25.2.1 第1课时 直接开平方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九年级上册 25.2.1 第1课时 直接开平方法 专项练习（约1400字） ## 一、知识梳理 直接开平方法是解一元二次方程最基础的方法，核心依据是**平方根的定义**：如果 \(x^2=p\ (p\ge0)\)，那么 \(x=\pm\sqrt{p}\)。 1. 基本形式 ① \(x^2=p\) - 当 \(p>0\)，方程有两个不相等实数根：\(x_1=\sqrt{p},\ x_2=-\sqrt{p}\) - 当 \(p=0\)，方程有两个相等实数根：\(x_1=x_2=0\) - 当 \(p<0\)，负数没有平方根，方程**无实数根** ② 拓展形式：\((mx+n)^2=p\ (p\ge0)\) 把 \(mx+n\) 看作整体，直接开平方，得： \(mx+n=\pm\sqrt{p}\)，再解一次方程求出未知数\(x\)。 > 易错提醒： > 1. 开平方一定不要漏掉**正负号**，很多同学只写正根； > 2. 只有等号左边是完全平方式，右边是非负数，才能使用直接开平方法； > 3. 若右边是负数，直接判定没有实数根，不用继续计算。 ## 二、基础专项练习 ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 方程 \(x^2=16\) 的根是（） A. \(x=4\)　B. \(x=-4\)　C. \(x=\pm4\)　D. 无实数根 2. 用直接开平方法解方程 \((x-2)^2=9\)，正确结果是（） A. \(x-2=3\)，\(x=5\) B. \(x-2=\pm3\)，\(x_1=5，x_2=-1\) C. \(x-2=-3\)，\(x=-1\) D. \(x_1=11，x_2=-7\) 3. 方程 \((2x+1)^2=-4\) 的解的情况是（） A. 两个相等实根 B. 两个不等实根 C. 无实数根 D. 一个实数根 4. 若方程 \((x+a)^2=25\) 的一根是\(x=2\)，则\(a\)的值为（） A. 3 B. -7 C. 3或-7 D. 7或-3 5. 方程 \(3x^2-27=0\) 用直接开平方法求解，第一步变形正确的是（） A. \(3x^2=27\)，\(x^2=9\) B. \(3x^2=27，x=3\) C. \((3x)^2=27\) D. \(x^2=27\) ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 方程 \(x^2=0.25\) 的根是________。 2. 方程 \((x+1)^2=0\) 的根为________。 3. 解方程 \(4(x-3)^2=16\)，先化简得 \((x-3)^2=\)____，再开方求解。 4. 若 \((x-5)^2=m\) 能用直接开平方法解且有两个不等实数根，则\(m\)的取值范围是________。 5. 方程 \((3x-2)^2=4\)，开平方可得 \(3x-2=\)________。 ### （三）解答题（共60分） 1.（16分）用直接开平方法解下列方程 (1) \(x^2-5=0\)　　　(2) \(2x^2=18\) 2.（20分）用直接开平方法解方程 (1) \((x+3)^2=16\)　(2) \((2x-1)^2=25\) 3.（24分）用直接开平方法解方程 (1) \(3(x-1)^2-27=0\)　(2) \(4(2x+3)^2-1=0\) ## 三、参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：\(x^2=16\)，\(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\)，注意正负两个根。 2. B 解析：把\(x-2\)看作整体，\(x-2=\pm3\)；当\(x-2=3,x=5\)；\(x-2=-3,x=-1\)。 3. C 解析：平方结果不可能是负数，\(-4<0\)，方程无实数根。 4. C 解析：代入\(x=2\)，\((2+a)^2=25\)，\(2+a=\pm5\)。\(2+a=5,a=3\)；\(2+a=-5,a=-7\)。 5. A 解析：移项\(3x^2=27\)，两边同除以3，得到\(x^2=9\)，再开平方。 ### 填空题 1. \(x_1=0.5，x_2=-0.5\) 2. \(x_1=x_2=-1\) 3. \(4\) 4. \(m>0\) 5. \(\pm2\) ### 解答题 1. (1) \(x^2=5\)，\(\boldsymbol{x_1=\sqrt{5},\ x_2=-\sqrt{5}}\) (2) \(x^2=9\)，\(\boldsymbol{x_1=3,\ x_2=-3}\) 2. (1) \(x+3=\pm4\) \(x+3=4,x=1\)；\(x+3=-4,x=-7\)，\(\boldsymbol{x_1=1,x_2=-7}\) (2) \(2x-1=\pm5\) \(2x-1=5，2x=6，x=3\)；\(2x-1=-5，2x=-4，x=-2\) \(\boldsymbol{x_1=3，x_2=-2}\) 3. (1) \(3(x-1)^2=27\)，\((x-1)^2=9\) \(x-1=\pm3\)，\(x_1=4，x_2=-2\) (2) \(4(2x+3)^2=1\)，\((2x+3)^2=\dfrac14\) \(2x+3=\pm\dfrac12\) \(2x+3=\dfrac12，2x=-\dfrac52，x=-\dfrac54\) \(2x+3=-\dfrac12，2x=-\dfrac72，x=-\dfrac74\) \(\boldsymbol{x_1=-\dfrac54，x_2=-\dfrac74}\) ## 四、练习小结 直接开平方法的本质是**整体思想**，解题思路分为三步：移项整理，使等式左边为完全平方式，右边单独为常数；判断常数正负，负数直接判定无实根；非负数两边同时开平方，带上正负号，转化为一元一次方程求解。 本节课最容易丢分的地方就是漏掉正负号，只算出一个根；其次不会先化简，看到系数就直接开方。我们要记住，必须把完全平方式单独放在等号一侧，再开平方。这一节是配方法的基础，熟练掌握直接开平方法，才能学好后面配方法解一元二次方程，同时也为二次函数的学习打下基础。（全文1396字） 要不要我把这份练习**单独拆成学生版（不带答案）**，方便直接打印做题？ 人教版数学（新教材）九年级上册 25.2.1 第1课时 直接开平方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/9 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程. 能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. 体会“降次”的数学思想. 问题1 什么是平方根？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 问题2 如果 x2=9，那么 x 等于多少？ 因为32=9，(-3)2=9，所以x=3或-3. 探究新知 3 与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式.与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程. 本节我们研究如何通过“降次”解一元二次方程. 探究新知 问题 下面这个一元二次方程怎么解？ x2=4. 解：根据平方根的意义，得 x=±2. 即 x1​=2，x2​=−2. 探究新知 一般地，对于方程 x2=p, (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​； (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0； (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 探究新知 知识点1 解形如 的一元二次方程 1.一元二次方程 的根是( ) D A. B. C. D.或 返回 举一反三 7 2.一元二次方程 的根是( ) C A. B.， C.， D. 返回 举一反三 8 3.已知关于的方程 . （1）当 ___0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 ___0时，方程有两个相等的实数根； （3）当 ___0时，方程无实数根. 4.若一元二次方程的根分别是，，且，则 的值为 ______. 返回 举一反三 9 探究 对照上面解方程 x2=4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5? (x+3) 2=5， ① 得 x+3=， ② 即 x+3=，或x+3=. 于是，方程(x+3) 2=5的两个根为 x1=-3+，x2=-3-. 由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 探究新知 解下列方程： (1) 4x2−3=0； 例1 解：(1) 移项，并将二次项系数化为 1，得 x2=. 由此可得 x=±, 即 x1​=，x2​=﹣. 探究新知 解下列方程： (2) (x+2)2−9=0. 例1 解：(2) 移项，得 (x+2)2=9. 由此可得 x+2=±3, x+2=3，或x+2=﹣3， 即 x1​=1，x2​=﹣5. 探究新知 解下列方程： (1)3x2-15=0； (2)(3x-6)2=0； 跟踪训练 解：(1)移项，得3x2=15. 二次项系数化为1，得x2=5. 开平方，得x=±5， 即x1=，x2=-. (2)整理，得(3x-6)2=0. 开平方，得3x-6=0. 所以x1=x2=2. 探究新知 解下列方程： ((3)2(3y+2)2-32=0； (4)25x2+10=1. 跟踪训练 解：(3)移项，得2(3y+2)2=32. 整理，得(3y+2)2=16. 开平方，得3y+2=±4， 即3y+2=4,或3y+2=-4， 所以y1=，y2=-2. (4)移项，得25x2=-9. 二次项系数化为1， 得x2=﹣ <0, 所以方程无实数根. 探究新知 5.［教材例 变式］用直接开平方法解下列方程： （1） ; 解：二次项系数化为1，得 ， 两边直接开平方，得， . （2） ； 解：移项、合并同类项，得 ， 即 ， 两边直接开平方，得， . 举一反三 15 （3） ； 解：移项、合并同类项，得 ， 即 ，两边直接开平方， 得， . （4） . 解：方程可化为，即 . 两边直接开平方，得， . 返回 举一反三 16 知识点2 解形如 的一元二次方程 6.一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，其中一个 一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 17 7.若关于的方程可以用直接开平方法求解，则 的取 值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 8.用直接开平方法解一元二次方程 的步骤如下： ，， . 其中开始出现错误的步骤是____.（填序号） ② 返回 举一反三 19 9. 若关于的一元二次方程 有两个不相等 的实数根，则 的值可以为_________________（写出一个即可）. 5（答案不唯一） 返回 举一反三 20 10.［教材例 变式］解下列方程： （1） ； 解：移项，得 ， 两边直接开平方，得 ， 解得， . 举一反三 21 （2） ； 解：移项，得 ， 即 . 两边直接开平方， 得或 ， 解得， . 举一反三 22 （3） . 解：两边直接开平方，得或，解得 ， . 返回 举一反三 23 11.若关于的方程的一个根是2，则 的值为( ) D A. B. C.或 D.或 返回 举一反三 24 12.[杭州西湖区期中] 若一元二次方程 的两根分别是 与 ，则这两根分别是( ) C A.1，4 B.1， C.2， D.3，0 返回 举一反三 25 13.已知某三角形的两边长分别是5和6，第三边的长是方程 的根，则此三角形的周长为( ) C A.18 B.12 C.16 D.12或16 返回 举一反三 26 14. 已知，则 ____. 返回 举一反三 27 15.解下列方程： （1） ； 解：整理，得 ， 两边直接开平方，得或，解得 ， . 举一反三 28 （2） ； 解：移项、合并同类项，得，即 ， 两边直接开平方，得 ， 解得， . （3） . 解：两边直接开平方，得 ， 或 ， 解得， . 返回 举一反三 29 直接开平方法 解一元二次方程 x2=p (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​. (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0. (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $