第三章 整式及其加减（期中知识清单）七年级数学上学期新教材北师大版

第三章 整式及其加减　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 代数式 1.1 代数式 像 ，，，，，，， 等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，这样的式子叫作代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 示例：，，，， 都是代数式； 不是代数式（含不等号）。 1.2 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 示例：把 ， 代入代数式 ，得 。 1.3 单项式 像 ，，， 等，它们都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 示例：，，，， 都是单项式； 不是单项式（分母含字母）。 1.4 多项式 几个单项式的和叫作多项式，如 ，， 等都是多项式。 示例：， 都是多项式。 1.5 整式 单项式和多项式统称整式。 示例：， 都是整式； 不是整式。 1.6 单项式的系数与次数 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，如 的系数是 ， 的系数是 。所有字母的指数和叫作这个单项式的次数，如 是 次的， 是 次的。 示例： 的系数是 ，次数是 ； 的系数是 ，次数是 。 注意：作为单项式，单独一个非零数的次数是 0。 1.7 多项式的项与次数 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，如多项式 是 与 两项的和。一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。如 是 次的， 是 次的。 示例：多项式 共有三项，分别是 ，，；次数是 。 2. 整式的加减 2.1 同类项 像 与 ， 与 ， 与 这样所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。 示例： 与 是同类项； 与 不是同类项（字母 的指数不同）。 2.2 合并同类项 把同类项合并成一项叫作合并同类项。例如，，，。 示例：。 2.3 合并同类项的法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 示例：。 2.4 去括号法则 括号前是”“，把括号和它前面的”“去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是”“，把括号和它前面的”“去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 示例：；。 2.5 整式加减运算的法则 进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同类项判断”两同两无关” 判断同类项看”两同”：所含字母相同、相同字母的指数也相同；与”两无关”：与系数大小无关、与字母排列顺序无关。如 与 是同类项（字母顺序不同仍同类）， 与 不是。 1.2 单项式系数、次数的确定要点 系数是单项式中的数字因数，含符号； 是数字不是字母， 的系数是 。次数只统计字母的指数和，与系数无关；单独一个字母的次数是 ，如 的次数是 。 1.3 合并同类项后多项式的次数可能降低 多项式的次数取次数最高的项的次数；合并同类项后若最高次项相消，须重新判断次数。如 ，是 次。 【使用提醒】判断多项式次数须在合并同类项之后，不能直接沿用合并前的次数。 1.4 添括号的符号规律 添括号是去括号的逆过程：若括号前是负号，添上括号后括号内各项都要变号。如 ，。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 列代数式 先审清题意、找出数量关系，再设字母表示未知量，最后用运算符号把数和字母连接起来；抓”和、差、积、商、倍、分、多、少、增长、降低”等关键词。如”比 的 倍多 “列作 。 2.2 求代数式的值 把字母的具体数值代入代数式，按运算顺序求值；能先化简（去括号、合并同类项）时，先化简再代入更简便。如 时，。 2.3 整式化简的规范步骤 先按乘法分配律去括号（括号前是负号逐项变号），再找同类项合并（系数相加、字母和字母的指数不变），最后可按降幂排列。如 。 2.4 整体代入法求值 当所求式子是某个代数式的倍数或组合时，先求出该整体的值再整体代入，避免逐一求各字母。如已知 ，则 。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 找同类项先”圈”再”并” 用不同标记圈出同类项再合并，防止漏项、重复 ：先圈 与 ，得 识别省略的系数 的系数是 ， 的系数是 ，合并时别漏掉 化简结果降幂排列 合并后把次数高的项排前面，便于核对项数 整理为 4. 常见考试模型 4.1 列代数式（用字母表示数量关系） 公式：抓关键词转化为运算：设十位数字为 、个位数字为 ，两位数为 ；增长 后为 ；长为 、宽为 的长方形面积为 、周长为 。 限定：两位数的十位数字、多位数的首位数字不能为 。 示例：如产量由 增长 后达到 。 4.2 规律探索（图形、数字规律） 公式：从简单情形入手归纳，用 表示序号，写出第 个图形或数的代数式。 限定： 为正整数，从 开始（表示第 个）。 示例：如用小棒拼正方形，第 个图形需 根小棒。 【使用提醒】得出代数式后，代 回验，看是否与已知数据一致。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断单项式次数时，把系数也算了进去 典例：单项式 的次数是（　　） A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 5 错解：选 C。把系数 也当作一次计入，得 。 正解：选 B。次数只看字母的指数和， 的指数是 ， 的指数是 ，所以次数 ，与系数无关。 原因：概念理解错误。单项式的次数是”所有字母的指数和”，只统计字母的指数，与系数（数字因数）无关。学生把数字因数也当成了一个”次数为 1”的项，导致多算。记忆要点：“次数数字母、不数系数”。 易错点 2：判断同类项时，忽略”相同字母的指数也要相同” 典例：下列与 是同类项的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 错解：选 A 或 D。看到都含字母 、 就认为是同类项。 正解：选 B。 与 所含字母相同，且相同字母的指数也相同（ 的指数都是 ， 的指数都是 ）。 原因：理解片面。同类项要同时满足”两同”：字母相同、相同字母的指数也相同。学生只记”字母相同”这一条，忽略了”指数也相同”，把 与 （ 的指数不同）误判为同类项。 易错点 3：合并同类项时，把字母的指数也相加 典例：合并同类项：。 错解：。 正解：。 原因：法则记错。合并同类项的法则是”系数相加、字母和字母的指数不变”，学生误把”系数相加”记成”指数相加”，得到 。 表示 ，而 是两个 相加，结果应为 。 易错点 4：去括号时，括号前是负号只改变第一项的符号 典例：化简：。 错解：。 正解：。 原因：符号处理失误。括号前是”“，去掉括号后括号内各项的符号都要改变， 应变 。学生只给第一项 前加了负号，漏掉了 的变号。纠正方法：把括号前负号理解为乘 ，即 。 易错点 5：求代数式的值时，代入负数漏加括号 典例：当 时，求 的值。 错解：。 正解：。 原因：漏加括号。把 代入 时要整体代入为 ，不能写成 （ 表示 的平方的相反数，结果为 ）。负数代入乘方时，负号必须随底数一起进括号。 易错点 6：多项式的次数判断错误，把各项次数相加 典例：多项式 的次数是（　　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 5 错解：选 C 或 D。把三项的次数相加：（或把项数、系数混入计算）。 正解：选 B。多项式的次数是”次数最高的项”的次数， 是次数最高的项，次数为 。 原因：概念混淆。多项式次数取各单项式次数中的最高值，不是把各项次数相加，也不是项数。学生把”求次数”误当成”求所有次数之和”。记忆要点：“多项式的次数看最高次项”。 学科网（北京）股份有限公司 $