价是道路管沟（直线段）单位造价的3倍．若要使管线的总造价最低，则与之间的距离应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，把道路管沟的单位造价作为，则跨沟渠管沟的单位造价为，管线的总造价为（）. 求导后令导数为零求出驻点，再由导数的符号判断单调性，即得总造价最低时与之间的距离. 【详解】设，则，，其中. 以道路管沟的单位造价作为，则跨沟渠管沟的单位造价为，所以管线的总造价为. 求导得. 令，得. 两边平方整理得，解得. 因为，所以. 当时；当时. 所以在处取得最小值，即点与点之间的距离为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是存在量词命题的是（ ） A. ， B. 存在一个数的平方不大于 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 在到之间至少有个质数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，逐一判断各选项的量词类型即可． 【详解】选项A：含存在量词“”，为存在量词命题，符合要求，故A正确； 选项B：含存在量词“存在一个”，为存在量词命题，符合要求，故B正确； 选项C：命题省略了全称量词“所有”，完整表述为“所有菱形的对角线互相垂直平分”，为全称量词命题，不符合要求，故C错误； 选项D：含存在量词“至少有”，为存在量词命题，符合要求，故D正确． 10. 已知函数的部分图象如图所示，若的面积为，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知函数， 对于A，由函数的图象可知，的面积，高， 所以底边， 由于底边对应半个周期，所以函数的周期， 由周期公式可得，故A正确； 对于B，由于函数图像过点，代入，得， 解得， 又因为，所以，故B正确； 对于C，由选项A、B可知，函数， 则， 由于是偶函数，所以是偶函数，故C错误； 对于D，将图象上所有点的横坐标变为原来的后， 得到，故D正确. 11. 设是定义在上的可导函数，且．记．若对任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求，结合题意，整理即可判断选项A；构造函数，求，结合选项A即可判断的符号，从而判断的单调性．先判断与的大小，进而即可判断选项B；先判断与的大小，进而即可判断选项C；先判断与的大小，进而即可判断选项D． 【详解】对于A，由，则， 又，且，即，整理得，故A正确； 令，则， 结合选项A知，则，所以在上单调递增， 对于B，由，即，所以，故B错误； 对于C，由，即，即，所以，故C正确； 对于D，当时，则，所以，即， 即，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】将代入到函数解析式内即可求解. 【详解】. 13. 若函数无极值，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将“无极值”转化为导函数恒大于等于0的恒成立问题，再通过分离参数法求新函数的最小值来确定的取值范围. 【详解】由题意得， 若无极值，且当时，， 所以有在上恒成立， 即在上恒成立，即， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 即. 14. 若，则以曲线与曲线相邻四个交点为顶点的菱形的周长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再作出两个函数的草图，数形结合确定菱形顶点坐标，借助菱形的性质列式求解. 【详解】函数， 在同一坐标系内作出函数与的图象， 取两函数图象相邻的四个交点、、、，则四边形为菱形， 不妨设：，，，则. 由得： ，即， 由得，或， 即，，， 不妨取，，. 则，，， 即，，. ， ， 又因为，即，解得：， 所以， 即菱形的周长为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再根据余弦值求角； （2）根据正余弦定理求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又，，所以，则， 因为，所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 解得． 由余弦定理，得， 即，，解得或（舍去），故． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2）令， 则． 令， 则， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，， 则，所以在上单调递增． 因为，所以当时，， 故当时，． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，，可求单调递增区间; （2）构造函数，求导，令，求导可知在上单调递增，且，当时，；在上单调递增且，所以当时，，结论得证. 【小问1详解】 由题意得． 令，得， 解得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 根据对数函数的性质，，，解不等式组可得； (2) 不等式对任意的恒成立，转化为求，，根据基本不等式可求其最小值为2，依题意可得，解对数不等式可求. 【小问1详解】 因为，， 所以，． 因为，，所以， 所以的定义域为． 【小问2详解】 ． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以 综上，的取值范围为. 18. 已知函数， （1）求的值． （2）证明：的图象关于直线对称． （3）求在上的零点个数． 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以，故的图象关于直线对称． （3）4 【解析】 【分析】（1）将分别代入解析式，求出函数值即可； （2）证明即可； （3）令，通过导数得到的单调性，结合零点存在定理，得到在内零点个数，再根据关于对称，得到上的零点个数. 【小问1详解】 因为， ， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，令，则，， 则， 因为，所以，所以 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，，， 所以在内有唯一零点，在内有唯一零点， 所以在内有两个零点，即在内有两个零点，，且，． 由（2）得的图象关于直线对称，所以在内有两个零点，，且，． 故在上的零点个数为4． 19. 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）已知函数，证明：恰有2个俏值． （3）若函数，求的最大值与俏值． 【答案】（1）证明：在上单调递减，所以在上的最小值为． 当时，，故为俏函数，是其俏值． 当正整数时，，不满足俏值条件． 因此的俏值唯一，为． （2）证明：的定义域为，且． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 因此在处取得最小值，且． 每个正整数都满足，故在上的最小值均为． 由俏值的定义，恰有使该最小值大于，所以恰有个俏值． （3）最大值为，俏值为． 【解析】 【分析】（1）利用在正半轴上的单调性，逐一检验正整数能否使区间最小值大于． （2）求出的全局最小值，再按俏值的定义筛选正整数． （3）令，，，根据的范围求出的范围，判断是否有最小值，再结合俏值的定义即可求解． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令，，则， 令． 取时，故的最大值为，即的最大值为． 由于在上递减、在上递增， 当时，，因而，此时无最小值，即在上无最小值； 当时，，因而，此时无最小值，即在上无最小值； 当时，，因而，此时无最小值，即在上无最小值； 当时，，故，且仅在时取到． 所以当时，取得最小值，最小值为， 即在上的最小值为，所以是俏值． 当正整数时，且，故不是俏值． 综上，的俏值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、一元函数的导数、三角函数与解三角形． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “四边形ABCD是等腰梯形”是“四边形ABCD的对角线相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 14 C. 28 D. 56 6. 已知与是关于x的方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 3或 D. 或 7. 若函数在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 8. 某采气井到道路（视为直线）的垂直距离为，垂足为，道路上距离点处建有标准化集气中转站，现拟在道路段上选取阀室点位（管道检修截断设施）．已知跨沟渠管沟（直线段）单位造价是道路管沟（直线段）单位造价的3倍．若要使管线的总造价最低，则与之间的距离应为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是存在量词命题的是（ ） A. ， B. 存在一个数的平方不大于 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 在到之间至少有个质数 10. 已知函数的部分图象如图所示，若的面积为，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象 11. 设是定义在上的可导函数，且．记．若对任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则_________． 13. 若函数无极值，则的取值范围为_________． 14. 若，则以曲线与曲线相邻四个交点为顶点的菱形的周长为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）证明：当时，． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数， （1）求的值． （2）证明：的图象关于直线对称． （3）求在上的零点个数． 19. 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）已知函数，证明：恰有2个俏值． （3）若函数，求的最大值与俏值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $