第四章 根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值讲义 根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值讲义 考点目录 根式的化简求值 分数指数幂与根式的互化 指数幂的化简 考点一 根式的化简求值 【知识点解析】 核心知识点 1. 根式的基本概念 一般地，若（且），则叫做的次方根，式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数。 · 奇次方根：正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，任意实数都有唯一的奇次方根； · 偶次方根：正数的偶次方根有两个，互为相反数，记为；负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。 2. 根式的两大核心性质 · 性质1（先开方再乘方）： 说明：奇次根式中；偶次根式中，否则无意义。 · 性质2（先乘方再开方）： 这是根式化简的第一易错点，偶次根式开方结果必为非负数，需加绝对值再去绝对值化简。 3. 最简根式的标准 化简最终结果必须满足最简根式要求： 1. 被开方数不含分母； 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 1. 根指数与被开方数的指数互质（不可约分）。 4. 常用化简技巧 · 因式分解开方：将被开方数因式分解，把能开得尽方的因式开到根号外； · 分母有理化：去掉分母中的根号，分子分母同乘分母的有理化因式（如的有理化因式是，的有理化因式是）； · 同类根式合并：根指数和被开方数都相同的根式叫同类根式，可像合并同类项一样合并。 解题步骤 1. 识别根指数的奇偶性，偶次根式先保证被开方数非负； 1. 对被开方数因式分解，将开得尽方的部分移出根号； 1. 去分母中的根号，进行分母有理化； 1. 合并同类根式，得到最简结果；求值题代入数值计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）计算：（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，化简：______． 例4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）求值：__________. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）化简下列各式． （1）＝______； （2）＝______. 变式4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）______ 考点二 分数指数幂与根式的互化 【知识点解析】 核心知识点 1. 分数指数幂的定义 正数的正分数指数幂：（，，） · 记忆口诀：根指数做分母，幂指数做分子。 正数的负分数指数幂：（，，） 2. 互化规则 · 根式化分数指数幂：根指数对应分数的分母，被开方数的指数对应分数的分子； · 分数指数幂化根式：分母做根指数，分子做被开方数的指数。 · 示例：，，。 3. 重要规定 · 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义； · 负数的偶次分数指数幂无意义，因此分数指数幂的底数默认大于0； · 底数为正数时，分数指数幂的分子分母可约分，如；底数为负时不可随意约分。 解题思路 1. 确认底数的符号，负数的偶次分数指数幂直接判定无意义； 1. 按“根指对分母，幂指对分子”的对应关系进行互化； 1. 负指数先转化为正指数的倒数，再进行形式转换。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 例2．（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）设，用有理数指数幂的形式表示：________． 例4．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，，化简：______． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）化简：___________. 变式4．（25-26高一上·江苏泰州·期中）化简__________. 考点三 指数幂的化简 【知识点解析】 核心知识点 1. 有理数指数幂的运算性质 设，，，运算性质可推广到实数指数幂： 1. 同底数幂相乘： 1. 同底数幂相除： 1. 幂的乘方： 1. 积的乘方： 1. 商的乘方： 2. 化简的核心原则 最终结果必须满足： 1. 不含负指数幂（负指数化为正指数的倒数）； 1. 底数为最简形式，不含带分数、小数； 1. 结果保留指数幂形式或根式形式，统一形式，不混合出现。 3. 常用化简技巧 · 负指数化正：将所有负指数幂转化为正指数幂的倒数； · 小数化分数：底数为小数化为分数，指数为小数化为分数，便于运用公式； · 底数统一：将不同底数的幂化为同底数幂（如，，），再合并指数； · 整体代换：已知这类对称式的值，求高次式时，利用平方、立方公式整体代入，无需单独求。 解题步骤 1. 统一形式：将所有根式化为分数指数幂，小数化为分数，负指数化为正指数； 1. 统一底数：将所有幂的底数化为最简底数； 1. 按律运算：利用指数幂的运算性质，合并同类项、计算乘除乘方； 1. 整理结果：化为最简形式，验证是否符合最简要求。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是______. 例3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）（1）解不等式组：， （2）计算：． 例4．（23-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）计算：___________． 变式3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 变式4．（25-26高一上·江苏连云港·期中）（1）计算：； （2）化简： 2 学科网（北京）股份有限公司 $根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值讲义 根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简求值讲义 考点目录 根式的化简求值 分数指数幂与根式的互化 指数幂的化简 考点一 根式的化简求值 【知识点解析】 核心知识点 1. 根式的基本概念 一般地，若（且），则叫做的次方根，式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数。 · 奇次方根：正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，任意实数都有唯一的奇次方根； · 偶次方根：正数的偶次方根有两个，互为相反数，记为；负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。 2. 根式的两大核心性质 · 性质1（先开方再乘方）： 说明：奇次根式中；偶次根式中，否则无意义。 · 性质2（先乘方再开方）： 这是根式化简的第一易错点，偶次根式开方结果必为非负数，需加绝对值再去绝对值化简。 3. 最简根式的标准 化简最终结果必须满足最简根式要求： 1. 被开方数不含分母； 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 1. 根指数与被开方数的指数互质（不可约分）。 4. 常用化简技巧 · 因式分解开方：将被开方数因式分解，把能开得尽方的因式开到根号外； · 分母有理化：去掉分母中的根号，分子分母同乘分母的有理化因式（如的有理化因式是，的有理化因式是）； · 同类根式合并：根指数和被开方数都相同的根式叫同类根式，可像合并同类项一样合并。 解题步骤 1. 识别根指数的奇偶性，偶次根式先保证被开方数非负； 1. 对被开方数因式分解，将开得尽方的部分移出根号； 1. 去分母中的根号，进行分母有理化； 1. 合并同类根式，得到最简结果；求值题代入数值计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【详解】由已知，. 故选：C. 例2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质化简即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 例3．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，化简：______． 【答案】 【分析】根据根式运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0 例4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）求值：__________. 【答案】8 【分析】根据根式的运算可得解. 【详解】. 故答案为：8. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 变式2．（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）化简下列各式． （1）＝______； （2）＝______. 【答案】 【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可； （2）根据已知条件判断的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 【详解】（1）. （2）由题意，首先，即，从而， ，， 所以原式. 故答案为：； 变式4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）______ 【答案】3． 【详解】． 考点二 分数指数幂与根式的互化 【知识点解析】 核心知识点 1. 分数指数幂的定义 正数的正分数指数幂：（，，） · 记忆口诀：根指数做分母，幂指数做分子。 正数的负分数指数幂：（，，） 2. 互化规则 · 根式化分数指数幂：根指数对应分数的分母，被开方数的指数对应分数的分子； · 分数指数幂化根式：分母做根指数，分子做被开方数的指数。 · 示例：，，。 3. 重要规定 · 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义； · 负数的偶次分数指数幂无意义，因此分数指数幂的底数默认大于0； · 底数为正数时，分数指数幂的分子分母可约分，如；底数为负时不可随意约分。 解题思路 1. 确认底数的符号，负数的偶次分数指数幂直接判定无意义； 1. 按“根指对分母，幂指对分子”的对应关系进行互化； 1. 负指数先转化为正指数的倒数，再进行形式转换。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【详解】原式． 例2．（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式与分数指数幂的互化可得出结果. 【详解】当时，则. 故选：B. 例3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）设，用有理数指数幂的形式表示：________． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式，及有理数指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为： 例4．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，，化简：______． 【答案】 【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简. 【详解】因为. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 变式2．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】． 故选：D 变式3．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）化简：___________. 【答案】1 【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：1 变式4．（25-26高一上·江苏泰州·期中）化简__________. 【答案】 【分析】根式与分数指数幂运算法则计算. 【详解】. 故答案为： 考点三 指数幂的化简 【知识点解析】 核心知识点 1. 有理数指数幂的运算性质 设，，，运算性质可推广到实数指数幂： 1. 同底数幂相乘： 1. 同底数幂相除： 1. 幂的乘方： 1. 积的乘方： 1. 商的乘方： 2. 化简的核心原则 最终结果必须满足： 1. 不含负指数幂（负指数化为正指数的倒数）； 1. 底数为最简形式，不含带分数、小数； 1. 结果保留指数幂形式或根式形式，统一形式，不混合出现。 3. 常用化简技巧 · 负指数化正：将所有负指数幂转化为正指数幂的倒数； · 小数化分数：底数为小数化为分数，指数为小数化为分数，便于运用公式； · 底数统一：将不同底数的幂化为同底数幂（如，，），再合并指数； · 整体代换：已知这类对称式的值，求高次式时，利用平方、立方公式整体代入，无需单独求。 解题步骤 1. 统一形式：将所有根式化为分数指数幂，小数化为分数，负指数化为正指数； 1. 统一底数：将所有幂的底数化为最简底数； 1. 按律运算：利用指数幂的运算性质，合并同类项、计算乘除乘方； 1. 整理结果：化为最简形式，验证是否符合最简要求。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C 例2．（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是______. 【答案】 【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 例3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）（1）解不等式组：， （2）计算：． 【答案】（1）或；（2）19 【分析】（1）利用一次与二次不等式的解法即可得解. （2）根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】（1）由，得，解得； 由，得，解得或， 所以原不等式组的解集为或． （2） ． 例4．（23-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可； （2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可. 【详解】（1） =； （2） . 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 变式2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： 变式3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 变式4．（25-26高一上·江苏连云港·期中）（1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【分析】利用指数运算法则和根式运算法则计算即可. 【详解】（1） ； （2）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $