第一章 丰富的图形世界（期中知识清单）七年级数学上学期新教材北师大版

第一章 丰富的图形世界　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 生活中的立体图形 1.1 棱柱的棱与侧棱 在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱。 示例：六棱柱中，相邻两个面的交线是棱；相邻两个侧面的交线是侧棱。 1.2 棱柱的性质 棱柱的所有侧棱长都相等。棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。 示例：六棱柱的所有侧棱长都相等，上、下底面都是形状相同的六边形，侧面都是平行四边形。 1.3 棱柱的分类 人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形…… 长方体、正方体都是四棱柱。 示例：三棱柱的底面图形是三角形，四棱柱的底面图形是四边形。 1.4 直棱柱与斜棱柱 棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱。直棱柱的侧面是长方形。 注意：本书今后主要讨论直棱柱（简称棱柱）。 示例：直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形（不是长方形）。 1.5 点、线、面 图形是由点、线、面构成的。面与面相交得到线，线与线相交得到点。 示例：长方体中，相邻两个面相交得到线，两条线相交得到点。 1.6 点动成线，线动成面，面动成体 点动成线，线动成面，面动成体。 示例：流星划过在空中留下一条线（点动成线）；汽车雨刮器扫过形成扇面（线动成面）；直角三角形绕一条直角边旋转一周得到圆锥（面动成体）。 2. 从立体图形到平面图形 2.1 圆柱、圆锥的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。 示例：把圆柱的侧面沿一条母线剪开铺平，得到一个长方形；把圆锥的侧面沿一条母线剪开铺平，得到一个扇形。 2.2 截面 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面。 示例：用一个平面去截一个正方体，截出的面（如三角形、正方形）就是这个正方体的截面。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 棱柱的顶点数、棱数、面数 棱柱有 个顶点、 条棱、 个面（其中侧棱 条，上、下底面各有 条棱）。 如：三棱柱有 个顶点、 条棱、 个面；四棱柱有 个顶点、 条棱、 个面。 1.2 棱柱的顶点数、面数、棱数的关系 任何棱柱的顶点数 面数 棱数 。 如：四棱柱 。 1.3 正方体表面展开图的种数 正方体的表面展开图共有 种，常见四类：一四一型（ 种）、二三一型（ 种）、二二二型（ 种）、三三型（ 种）。 1.4 展开图中相对面的判定 正方体展开图中，相对的两个面一定不相邻；在同一条直线上相隔一个正方形的两个面相对，在”Z 形”两端的两个面相对。 如：展开图中隔着一个小正方形的前后两格，折叠后是相对的面。 1.5 圆柱、圆锥侧面展开图的边与底面圆的关系 圆柱侧面展开成长方形，其长等于底面圆的周长，宽等于圆柱的高；圆锥侧面展开成扇形，其弧长等于底面圆的周长。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断平面图形能否折成正方体 先看是否由 个大小相同的正方形组成，再看能否通过折叠使相邻面首尾相接、无重叠；出现”田字格”“凹字格”的图形一定不能折成正方体。 如：含 “田字格”的 个正方形图形不能折成正方体。 2.2 判断截面形状 截面是平面与几何体表面的交线围成的平面图形；判断时想象”刀”切入几何体后与哪些面相交、交线围成什么多边形。 如：沿正方体相邻三个面各取一点切开，截面可能是三角形。 2.3 由三个方向的形状图确定小立方块个数（标数法） 在从上面看到的形状图的每个位置上，根据正面、左面看到的形状图标出该位置小立方块的层数，再求和。 如：从上面看是 的两格、左格标 右格标 ，则共有 个小立方块。 3. 常见解题小技巧 技巧 要点 示例 找相对面 展开图中”隔一个面”或”Z 形两端”的面相对 展开图中与”1”相隔一格的面，折叠后与”1”相对 数棱柱的棱 棱数 侧棱 上底面棱 下底面棱 五棱柱有 条棱 判断能否折成立体 想象沿棱折起，相邻面不重叠、能首尾相接 含”田字格”的图形折起必有面重叠 4. 常见考试模型 4.1 棱柱顶点、棱、面数模型 公式： 棱柱：顶点数 ，棱数 ，面数 （ 为底面多边形的边数）。 限定： 为不小于 的整数。 示例：如求七棱柱的顶点数：（个）。 4.2 展开图折叠模型 公式：正方体相对面的判定——相对两面”相隔一个面”或居”Z 形”两端。 限定：展开图须由 个全等正方形组成且能首尾相接、无重叠。 示例：如标出展开图中与”1”相对的面。 4.3 截面形状模型 公式：截面是由平面与几何体表面的交线围成的多边形；正方体的截面可为三角形、四边形、五边形或六边形。 限定：截面的边数不超过几何体的面数（正方体截面最多为六边形）。 示例：如用一个平面截正方体，截面可能是三角形。 4.4 三视图（形状图）还原模型 公式：从上面看的形状图定位各位置，结合正面、左面看的形状图确定层数，各位置数字相加得小立方块总数。 限定：每个位置至少 个小立方块，数字表示该位置的层数。 示例：如从上面看两格标数 、，则共有 个小立方块。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：棱柱的侧面误认成”长方形”，漏了斜棱柱 典例：判断下列说法是否正确：棱柱的侧面都是长方形。 错解：认为正确。把”直棱柱的侧面是长方形”当成所有棱柱的性质。 正解：不正确。棱柱的侧面都是平行四边形；只有直棱柱的侧面才是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形（不是长方形）。 原因：概念混淆。“棱柱的侧面都是平行四边形”与”直棱柱的侧面是长方形”两条结论并存，学生把直棱柱的特殊性质当成所有棱柱的一般性质，忽略了斜棱柱的存在。虽然本书主要讨论直棱柱（简称棱柱），但判断题中”棱柱”未加”直”字时，应按一般棱柱处理。 易错点 2：圆柱、圆锥的侧面展开图形状混淆 典例：圆锥的侧面展开图是什么形状？ 错解：长方形或三角形。认为圆锥侧面展开是长方形（或三角形）。 正解：扇形。圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。 原因：记忆混淆。圆柱和圆锥的侧面都是曲面，但沿一条母线剪开铺平后形状不同：圆柱侧面展开是长方形，圆锥侧面展开是扇形。学生常把两者张冠李戴，根源是缺乏”曲面沿母线剪开铺平”的直观想象。 易错点 3：“面与面相交得到线”理解片面，把多个侧面当一个面 典例：六棱柱的侧面与底面相交，一共得到几条线？它们是直的还是曲的？ 错解：得到 条线。把 个侧面当成”一个侧面”，认为侧面与底面只相交得一条线。 正解：得到 条线，它们是直的。六棱柱有 个侧面，每个侧面分别与底面相交得一条线，共 条。 原因：概念理解错误。对”面与面相交得到线”中”面”的理解不清——六棱柱的侧面不是”一个面”而是 个侧面，每个侧面与底面各相交得一条线。根源是空间观念不足，把立体图形中”面”与”线”的关系想象片面。 易错点 4：把”棱”等同于”侧棱”， 棱柱棱数算错 典例：七棱柱有多少条棱？ 错解： 条。把”棱”当成”侧棱”，只数出 条侧棱。 正解： 条。七棱柱有侧棱 条，上、下底面各有 条棱，共 条棱。 原因：概念混淆与规律缺失。“棱”包括侧棱和上、下底面的棱，学生常把”棱”等同于”侧棱”，漏掉底面的棱。 棱柱的棱数是 ：侧棱 条，上、下底面各 条，共 条。 易错点 5：由三个方向的形状图判断小立方块个数出错 典例：一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状图是并排的两格，从左面看到的是竖直两格，求这个几何体最少由几个小立方块搭成。 错解： 个。直接把从上面看到的”两格”当成小立方块总数。 正解： 个。从左面看到竖直两格，说明其中一列叠放了 个小立方块；结合从上面看到的两格，两列的小立方块个数分别为 和 ，共 个。 原因：方法不当。学生把”从上面看到的形状图”当成小立方块的实际个数，没有意识到同一位置可能上下叠放多个小立方块。正确方法是结合正面、左面看到的形状图，在从上面看的图中标出每列的层数再求和。 学科网（北京）股份有限公司 $