专题03 单摆实验与受迫振动共振（期中知识清单）高二物理上学期粤教版

专题03 单摆实验与受迫振动共振 目 录 识记类 思维导图 知识清单 考点清单 辨析清单 题型类 高频题型清单 易错题型清单 重难题型清单 答题类 解题模型清单 答题技巧清单 知识点01 单摆模型与小角度条件 1．单摆是将摆球视为质点、摆线视为不伸长轻绳并忽略阻力的理想模型；小角度摆动可近似为简谐运动。 2．测重力加速度时应保持小摆角，通常控制在5°以内，使摆球在同一竖直面内摆动；大角度摆动不能直接套用小角度周期公式。 知识点02 摆长的确定 1．摆长l是悬点到摆球重心的距离；普通球形摆球可用摆线长度L加球半径表示，即。 2．测量时应明确长度起点和终点；把摆线长度直接当作摆长，会使所用摆长偏小。悬点应稳定，避免摆动过程中有效摆长变化。 知识点03 周期公式与影响因素 1．理想单摆的小角度周期；周期与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成反比。 2．在模型适用条件内，周期与摆球质量、小振幅无关；比较不同单摆时应先核对摆长与当地重力加速度。 知识点04 周期计时与振动计数 1．测出n次完整振动的总时间t，周期；选择摆球经过平衡位置时开始和结束计时，有利于辨认状态。 2．一次完整振动应回到同一位置且运动方向相同的状态；开始、结束状态和次数口径必须一致，不能把一次经过平衡位置误当作一次完整振动。 知识点05 实验器材与规范操作 1．选择尺寸较小、密度较大的摆球和不易伸长的细线，固定稳定悬点；测摆长、摆球直径及多次完整振动所需时间。 2．小角度释放时不额外推摆球；观察是否在同一竖直平面内运动。多次测量取合理平均值，保留对应的长度、次数和时间记录。 知识点06 重力加速度与数据处理 1．由周期公式得到；长度和时间先统一单位，再代入计算。计时偏长使周期偏大、计算出的g偏小。 2．若纵轴为T²、横轴为l，图线斜率k满足；若纵轴为l、横轴为T²，则。两种坐标下的斜率含义不能混用。 知识点07 自由、阻尼与受迫振动 1．自由振动的固有频率由系统自身性质决定；阻尼振动因能量损失，振幅逐渐减小。 2．周期性外力驱动下的受迫振动，在稳定阶段的振动频率等于驱动力频率，不一定等于固有频率。 知识点08 共振条件与实际应用 1．驱动力频率接近系统固有频率时，受迫振动的振幅显著增大，这种现象称为共振。振幅还受驱动力强弱和阻尼影响。 2．利用共振可增强特定频率的响应；防止有害共振可改变驱动频率、调整系统固有频率或增加阻尼，不能认为驱动频率越大振幅总越大。 考点一 单摆模型与周期比较 考点内容：辨认小角度模型条件，正确确定摆长并比较周期影响因素。 （1）摆长量到重心；只有小角度模型适用时，才用周期对质量、小振幅的独立性作判断。 考点二 实验测量与误差分析 考点内容：用摆长和完整振动计时计算g，解释主要测量偏差及图像斜率。 （1）先指出是l、t还是振动次数发生偏差，再沿周期和g的关系判断方向；图像处理先写清纵横轴。 考点三 振动类别与共振 考点内容：区分固有频率、驱动力频率和稳定受迫振动频率。 （1）自由振动看系统性质，稳定受迫振动看驱动力频率；判断共振看两个频率是否接近。 辨析一 绳长与摆长 误区：摆长就是摆线长。辨析：摆长从悬点量到摆球重心；球形摆球的半径不可遗漏。 辨析二 经过次数与振动次数 误区：摆球每经过一次平衡位置就是一个周期。辨析：要位置和运动方向同时重复才是一次完整振动，计数须统一口径。 辨析三 周期公式的适用条件 误区：任意摆角都可以用小角度周期公式。辨析：公式对应小角度理想模型；摆角过大、摆线伸长或悬点移动都可能破坏条件。 辨析四 共振与频率增大 误区：驱动力频率越大，受迫振幅就越大。辨析：振幅随频率的变化有共振峰，关键是驱动力频率接近固有频率。 【题型一】单摆条件与摆长 【方法梳理】核对小角度和稳定悬点等模型条件，将摆长确定为悬点到重心的距离。 【例1】（24-25高二下·广东阳江·阶段检测）下列有关单摆周期的说法正确的是（　　） A．只改变小球的质量不会改变单摆的周期 B．单摆的周期只与摆线长度有关 C．单摆在同步卫星中的周期与在地面时的相同 D．单摆的周期与摆线长度成正比 【答案】A 【详解】A．根据单摆的周期公式可知，单摆的周期与摆球的质量无关，故A正确； B．根据可知，单摆的周期不仅与摆线长度有关，还与重力加速度有关，故B错误。 C．在同步卫星中，单摆处于完全失重状态，单摆无法摆动（无回复力），周期与地面时不相同，故C错误。 D．根据可知，单摆的周期与摆线长度的平方根成正比，故D错误。 故选A。 【变式1-1】（24-25高二上·广东梅州·期末）荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动。如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为“摆球”，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．“摆球”所受重力和绳的拉力的合力提供“摆球”做简谐运动的回复力 B．远离最低点运动的过程中，“摆球”的回复力逐渐增大 C．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过半个周期“摆球”相对最低点的位移最大 【答案】B 【详解】A． “摆球”所受重力在垂直摆线方向的分力提供“摆球”做简谐运动的回复力，选项A错误； B．远离最低点运动的过程中，“摆球”重力在垂直摆线方向的分力逐渐变大，可知“摆球”的回复力逐渐增大，选项B正确； C．经过最低点时“摆球”有向心加速度，可知不是处于平衡状态，选项C错误； D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”相对最低点的位移最大，选项D错误。 故选B。 【变式1-2】（25-26高二下·广东清远·期末）摆钟是最早能够精确计时的一种工具，至今仍在很多地方使用。把摆钟的钟摆简化成一个摆长为L的单摆，如图所示。摆球质量为m，不计细线质量和空气阻力，将摆球从最低点在竖直平面内向左缓慢拉开一个偏角θ（θ＜5°），静止释放。下列说法正确的是（     ） A．增大m会使该钟摆周期增大 B．增大L会使该钟摆周期减小 C．摆球在最低点时受力平衡 D．摆球在最低点时的回复力为零 【答案】D 【详解】A．单摆周期公式，周期只和摆长L、重力加速度g有关，与摆球质量m无关，故A错误； B．根据单摆周期公式，知增大L会使该钟摆周期增大，故B错误； C．最低点摆球做圆周运动，有向上向心加速度，合力向上，受力不平衡，故C 错误； D．单摆回复力：沿切线方向、使摆球回到平衡位置的分力，；平衡位置（最低点）：，，回复力。故D正确。 故选D。 【题型二】周期因素比较 【方法梳理】由周期对摆长、g的平方根关系比较；质量和小振幅不作为理想模型中的周期因素。 【例2】（23-24高二下·广东惠州·阶段检测）图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°，单摆的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．把摆球质量减小一半，其他条件不变，则单摆的周期变大 B．把摆角α变大（仍小于5°），其他条件不变，则单摆的周期不变 C．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T D．将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，则单摆的周期将变大 【答案】BD 【详解】AB．根据单摆周期公式 可知，单摆周期与摆球质量无关，与摆角无关，故A错误，B正确； C．据单摆周期公式 其他条件不变，将摆长增加为原来的2倍，则单摆的周期将变为，故C错误； D．据单摆周期公式 将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，因为在赤道上的比在两极的小，则单摆的周期将变大，故D正确。 故选BD。 【变式2-1】（21-22高二下·广东肇庆·期末）某单摆由1m长的摆线连接一个直径2cm的铁球组成，关于单摆周期，以下说法正确的是（　　） A．单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B．摆角从改为，单摆的周期会变小 C．用等大的铜球代替铁球，单摆的周期不变 D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变小 【答案】CD 【详解】A．单摆做简谐运动的回复力是重力沿切线方向的分力，故A错误； B．在小摆角情况下，单摆作简谐运动的周期与摆角无关，摆角从改为，单摆的周期不变，故B错误； C．用等大的铜球替代铁球，单摆摆长不变，由单摆周期公式 可知单摆的周期不变，故C正确； D．将单摆从赤道移到北极，重力加速度变大，由单摆周期公式 可知单摆的周期变小，故D正确。 故选CD。 【变式2-2】（23-24高二下·广东汕头·阶段检测）若把周期为1s的单摆从g=10m/s2处搬到g/=8m/s2的地方，则（　　） A．单摆的周期变大 B．单摆的周期变小 C．为了使其仍按1s的周期走，则摆长应变长 D．为了使其仍按1s的周期走，则摆长应变短 【答案】AD 【详解】AB．单摆的周期公式为 由题意可知，其重力加速度变小，所以单摆的周期变大，故A正确，B错误； CD．由公式可知 由于重力加速变小，为了使其周期不变，所以其摆长应该变短，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式2-3】（23-24高二下·广东广州·期中）在广州走时准确的摆钟，随考察队带到北极黄河站，则这个摆钟（　　） A．变快了，重新校准应增大摆长 B．变快了，重新校准应减小摆长 C．变慢了，重新校准应减小摆长 D．变慢了，重新校准应增大摆长 【答案】A 【详解】摆钟从广州到北极，纬度升高，重力加速度g变大，由单摆的周期公式 可知，摆钟的周期变小，即摆动变快了，则这个摆钟要将周期T调大，重新校准应增大摆长L。 故选A。 【题型三】周期与摆长计算 【方法梳理】使用周期公式前先统一单位，明确所求的是摆长、周期还是重力加速度。 【例3】（23-24高二下·广东梅州·开学考试）我们把从最左侧摆至最右侧的时间为1s的单摆叫做秒摆。则（    ）（g取，取10） A．秒摆周期为1s B．秒摆周期为2s C．秒摆周期为4s D．秒摆的摆长为0.5m 【答案】B 【详解】最左侧摆至最右侧的时间为半周期，则秒摆的周期为2s。根据 秒摆的摆长为 故选B。 【变式3-1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的点钉一个光滑钉子，使。将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间往复运动，若运动中摆线与竖直方向夹角不超过5°，不计空气阻力，已知重力加速度为g。以下说法正确的是（     ） A．由于机械能守恒，可得摆角大小不变 B．小球第一次从A到B与第一次从B到C的时间之比为 C．该摆动的周期为 D．小球碰钉前后绳的拉力之比为 【答案】C 【详解】A．由于机械能守恒，可知AC两点应该位于相同的高度，因左边摆长较短，可知左边摆角较大，故A错误； B．根据可知，因右边摆长为左边摆长的4倍，则在右边摆动的周期是在左边摆动时周期的2倍，则小球第一次从A到B与第一次从B到C的时间之比为2:1，故B错误； C．该摆动的周期为，故C正确； D．小球碰钉前后速度不变，根据 解得 可知绳的拉力之比不等于1:4，故D错误。 故选C。 【变式3-2】（25-26高二下·广东韶关·期中）近年来，中国的航天事业取得了显著进展。假设宇航员在火星表面测得一摆长为L的单摆近似简谐运动的周期为T，已知火星的半径为R，引力常量为G，将火星视为质量分布均匀的球体，忽略火星的自转，则火星的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设火星表面的重力加速度大小为，单摆的周期为 设火星的质量为M，对火星表面质量为m的物体，根据万有引力等于重力，有联立解得。 故选D。 【题型四】实验器材和操作 【方法梳理】依照测摆长、测周期、处理数据的流程选器材，检查释放和计时是否规范。 【例4】（25-26高二下·广东江门·期末）在“用单摆测定重力加速度”的实验中， (1)组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是________ A． B． C． D． (2)用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则摆球的直径________，摆长________（用字母、表达）； 【答案】(1)B (2) 【详解】（1）单摆实验要求：摆线不可伸长、质量不计；摆球密度大、体积小，可视为质点；悬挂点固定，摆动在同一竖直平面内。 A．弹性绳会伸缩，摆长不固定，故A错误； B．铁夹、细绳和铁球，满足要求，故B正确； C．粗金属杆缠绕，悬挂点不固定，摆动不稳定，故C错误； D．塑料球密度小，受空气阻力影响大，，故D错误。 故选B。 （2）[1]游标卡尺读数等于主尺读数加游标读数 由图，主尺读数，游标为十分度，精度，游标零刻度对齐。 因此游标卡尺读数 [2]摆长是悬点到摆球中心的距离，因此 【变式4-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）小明做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)小明就地取材组装了如下几种实验装置，下列最合理的装置是______。 A． B． C． D． (2)小明用游标卡尺测小球直径，某次测量时示数如图甲所示，则______cm。 (3)在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值______（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】(1)D (2)2.125 (3)偏小 【详解】（1）为了减小误差小球应选取质量大体积小即密度大的铁球，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应采取铁夹夹住细丝线。故选D。 （2）游标卡尺的精度为0.05mm，其读数为主尺与游标尺的读数之和，故摆球直径 （3）测量摆长后，在测量周期时，摆球振动过程中悬点处摆线的固定出现松动，使得摆长略微变长，而我们用于计算的摆长L的值就偏小，由可知，这将导致所测重力加速度的数值偏小。 【变式4-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素，测量当地重力加速度 (1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。这样做的目的是 （填选项前字母）。 A．保证摆动过程中摆长不变 B．需要改变摆长时便于调节 C．保证摆球在同一竖直平面内摆动 D．可使周期测量得更加准确 (2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L=1.0000m，再用螺旋测微器测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为______mm。 (3)实验中，测出不同摆长l对应的周期值T，作出T2—l图像，如图所示，已知图线上A、B两点的坐标分别为 （x1，y1）、（x2，y2），可求出g=______。 【答案】(1)AB (2)7.881/7.882/7.883/7.884 (3) 【详解】（1）该操作的作用是：夹紧摆线避免摆动时摆线滑动，保证摆动过程中摆长不变，同时需要改变摆长时，只需要调节摆线伸出长度即可，便于调节摆长；该操作无法保证摆球在同一竖直平面内摆动，也不会直接提高周期测量精度，故选AB。 （2）主尺读数为7.5mm，可动刻度约为0.381-0.384mm，摆球直径为。 （3）根据单摆周期公式 变形得 可知图像的斜率 整理得重力加速度。 【题型一】摆长测量的起止点 【方法梳理】画清悬点、球心与测量端点，结合实际测量位置添加或扣除球半径。 【例1】（25-26高二下·广东广州·期末）在“利用单摆测量重力加速度”的实验中： (1)如图所示，用游标卡尺测得小球的直径__________； (2)某同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不同摆长和对应周期的数值，画出如图图像中的实线；如果实验中测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学作出的图像为__________。 A．虚线，不平行实线 B．虚线，平行实线 C．虚线，平行实线 【答案】(1)13.75 (2)B 【详解】（1）[1] 游标卡尺的主尺读数为，游标尺第15格与主尺刻度线对齐，分度值为，故小球直径 （2）[2] 设记录的摆长为，摆球半径为，则实际摆长 由 整理得 图线斜率不变且纵轴截距为正。 故选B。 【变式1-1】（25-26高二下·广东·期末）小组用单摆测量重力加速度，装置如图。游标卡尺测得摆球直径，刻度尺测得摆线长，则摆长____________（保留四位有效数字）；使摆线与竖直方向夹角为（），无初速度释放摆球，摆球位于________（选填“最高点”“最低点”）开始计时，记录摆球做30次全振动，则单摆周期____________（保留三位有效数字）。 【答案】 最低点 1.80 【详解】[1]单摆的摆长为 [2]摆球经过最低点时速度最大，停留时间最短，计时的位置误差最小；最高点速度为零，位置判断误差大。因此应在最低点开始计时。 [3]单摆周期 【变式1-2】（25-26高二下·广东江门·期中）小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用图甲装置做了该实验。 (1)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的______________。 A． B． C． (2)测量摆长时，先用游标卡尺测得摆球的直径d，读数如乙图所示，则______________，再让毫米刻度尺零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图丙所示，测得从悬点到摆球的最下端的距离，则______________m，摆长的表达式为______________（用符号、d表示）。测量周期数据时，可以在摆球经过最低点时从1开始计数，记下摆球第N次经过最低点所用的时间t，则单摆周期______________ (3)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长L，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出图像如图丁所示，则可得知月球重力加速度大小为______________。（保留3位有效数字） 【答案】(1)C (2) (3) 【详解】（1）单摆要求摆动过程中悬点固定、摆长不能随摆动发生变化。A、B的系法会让摆线在摆动时松动、滑动，改变摆长；C用夹子夹紧摆线上端，能保证悬点固定。 故选C。 （2）[1]由图乙可知，游标卡尺为10分度，精度0.1mm，则 [2]毫米刻度尺精度为1mm，因此 [3]摆长是悬点到摆球球心的距离，悬点到摆球最下端的距离为，摆球半径为，因此摆长 [4]从第1次经过最低点开始计数，第次经过最低点时，摆球完成的全振动次数为，总时间为，因此周期 （3）由单摆周期公式 变形可得 因此图像的斜率 从图像可知，当时， 代入可得 解得 【题型二】完整振动的计数 【方法梳理】以同位置同方向作为一次完整振动的起止标准，区分通过次数和完整振动次数。 【例2】（25-26高二上·广东惠州·期中）广东惠州某学习小组用细线和小球做了一个“单摆”，进行了以下实验：如图所示是一个摆线长度可调的单摆振动的情景图，O是它的平衡位置，P、Q是小球所能到达的最高位置。为测量单摆的摆动周期，测量时间应从摆球经过____（选填“O”“P”或“Q”）时开始计时；测出悬点到小球球心的距离（摆长）L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g=____（用L，n，t表示）。 【答案】 O 【详解】[1]为了减小测量周期的误差，测量时间应从摆球经过平衡位置时开始计时，因为摆球在平衡位置时速度最大，经过该位置的时间最短，计时误差最小，由图可知平衡位置为O点。 [2]单摆完成n次全振动所用的时间为t，则单摆的周期为 根据单摆的周期公式 可得 解得重力加速度 【变式2-1】（25-26高二下·广东广州·期末）用单摆测量重力加速度的实验中，测出摆球的直径为，摆线长为，单摆完成次全振动的时间为，则单摆的振动周期______；计算重力加速度的表达式______。 【答案】 / 【详解】[1]单摆的振动周期 [2]摆长，由单摆周期公式 解得 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·期末）在“利用单摆测重力加速度”的实验中，某同学测得摆线长为L，摆球的直径为D。从摆球刚经过最低点开始计时，且计数为零。用秒表测得第n次（n为偶数）经过最低点的总时间为t，则测得的重力加速度为_________（用L，D，n，t表示）。 【答案】 【详解】由题意可知，单摆的周期为 根据单摆周期公式 联立，解得 【题型三】测量偏差与周期调节 【方法梳理】先定位测量偏差，再沿周期公式判断结果；摆钟走快或走慢时，结合摆长与重力加速度的变化调整周期。 【例3】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）若某同学测得的重力加速度数值大于当地重力加速度的数值，则引起这一误差的原因可能是（　　） A．误将摆线长当作摆长 B．误将摆线长与球的直径之和当作摆长 C．误将n次全振动次数计为n＋1次 D．误将n次全振动次数计为n－1次 【答案】BC 【详解】根据单摆周期公式 可得 A．误将摆线长当作摆长，则测得的摆长偏小，由可知，测得的重力加速度偏小，故A错误； B．误将摆线长与球的直径之和当作摆长，则测得的摆长偏大，由可知，测得的重力加速度偏大，故B正确； C．误将次全振动次数计为次，则测得的周期偏小，由可知，测得的重力加速度偏大，故C正确； D．误将次全振动次数计为次，则测得的周期偏大，由可知，测得的重力加速度偏小，故D错误。 故选BC。 【变式3-1】（24-25高二下·广东佛山·期中）惠更斯利用单摆的等时性发明了摆钟，如图所示，旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，下列做法中正确的是（    ） A．圆盘的质量越大，摆钟走得越快 B．如果摆钟慢了，可以增大摆杆摆动的摆角 C．如果摆钟快了，应旋转螺母使圆盘沿摆杆下移 D．把摆钟从佛山搬到北京，应旋转螺母使圆盘沿摆杆上移 【答案】C 【详解】AB．根据单摆周期公式可知，摆钟的周期与圆盘的质量、摆动的摆角无关，故AB错误； C．摆钟快了，说明单摆的周期变小了，由单摆的周期公式可知L偏短了，应适当增长一些，所以应使圆盘沿摆杆下移，故C正确； D．把摆钟从佛山搬到北京，是从低纬度地区移到了高纬度地区，重力加速度变大了，由单摆的周期公式可知周期变短，钟表变快了，为使钟表变得准确，由C选项的解答可知应使圆盘沿摆杆下移，故D错误。 故选C。 【变式3-2】（23-24高二下·广东广州·期中）摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。如图为其内部的结构简图，设原先摆钟走时准确，则（　　） A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B．摆钟在太空实验室内也可以正常使用的 C．该摆钟从北京带到广州，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 【答案】CD 【详解】A．回复力是指向平衡位置的力，摆动过程中，金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，金属圆盘所受合力还有一部分提供向心力，故A错误； B．金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，该摆钟在太空实验室内处于失重状态，因此不可正常使用，故B错误； C．该摆钟从北京带到广州，重力加速度减小，由单摆的周期公式 可知周期变大，摆钟变慢，为走时准确，需要摆钟的摆长变短，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，故C正确； D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季温度升高，由于热胀冷缩，摆长变长，为了准时，需要摆长变短，因此考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，故D正确。 故选CD。 【题型一】图像斜率与重力加速度 【方法梳理】注明纵轴和横轴；T²-l图像求g用斜率倒数，l-T²图像求g用斜率正比关系。 【例1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）利用单摆可以测量当地的重力加速度。 (1)为了较精确地进行测量，如图甲所示的两种单摆组装方式，应选择______。 (2)组装好单摆，先用刻度尺测量摆线长度，再用游标卡尺测量小球的直径；摆球在竖直平面内稳定摆动后，用秒表记录单摆经历多次全振动所用的时间如图乙所示，则______。 (3)测量出多组单摆的摆长和运动周期，作出图像，如图丙所示，由此可求出重力加速度______。（取，保留两位有效数字） (4)该图像不过坐标原点，原因可能是将______（选填“摆线长”或“摆线长加小球直径”）作为摆长，上述操作在使用图像法求解重力加速度时会使测量值______（选填“偏大”“偏小”或“无影响”）。 【答案】(1) (2) (3) (4) 摆线长 无影响 【详解】（1）为了较精确地进行测量，应选择摆线细且不易伸长、摆球密度大体积小的装置。通常选择用铁夹固定细丝线、下端拴铁球的组装方式。 故选b。 （2）机械秒表大盘一圈为，小盘一格。小盘指针在和之间，说明时间超过，大盘指针在，故总时间 （3）摆长周期公式，其中，为摆线长，为小球半径 变形可得，其中 利用图像坐标、可得，斜率 故 （4）[1][2]由可知，在图像中，横轴截距为小球半径，故图像不过坐标原点，原因可能是将摆线长直接作为摆长，未加小球半径。 但用图像法处理时，斜率只与和摆线长的比值有关，截距不影响斜率，因此由斜率求得的重力加速度无影响。 【变式1-1】（24-25高二下·广东广州·期中）某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)关于实验操作，下列说法正确的是_________。 A．摆球的选择有钢质实心小球和塑料实心小球两种，应选用塑料实心小球 B．图乙中摆线上端的三种悬挂方式，选C方式更好 C．当单摆的摆球经过最高点开始计时，便于看清摆球的位置 (2)若游标卡尺测量摆球的直径d如图丙所示，读数为_________mm。 (3)如果该小组某位同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得摆线长为L1，测得周期为T1；第二次量得摆线长为L2，测得周期为T2。根据上述数据，这位同学可求得g=_________（用题中所给物理量的字母表示）。 (4)该小组另一个同学测重力加速度时，没有测量小球直径，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了的关系图像如图丁所示，图像与L轴交点坐标为（-1.00cm，0），根据图丁中数据，可算出重力加速度为__________m/s2（取，结果保留3位有效数字），可得小球直径d=_________cm（结果保留3位有效数字）。 【答案】(1)B (2)10.60 (3) (4) 9.86 2.00 【详解】（1）A．为了减小空气阻力的影响，摆球应选择密度大、体积小的钢质实心小球，故A错误； B．为了保证摆长不变，摆线上端应固定牢靠，C方式用铁夹夹紧，摆长固定，最好，故B正确； C．摆球经过平衡位置（最低点）时速度最大，经过该位置的时间最短，计时误差最小，应从平衡位置开始计时，故C错误。 故选B。 （2）游标卡尺是20分度的，精确度为。主尺读数为，游标尺上第12条刻度线与主尺刻度线对齐，读数为 总读数为 （3）设摆球重心到摆线上端的距离为，根据单摆周期公式 可得， 两式相减得 解得 （4）[1]根据单摆周期公式 变形得 由图像可知，斜率 解得 [2]当时， 由图可知横轴截距为，即 解得 【变式1-2】（25-26高二下·广东河源·期末）某学习小组设计如图甲所示的实验装置来测量当地的重力加速度：将力传感器固定在铁架台上，把不可伸长的细线一端接在力传感器上，另一端与小球相连（已测出悬点到小球上端的细线长度为L）。 (1)用游标卡尺测出小球的直径d，如图乙所示，其读数为_______cm。 (2)将小球拉至轻绳与竖直方向成一定角度后由静止释放，让小球以较小的角度在竖直面内摆动，传感器通过计算机采集拉力随时间的变化数据，图像如图丙所示。则小球摆动的周期_______。 (3)改变细线长度，多次重复操作后，以细线长度L为横轴，以为纵轴，作出如题图丁所示的图线，图线的斜率为k，则当地重力加速度_______。 【答案】(1)0.375 (2) (3) 【详解】（1）20分度游标卡尺的精确值为，由图乙可知小球的直径为 （2）单摆摆动时，拉力在最低点最大，在最高点最小；从左边（右边）最高点到右边（左边）最高点经历的时间为半个周期，则有 解得周期为 （3）设小球半径为，根据单摆周期公式可得 整理可得 可得图像的斜率为 解得 【题型二】实验控制与改进 【方法梳理】控制摆角和摆动平面，固定悬点，增加完整振动计时长度并合理重复测量。 【例2】（24-25高二下·广东·阶段检测）某同学想利用如图甲所示装置来测量当地的重力加速度。通过数据采集器来获得摆动的周期，请完成以下问题： (1)此次实验装置下列最佳的是___________（填标号）； A． B． C． (2)该同学用螺旋测微器测量摆球直径为，再用刻度尺测得摆线长度为，则摆长___________（用字母、表示）； (3)该同学在测量单摆的周期时，从单摆第一次运动到最低点开始计时且记数为1，到第次经过最低点所用的时间为，则单摆的周期___________； (4)该同学通过多次实验得出摆长与对应的周期的数据，并画出周期和摆长图像，如图乙所示，图像斜率为，则当地的重力加速度___________（用含、表示）； (5)该同学由于意外导致螺旋测微器损坏了，无法具体测量出小球直径的数值，只能测量出摆线的长度。实验中，测得当摆线长度为时周期为，当摆线长度为时周期为，由此可测得当地的重力加速度___________（用、、、表示）。 【答案】(1)B (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）利用单摆测重力加速度，为减小实验误差，需满足摆长固定、悬点不变且空气阻力可忽略，即选体积小质量大的小铁球。 故选B。 （2）摆长为小球球心到悬点的距离，为。 （3）单摆的周期。 （4）根据单摆周期公式 得 周期和摆长图像的斜率为，解得。 （5）根据单摆周期公式 则有 解得。 【变式2-1】（25-26高二上·广东佛山·期中）在利用单摆实验测量重力加速度时，某同学想改变传统秒表计时的方式，改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图乙方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机，单片机接收信号并计时，并将数据传输给电脑和手机，实时显示测量结果并分析处理和存储数据。 （1）实验前，再用刻度尺测出绳长为L，用游标尺测出摆球的直径d； （2）电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为______； （3）最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期，计算出重力加速度，其表达式为g＝______。（用本题中涉及的符号表示） （4）若某次实验找不到磁性小球，只有一个不规则的小磁铁，将小磁铁用细线悬挂起来做成单摆，取不同摆长、……进行n次测量，得周期、……，以测量的绳长L为横坐标，为纵坐标，作出图线，如图丁所示，应为图线______（填“a”“b”或“c”）。使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁铁的重心不确定，这对测量结果是否有影响？______（填“是”或“否”） 【答案】 a 否 【详解】（2）[1]由题意可知，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号，因此由图丙可知相邻两个电压脉冲之间的时间间隔为半个周期，则该单摆的周期为 （3）[2]可知绳长为L，摆球的直径为d，则有摆长为 由单摆的周期公式可得 （4）[3]以测量的绳长L为横坐标，为纵坐标，设小磁铁的重心到固定小磁铁悬线的距离为，可知单摆的摆长为，由单摆的周期公式可得 可知图线应为图线 [4]使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁铁的重心不确定，由可知图线的斜率不变，则测量值不变，因此这对测量结果没有影响，即否。 【变式2-2】（25-26高二下·广东揭阳·期末）某实验小组用单摆测量当地重力加速度，利用智能手机和磁性小球等器材进行了如下实验。 (1)某同学用游标卡尺测量磁性小球的直径如图乙所示，则__________mm。 (2)关于该实验，下列说法正确的一项是__________。 A．实验应选用弹性较好的细线 B．应将细线上端固定在铁架台横杆上 C．摆长一定的情况下，摆角应大一些，以便于观察 D．摆球在重力、拉力、回复力三个力的作用下运动 (3)如图甲，启动Phyphox软件，选择“磁力计”功能。将磁性小球拉开某一角度后由静止释放，记录磁感应强度的变化曲线如图丙所示，则该单摆的周期为点与__________点之间的时间差（选填“”、“”、“”、“”）。 (4)另一位同学测量不同摆线长度及对应的周期，作图像，由图线斜率计算当地重力加速度。若测量、计算均无误，使用上述方法算得的值__________真实值（选填“大于”、“等于”或“小于”）。 【答案】(1)11.4 (2)B (3) (4)等于 【详解】（1）10分度游标卡尺的精确值为，由图乙可知磁性小球的直径为 （2）AB．为了保证小球摆动过程摆长保持不变，实验应选用不可伸长的无弹性细线，且将细线上端固定在铁架台横杆上，故A错误，B正确； C．为了保证小球的摆动为简谐运动，摆角应小于，故C错误； D．回复力只是效果力，摆球在重力、拉力两个力的作用下运动，重力沿切线方向的分力提供回复力，故D错误。 故选B。 （3）磁性小球经过平衡位置（最低点）时，离手机最近，磁感应强度最大，因此峰值对应小球经过最低点。单摆一个周期内会两次经过最低点，相邻两个峰值（最低点）的时间间隔为半个周期，因此点到点间隔了两个半个周期，总时间差正好为一个周期。 （4）设小球半径为，根据单摆周期公式可得 整理可得 则图像的斜率为 可知重力加速度为 可知由图线斜率计算当地重力加速度，若测量、计算均无误，使用上述方法算得的值等于真实值。 【题型三】受迫振动的频率关系 【方法梳理】稳定受迫频率由驱动力决定；系统固有频率用来判断是否接近共振条件。 【例3】（25-26高二下·广东湛江·阶段检测）关于阻尼振动与共振现象，下列说法正确的是（　　） A．做阻尼振动的物体，振幅不变，周期逐渐减小 B．做受迫振动的物体，频率由系统的固有频率决定 C．驱动力的频率等于系统的固有频率时，物体会发生共振 D．做阻尼振动的物体，动能和势能之和保持不变 【答案】C 【详解】A．阻尼振动的振幅不断减小，周期基本不变，故A错误； B．受迫振动的频率等于驱动力的频率，故B错误； C．共振条件就是驱动力的频率等于系统的固有频率，故C正确； D．阻尼振动是振幅不断减小的振动，振幅是振动能量的标志，故阻尼振动中动能和势能之和不断减小，故D错误。 故选C。 【变式3-1】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）下列关于共振和受迫振动说法正确的是（　　） A．驱动力的频率由受迫振动的物体的频率决定 B．受迫振动时的频率与固有频率有关 C．共振时受迫振动的振幅最大 D．共振现象都是有害的 【答案】C 【详解】A．驱动力的频率是外界驱动力本身的固有属性，受迫振动的物体的频率由驱动力的频率决定，故A错误； B．受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率，与物体自身的固有频率无关，故B错误； C．当驱动力频率等于物体的固有频率时会发生共振，此时受迫振动的振幅达到最大值，故C正确； D．共振现象既有有害的（如桥梁共振坍塌），也有有益的（如共振筛、乐器共鸣），并非都是有害的，故D错误。 故选C。 【变式3-2】（25-26高二上·广东·阶段检测）如图所示，三个小球A、B、C原来静止不动，在摇杆的驱动力作用下做受迫振动，当驱动力的频率从零逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（   ） A．小球A的振幅一定逐渐增大 B．小球B的振幅一定先增大后减小 C．小球C的振幅可能先增大后减小 D．小球A的振幅一直最大 【答案】C 【详解】AD．小球A的质量关系和弹簧劲度系数关系未知，则小球A和弹簧组成的系统的固有频率无法确定大小关系，当驱动力频率从零逐渐增大的过程中，若逐渐接近小球的固有频率后超过小球的固有频率，小球A的振幅可能先逐渐增大后逐渐减小，故A D错误； B．小球B的质量关系和弹簧劲度系数关系未知，则小球B和弹簧组成的系统的固有频率无法确定大小关系，当驱动力频率从零逐渐增大的过程中，若逐渐接近小球的固有频率，小球B的振幅逐渐增大，故B错误； C．小球C的质量关系和弹簧劲度系数关系未知，则小球C和弹簧组成的系统的固有频率无法确定大小关系，当驱动力频率从零逐渐增大的过程中，若逐渐接近小球的固有频率后超过小球的固有频率，小球C的振幅可能先逐渐增大后逐渐减小，故C正确。 故选C。 【题型一】小角度单摆周期模型 【模型解读】小角度时建立单摆周期与摆长、g的关系，先核对理想模型再作计算或比较。 【例1】（24-25高二上·广东·期末）如图甲所示，单摆在B、C两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆动频率为1.25Hz B．单摆的摆长为0.16m C．时，摆球经过C点 D．时，摆球的加速度为零 【答案】ABC 【详解】A．单摆的摆动频率为，故A正确； B．由单摆的周期公式 代入数据解得，故B正确； C．由单摆的周期性可知，时和摆球的运动状态相同，可知摆球在点，故C正确； D．时和摆球的运动状态相同，摆球位于平衡位置，但摆球受到的合力不为零，故摆球的加速度不为零，故D错误。 故选ABC。 【变式1-1】（25-26高二下·广东江门·期中）小明利用如图甲所示的单摆测量当地的重力加速度。 (1)下列说法正确的是______。 A．摆线要选择适当细些、长些，弹性小些的细线 B．质量大、体积小的摆球可以减小空气阻力带来的影响 C．单摆偏离平衡位置的角度越大越好 D．为了减小误差，摆球应从最高点开始计时 (2)为了更精确测量摆长，小明用10分度的游标卡尺测量摆球直径如图乙所示，摆球直径为______mm。利用刻度尺测得摆线长为97.10cm，则该单摆的摆长l＝______cm。若他用秒表记录下单摆50次全振动所用时间，由图丙可知该次实验中50次全振动所用时间为______s。 (3)通过改变摆长，小明测出多组摆长l和周期T的数据，作出图线如图丁所示，则由图中数据计算重力加速度的表达式g＝______（用、、、表示）。 (4)若实验测得的g值偏小，可能的原因是_________。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，秒表过迟按下 D．实验中误将（n-1）次全振动数为n次 【答案】(1)AB (2) 20.6 98.13 99.7 (3) (4)B 【详解】（1）AB．为了减小实验误差，摆线选择细些的、弹性小的、并且适当长一些，摆球选择质量大，体积小的，可以减小空气阻力带来的影响，故AB正确； C．为了减小实验误差，保证摆球尽量做单摆运动，摆角不超过5度，故C错误； D．为了减小测量误差，测量周期时应从小球经过最低位置时开始计时，故D错误。 故选AB。 （2）[1]摆球直径d=2cm+6×0.1mm=20.6mm [2]该单摆的摆长 [3]该次实验中50次全振动所用时间为t=1min+39.7s=99.7s （3）单摆周期 整理得 图线的斜率为 解得计算重力加速度的表达式为 （4）A．测摆线长时摆线拉得过紧，使得摆长的测量值偏大，根据，则测得的重力加速度偏大，故A错误； B．摆动后出现松动，使得测量的周期偏大，根据可知，测得的重力加速度偏小，故B正确； C．开始计时，秒表过迟按下，则周期的测量值偏小，根据可知，重力加速度的测量值偏大，故C错误； D．实验中误将（）次全振动数为n次，周期测量值偏小，根据可知，重力加速度测量值偏大，故D错误。 故选B。 【变式1-2】（25-26高二上·广东深圳·期中）在研究单摆运动问题中，某同学受到伽利略研究自由落体运动时用斜面来“冲淡”重力作用的启发，设置了一个如图所示的“杆线摆”装置：长为l的轻质细线一端系于铁架台支柱上O点，另一端系一质量为m的小球，再用长为L的轻杆一端顶住小球，另一端垂直顶在铁架台支柱上，同时将铁架台侧倾一定角度，轻推小球，小球便可以在倾角为的平面上来回摆动，形成“类单摆”。不计机械能损耗，重力加速度为g (1)小球静止于最低点时细线与轻杆对小球的作用力的合力大小为___________。 (2)小球在小角度摆动过程中，当偏离最低点的距离为x时，其回复力大小为___________。此杆线摆相当于摆长为___________、重力加速度为___________的单摆。与正常单摆类比，可得到此杆线摆做简谐运动时周期为___________。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，由平衡条件可得，小球静止于最低点时细线与轻杆对小球的作用力的合力大小等于小球的重力大小。 （2）[1][2][3]当摆杆来回摆动时，小球圆周运动的圆心在摆杆与立柱的连接点位置，小球相当于在一个倾角为的斜面上做单摆运动，倾角等于摆杆与水平面之间的夹角，则此杆线摆相当于摆长为轻杆的长度，重力加速度为 当偏离最低点的距离为x时，设摆角为（较小），则有 则其回复力大小为 [4]与正常单摆类比，由单摆周期公式可得此杆线摆做简谐运动时周期为。 【题型二】多周期计时模型 【模型解读】记录完整振动次数与总时间，用平均周期减小起停反应时间占比。 【例2】（25-26高二下·广东清远·期中）用图示装置完成“探究单摆周期与摆长的关系”： (1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径为______cm； (2)实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为______。 【答案】(1)1.87 (2)2t0 【详解】（1）由图甲可读出摆球的直径为d=1.8×10mm+0.1mm×7=18.7mm=1.87cm （2）由图丙可知该单摆的周期为T=2t0 【变式2-1】（24-25高二下·广东佛山·阶段检测）小尧家中有一盏典雅的吊灯（图1），当微风吹过时会轻轻摆动，绚丽非常。小尧想利用单摆相关知识粗略确定该吊灯的重心位置，进行以下操作： （1）使用手机的AR测量软件测出灯绳的长度 （2）打开窗户，让微风扰动吊灯开始轻微摆动，然后关闭窗户； （3）使用手机秒表计时，单摆每次到达__________（填“最高点”或“最低点”）时进行一次计数，开始计时并从1开始数数，数数到n时所经历时间为t，可以得出吊灯完成一次完整摆动周期__________（用n、t表示） （4）将手机静置于斜面上，打开手机物理工坊软件，测得重力加速度在三维坐标下结果如图2所示，则当地重力加速度__________ （5）根据单摆公式，吊灯的重心与灯罩顶端距离__________用L、T、g表示 （6）重复实验取平均值； （7）在实验过程中，下列说法正确的是__________： A．必须关闭窗户后再继续后续实验 B．手机放置平面必须倾斜 C．重复实验时计数次数n必须相同 【答案】 最低点 A 【详解】（3）[1]计时应在单摆经过最低点的时候开始计时，最高点计时误差较大； [2]一个周期内通过最低点2次，开始计时并从1开始数数，数数到n时，有个半周期，故； （4）[3]由图可知，在y、z方向上有加速度的分量，当地的重力加速度不是这两个分加速度的值，应是最下面的数据，即； （5）[4]根据单摆公式有 变形得 （7）[5]A．微风扰动后必须关闭窗户，吊灯只受重力和拉力做小角度摆动，才可看成是单摆运动，故A正确； B．手机放置的平面不必倾斜，测量值是x、y、z三个方向的分量，与平面倾斜程度无关，B错误； C．通过实验测量单摆周期，由（3）可知重复实验时计数次数要合适，但不用每次相同，C错误。 故选A。 【变式2-2】（25-26高二上·广东河源·期末）某同学用图甲所示的装置研究单摆运动的规律，让摆球在竖直平面内摆动，用力传感器得到细线对摆球拉力的大小随时间变化的图线如图乙所示，小球经过最低点时为计时起点。 (1)下列说法正确的有（　　） A．摆角要尽可能大 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度大、体积小的实心金属小球 (2)由图乙可知该单摆的运动周期为______s，该同学用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，其读数为______mm。 【答案】(1)BC (2) 2 20.6 【详解】（1）A．在摆角小于5°的情况下单摆的运动可以看作简谐运动，实验时摆角不能太大，不能超过5°，故A错误； B．实验中，摆线的长度应远远大于摆球的直径，适当增加摆线的长度，可以减小实验误差，故B正确； C．减小空气阻力的影响，选择密度较大的实心金属小球作为摆球，故C正确， 故选BC。 （2）[1]单摆经过最低点时，速度最大，据牛顿第二定律知，单摆经过最低点时摆线的拉力最大；从最低点到再次到达最低点所需时间等于半个周期，所以据图像得，该单摆的周期为2s。 [2]小球的直径d=20mm+6×0.1mm=20.6mm 【题型三】线性关系与差值测量模型 【模型解读】将周期平方与有效摆长建立线性关系，利用斜率或两组数据的差值消去不变量；不同装置先确定有效摆长。 【例3】（25-26高二上·广东深圳·期末）某同学“用单摆测定重力加速度”的实验如下。 (1)该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径如图（a）所示，则小球直径为_______。 (2)如果该同学在实验时用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得摆线长为，测得周期为；第二次量得摆线长为，测得周期为。根据上述数据，可求得_______（用题中所给物理量的字母表示）；该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长与周期的数据，根据实验数据，作出的关系图像如图（b）所示，根据图（b）中数据。可算出重力加速度为_______（取，结果保留3位有效数字），仅考虑该数据处理方法，他得到的重力加速度与真实值相比_______（填“偏大”“偏小”或“相同”）。 【答案】(1)1.070 (2) 9.86 相同 【详解】（1）由图可知，游标卡尺的读数为 （2）[1]根据单摆周期公式 设摆球重心到摆球上端的距离为，则可得， 解得 [2]根据单摆周期公式 整理可得 所以，图线的斜率为 解得 [3]无论图像是否经过坐标原点，图像的斜率等于，该斜率不变，所以g不变，没有系统误差，则他求得的加速度g等于真实值。 【变式3-1】（24-25高二下·广东惠州·阶段检测）某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作： (1)用10分度的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为______ cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长度，通过计算得到摆长L。 (2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点时记一次数，当数到n＝60时读出秒表的示数为，则该单摆的周期T＝__________。 (3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2－L图线如图乙，此图线斜率的物理意义是（　） A．g B． C． D． (4)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表示重力加速度g＝________。 【答案】(1)2.06 (2) (3)C (4) 【详解】（1）图像可知游标卡尺精度为0.1mm，则摆球的直径为 （2）题意可知时间内完成的全振动次数次，故该单摆的周期 （3）根据单摆周期 整理得 可知斜率 故选C。 （4）设较长摆线为，较短摆线为，则有 又因为 联立解得 【变式3-2】（25-26高二下·广东广州·期末）某探究小组借助手机的计时器和测角度软件来测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，两根长度均为的细线（不可伸长）系在小球的顶端，构成双线摆。请回答下列问题： (1)如图乙是用游标卡尺测量小球的直径，则小球的直径是__________cm； (2)让双线摆垂直于纸面做小角度摆动。某次摆到最低点时开始计时，并计数为1，第二次摆到最低点时计数为2，当小球第次摆到最低点时停止计时。手机计时器测得的总时间为，则双线摆摆动的周期__________； (3)多次改变细线的两个悬点、间的距离，并用手机测角度软件测出静止时细线与竖直方向的夹角，重复实验多次，得到多组、，作图像，如图丙所示，图像的斜率为，则当地的重力加速度__________（用题中已测物理量的符号表示）；若漏测了小球直径，则用图像处理数据时，得到的值将__________（选填“偏小”、“偏大”或“不变”）。 【答案】(1)1.53 (2) (3) 不变 【详解】（1）游标卡尺精度为10分度，读游标卡尺读数得小球的直径 （2）单摆每经过2次最低点为1个周期，由于第1次计数为1，所以双线摆摆动的周期 （3）[1]单摆的等效摆长 单摆的周期公式 变形得 所以，图像的斜率为 解得 [2]由于 与小球直径无关，可得若漏测了小球直径，则用图像处理数据时，得到的值将不变。 【题型四】共振曲线与应用模型 【模型解读】读出共振峰附近的驱动频率，结合利用、避振或增加阻尼说明实际措施。 【例4】（24-25高二下·广东肇庆·阶段检测）如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比为l1：l24：25 B．图线II若是在地球表面上完成的，则该摆摆长约为2m C．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线Ⅰ是月球上的单摆共振曲线 D．以上说法都不对 【答案】C 【详解】A．由题可知，两次单摆的频率分别为， 由单摆的周期公式 可得 故两次单摆的摆长之比为 代入数据可得 A错误； B．由图可知图线II单摆的周期 根据单摆的周期 解得 代入数据解得图线II单摆的摆长 B错误； C．同理，根据单摆的周期可得单摆所在地的重力加速度 由于图线Ⅰ的周期大于图线II周期，故图线Ⅰ单摆所在地的重力加速度小于图线II单摆所在地的重力加速度，故图线Ⅰ单摆所在地是月球，图线II单摆所在地是地球，C正确； D．综合上述分析可知，D错误。 故选C。 【变式4-1】（25-26高二下·广东广州·期中）一单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图所示，则（　　） A．此单摆的固有周期为1s B．此单摆的摆长约为1m C．若摆长减小，单摆的固有频率增大 D．若把此单摆移到月球上，则在月球上此单摆的共振曲线的峰值将向右移动 【答案】BC 【详解】A．共振曲线的峰值对应驱动力频率等于单摆的固有频率。由图可知，峰值出现在，因此固有频率，固有周期，A错误； B．根据单摆周期公式，，B正确； C．根据单摆公式 当摆长减小，单摆的固有频率增大。C正确； D．根据单摆公式 当重力加速度减小时，固有频率减小，此单摆的共振曲线的峰值将向左移动。D错误。 故选BC。 【变式4-2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）某减噪装置结构如图所示，当外界声音通过时引起装置的共振从而吸收声波达到减噪效果。已知其固有频率表达式为（SI制），其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度，k为常数。经测试发现它对频率为200Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200Hz变为300Hz，则（　　） A．该装置振动频率仍为200Hz B．适当增大L，可以获得更好减噪效果 C．适当调小σ，可以获得更好减噪效果 D．该装置的减振效果随着外界声波的频率的增大，减噪效果越好 【答案】C 【详解】A．根据受迫振动原理可知，若外界声波频率由200 Hz变为300 Hz，则系统振动频率为300 Hz，故A错误； BC．为获得更好减噪效果，可以使固有频率增加；根据固有频率为可知，可仅减小L的大小或仅换用更小的薄板，故B错误，C正确。 D．当频率大于200Hz，随着外界声波的频率的增大，远离固有频率，减噪效果越差，故D错误。 故选C。 题目类型 技巧 量到球心 画出长度起止点，再决定是否加半径或扣半径。 统一计数 选同位置同方向作为起止状态，记录的是完整振动次数。 先写坐标 图像题先写纵横轴和单位，再解释斜率对应的公式。 沿式判误差 先判l、t或n偏差，再判断T与g的变化，避免只凭记忆。 分清频率 固有频率看系统，受迫频率看驱动力，共振看二者接近。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 单摆实验与受迫振动共振 目 录 识记类 思维导图 知识清单 考点清单 辨析清单 题型类 高频题型清单 易错题型清单 重难题型清单 答题类 解题模型清单 答题技巧清单 知识点01 单摆模型与小角度条件 1．单摆是将摆球视为质点、摆线视为不伸长轻绳并忽略阻力的理想模型；小角度摆动可近似为________。 2．测重力加速度时应保持小摆角，通常控制在5°以内，使摆球在同一竖直面内摆动；大角度摆动不能直接套用小角度周期公式。 知识点02 摆长的确定 1．摆长l是________的距离；普通球形摆球可用摆线长度L加球半径表示，即。 2．测量时应明确长度起点和终点；把摆线长度直接当作摆长，会使所用摆长偏小。悬点应稳定，避免摆动过程中有效摆长变化。 知识点03 周期公式与影响因素 1．理想单摆的小角度周期；周期与摆长的平方根成________，与重力加速度的平方根成________。 2．在模型适用条件内，周期与摆球质量、小振幅无关；比较不同单摆时应先核对摆长与当地重力加速度。 知识点04 周期计时与振动计数 1．测出n次完整振动的总时间t，周期；选择摆球经过平衡位置时开始和结束计时，有利于辨认状态。 2．一次完整振动应回到________的状态；开始、结束状态和次数口径必须一致，不能把一次经过平衡位置误当作一次完整振动。 知识点05 实验器材与规范操作 1．选择尺寸较小、密度较大的摆球和不易伸长的细线，固定稳定悬点；测摆长、摆球直径及多次完整振动所需时间。 2．小角度释放时不额外推摆球；观察是否在同一竖直平面内运动。多次测量取合理平均值，保留对应的长度、次数和时间记录。 知识点06 重力加速度与数据处理 1．由周期公式得到；长度和时间先统一单位，再代入计算。计时偏长使周期偏大、计算出的g偏小。 2．若纵轴为T²、横轴为l，图线斜率k满足；若纵轴为l、横轴为T²，则。两种坐标下的斜率含义不能混用。 知识点07 自由、阻尼与受迫振动 1．自由振动的固有频率由系统自身性质决定；阻尼振动因能量损失，振幅逐渐________。 2．周期性外力驱动下的受迫振动，在稳定阶段的振动频率等于________，不一定等于固有频率。 知识点08 共振条件与实际应用 1．驱动力频率接近系统________时，受迫振动的振幅显著增大，这种现象称为共振。振幅还受驱动力强弱和阻尼影响。 2．利用共振可增强特定频率的响应；防止有害共振可改变驱动频率、调整系统固有频率或增加阻尼，不能认为驱动频率越大振幅总越大。 考点一 单摆模型与周期比较 考点内容：辨认小角度模型条件，正确确定摆长并比较周期影响因素。 （1）摆长量到重心；只有小角度模型适用时，才用周期对质量、小振幅的独立性作判断。 考点二 实验测量与误差分析 考点内容：用摆长和完整振动计时计算g，解释主要测量偏差及图像斜率。 （1）先指出是l、t还是振动次数发生偏差，再沿周期和g的关系判断方向；图像处理先写清纵横轴。 考点三 振动类别与共振 考点内容：区分固有频率、驱动力频率和稳定受迫振动频率。 （1）自由振动看系统性质，稳定受迫振动看驱动力频率；判断共振看两个频率是否接近。 辨析一 绳长与摆长 误区：摆长就是摆线长。辨析：摆长从悬点量到摆球重心；球形摆球的半径不可遗漏。 辨析二 经过次数与振动次数 误区：摆球每经过一次平衡位置就是一个周期。辨析：要位置和运动方向同时重复才是一次完整振动，计数须统一口径。 辨析三 周期公式的适用条件 误区：任意摆角都可以用小角度周期公式。辨析：公式对应小角度理想模型；摆角过大、摆线伸长或悬点移动都可能破坏条件。 辨析四 共振与频率增大 误区：驱动力频率越大，受迫振幅就越大。辨析：振幅随频率的变化有共振峰，关键是驱动力频率接近固有频率。 【题型一】单摆条件与摆长 【方法梳理】核对小角度和稳定悬点等模型条件，将摆长确定为悬点到重心的距离。 【例1】（24-25高二下·广东阳江·阶段检测）下列有关单摆周期的说法正确的是（　　） A．只改变小球的质量不会改变单摆的周期 B．单摆的周期只与摆线长度有关 C．单摆在同步卫星中的周期与在地面时的相同 D．单摆的周期与摆线长度成正比 【变式1-1】（24-25高二上·广东梅州·期末）荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动。如图所示，秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为“摆球”，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．“摆球”所受重力和绳的拉力的合力提供“摆球”做简谐运动的回复力 B．远离最低点运动的过程中，“摆球”的回复力逐渐增大 C．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过半个周期“摆球”相对最低点的位移最大 【变式1-2】（25-26高二下·广东清远·期末）摆钟是最早能够精确计时的一种工具，至今仍在很多地方使用。把摆钟的钟摆简化成一个摆长为L的单摆，如图所示。摆球质量为m，不计细线质量和空气阻力，将摆球从最低点在竖直平面内向左缓慢拉开一个偏角θ（θ＜5°），静止释放。下列说法正确的是（     ） A．增大m会使该钟摆周期增大 B．增大L会使该钟摆周期减小 C．摆球在最低点时受力平衡 D．摆球在最低点时的回复力为零 【题型二】周期因素比较 【方法梳理】由周期对摆长、g的平方根关系比较；质量和小振幅不作为理想模型中的周期因素。 【例2】（23-24高二下·广东惠州·阶段检测）图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°，单摆的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．把摆球质量减小一半，其他条件不变，则单摆的周期变大 B．把摆角α变大（仍小于5°），其他条件不变，则单摆的周期不变 C．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T D．将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，则单摆的周期将变大 【变式2-1】（21-22高二下·广东肇庆·期末）某单摆由1m长的摆线连接一个直径2cm的铁球组成，关于单摆周期，以下说法正确的是（　　） A．单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B．摆角从改为，单摆的周期会变小 C．用等大的铜球代替铁球，单摆的周期不变 D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变小 【变式2-2】（23-24高二下·广东汕头·阶段检测）若把周期为1s的单摆从g=10m/s2处搬到g/=8m/s2的地方，则（　　） A．单摆的周期变大 B．单摆的周期变小 C．为了使其仍按1s的周期走，则摆长应变长 D．为了使其仍按1s的周期走，则摆长应变短 【变式2-3】（23-24高二下·广东广州·期中）在广州走时准确的摆钟，随考察队带到北极黄河站，则这个摆钟（　　） A．变快了，重新校准应增大摆长 B．变快了，重新校准应减小摆长 C．变慢了，重新校准应减小摆长 D．变慢了，重新校准应增大摆长 【题型三】周期与摆长计算 【方法梳理】使用周期公式前先统一单位，明确所求的是摆长、周期还是重力加速度。 【例3】（23-24高二下·广东梅州·开学考试）我们把从最左侧摆至最右侧的时间为1s的单摆叫做秒摆。则（    ）（g取，取10） A．秒摆周期为1s B．秒摆周期为2s C．秒摆周期为4s D．秒摆的摆长为0.5m 【变式3-1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的点钉一个光滑钉子，使。将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间往复运动，若运动中摆线与竖直方向夹角不超过5°，不计空气阻力，已知重力加速度为g。以下说法正确的是（     ） A．由于机械能守恒，可得摆角大小不变 B．小球第一次从A到B与第一次从B到C的时间之比为 C．该摆动的周期为 D．小球碰钉前后绳的拉力之比为 【变式3-2】（25-26高二下·广东韶关·期中）近年来，中国的航天事业取得了显著进展。假设宇航员在火星表面测得一摆长为L的单摆近似简谐运动的周期为T，已知火星的半径为R，引力常量为G，将火星视为质量分布均匀的球体，忽略火星的自转，则火星的质量为（　　） A． B． C． D． 【题型四】实验器材和操作 【方法梳理】依照测摆长、测周期、处理数据的流程选器材，检查释放和计时是否规范。 【例4】（25-26高二下·广东江门·期末）在“用单摆测定重力加速度”的实验中， (1)组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是________ A． B． C． D． (2)用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则摆球的直径________，摆长________（用字母、表达）； 【变式4-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）小明做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)小明就地取材组装了如下几种实验装置，下列最合理的装置是______。 A． B． C． D． (2)小明用游标卡尺测小球直径，某次测量时示数如图甲所示，则______cm。 (3)在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值______（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【变式4-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素，测量当地重力加速度 (1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。这样做的目的是 （填选项前字母）。 A．保证摆动过程中摆长不变 B．需要改变摆长时便于调节 C．保证摆球在同一竖直平面内摆动 D．可使周期测量得更加准确 (2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L=1.0000m，再用螺旋测微器测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为______mm。 (3)实验中，测出不同摆长l对应的周期值T，作出T2—l图像，如图所示，已知图线上A、B两点的坐标分别为 （x1，y1）、（x2，y2），可求出g=______。 【题型一】摆长测量的起止点 【方法梳理】画清悬点、球心与测量端点，结合实际测量位置添加或扣除球半径。 【例1】（25-26高二下·广东广州·期末）在“利用单摆测量重力加速度”的实验中： (1)如图所示，用游标卡尺测得小球的直径__________； (2)某同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不同摆长和对应周期的数值，画出如图图像中的实线；如果实验中测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学作出的图像为__________。 A．虚线，不平行实线 B．虚线，平行实线 C．虚线，平行实线 【变式1-1】（25-26高二下·广东·期末）小组用单摆测量重力加速度，装置如图。游标卡尺测得摆球直径，刻度尺测得摆线长，则摆长____________（保留四位有效数字）；使摆线与竖直方向夹角为（），无初速度释放摆球，摆球位于________（选填“最高点”“最低点”）开始计时，记录摆球做30次全振动，则单摆周期____________（保留三位有效数字）。 【变式1-2】（25-26高二下·广东江门·期中）小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用图甲装置做了该实验。 (1)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的______________。 A． B． C． (2)测量摆长时，先用游标卡尺测得摆球的直径d，读数如乙图所示，则______________，再让毫米刻度尺零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图丙所示，测得从悬点到摆球的最下端的距离，则______________m，摆长的表达式为______________（用符号、d表示）。测量周期数据时，可以在摆球经过最低点时从1开始计数，记下摆球第N次经过最低点所用的时间t，则单摆周期______________ (3)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长L，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出图像如图丁所示，则可得知月球重力加速度大小为______________。（保留3位有效数字） 【题型二】完整振动的计数 【方法梳理】以同位置同方向作为一次完整振动的起止标准，区分通过次数和完整振动次数。 【例2】（25-26高二上·广东惠州·期中）广东惠州某学习小组用细线和小球做了一个“单摆”，进行了以下实验：如图所示是一个摆线长度可调的单摆振动的情景图，O是它的平衡位置，P、Q是小球所能到达的最高位置。为测量单摆的摆动周期，测量时间应从摆球经过____（选填“O”“P”或“Q”）时开始计时；测出悬点到小球球心的距离（摆长）L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g=____（用L，n，t表示）。 【变式2-1】（25-26高二下·广东广州·期末）用单摆测量重力加速度的实验中，测出摆球的直径为，摆线长为，单摆完成次全振动的时间为，则单摆的振动周期______；计算重力加速度的表达式______。 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·期末）在“利用单摆测重力加速度”的实验中，某同学测得摆线长为L，摆球的直径为D。从摆球刚经过最低点开始计时，且计数为零。用秒表测得第n次（n为偶数）经过最低点的总时间为t，则测得的重力加速度为_________（用L，D，n，t表示）。 【题型三】测量偏差与周期调节 【方法梳理】先定位测量偏差，再沿周期公式判断结果；摆钟走快或走慢时，结合摆长与重力加速度的变化调整周期。 【例3】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）若某同学测得的重力加速度数值大于当地重力加速度的数值，则引起这一误差的原因可能是（　　） A．误将摆线长当作摆长 B．误将摆线长与球的直径之和当作摆长 C．误将n次全振动次数计为n＋1次 D．误将n次全振动次数计为n－1次 【变式3-1】（24-25高二下·广东佛山·期中）惠更斯利用单摆的等时性发明了摆钟，如图所示，旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，下列做法中正确的是（    ） A．圆盘的质量越大，摆钟走得越快 B．如果摆钟慢了，可以增大摆杆摆动的摆角 C．如果摆钟快了，应旋转螺母使圆盘沿摆杆下移 D．把摆钟从佛山搬到北京，应旋转螺母使圆盘沿摆杆上移 【变式3-2】（23-24高二下·广东广州·期中）摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。如图为其内部的结构简图，设原先摆钟走时准确，则（　　） A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B．摆钟在太空实验室内也可以正常使用的 C．该摆钟从北京带到广州，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 【题型一】图像斜率与重力加速度 【方法梳理】注明纵轴和横轴；T²-l图像求g用斜率倒数，l-T²图像求g用斜率正比关系。 【例1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）利用单摆可以测量当地的重力加速度。 (1)为了较精确地进行测量，如图甲所示的两种单摆组装方式，应选择______。 (2)组装好单摆，先用刻度尺测量摆线长度，再用游标卡尺测量小球的直径；摆球在竖直平面内稳定摆动后，用秒表记录单摆经历多次全振动所用的时间如图乙所示，则______。 (3)测量出多组单摆的摆长和运动周期，作出图像，如图丙所示，由此可求出重力加速度______。（取，保留两位有效数字） (4)该图像不过坐标原点，原因可能是将______（选填“摆线长”或“摆线长加小球直径”）作为摆长，上述操作在使用图像法求解重力加速度时会使测量值______（选填“偏大”“偏小”或“无影响”）。 【变式1-1】（24-25高二下·广东广州·期中）某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)关于实验操作，下列说法正确的是_________。 A．摆球的选择有钢质实心小球和塑料实心小球两种，应选用塑料实心小球 B．图乙中摆线上端的三种悬挂方式，选C方式更好 C．当单摆的摆球经过最高点开始计时，便于看清摆球的位置 (2)若游标卡尺测量摆球的直径d如图丙所示，读数为_________mm。 (3)如果该小组某位同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得摆线长为L1，测得周期为T1；第二次量得摆线长为L2，测得周期为T2。根据上述数据，这位同学可求得g=_________（用题中所给物理量的字母表示）。 (4)该小组另一个同学测重力加速度时，没有测量小球直径，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了的关系图像如图丁所示，图像与L轴交点坐标为（-1.00cm，0），根据图丁中数据，可算出重力加速度为__________m/s2（取，结果保留3位有效数字），可得小球直径d=_________cm（结果保留3位有效数字）。 【变式1-2】（25-26高二下·广东河源·期末）某学习小组设计如图甲所示的实验装置来测量当地的重力加速度：将力传感器固定在铁架台上，把不可伸长的细线一端接在力传感器上，另一端与小球相连（已测出悬点到小球上端的细线长度为L）。 (1)用游标卡尺测出小球的直径d，如图乙所示，其读数为_______cm。 (2)将小球拉至轻绳与竖直方向成一定角度后由静止释放，让小球以较小的角度在竖直面内摆动，传感器通过计算机采集拉力随时间的变化数据，图像如图丙所示。则小球摆动的周期_______。 (3)改变细线长度，多次重复操作后，以细线长度L为横轴，以为纵轴，作出如题图丁所示的图线，图线的斜率为k，则当地重力加速度_______。 【题型二】实验控制与改进 【方法梳理】控制摆角和摆动平面，固定悬点，增加完整振动计时长度并合理重复测量。 【例2】（24-25高二下·广东·阶段检测）某同学想利用如图甲所示装置来测量当地的重力加速度。通过数据采集器来获得摆动的周期，请完成以下问题： (1)此次实验装置下列最佳的是___________（填标号）； A． B． C． (2)该同学用螺旋测微器测量摆球直径为，再用刻度尺测得摆线长度为，则摆长___________（用字母、表示）； (3)该同学在测量单摆的周期时，从单摆第一次运动到最低点开始计时且记数为1，到第次经过最低点所用的时间为，则单摆的周期___________； (4)该同学通过多次实验得出摆长与对应的周期的数据，并画出周期和摆长图像，如图乙所示，图像斜率为，则当地的重力加速度___________（用含、表示）； (5)该同学由于意外导致螺旋测微器损坏了，无法具体测量出小球直径的数值，只能测量出摆线的长度。实验中，测得当摆线长度为时周期为，当摆线长度为时周期为，由此可测得当地的重力加速度___________（用、、、表示）。 【变式2-1】（25-26高二上·广东佛山·期中）在利用单摆实验测量重力加速度时，某同学想改变传统秒表计时的方式，改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图乙方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机，单片机接收信号并计时，并将数据传输给电脑和手机，实时显示测量结果并分析处理和存储数据。 （1）实验前，再用刻度尺测出绳长为L，用游标尺测出摆球的直径d； （2）电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为______； （3）最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期，计算出重力加速度，其表达式为g＝______。（用本题中涉及的符号表示） （4）若某次实验找不到磁性小球，只有一个不规则的小磁铁，将小磁铁用细线悬挂起来做成单摆，取不同摆长、……进行n次测量，得周期、……，以测量的绳长L为横坐标，为纵坐标，作出图线，如图丁所示，应为图线______（填“a”“b”或“c”）。使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁铁的重心不确定，这对测量结果是否有影响？______（填“是”或“否”） 【变式2-2】（25-26高二下·广东揭阳·期末）某实验小组用单摆测量当地重力加速度，利用智能手机和磁性小球等器材进行了如下实验。 (1)某同学用游标卡尺测量磁性小球的直径如图乙所示，则__________mm。 (2)关于该实验，下列说法正确的一项是__________。 A．实验应选用弹性较好的细线 B．应将细线上端固定在铁架台横杆上 C．摆长一定的情况下，摆角应大一些，以便于观察 D．摆球在重力、拉力、回复力三个力的作用下运动 (3)如图甲，启动Phyphox软件，选择“磁力计”功能。将磁性小球拉开某一角度后由静止释放，记录磁感应强度的变化曲线如图丙所示，则该单摆的周期为点与__________点之间的时间差（选填“”、“”、“”、“”）。 (4)另一位同学测量不同摆线长度及对应的周期，作图像，由图线斜率计算当地重力加速度。若测量、计算均无误，使用上述方法算得的值__________真实值（选填“大于”、“等于”或“小于”）。 【题型三】受迫振动的频率关系 【方法梳理】稳定受迫频率由驱动力决定；系统固有频率用来判断是否接近共振条件。 【例3】（25-26高二下·广东湛江·阶段检测）关于阻尼振动与共振现象，下列说法正确的是（　　） A．做阻尼振动的物体，振幅不变，周期逐渐减小 B．做受迫振动的物体，频率由系统的固有频率决定 C．驱动力的频率等于系统的固有频率时，物体会发生共振 D．做阻尼振动的物体，动能和势能之和保持不变 【变式3-1】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）下列关于共振和受迫振动说法正确的是（　　） A．驱动力的频率由受迫振动的物体的频率决定 B．受迫振动时的频率与固有频率有关 C．共振时受迫振动的振幅最大 D．共振现象都是有害的 【变式3-2】（25-26高二上·广东·阶段检测）如图所示，三个小球A、B、C原来静止不动，在摇杆的驱动力作用下做受迫振动，当驱动力的频率从零逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（   ） A．小球A的振幅一定逐渐增大 B．小球B的振幅一定先增大后减小 C．小球C的振幅可能先增大后减小 D．小球A的振幅一直最大 【题型一】小角度单摆周期模型 【模型解读】小角度时建立单摆周期与摆长、g的关系，先核对理想模型再作计算或比较。 【例1】（24-25高二上·广东·期末）如图甲所示，单摆在B、C两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆动频率为1.25Hz B．单摆的摆长为0.16m C．时，摆球经过C点 D．时，摆球的加速度为零 【变式1-1】（25-26高二下·广东江门·期中）小明利用如图甲所示的单摆测量当地的重力加速度。 (1)下列说法正确的是______。 A．摆线要选择适当细些、长些，弹性小些的细线 B．质量大、体积小的摆球可以减小空气阻力带来的影响 C．单摆偏离平衡位置的角度越大越好 D．为了减小误差，摆球应从最高点开始计时 (2)为了更精确测量摆长，小明用10分度的游标卡尺测量摆球直径如图乙所示，摆球直径为______mm。利用刻度尺测得摆线长为97.10cm，则该单摆的摆长l＝______cm。若他用秒表记录下单摆50次全振动所用时间，由图丙可知该次实验中50次全振动所用时间为______s。 (3)通过改变摆长，小明测出多组摆长l和周期T的数据，作出图线如图丁所示，则由图中数据计算重力加速度的表达式g＝______（用、、、表示）。 (4)若实验测得的g值偏小，可能的原因是_________。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，秒表过迟按下 D．实验中误将（n-1）次全振动数为n次 【变式1-2】（25-26高二上·广东深圳·期中）在研究单摆运动问题中，某同学受到伽利略研究自由落体运动时用斜面来“冲淡”重力作用的启发，设置了一个如图所示的“杆线摆”装置：长为l的轻质细线一端系于铁架台支柱上O点，另一端系一质量为m的小球，再用长为L的轻杆一端顶住小球，另一端垂直顶在铁架台支柱上，同时将铁架台侧倾一定角度，轻推小球，小球便可以在倾角为的平面上来回摆动，形成“类单摆”。不计机械能损耗，重力加速度为g (1)小球静止于最低点时细线与轻杆对小球的作用力的合力大小为___________。 (2)小球在小角度摆动过程中，当偏离最低点的距离为x时，其回复力大小为___________。此杆线摆相当于摆长为___________、重力加速度为___________的单摆。与正常单摆类比，可得到此杆线摆做简谐运动时周期为___________。 【题型二】多周期计时模型 【模型解读】记录完整振动次数与总时间，用平均周期减小起停反应时间占比。 【例2】（25-26高二下·广东清远·期中）用图示装置完成“探究单摆周期与摆长的关系”： (1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径为______cm； (2)实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为______。 【变式2-1】（24-25高二下·广东佛山·阶段检测）小尧家中有一盏典雅的吊灯（图1），当微风吹过时会轻轻摆动，绚丽非常。小尧想利用单摆相关知识粗略确定该吊灯的重心位置，进行以下操作： （1）使用手机的AR测量软件测出灯绳的长度 （2）打开窗户，让微风扰动吊灯开始轻微摆动，然后关闭窗户； （3）使用手机秒表计时，单摆每次到达__________（填“最高点”或“最低点”）时进行一次计数，开始计时并从1开始数数，数数到n时所经历时间为t，可以得出吊灯完成一次完整摆动周期__________（用n、t表示） （4）将手机静置于斜面上，打开手机物理工坊软件，测得重力加速度在三维坐标下结果如图2所示，则当地重力加速度__________ （5）根据单摆公式，吊灯的重心与灯罩顶端距离__________用L、T、g表示 （6）重复实验取平均值； （7）在实验过程中，下列说法正确的是__________： A．必须关闭窗户后再继续后续实验 B．手机放置平面必须倾斜 C．重复实验时计数次数n必须相同 【变式2-2】（25-26高二上·广东河源·期末）某同学用图甲所示的装置研究单摆运动的规律，让摆球在竖直平面内摆动，用力传感器得到细线对摆球拉力的大小随时间变化的图线如图乙所示，小球经过最低点时为计时起点。 (1)下列说法正确的有（　　） A．摆角要尽可能大 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度大、体积小的实心金属小球 (2)由图乙可知该单摆的运动周期为______s，该同学用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，其读数为______mm。 【题型三】线性关系与差值测量模型 【模型解读】将周期平方与有效摆长建立线性关系，利用斜率或两组数据的差值消去不变量；不同装置先确定有效摆长。 【例3】（25-26高二上·广东深圳·期末）某同学“用单摆测定重力加速度”的实验如下。 (1)该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径如图（a）所示，则小球直径为_______。 (2)如果该同学在实验时用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得摆线长为，测得周期为；第二次量得摆线长为，测得周期为。根据上述数据，可求得_______（用题中所给物理量的字母表示）；该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长与周期的数据，根据实验数据，作出的关系图像如图（b）所示，根据图（b）中数据。可算出重力加速度为_______（取，结果保留3位有效数字），仅考虑该数据处理方法，他得到的重力加速度与真实值相比_______（填“偏大”“偏小”或“相同”）。 【变式3-1】（24-25高二下·广东惠州·阶段检测）某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作： (1)用10分度的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为______ cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长度，通过计算得到摆长L。 (2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点时记一次数，当数到n＝60时读出秒表的示数为，则该单摆的周期T＝__________。 (3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2－L图线如图乙，此图线斜率的物理意义是（　） A．g B． C． D． (4)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表示重力加速度g＝________。 【变式3-2】（25-26高二下·广东广州·期末）某探究小组借助手机的计时器和测角度软件来测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，两根长度均为的细线（不可伸长）系在小球的顶端，构成双线摆。请回答下列问题： (1)如图乙是用游标卡尺测量小球的直径，则小球的直径是__________cm； (2)让双线摆垂直于纸面做小角度摆动。某次摆到最低点时开始计时，并计数为1，第二次摆到最低点时计数为2，当小球第次摆到最低点时停止计时。手机计时器测得的总时间为，则双线摆摆动的周期__________； (3)多次改变细线的两个悬点、间的距离，并用手机测角度软件测出静止时细线与竖直方向的夹角，重复实验多次，得到多组、，作图像，如图丙所示，图像的斜率为，则当地的重力加速度__________（用题中已测物理量的符号表示）；若漏测了小球直径，则用图像处理数据时，得到的值将__________（选填“偏小”、“偏大”或“不变”）。 【题型四】共振曲线与应用模型 【模型解读】读出共振峰附近的驱动频率，结合利用、避振或增加阻尼说明实际措施。 【例4】（24-25高二下·广东肇庆·阶段检测）如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是（　　） A．若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则两次摆长之比为l1：l24：25 B．图线II若是在地球表面上完成的，则该摆摆长约为2m C．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相等，则图线Ⅰ是月球上的单摆共振曲线 D．以上说法都不对 【变式4-1】（25-26高二下·广东广州·期中）一单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力的频率f的关系）如图所示，则（　　） A．此单摆的固有周期为1s B．此单摆的摆长约为1m C．若摆长减小，单摆的固有频率增大 D．若把此单摆移到月球上，则在月球上此单摆的共振曲线的峰值将向右移动 【变式4-2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）某减噪装置结构如图所示，当外界声音通过时引起装置的共振从而吸收声波达到减噪效果。已知其固有频率表达式为（SI制），其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度，k为常数。经测试发现它对频率为200Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200Hz变为300Hz，则（　　） A．该装置振动频率仍为200Hz B．适当增大L，可以获得更好减噪效果 C．适当调小σ，可以获得更好减噪效果 D．该装置的减振效果随着外界声波的频率的增大，减噪效果越好 题目类型 技巧 量到球心 画出长度起止点，再决定是否加半径或扣半径。 统一计数 选同位置同方向作为起止状态，记录的是完整振动次数。 先写坐标 图像题先写纵横轴和单位，再解释斜率对应的公式。 沿式判误差 先判l、t或n偏差，再判断T与g的变化，避免只凭记忆。 分清频率 固有频率看系统，受迫频率看驱动力，共振看二者接近。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $