专题03 整式及其加减（期中知识清单）（必备知识+11题型清单+3易错清单）七年级数学上学期新教材北师大版

专题03 整式及其加减 【清单01】 用含字母的数字表示数——代数式 1.定义：用运算符号将数字或字母连接起来的式子，单个字母或数字也是代数式； 2.书写规则 （1）字母与字母，或数字与字母相乘，通常将乘号写作“·”或者直接省略，但数字必须写在字母的前面，字母按26个字母的顺序从左到右来写； （2）带分数与字母相乘时，要化成假分数；“÷”可以改成分数线； （3）数值为“1”或“”时，通常省略“1”； 【清单02】 单项式 1. 定义：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，它可以是一个数字，也可以是一个字母 2. 单项式的系数与次数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 【特别提示】 ①单项式的系数是带分数，要化作假分数； ②单项式的系数包括前面的符号； ③单项式中不含有加减运算，只含有乘法和数字作为分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式； ④若字母的指数是1，书写时可以省略，但在计算次数时，不能丢掉。 【清单03】 多项式 1.定义：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 2.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 【特别提示】 （1）多项式每一个都要包括它前面的符号；（2）多项式的次数不是所有项的次数和； （3）多项式的项数是指多项式中包含单项式的个数；（4）无论是多项式还是单项式，分母中都不能出现字母。 【清单04】 整式 1.定义：单项式与多项式统称为整式； 2.单项式、多项式和整式的联系 （1）各单项式的最高次数决定整个多项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应全部写出； （3）所有单项式和多项式都是整式，如果一个式子既不是单项式是，也不是多项式，那么它一定不是整式。 【清单05】 同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变. （3）合并同类项步骤： ①准确的找出同类项；②逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；③写出合并后的结果. （4）在掌握合并同类项时注意： ①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. ②不要漏掉不能合并的项. ③只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）. 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项. 【清单06】 去括号及整式的加减 1.去括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 2.整式加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接. （2）按去括号法则去括号. （3）合并同类项. 【题型一】代数式书写方法 例1．青岛冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【详解】解：∵青岛冬季某一天的温差是，这天的最高气温是， ∴最低气温是， 故答案为：． 变式1-1．下列代数式中书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、应该写为，故本选项不符合题意； B、应该写为，故本选项不符合题意； C、应该写为，故本选项不符合题意； D、书写正确，故本选项符合题意； 故选：D． 变式1-2．有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：符合代数式书写要求； 应该写成，不符合代数式书写要求； 米应该写成米，不符合代数式书写要求； 符合代数式书写要求； 故选B． 变式1-3．用代数式表示：“的倍减去的差”是 ． 【答案】 【详解】解：根据：的倍减去的差 ∴ 故答案为：． 【题型二】单项式、多项式的判断 例2．下列代数式：，，，0，，中，单项式有 ． 【答案】，0， 【详解】解：由题意得，单项式有：，0，； 故答案为：，0，． 变式2-1．式子，，，，，，中，多项式有 个． 【答案】 【详解】解：根据题意得，，，是多项式，共个， 故答案为：． 变式2-2．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有 ；（请填写序号） （2）属于多项式的有 ；（请填写序号） （3）属于整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①④ ①③④⑤⑥ 【详解】解：（1）属于单项式的有③；⑤0；⑥n； 故答案为：③⑤⑥； （2）属于多项式的有①；④； 故答案为：①④； （3）属于整式的有①；③；④；⑤0；⑥n． 故答案为：①③④⑤⑥． 变式2-3．将式子：填入相应的横线上． 单项式： ； 多项式： ； 整式： ． 【答案】 【详解】解∶ 单项式：； 多项式：； 整式：． 故答案为∶ ；；． 【题型三】单项式、多项式的系数和次数 例3．下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【答案】C 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．单项式的次数是，系数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．多项式是三次三项式， 此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．在中，整式有，，，，共个， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； 故选：． 变式3-1．下列说法正确的是（　　） A．的项是， B．是单项式 C．5，，都是整式 D．是二次二项式 【答案】C 【详解】解：A、的项是，，故该选项不正确，不符合题意； B、是多项式，故该选项不正确，不符合题意； C、5，，都是整式，故该选项正确，符合题意； D、是三次二项式，故该选项不正确，不符合题意； 故答案为：C 变式3-2．写出一个只含字母，的多项式，需满足以下条件： ①五次四项式；②每一项必须同时含有字母，；③当，互为相反数时，多项式的值为0． 该多项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据题意得出：， 验证多项式： ①此为四项式，最高次项的次数为，是五次四项式； ②每一项均含有字母和； ③当时，原式，故该多项式满足所有条件， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3-3．多项式 是 次 项式． 【答案】 三 三 【详解】解：多项式是三次三项式． 故答案为：三，三 【题型四】多项式系数、指数中字母求值 例4．若多项式不含项，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵多项式不含项， ∴ 得， ∴． 故答案为：． 变式4-1．如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式4-2．多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得， 故选：C． 变式4-3．若多项式是三次三项式，是单项式的系数，求的值. 【答案】 【详解】解：因为是三次三项式， 所以， 解得. 因为是单项式的系数， 所以. 所以. 【题型五】合并同类项 例5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C． 变式5-1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． ，该项计算错误，不符合题意； B． ，该项计算错误，不符合题意； C． ，该项计算正确，符合题意； D． ，该项计算错误，不符合题意． 故选：C． 变式5-2．将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； B、根据添括号的法则可知，，故本选项正确，符合题意； C、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； D、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 变式5-3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 【题型六】已知同类项求指数中字母或代数式的值 例6．若与是同类项，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ． 故答案为：． 变式6-1．若单项式和是同类项，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴， 故答案为：． 变式6-2．若单项式与的和是单项式，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式6-3．若单项式与的差是单项式，则 ． 【答案】13 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 【题型七】整式的加减运算 例7．已知 ，求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式7-1．若A是六次多项式，B也是六次多项式，则一定是（    ） A．六次多项式 B．次数不低于六的整式 C．次数不高于六的整式 D．十二次多项式 【答案】C 【详解】解：若A和B都是6次多项式，则的结果的次数一定是次数不高于6次的整式． 例如：当时， ，即错误； 当时， ，即错误； 故选C． 变式7-2．已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 变式7-3．定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由． 【答案】A与B是“关于1的单位数”．理由见解析 【详解】解：A与B是“关于1的单位数”．理由如下： ， ， ， 所以A与B是“关于1的单位数”． 【题型八】整式的加减中的化简求值 例8．先化简，再求值：，其中，， 【答案】 【详解】解：原式                 当，，时， 原式 ∴ 所求代数式的值为10 变式8-1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】原式 ， 当时，原式． 变式8-2．先化简，再求值：，其中． 【答案】；5 【详解】解： ， 当时，原式． 变式8-3．化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 【答案】(1)，2； (2)，． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 【题型九】整式加减中的无关型问题 例9．七一班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关，请你求出的值． 【答案】 【详解】解：原式， 由题意可知，, 解得, ∴. 变式9-1．已知，，若的值与x无关．则y的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x的值无关， ∴ 解得：． 故选：D． 变式9-2．有一道题“先化简，再求值， 其中 ，”，小玲做题时错把“” 抄成了“”，但她的计算结果仍是正确的，请你解释这是怎么回事？ 【答案】见详解 【详解】解：原式， 即式子结果与取值无关， 故小玲做题时错把“” 抄成了“”，但她的计算结果仍是正确的． 变式9-3．有这样一道题：“先化简，再求值：，其中”，甲同学做题时把错抄成了，乙同学没抄错，但他们做出来的结果却一样，你能说明这是为什么吗？并求出这个结果． 【答案】能，13 【详解】解：因为 ， 所以该整式的值与x的取值无关，即无论x取何值，该整式的值都为13． 【题型十】整式的加减运算与应用 例10．小平故居是全国青少年教育基地，每年广安市内各中小学学生到该基地开展青少年爱国主义教育研学活动．已知该基地今年4月份接待学生人，5月份接待的学生数比4月份接待的学生人数增加了人，6月份接待的学生数比5月份接待的学生数减少了人． (1)用式子表示该基地今年6月份接待的学生数； (2)若，求4月到6月该基地共接待学生人数． 【答案】(1) (2)人 【详解】（1）解：6月接待的学生人数为： ； （2）解：4月学生人数为人，5月学生人数为人，6月学生人数为人， 故4月到6月共接待学生的总数为： ， ， ， 将，代入上式得： ． 答：4月到6月该基地共接待学生3120人． 变式10-1．已知某船顺水航行用了2小时，逆水航行用了3小时，轮船在静水中的速度是m千米/时，水流的速度是a千米/时，则轮船共航行了 千米．（填化简后的结果） 【答案】 【详解】解：∵船从A码头到B码头顺水航行用了2小时，从B码头到A码头逆水航行用了3小时，轮船在静水中的速度是m千米/时，水流的速度是a千米/时， ∴轮船共航行了(千米)， 故答案为：． 变式10-2．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，则通常这个两位数可表示为，于是．类似的方法也可以表示三位数或四位数，则一定是 的倍数． 【答案】 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， 则一定是的倍数， 故答案为： 变式10-3．学校计划将门口如图①所示的花坛进行改造，于是向同学们征集设计方案，要求的长度为．已知原设计是一个以为直径的半圆，如图②．小明画的设计图如图③所示，由三个分别以为直径的半圆组成（取3）． (1)若要用围栏将花坛围起来（边不需要用围栏），则图③中的以为直径的半圆花坛分别需要围栏________，________，________．（用含的式子表示） (2)已知改造围栏的费用为10元／米，则图②和图③两种方案的花费分别是多少元？ 【答案】(1)，， (2)两种方案在围栏上的花费相同，都是元 【详解】（1）解：以为直径的半圆花坛需要围栏：； 以为直径的半圆花坛需要围栏：； 以为直径的半圆花坛需要围栏：； （2）由题意，得题图②中的花坛需要围栏， 所需费用为（元）； 题图③中的花坛需要围栏， 所需费用为（元）． 故两种方案在围栏上的花费相同，都是元． 【题型十一】与图形有关的规律探究问题 例11．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形如此下去，则第8个图中共有正方形的个数为（    ） A．16 B．19 C．22 D．25 【答案】C 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中正方形的总个数为：； 第②个图形中正方形的总个数为：； 第③个图形中正方形的总个数为：； 第④个图形中正方形的总个数为：； ， 依次类推，第个图形中正方形的总个数为个， ∴图⑧中共有个正方形． 故选：C． 变式11-1．观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第8个图中共有点的个数是（    ）． A．109 B．85 C．72 D．66 【答案】A 【详解】解：由题意知，第1个图中共有 点， 第2个图中共有点， 第3个图中共有点， …， ∴可推导一般性规律为：第个图中共有点的个数为点， ∴第8个图中共有点的个数为个点， 故选：A. 变式11-2．如图所示，在由火柴棒拼出的图形中，每个图形都是由正六边形组成的，第n个图形由n个正六边形做成，则第n个图形中火柴棒有（    ）根． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第1个图形中，火柴棒的根数是6根； 第2个图形中，火柴棒的根数是根； 第3个图形中，火柴棒的根数是根； …… 则第n个图形中，火柴棒的根数是根． 故选：B 变式11-3．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 【答案】(1)24 (2)最小用型号16 【详解】（1）解：型号1：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号2：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号3：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， ∴型号4可以坐：(人)． （2）由题意得，， 整理得，， 解得， ∵n为整数， ∴最小用型号16． 【题型十二】与数字有关的规律探究问题 例12．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第 个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】观察这组数，可得第个数为负，分子为，分母为， 第个数是． 故选C． 变式12-1．根据规律求值． ，，，…… 则 ． (1)求值：； (2)求值：； (3)求值：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2） （3） ． 变式12-2．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， 通过结果发现，三个数一个循环， 2023被3除，结果为，被3除余1， 因此． 故答案为：． 变式12-3．探索规律： (1)计算： ① ② ③ (2)根据以上计算结果，猜想 (3)若n为正整数，求的值 (4)利用上述规律计算： 【答案】(1)① ；② ；③ (2) (3) (4) 【详解】（1）① ② ③ （2） （3） （4） 【题型一】代数式书写规范判断 易错点：忽略“数字在前、带分数化假分数、除法写成分数线”等规则 例1．下列代数式的书写格式规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、带分数要化成假分数，该选项代数式的书写格式不规范，不合题意； 、乘号可以省略不写，除号要写成分数线形式，该选项代数式的书写格式不规范，不合题意； 、数字写在字母的前面，该选项代数式的书写格式不规范，不合题意； 、代数式的书写格式规范，该选项符合题意； 故选：． 变式1-1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、带分数要化成假分数，代数式书写不规范，不合题意； 、代数式书写规范，符合题意； 、除法应该写成分数的形式，代数式书写不规范，不合题意； 、数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，代数式书写不规范，不合题意； 故选：． 变式1-2．下列各式中，符合代数式书写规则的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不符合代数式书写规范，应写为，选项说法错误，不符合题意； B、不符合代数式书写规范，应写为，选项说法错误，不符合题意； C、符合代数式书写规范，选项说法正确，符合题意； D、不符合代数式书写规范，应写为，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 变式1-3．下面各式中，符合书写要求的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、应该是，故本选项不符合题意； B、应该是，故本选项不符合题意； C、应该是，故本选项不符合题意； D、，书写正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【题型二】多项式系数、指数中字母求值 易错点：混淆多项式次数与项数定义，忽略系数符号 例2．关于的多项式是五次二项式，则的倒数等于（   ） A． B． C． D．64 【答案】A 【详解】解：关于的多项式是五次二项式， ∴，且， 解得，， ∴， ∴的倒数等于． 故选：A． 变式2-1．关于、的多项式是四次二项式，则 ． 【答案】或 【详解】解：由题意，得当，时，，原多项式为； 当时，，原多项式为， 综上所述，m的值为2或， 故答案为：2或． 变式2-2．若为关于的三次二项式，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵为关于的三次二项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式2-3．关于、的多项式是四次二项式，则 ． 【答案】2或 【详解】由题意，得： 当，时， 解得，原多项式为，此时该多项式是四次二项式； 当时，即，原多项式为，此时该多项式是四次二项式； 综上所述，的值为2或． 故答案为：2或． 【题型三】已知同类项求指数中字母的值 易错点：漏看同类项“相同字母指数相同”的全面要求，忽略多解情况 例3．如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】 【详解】解：由与是同类项，得 ， 解得， ， 故答案为：． 变式3-1．若与的和仍是单项式，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 变式3-2．已知单项式与可以合并成一项，则 ． 【答案】 【详解】解：依题意，单项式与是同类项， ∴ ∴， 故答案为：． 变式3-3．若单项式与的和为0，则 ． 【答案】4 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式及其加减 【清单01】 用含字母的数字表示数——代数式 1.定义：用________将数字或字母连接起来的式子，单个字母或数字也是代数式； 2.书写规则 （1）字母与字母，或数字与字母相乘，通常将乘号写作“________”或者直接省略，但________必须写在字母的前面，字母按26个字母的顺序从左到右来写； （2）带分数与字母相乘时，要化成________；“÷”可以改成分数线； （3）数值为“1”或“________”时，通常省略“1”； 【清单02】 单项式 1. 定义：由数字或字母的________组成的代数式叫做单项式，它可以是一个数字，也可以是一个字母 2. 单项式的系数与次数 单项式中的________叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的________和叫做这个单项式的次数 【特别提示】 ①单项式的系数是带分数，要化作________； ②单项式的系数包括前面的________； ③单项式中不含有加减运算，只含有乘法和数字作为分母的除法运算，分母中有________的不是单项式； ④若字母的指数是1，书写时可以省略，但在计算次数时，不能丢掉。 【清单03】 多项式 1.定义：几个________的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的________，不含字母的项叫做________； 2.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 【特别提示】 （1）多项式每一个都要包括它前面的________；（2）多项式的次数不是所有项的次数________； （3）多项式的项数是指多项式中包含单项式的________；（4）无论是多项式还是单项式，分母中都不能出现________。 【清单04】 整式 1.定义：________与________统称为整式； 2.单项式、多项式和整式的联系 （1）各单项式的________决定整个多项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应全部写出； （3）所有单项式和多项式都是整式，如果一个式子既不是单项式是，也不是多项式，那么它一定________整式。 【清单05】 同类项 1.定义：所含________相同，并且相同字母的________也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成________叫做合并同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的________相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数________. （3）合并同类项步骤： ①准确的找出同类项；②逆用________，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；③写出合并后的结果. （4）在掌握合并同类项时注意： ①如果两个同类项的系数互为________，合并同类项后，结果为0. ②不要漏掉不能合并的________. ③只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）. 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项. 【清单06】 去括号及整式的加减 1.去括号 （1）如果括号外的因数是________，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号________ ； （2）如果括号外的因数是________，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号________. 2.整式加减的一般步骤： （1）列出代数式：用________把每个整式括起来，再用加减号连接. （2）按去括号法则去括号. （3）合并________. 【题型一】代数式书写方法 例1．青岛冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是 ．（用含的式子表示） 变式1-1．下列代数式中书写规范的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-3．用代数式表示：“的倍减去的差”是 ． 【题型二】单项式、多项式的判断 例2．下列代数式：，，，0，，中，单项式有 ． 变式2-1．式子，，，，，，中，多项式有 个． 变式2-2．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有 ；（请填写序号） （2）属于多项式的有 ；（请填写序号） （3）属于整式的有 ．（请填写序号） 变式2-3．将式子：填入相应的横线上． 单项式： ； 多项式： ； 整式： ． 【题型三】单项式、多项式的系数和次数 例3．下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 变式3-1．下列说法正确的是（　　） A．的项是， B．是单项式 C．5，，都是整式 D．是二次二项式 变式3-2．写出一个只含字母，的多项式，需满足以下条件： ①五次四项式；②每一项必须同时含有字母，；③当，互为相反数时，多项式的值为0． 该多项式可以是 ． 变式3-3．多项式 是 次 项式． 【题型四】多项式系数、指数中字母求值 例4．若多项式不含项，则的值为 ． 变式4-1．如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 变式4-2．多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 变式4-3．若多项式是三次三项式，是单项式的系数，求的值. 【题型五】合并同类项 例5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 变式5-1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．化简： (1) (2) 【题型六】已知同类项求指数中字母或代数式的值 例6．若与是同类项，则 ． 变式6-1．若单项式和是同类项，则的值为 ． 变式6-2．若单项式与的和是单项式，则的值是 ． 变式6-3．若单项式与的差是单项式，则 ． 【题型七】整式的加减运算 例7．已知 ，求： (1) (2) 变式7-1．若A是六次多项式，B也是六次多项式，则一定是（    ） A．六次多项式 B．次数不低于六的整式 C．次数不高于六的整式 D．十二次多项式 变式7-2．已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（   ） A．0 B． C． D． 变式7-3．定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由． 【题型八】整式的加减中的化简求值 例8．先化简，再求值：，其中，， 变式8-1．先化简，再求值：，其中． 变式8-2．先化简，再求值：，其中． 变式8-3．化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 【题型九】整式加减中的无关型问题 例9．七一班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关，请你求出的值． 变式9-1．已知，，若的值与x无关．则y的值为（　　） A． B． C． D． 变式9-2．有一道题“先化简，再求值， 其中 ，”，小玲做题时错把“” 抄成了“”，但她的计算结果仍是正确的，请你解释这是怎么回事？ 变式9-3．有这样一道题：“先化简，再求值：，其中”，甲同学做题时把错抄成了，乙同学没抄错，但他们做出来的结果却一样，你能说明这是为什么吗？并求出这个结果． 【题型十】整式的加减运算与应用 例10．小平故居是全国青少年教育基地，每年广安市内各中小学学生到该基地开展青少年爱国主义教育研学活动．已知该基地今年4月份接待学生人，5月份接待的学生数比4月份接待的学生人数增加了人，6月份接待的学生数比5月份接待的学生数减少了人． (1)用式子表示该基地今年6月份接待的学生数； (2)若，求4月到6月该基地共接待学生人数． 变式10-1．已知某船顺水航行用了2小时，逆水航行用了3小时，轮船在静水中的速度是m千米/时，水流的速度是a千米/时，则轮船共航行了 千米．（填化简后的结果） 变式10-2．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，则通常这个两位数可表示为，于是．类似的方法也可以表示三位数或四位数，则一定是 的倍数． 变式10-3．学校计划将门口如图①所示的花坛进行改造，于是向同学们征集设计方案，要求的长度为．已知原设计是一个以为直径的半圆，如图②．小明画的设计图如图③所示，由三个分别以为直径的半圆组成（取3）． (1)若要用围栏将花坛围起来（边不需要用围栏），则图③中的以为直径的半圆花坛分别需要围栏________，________，________．（用含的式子表示） (2)已知改造围栏的费用为10元／米，则图②和图③两种方案的花费分别是多少元？ 【题型十一】与图形有关的规律探究问题 例11．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形如此下去，则第8个图中共有正方形的个数为（    ） A．16 B．19 C．22 D．25 变式11-1．观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第8个图中共有点的个数是（    ）． A．109 B．85 C．72 D．66 变式11-2．如图所示，在由火柴棒拼出的图形中，每个图形都是由正六边形组成的，第n个图形由n个正六边形做成，则第n个图形中火柴棒有（    ）根． A． B． C． D． 变式11-3．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 【题型十二】与数字有关的规律探究问题 例12．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第 个数是（  ） A． B． C． D． 变式12-1．根据规律求值． ，，，…… 则 ． (1)求值：； (2)求值：； (3)求值：． 变式12-2．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 变式12-3．探索规律： (1)计算： ① ② ③ (2)根据以上计算结果，猜想 (3)若n为正整数，求的值 (4)利用上述规律计算： 【题型一】代数式书写规范判断 易错点：忽略“数字在前、带分数化假分数、除法写成分数线”等规则 例1．下列代数式的书写格式规范的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．下列各式中，符合代数式书写规则的是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．下面各式中，符合书写要求的是（ ） A． B． C． D． 【题型二】多项式系数、指数中字母求值 易错点：混淆多项式次数与项数定义，忽略系数符号 例2．关于的多项式是五次二项式，则的倒数等于（   ） A． B． C． D．64 变式2-1．关于、的多项式是四次二项式，则 ． 变式2-2．若为关于的三次二项式，则的值为 ． 变式2-3．关于、的多项式是四次二项式，则 ． 【题型三】已知同类项求指数中字母的值 易错点：漏看同类项“相同字母指数相同”的全面要求，忽略多解情况 例3．如果单项式与是同类项，那么 ． 变式3-1．若与的和仍是单项式，则 ． 变式3-2．已知单项式与可以合并成一项，则 ． 变式3-3．若单项式与的和为0，则 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $