10.2022年长春市-【中考123】备战2027年中考数学模拟试题精编（吉林专版）

.PC=EA,PB=EB,∠PBC=∠EBA, ∴.∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60° ∴.△PBE是等边三角形， ∴.PB=PE .PB=PE PA +AE=PA PC, 即PB=PA+PC. 【应用】 延长PA至点E,使AE=PC,连结BE,如答图 .·四边形ABCP是⊙O的内接四边形 .BAP+∠BCP=180° ·BAP+∠BAE=180°， ∴.∠BCP=∠BAE. AB=CB, 22题答图 ∴.△PBC≌△EBA, ∴.PC=EA,PB=EB,∠PBC=∠EBA, ∴.∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°， ∴.△PBE是等腰直角三角形， .PB2 +BE2 PE2, ..2PB2=PE2, 即PE=√2PB. ,·PE=PA+AE=PA+PC, .PA+PC=√2PB. PB =2J2PA. .PA+PC=2×22PA=4PA, .PC=3PA. 腮22 3 做答案为 23.解：(1)√13 (2)如答图①所示， .∠PEQ=90°，∠PBE=∠ECD=90°， .∴.∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， .∠1=∠3， .△PBE∽△ECD .·BE=2,CD=AB=3, mLP0E-是-8-子 D(O A P 3 2 3 E BH E 23题答图① 23题答图② (3)如答图②所示，过点P作PH⊥BC于点H,则四边形ABHP 是矩形. .∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°， .∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，.∠1=∠3 .·四边形ABHP是矩形， ∴.PH=AB=3. 又：EC=BC-BE=5-2=3, .PH=EC, ∴.△PHE≌△ECQ, .PE=EQ, .△PQE是等腰直角三角形， (4)①如答图③所示，当点P在BE上时， .·QE=QF=3,AQ=BE=2, 在Rt△AQF中，AF=√QF2-AQ2=√32-22=√5， 则BF=3-√5. PE =t,BP =2-t,PF PE =t, 在Rt△PBF中，P2=PB2+FB2, .2=(3-5)2+(2-t)2, 獬得1=9-3⑤ 2 当<9-35时，点下在矩形内部，符合题意， 2 ·0<≤9-35符合题意： 2 0 D A(F BP E C B 23题答图③ 23题答图④ ②当P点在AB上时，当F、A重合时符合题意，此时如答图④ 则PB=t-BE=t-2, PE=AP=AB-PB=3-(t-2)=5-t. 在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2, (5-t)2=(t-2)2+22, 解得t=1」 69 ③如答图⑤所示，当点P在AD上，当F、D重合时，此时Q与 点C重合，则PFQE是正方形，此时t=2+3+2=7. D(F) C(Q) 23题答图⑤ 袋上所述，0<：≤9-35或：-名或1=7 8.C[解析]作MN⊥x轴于N,如答y 2 图“P在反比例函数y=(k>0, 24.解：(1)将点(2,2)代人抛物线y=-x2+bx+2,得 2=-4+2b+2, x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点 0 解得b=2, P作PQ∥y轴，交x轴于点Q, .抛物线表达式为y=-x2+2x+2. P(受，2)P0=2将线段0P 8题答图 y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3, 绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM,∴.QM=QP=2,∠PQM= .顶点坐标为(1,3) (2)由y=-x2+2x+2, 60,LM0N=90°-60°=30，MN=2QM=1,QN= 当y=0时，-x2+2x+2=0, V2-下=5M(宁+5，：点M地在演反比例函数的 解得x1=1-5,x2=1+3. .抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为1-m, 图象上k=受+5，解得k=2万，故选C 其中m<0, 9.m(m+3) .1-m>1,.1-m=1+3, 1041.812.m13.54 解得m=-√3. 14.-1-5[解析]y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,.图象 点A的坐标为(m,0), 开口向下，顶点坐标为(-1,4)，根据题意，当a≤x≤2时，函 A(-3,0). 数值y的最小值为1；当y=1时，-(x+1)2+4=1,.x= (3)①如答图①所示，当1<1-m<1+√3，即-3<m<0时， 抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点 -1±5.-1+5>分-1-5≤≤分时，函数值y的 为顶点，最低点为点P 最小值为1，a=-1-√3.故答案为-1-√5. 顶点坐标为(1,3)，P(1-√3,0)， 15.解：原式=4-a2+a2+a=4+a. 则纵坐标之差为3-0=3， 当a=2-4时，原式=4+2-4=2. 依题意，得3=2-m, 16.解：根据题意列表如下： 解得m=-1; 、第一次 x=1 x=1 1 2 第二次 2 3 2 3 4 由表可知，总的可能结果有4种，两次之和不大于3的情况有 3种，故所求概率为34=子，即两次分数之和不大于3的既 24题答图① 24题答图② ②如答图②所示，当1-m≥1+√5，即m≤-√3时， 率为是 :B(1-m,-(1-m)2+2(1-m)+2), 17.解：设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖 即B(1-m,-m2+3), (100+x)千克的土豆. 依题意，得3-（-m2+3)=2-m, 根据题意得1500-1200，解得x=400, 解得m=-2或m=1(舍去). x+100= x 综上所述，m=-1或m=-2. 经检验，x=400是原方程的根。 (4)m=-2+v2或m=2-25或m=-2 1 故乙班每小时挖400千克的土豆， 10.2022年长春市 18.解：(1)直角三角形 1.A2.B3.C4.B5.D6.C7.B (2)如答图①，点D即为所求作，使△DBC与△ABC全等。 B 18题答图① (3)如答图②，点E即为所求作，且使△ABE∽△CBA. 18题答图② (4)如答图③，点P,Q即为所求作，使得△PBQ∽△ABC,且相 似比为1：2. L-」--1----L-J 18题答图③ 19.(1)证明：AD=DC,DE=DF, .四边形AECF是平行四边形 .DE⊥AC, ∴.四边形AECF是菱形 （2)解器-子 =4, 设BE=a,则EC=4a. .四边形AECF是菱形， ∴.AE=EC=4a,AE∥FC, ∴.∠BCF=∠BEA, 在Rt△ABE中，AB=√AE2-BE=√(4a)2-aZ=√I5a, tn/BCF=-mLB-铝-西a-S, a 故答案为√15. 20.解：(1)2020(2)18.1%(3)547930.2(4)×VV 21.(1)26 (2)由(1)得(2,200)和(6,440)， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为y= kx+b(k≠0)， r2k+b=200, rk=60, 则 解得 [6k+b=440, b=80 .甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 y=60x+80(2≤x≤6). (3)甲、乙两车相遇时，乙车行驶的路程为 440-200=240(千米)， ∴.乙车的速度为240÷2=120（千米/时）. 乙车行驶完全程用时为40÷120-}（时）. >2 当x=号时，7=60x号+80=30（千米）， 即当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米 22.【问题解决】 证明：四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠B=∠C=∠D=90° 由折叠可知，LBAF=之∠BAD=45°，∠BF1=∠EFA .∠EFA=∠BFA=45°， .AF=√2AB=AD. 由折叠得∠CFG=∠GFH=45°，∴.∠AFG=∠AFE+∠GFE= 45°+45°=90° .∴.∠AFG=∠D=90° 又AD=AF,AG=AG, .△ADG≌△AFG. 【结论应用】 解：(1)22.5°√2-1 (2)如答图，连结FD, A R D B 22题答图 .DG=FG. ∴.AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连 结PD交AG于点Q,则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P 作PR⊥AD交AD于点R,如答图. ∠DAF=∠BAF=45°， 点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆， .∠APR=45°， 当点D、A'、M三点共线时，线段A'D最短，此时点P在 .AR PR AD上， A'D=1 根据题意，得A'P=AP=√3t,DP=√3-√3t, ·AR=PR=2 , 由(1)得DM⊥AB, .PE⊥DM .DR=AD-AR=2a- .PE∥AB, 在Rt△DPR中，DP2=PR2+DR, .△PDE∽△ADM, vm+√(+- PD=DE_PE AD DMAM :P0+F0的最小值为汽。 -哭 √3 23.解：(1)如答图①，连结DM, 解得DE=3-3t,PE=2-2t, .A'E DE-A'D=2-3t. 在Rt△A'PE中，A'P2=PE2+A'E2, （3)2=(2-2)2+(2-30)2,解得1= 5, .PE=5 6 23题答图① :AB=4,AD=BD=√13，点M为边AB的中点， .AM=BM=2,DM⊥AB, (4)如答图③， .DM=√AD2-AM=3, 即点D到边AB的距离为3. (2)根据题意，得当0≤t≤1时，点P在AD边上， DP=√I3-√3t 当1<t≤2时，点P在BD边上，PD=√13t-√13. 23题答图③ 综上所述，当0≤t≤1时，DP=√I3-√13t;当1<t≤2时，PD 当点M、A'、C三点共线时，且点A'位于M、C之间时，此时点P =√13t-√13， 在AD上， (3)如答图②，过点P作PE⊥DM于点E, 连结AM'A'B,过点P作PF⊥AB于点F,过点A'作A'G⊥AB于 点G,则AA'⊥PM, AB为直径， ∴.∠AA'B=90°，即AA'⊥A'B, .PM∥A'B, 23题答图② .∠PMF=∠ABA' :作点A关于直线PM的对称点A', 过点C作CW⊥AB交AB延长线于点N. '.A'M=AM=2, 在☐ABCD中，AB∥DC, ,DM⊥AB, .DM∥CN, ∴.四边形CDMN为平行四边形， ∴.CN=DM=3,MN=CD=4, .CM=5, sin L CMN=CN=3 A'M=2, MG=8 2 ,BG=BM-MG=- 5 an∠A'BM=4 BG =3, ∴.tan∠PMF=tan∠A'BA=3, PF 六FW=3,即PF=3FM AM-AF=2,cos∠DAM=4A_AF、2 tan L DAM=DM_PF 3 AD AP √13 .PF-3AF ∴3FM=34,即AF=2M AM=2,AF=3, 4 4 3 2 /13t/13 解得1=子 如答图④，当点A"位于CM的延长线上时，此时点P在BD上， PB=2√3-√3t, 过点A"作A"G⊥AB于点G,则∠AMA”=∠CMN,取AM"的中 点H,则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB于点K,过点 P作PT⊥AB于点T, A 23题答图④ 同理，AG=号，4G= 5, HK⊥AB,A"G⊥AB .HK∥A"G, ∴.△AHK∽△AA"G ·点H是AA'的中点， HK AK AH 1 AG=AGAA2 服=号AK=行， 脉-号 tan L PMT=tan L HMK=HK=1 MK-3, 品=分即T=3m tan L PBT=DM=PT 3 BM BT2 co8LPBT=PB-BD市' BT BM 2 Bm=号PmMT=号m M7+B7=BM=2B7= 4 2,解得=20 '2√13-13t1 1 综上所述，1的值为号安9 24.解：(1)：抛物线y=x2-bx(b是常数)经过点(2,0)， ∴.4-2b=0,解得6=2，y=x2-2x. (2)如答图①， 0 24题答图① 由y=x2-2x=(x-1)2-1. 则对称轴为直线x=1, 设B(a,a2-2a),则C(2-a,a2-2a). BC=2-a-a=4,解得a=-1,.B(-1,3). (3):点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0)，以点A 为中心，构造正方形PQMW,PQ=21ml,且PQLx轴， MWN=PQ=2Iml,且M、N在y轴上，如答图②， 综上所述，m的取值范围为0<m≤2或m≥3. (4)m=-3 11.吉林市2025~2026学年度初中毕业年级阶段性 教学质量检测第一次模拟考试 24题答图② 1.A2.B3.D4.D5.C6.C ①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大 时，如答图③，当正方形PQMN的点Q在x轴上时，此时M与 7.28号9.d+6+2+2ab+2c+2ac10.54 0点重合， 1.子T【解析]：∠BAC=909,∠ACB=63,∠ABC=0 -63°=27°.由旋转的性质可得AB=AB',△ABB是等腰 三角形，∠AB'B=∠ABC=27°，.∠BAB=180°-27°-27°= (M) 01 126°，点B所经过路径的长度1=126π×5_630m=7 180 =180=2π. 24题答图③ 12解：原式==2产，- .PN PQ, 当x=2027,y=1时，原式=2027-1=2026， ∴.OP的表达式为y=x, .A(m,m),将A(m,m)代入y=x2-2x, 13.解：设每套剪纸工艺品的售价为x元，每套皮影工艺品的售 即m2-2m-m=0, 价为y元， 解得m1=0,m2=3. r3x+2y=3900, 根据题意，得 2x+4y=4600, m>0, ∴.A(3,3) x=800 解得 观察图形可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐 ly=750. 标y随x的增大而增大； 答：每套剪纸工艺品的售价为800元，每套皮影工艺品的售 ②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小 价为750元， 时，当PQ在过抛物线的对称轴直线x=1上时，如答图④. 14.证明：0A=0B,0C是△A0B的中线， .OC⊥AB. 0C是⊙0的半径， 0 .AB是⊙0的切线。 15.解：(1)如答图①，线段CD即为所求 0 24题答图④ .MO=PO =2Iml,m>0, B .2m=1, 15题答图① 15题答图② 解得m上{ Γ2’ (2)如答图②，线段CE即为所求. 观察图形可知，当0<m≤弓时，抛物线在正方形内部的点的 16.解：(1)根据“杠杆原理”，得1200×0.5=F, 纵坐标y随x的增大而减小 动力P关于动力臂1的函数解析式为F.6(1>0)。7.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不 ZHONGKAO BIBEI 一定正确的是 () 10.2022年长春市 XUESHENG A.AF=BF B.AE=AC C.∠DBF+∠DFB=90°D.∠BAF=∠EBC O试卷研究报告O… 试题难度 适中 难度系数 0.57 易错题14、23、24 较难题 23、24 D (满分：120分 时间：120分钟) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） B o Q 1.如图，是由5个相同的小正方体组合而成的立体图 7题图 8题图 形，其主视图是 8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y= k(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点P作 PQ∥y轴，交x轴于点Q,将线段QP绕点Q顺时针 正面 A B 旋转60°得到线段QM.若点M也在该反比例函数的 1颗图 2.长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴 图象上，则k的值为 号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大 A③ B.3 C.23 D.4 幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约 2 1800000度电，将数据1800000用科学记数法表 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）】 示为 9.分解因式：m2+3m= A.18×10 B.1.8×106 10.若关于x的方程x2+x+c=0有两个相等的实数 C.1.8×10 D.0.18×10 根，则实数c的值为」 3.不等式x+2>3的解集是 ( 11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记 A.x<1B.x<5 C.x>1 D.x>5 载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多 4.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结 七客，一房九客一房空.其大意为：今有若干人住 论正确的是 店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住 9人，则余下一间无人住.设店中共有x间房，可求 -3-2-10123 得x的值为 4题图 12.将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆 A.a>0 B.a<b C.b-1<0D.ab>0 放，使三角板的直角顶点与量角器的中心0重合， 5.下图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一 且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、 台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点 B两点，若OA=5厘米，则AB的长度为 厘 A,变幅索的底端记为点B,AD垂直地面，垂足为点 D,BC⊥AD,垂足为C,设∠ABC=a,下列关系式正 米.（结果保留π) 确的是 ( 跳棋 A.sin a= AB BC B.sin a= BC AB C.sin a =4B AC D.sin a=4C AB 12题图 13题图 变幅索 13.跳棋是一项传统的智力游戏，如图是一副跳棋棋盘 的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC 和等边三角形DEF组合而成.它们重叠部分的图 B 日D 形为正六边形.若AB=27厘米.则这个正六边形的 5题图 6题图 周长为」 厘米 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠BCD =121°，则∠B0D的度数为 ( 14.已知二次函数y=-2-2x+3,当a≤≤时，函 A.138°B.121° C.118° D.112 数值y的最小值为1，则a的值为 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 18.(7分)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格， 15.(6分)先化简，再求值：(2+a)(2-a)+a(a+1), 每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， 其中a=√2-4. △ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在 给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹. (1)网格中△ABC的形状是； (2)在图①中确定一点D.连结DB、DC,使△DBC 与△ABC全等； (3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E,连结 AE,使△ABE△CBA; (4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P,在边 BC上确定一点Q,连结PQ,使△PBQ∽△ABC, 且相似比为1：2. ”T ”7 16.(6分)抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可 C B XC B C 能的结果：“出现正面”或“出现反面”.正面朝上记 2分，反面朝上记1分，小明抛掷这枚硬币两次，用 18题图① 18题图② 18题图③ 画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于 3的概率. 19.(7分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB<BC. 点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点 E.延长ED至点F,使得DF=DE,连结AE、AF、CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； 17.(6分)为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中 (2)老既-则m∠B0F的值为 提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动.甲、乙 两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖 1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时 间相同，已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克 土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ B 19题图 20.(7分)党的十八大以来，我国把科技自立自强作为 2 国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整 体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专 利项目多项指数显著攀升.下图是长春市2016年 到2020年专利授权情况的统计图. ▣专利授权量（单位：件) 一 专利授权量年增长率 25000 60.0% 46.0% 20000 40.0% 25.4% 18.1% 17373 15000 15.8% 20.0% 16.0% 10268 T1894 10000 7062 8190 0.0% 5000 -20.0% 0 40.0% 2016年2017年2018年2019年2020年 20题图 根据以上信息回答下列问题： (1)长春市从2016年到2020年，专利授权量最多 的是 年； (2)长春市从2016年到2020年，专利授权量年增 长率的中位数是 (3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增 加了 件，专利授权量年增长率提高了 个百分点；（注：1%为1个百分点） (4)根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画 “√”，错误的画“×”. ①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所 以2019年的专利授权量的增长量就最小. ②与2018年相比，2019年的专利授权量年增 长率虽然下降，但专利授权量仍然上升.这是 因为专利授权量年增长率= 当年专利授权量-上一年专利授权量 上一年专利授权量 100%,所以只要专利授权量年增长率大于 零，当年专利授权量就一定增加.（) ③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创 新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献 吉林力量. 1.(8分)已知A、B两地之间有一条长440千米的高 速公路.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿 此公路相向而行.甲车先以100千米/时的速度匀 速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续 匀速行驶4小时到达B地，乙车匀速行驶至A地， 两车到达各自的目的地后停止.两车距A地的路程 y(千米)与各自的行驶时间x(时)之间的函数关系 如图所示 (1)m= ,n= (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间 的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程。 y/千米 440 200 0 m n x/时 21题图 22.(9分)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选23.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD= 用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意 √13，AB=4,点P从点A出发沿AD一DB方向以 图.他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出 每秒√I3个单位长度的速度运动，点M为AB的中 图①中AD=√2AB.他先将A4纸沿过点A的直线 点，作点A关于直线PM的对称点A',连结DA'、 折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E,折 A'P、A'M.设点P的运动时间为t秒. 痕为AF;再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF (1)求点D到AB的距离； 上，点C的对应点为点H,折痕为FG;然后连结 (2)求PD的长（用含t的代数式表示）； AG,沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F (3)当DA'最短时，求△PDA'的面积； 重合，进而猜想△ADG≌△AFG. (4)当M、A'、C三点共线时，求t的值. D D 22题图① 22题图② 【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进 M 行了证明，下面是部分证明过程： 23题图 证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=∠B=∠C=∠D=90 由折叠可知，∠BMF=3∠BAD=45,∠BM =∠EFA, .∠EFA=∠BFA=45°， .AF=√2AB=AD. 请你补全余下的证明过程。 【结论应用】 24.（12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx(b (1)∠DAG的度数为 度，祭的值为 为常数)，经过点(2,0)，点A在抛物线上，且点A 的横坐标为m(m≠0)，以点A为中心构造正方形 PQMN,PQ=2Iml,且PQ⊥x轴， (2)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP= (1)求该抛物线的函数表达式； 24B,点Q在线段4G上，连结F0、P0.如 (2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左 侧，过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点 图②，设AB=a,则FQ+PQ的最小值为 C,连结BC,当BC=4时，求点B的坐标； .（用含a的代数式表示) (3)若m>0,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标 y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减 小时，求m取值范围； (4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点， 且交点的纵坐标之差为子时，直接写出m 的值。