第19讲 三角函数的图像与性质讲义-2027届高三数学一轮复习

第19讲 三角函数的图像与性质 内 容 导 航 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质 知识点2 函数的图像与性质 知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展 知识点4 三角函数的图像识别与判断 知识点5 三角函数的定义域与值域（最值） 知识点6 三角函数的单调性与单调区间 知识点7 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 知识点8 三角函数的图像变换 知识点9 三角函数性质的综合应用 题型1 正弦函数的图象 题型2 正弦函数的定义域和值域 题型3 余弦函数的图象 题型4 余弦函数的定义域和值域 题型5 三角函数的周期性 题型6 正弦函数的单调性 题型7 正弦函数的奇偶性和对称性 题型8 余弦函数的单调性 题型9 余弦函数的对称性 题型10 正切函数的图象 题型11 正切函数的定义域和值域 题型12 正切函数的单调性和周期性 题型13 正切函数的奇偶性与对称性 题型14 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 题型15 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 题型16 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 知 识 点 通 关 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质 一、 三类函数的图像特征 1. 正弦函数：图像为正弦曲线，定义域为R，值域为；五点法作图关键点：、、、、。 2. 余弦函数：图像为余弦曲线，定义域为R，值域为；五点法作图关键点：、、、、。 3. 正切函数：图像为正切曲线，定义域为，值域为R；渐近线为。 二、 核心性质对比表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1.、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 2.正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 3.上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。 特别提醒，别忘了！ 知识点2 函数的图像与性质 一、 参数的物理意义（） •振幅：决定函数值域为，反映振动幅度； •角频率：决定最小正周期，反映振动快慢； •初相：决定时的相位，反映图像的左右位置； •相位：。 二、 图像变换的两种路径 1.先平移后伸缩（相位变换→周期变换→振幅变换） 2.先伸缩后平移（周期变换→相位变换→振幅变换） ⚠ 核心注意：左右平移的单位是针对自变量本身，而非；先伸缩再平移时，平移量为。 三、 性质求解（整体代换思想） 将视为整体，类比的性质求解： 1.周期：； 2.最值：时取最大值，时取最小值； 3.单调区间：解不等式得递增区间，反之得递减区间； 4.对称轴：令，解得即为对称轴方程； 5.对称中心：令，解得，对称中心为。 知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展 一、 奇偶性快速判断结论 • 为奇函数 ⇔ ； • 为偶函数 ⇔ ； • 为偶函数 ⇔ ； • 为奇函数 ⇔ 。 二、 对称性常用结论 • 正弦 / 余弦函数的对称轴必经过图像最高点或最低点； • 正弦 / 余弦函数的对称中心必为图像与轴的交点； • 正切函数的对称中心包括图像与轴交点，以及渐近线与轴的交点。 知识点4 三角函数的图像识别与判断 方法技巧 1.图像识别优先用排除法：先判断奇偶性，再代入特殊点，结合单调性、极值点排除错误选项； 2.由图像求解析式 “三步法”：①由最值求振幅；②由周期求；③由特殊点求，结合范围取舍； 3.注意零点的 “升降趋势”：上升沿零点与下降沿零点对应相位不同。 易错分析 1.忽略的取值范围，导致多解； 2.周期计算错误，将半周期、四分之一周期误判为完整周期； 3.判断奇偶性时只验证特殊点，不验证定义域对称性。 知识点5 三角函数的定义域与值域（最值） 方法技巧 1.定义域求解：结合三角函数本身定义域（正切、偶次根号、分母），解三角不等式，可借助图像或单位圆； 2.值域 / 最值常用方法： ① 化为，结合的范围求相位范围，再求值域； ② 换元法：令（或），转化为二次函数在上的值域； ③ 几何法：利用斜率、距离等几何意义求解。 3.换元时务必标注新元的取值范围。 易错分析 1.解三角不等式时漏写，或忽略定义域取交集； 2.换元后忽略的范围，直接按全体实数求二次函数值域； 3.求区间最值时直接代入端点，忽略区间内的极值点。 知识点6 三角函数的单调性与单调区间 方法技巧 1.求单调区间：用整体代换法，将代入基本函数单调区间解；若，先利用诱导公式将化为正数，避免单调性反向。 2.已知单调性求参数： ① 利用 “单调区间是完整单调区间的子集” 列不等式； ② 利用极值点是单调区间的分界点。 3.比较三角函数值大小：先诱导化为同一单调区间的角，再用单调性比较。 易错分析 为负数时直接代入单调区间，导致单调性方向相反； 2.写单调区间时遗漏； 3.已知区间单调性求参数时，忽略周期限制，导致参数范围过大。 知识点7 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 方法技巧 1.周期性判断： ① 公式法：周期，周期； ② 定义法：验证恒成立； ③ 图像法：观察图像重复间隔。 2.奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再验证与的关系。 对称性：正弦 / 余弦对称轴过最值点，对称中心为图像与 x 轴交点；正切对称中心含渐近线中点。 易错分析 1.误认为带绝对值的三角函数周期一定减半，需具体验证（如周期为）； 2.混淆对称中心是点、对称轴是直线，书写格式错误； 3.判断奇偶性时忽略定义域关于原点对称的前提。 知识点8 三角函数的图像变换 方法技巧 1.图像变换核心：所有变换都针对自变量本身，而非； 2.平移 “左加右减”，伸缩 “横坐标乘，纵坐标乘”； 3.逆向变换：从结果倒推原函数，变换顺序反向、操作反向。 易错分析 1.先伸缩后平移时，直接按个单位平移，忽略除以，导致平移量错误； 2.逆向变换时顺序或加减方向搞反； 3.混淆 “图像平移” 与 “按向量平移” 的表述。 知识点9 三角函数性质的综合应用 方法技巧 1.综合题思路：先化简为标准型，再逐一研究各类性质； 2.恒成立问题：转化为区间最值问题，结合图像求解参数范围； 3.零点 / 交点问题：转化为方程解的个数，结合三角函数图像与直线的交点分析。 易错分析 1.化简过程公式用错，导致后续性质全部错误； 2.恒成立问题混淆 “最大值” 与 “最小值” 的方向； 3.零点问题忽略区间端点或边界值。 考 点 演 练 题型1 正弦函数的图象 【典例1】若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）图象过点，f（x）在（0，π）上有且只有两个零点，则ω的最值情况为（　　） A．最小值为，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．无最小值，最大值为 D．最小值为，最大值为 【变式1】已知函数y＝f（x），其中，实数ω＞0，下列选项中正确的是（　　） A．若ω＝2，函数y＝f（x）关于直线对称 B．若，函数y＝f（x）在[0，π]上是增函数 C．若函数y＝f（x）在[﹣π，0]上最大值为1，则 D．若ω＝1，则函数y＝|f（x）|的最小正周期是2π 题型2 正弦函数的定义域和值域 【典例1】设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（　　） A．若α+β，则sinα+sinβ B．若α+β，则cosα+cosβ C．若α+β，则sinα+sinβ＞1 D．若α+β，则cosα+cosβ＞1 【变式1】已知集合A＝{x∈Z|2x2+3x﹣5＜0}，B＝{y|y＝sinx}，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣1≤x≤1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0} 题型3 余弦函数的图象 【典例1】已知ω＞0，曲线y＝cosωx与相邻的三个交点构成一个内角为60°的三角形，则ω＝（　　） A． B．π C．2π D．3π 【变式1】函数在[0，π]的零点个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4 余弦函数的定义域和值域 【典例1】设函数，若存在常数λ（λ＜0），使得对任意x∈R，有f（x+2λ）＝λf（x），则当ω取最小值时，f（x）在上的值域为　 　 ． 【变式1】已知函数y＝a+cosx，的最小值是﹣1，则实数a＝ 　 　 ． 题型5 三角函数的周期性 【典例1】函数y＝tan2x的最小正周期是（　　） A．π B． C． D．2π 【变式1】若的最小正周期为π，则（　　） A．0 B．1 C． D．2 题型6 正弦函数的单调性 【典例1】若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A．（0，1） B． C．（0，1] D．[1，+∞） 【变式1】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的对称中心为 B．当时， C．f（x）的单调递减区间为 D．若，且f（x1）＝f（x2），则 题型7 正弦函数的奇偶性和对称性 【典例1】函数y＝2sin（2x）的一个对称中心（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 【变式1】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则（　　） A． B． C． D． 题型8 余弦函数的单调性 【典例1】已知函数（ω＞0）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A． B．（0，1] C． D．[1，+∞） 【变式1】已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π B．将f（x）的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C．f（x）在区间上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴 题型9 余弦函数的对称性 【典例1】已知函数，则其图象离直线x＝π最近的一条对称轴的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】函数的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 题型10 正切函数的图象 【典例1】已知函数，则“，k∈Z”是“f（x）的图像关于点（x0，0）对称”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】若点（a，0）（a＞0）是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型11 正切函数的定义域和值域 【典例1】若函数的相邻两对称中心的距离为π，则ω的值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【变式1】下列函数中，定义域和值域相同的是（　　） A． B．y＝2x C．y＝ln|x| D．y＝tanx 题型12 正切函数的单调性和周期性 【典例1】若，b＝70.1，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【变式1】若函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 题型13 正切函数的奇偶性与对称性 【典例1】函数图象的对称中心可能是（　　） A． B． C．（，0） D． 【变式1】已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．f（x）的最小正周期是 D．f（x）图像的对称中心是 题型14 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 【典例1】设函数f（x）＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f（x）图象的一条对称轴是直线． （Ⅰ）求φ； （Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调增区间； （Ⅲ）画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象． 【变式1】用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（　　） x ωx+φ 0 π 2π Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0 A．A＝2 B．不等式f（x）≥1的解集为 C．函数f（x）的图象关于直线对称 D．函数f（x）在区间上单调递增 题型15 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 【典例1】已知函数的一段图象过点（0，1），如图所示． （1）求函数f（x）的表达式； （2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）在区间上的值域； （3）若，求的值． 【变式1】已知函数． （1）求f（x）的最小正周期和对称中心； （2）将f（x）的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的所有零点之和． 题型16 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【典例1】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（x∈R，ω＞0）的部分图象如图所示，M，N为y＝f（x）图象与x轴交点且满足为等边三角形，则ω＝（　　） A．1 B． C． D．2 【变式1】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．直线x＝π是f（x）图象的一条对称轴 C．f（x）图象的对称中心为 D．将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝3cos2x的图象 过 关 验 收 1．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则f（1）的值为（　　） A． B．﹣1 C．1 D． 2．若函数在上的值域为[﹣1，2]，则ω可以为（　　） A．4 B．2 C．1 D． 3．已知函数f（x）＝sinx+x3﹣ax为增函数，则a的取值范围是（　　） A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞） 4．已知函数在上的最小值恰为﹣ω，方程表示焦点在y轴上的椭圆，所有满足条件的ω为集合A，实数m的取值集合为B，则（　　） A．ω∈B B．ω∉B C．A⫋B D．B⫋A 5．已知α，β∈R，则“cosα＝cosβ”是“β＝α+2kπ，k∈Z”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转π弧度，这时终边对应的角是β，若，则cosβ（　　） A．有最小值﹣1 B．有最小值值 C．有最大值 D．有最大值1 7．已知函数，其中a是常数，则（　　） A．对任意a∈[0，π]，f（x）的最大值是1 B．存在a∈[0，π]，使得f（x）的最小值是﹣1 C．对任意a∈[0，π]，存在x，使得 D．对任意a∈[0，π]，存在x，使得 8．已知函数f（x）＝cos2x，给出下列两个结论； ①f（x）的最小正周期为π； ②f（x）在上单调递增． 则下列判断正确的是（　　） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 9．数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②f（x）在区间上单调递减 ③f（x）在区间上有且仅有2个零点 ④把函数f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣φ）（ω＞0）满足对任意的x∈R，均有，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（　　） A． B． C． D． 11．已知函数有两条相邻的对称轴和，则φ＝（　　） A． B． C． D． 12．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是，则下列区间中，函数f（x）单调递增的区间是（　　） A． B． C． D． 13．函数的最小值为（　　） A．﹣1 B． C．﹣3 D．﹣5 14．如图，已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（﹣π，0]）的部分图象与圆M：（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0）的两个公共点，G（m，0），当x→0时，f（x）的图象无限逼近y轴，则下列选项正确的是（　　） A．r＝4 B． C．φ＝0 D． 15．已知函数，下列命题正确的是（　　） A．f（x）的定义域为 B．f（x）的值域为R C．f（x）的图象关于点对称 D．f（x）在，上单调递减 16．下列说法正确的是（　　） A．cos2sin3＜0 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则扇形的面积为 C．终边落在直线y＝x上的角的集合是 D．函数的定义域为，π为该函数的一个周期 17．函数的最小正周期是（　　） A． B． C．π D．2π 18．已知函数，ω＞0， （1）若ω＝3， （i）根据如下表格，直接写出x1，x2，x3，x4的值； 0 π x1 2π x x2 x3 f（x） 0 x4 0 ﹣2 0 （ii）利用上述表格，使用“五点法”画出函数f（x）在[x2，x3]的图象； （2）若函数f（x）在[0，π]上恰有两个最值点，求ω的取值范围． 19．设函数． （1）列表并画出y＝f（x），x∈[﹣2，10]的图象； （2）求函数g（x）＝f（1+x）+f（4﹣x）在区间[0，6]上的值域． 20．函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，则（　　） A． B． C．1 D． 21．为了得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin（2x）图象上所有的点（　　） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 22．已知函数，则下列结论正确的个数是（　　） ①f（x）的图象关于点对称； ②f（x）在区间（0，2π）内有2个极大值点； ③； ④将函数f（x）的图象向左平移个单位，所得图象关于直线x＝π对称． A．1 B．2 C．3 D．4 23．已知函数（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C，D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形，则（　　） A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16 24．已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B． C． D． 25．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示． （1）当时，求f（x）的单调递增区间； （2）已知θ∈（0，，且，求cos2θ的值． 26．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，且其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为． （1）求f（x）的解析式； （2）在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b＝2，且（cosA﹣2cosC）b＝cosB（2c﹣a），求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 三角函数的图像与性质 内 容 导 航 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质 知识点2 函数的图像与性质 知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展 知识点4 三角函数的图像识别与判断 知识点5 三角函数的定义域与值域（最值） 知识点6 三角函数的单调性与单调区间 知识点7 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 知识点8 三角函数的图像变换 知识点9 三角函数性质的综合应用 题型1 正弦函数的图象 题型2 正弦函数的定义域和值域 题型3 余弦函数的图象 题型4 余弦函数的定义域和值域 题型5 三角函数的周期性 题型6 正弦函数的单调性 题型7 正弦函数的奇偶性和对称性 题型8 余弦函数的单调性 题型9 余弦函数的对称性 题型10 正切函数的图象 题型11 正切函数的定义域和值域 题型12 正切函数的单调性和周期性 题型13 正切函数的奇偶性与对称性 题型14 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 题型15 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 题型16 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 知 识 点 通 关 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质 一、 三类函数的图像特征 1. 正弦函数：图像为正弦曲线，定义域为R，值域为；五点法作图关键点：、、、、。 2. 余弦函数：图像为余弦曲线，定义域为R，值域为；五点法作图关键点：、、、、。 3. 正切函数：图像为正切曲线，定义域为，值域为R；渐近线为。 二、 核心性质对比表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1.、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 2.正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 3.上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。 特别提醒，别忘了！ 知识点2 函数的图像与性质 一、 参数的物理意义（） •振幅：决定函数值域为，反映振动幅度； •角频率：决定最小正周期，反映振动快慢； •初相：决定时的相位，反映图像的左右位置； •相位：。 二、 图像变换的两种路径 1.先平移后伸缩（相位变换→周期变换→振幅变换） 2.先伸缩后平移（周期变换→相位变换→振幅变换） ⚠ 核心注意：左右平移的单位是针对自变量本身，而非；先伸缩再平移时，平移量为。 三、 性质求解（整体代换思想） 将视为整体，类比的性质求解： 1.周期：； 2.最值：时取最大值，时取最小值； 3.单调区间：解不等式得递增区间，反之得递减区间； 4.对称轴：令，解得即为对称轴方程； 5.对称中心：令，解得，对称中心为。 知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展 一、 奇偶性快速判断结论 • 为奇函数 ⇔ ； • 为偶函数 ⇔ ； • 为偶函数 ⇔ ； • 为奇函数 ⇔ 。 二、 对称性常用结论 • 正弦 / 余弦函数的对称轴必经过图像最高点或最低点； • 正弦 / 余弦函数的对称中心必为图像与轴的交点； • 正切函数的对称中心包括图像与轴交点，以及渐近线与轴的交点。 知识点4 三角函数的图像识别与判断 方法技巧 1.图像识别优先用排除法：先判断奇偶性，再代入特殊点，结合单调性、极值点排除错误选项； 2.由图像求解析式 “三步法”：①由最值求振幅；②由周期求；③由特殊点求，结合范围取舍； 3.注意零点的 “升降趋势”：上升沿零点与下降沿零点对应相位不同。 易错分析 1.忽略的取值范围，导致多解； 2.周期计算错误，将半周期、四分之一周期误判为完整周期； 3.判断奇偶性时只验证特殊点，不验证定义域对称性。 知识点5 三角函数的定义域与值域（最值） 方法技巧 1.定义域求解：结合三角函数本身定义域（正切、偶次根号、分母），解三角不等式，可借助图像或单位圆； 2.值域 / 最值常用方法： ① 化为，结合的范围求相位范围，再求值域； ② 换元法：令（或），转化为二次函数在上的值域； ③ 几何法：利用斜率、距离等几何意义求解。 3.换元时务必标注新元的取值范围。 易错分析 1.解三角不等式时漏写，或忽略定义域取交集； 2.换元后忽略的范围，直接按全体实数求二次函数值域； 3.求区间最值时直接代入端点，忽略区间内的极值点。 知识点6 三角函数的单调性与单调区间 方法技巧 1.求单调区间：用整体代换法，将代入基本函数单调区间解；若，先利用诱导公式将化为正数，避免单调性反向。 2.已知单调性求参数： ① 利用 “单调区间是完整单调区间的子集” 列不等式； ② 利用极值点是单调区间的分界点。 3.比较三角函数值大小：先诱导化为同一单调区间的角，再用单调性比较。 易错分析 为负数时直接代入单调区间，导致单调性方向相反； 2.写单调区间时遗漏； 3.已知区间单调性求参数时，忽略周期限制，导致参数范围过大。 知识点7 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 方法技巧 1.周期性判断： ① 公式法：周期，周期； ② 定义法：验证恒成立； ③ 图像法：观察图像重复间隔。 2.奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再验证与的关系。 对称性：正弦 / 余弦对称轴过最值点，对称中心为图像与 x 轴交点；正切对称中心含渐近线中点。 易错分析 1.误认为带绝对值的三角函数周期一定减半，需具体验证（如周期为）； 2.混淆对称中心是点、对称轴是直线，书写格式错误； 3.判断奇偶性时忽略定义域关于原点对称的前提。 知识点8 三角函数的图像变换 方法技巧 1.图像变换核心：所有变换都针对自变量本身，而非； 2.平移 “左加右减”，伸缩 “横坐标乘，纵坐标乘”； 3.逆向变换：从结果倒推原函数，变换顺序反向、操作反向。 易错分析 1.先伸缩后平移时，直接按个单位平移，忽略除以，导致平移量错误； 2.逆向变换时顺序或加减方向搞反； 3.混淆 “图像平移” 与 “按向量平移” 的表述。 知识点9 三角函数性质的综合应用 方法技巧 1.综合题思路：先化简为标准型，再逐一研究各类性质； 2.恒成立问题：转化为区间最值问题，结合图像求解参数范围； 3.零点 / 交点问题：转化为方程解的个数，结合三角函数图像与直线的交点分析。 易错分析 1.化简过程公式用错，导致后续性质全部错误； 2.恒成立问题混淆 “最大值” 与 “最小值” 的方向； 3.零点问题忽略区间端点或边界值。 考 点 演 练 题型1 正弦函数的图象 【典例1】若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）图象过点，f（x）在（0，π）上有且只有两个零点，则ω的最值情况为（　　） A．最小值为，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．无最小值，最大值为 D．最小值为，最大值为 【答案】C 【解答】解：由题可知，即，∴， 又∵，∴，， 令，得， 解得， 又∵ω＞0，f（x）在（0，π）上有且只有两个零点， ∴k＝1或2，故，解得， ∴，没有最小值． 故选：C． 【变式1】已知函数y＝f（x），其中，实数ω＞0，下列选项中正确的是（　　） A．若ω＝2，函数y＝f（x）关于直线对称 B．若，函数y＝f（x）在[0，π]上是增函数 C．若函数y＝f（x）在[﹣π，0]上最大值为1，则 D．若ω＝1，则函数y＝|f（x）|的最小正周期是2π 【答案】C 【解答】解：对于A，若ω＝2，则，f（）＝2sinπ＝0，不是最值， 所以f（x）不关于直线对称，故A错误； 对于B，若，则， 当x∈[0，π]时，，因为正弦函数y＝sinx在上不单调， 所以函数y＝f（x）在[0，π]上不是增函数，故B错误； 对于C，x∈[0，π]，则， 因为函数y＝f（x）在[﹣π，0]上最大值为1， 所以，解得，故C正确； 对于D，若ω＝1，， 因为， 所以y＝|f（x）|的最小正周期不是2π，故D错误． 故选：C． 题型2 正弦函数的定义域和值域 【典例1】设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（　　） A．若α+β，则sinα+sinβ B．若α+β，则cosα+cosβ C．若α+β，则sinα+sinβ＞1 D．若α+β，则cosα+cosβ＞1 【答案】A 【解答】解：因为α，β为三角形的内角，α+β，则βα，α∈（0，）， 所以α∈（0，），α∈（，），所以sin（α）∈（，1]， 若sinα+sinβ＜sinα+sin（α）＝sinα+cosαsin（α）∈（1，]，则A正确； cosα+cosβ＞cosα+cos（α）＝cosα+sinαsin（α）∈（1，]，故B错； 若α+β，则βα， 则sinα+sinβ＞sinα+sin（α）＝sinα+cosαsin（α）∈（1，]，故C错误； 若α，β，满足α+β，cosα+cosβ1，故D错误． 故选：A． 【变式1】已知集合A＝{x∈Z|2x2+3x﹣5＜0}，B＝{y|y＝sinx}，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣1≤x≤1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0} 【答案】D 【解答】解：由于集合A＝{x∈Z|2x2+3x﹣5＜0}＝{﹣2，﹣1，0}， 由于B＝{y|y＝sinx）＝[﹣1，1]，所以A∩B＝{﹣1，0}． 故选：D． 题型3 余弦函数的图象 【典例1】已知ω＞0，曲线y＝cosωx与相邻的三个交点构成一个内角为60°的三角形，则ω＝（　　） A． B．π C．2π D．3π 【答案】B 【解答】解：设曲线y＝cosωx与相邻的三个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 不妨设x1＜x2＜x3，由，得， 所以． 所以，所以，k∈Z， 不妨令k＝﹣1，0，1，得，，， 则，，， 所以，，， 所以， ，， 所以|AB|＝|BC|，因为△ABC是一个内角为60°的三角形， 所以△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC， 即，整理得ω2＝π2，因为ω＞0，所以ω＝π． 故选：B． 【变式1】函数在[0，π]的零点个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：方法一：令， 即，k∈Z，解得，k∈Z， 分别令k＝0，1，2，解得，，， 所以函数在[0，π]的零点的个数为3． 方法二：∵0≤x≤π，∴， 由题可知，或， 解得，，或，故有3个零点． 故选：C． 题型4 余弦函数的定义域和值域 【典例1】设函数，若存在常数λ（λ＜0），使得对任意x∈R，有f（x+2λ）＝λf（x），则当ω取最小值时，f（x）在上的值域为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：函数，则，其最大值为2， 的最大值为﹣2λ，由f（x+2λ）＝λf（x），得λ＝﹣1， 因此对任意x∈R，有f（x﹣2）＝﹣f（x），f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x）， 于是，解得， 又，因此k为正奇数， 则，，当时，， 当时，f（x）min＝0；当时，， 所以，f（x）在上的值域为． 【变式1】已知函数y＝a+cosx，的最小值是﹣1，则实数a＝ 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：当时，函数y＝a+cosx单调递减， 最小值是a+cosa1，解得a． 故答案为：． 题型5 三角函数的周期性 【典例1】函数y＝tan2x的最小正周期是（　　） A．π B． C． D．2π 【答案】B 【解答】解：由正切函数的周期公式可得函数的周期T， 故选：B． 【变式1】若的最小正周期为π，则（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解答】解：因为f（x）＝2sin（ωx的最小正周期为π， 所以π⇒ω＝2，即f（x）＝2sin（2x， 所以2sin（22sinπ＝0． 故选：A． 题型6 正弦函数的单调性 【典例1】若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A．（0，1） B． C．（0，1] D．[1，+∞） 【答案】C 【解答】解：由于函数在区间上单调递增，而ωx∈[，]， 故有ω＞0，且，求得0＜ω≤1， 则ω的取值范围是（0，1]． 故选：C． 【变式1】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的对称中心为 B．当时， C．f（x）的单调递减区间为 D．若，且f（x1）＝f（x2），则 【答案】D 【解答】解：由题意，f（x）的最大值为A＝2，周期，即，解得ω＝2， 根据在f（x）递增的图象上， 可得，m∈Z，结合﹣π＜φ＜π，解得，， 令，k∈Z，解得，k∈Z， 所以f（x）图象的对称中心为，故A不正确； 由，得， 结合正弦函数的性质，可得， 当时，﹣f（x）＝2，当x＝0时，，可得，故B不正确； 由，k∈Z， 解得f（x）的单调递减区间为（k∈Z），故C不正确； 根据f（x1）＝f（x2），结合正弦函数图象的对称性，可知， 解得，所以，故D项正确． 故选：D． 题型7 正弦函数的奇偶性和对称性 【典例1】函数y＝2sin（2x）的一个对称中心（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 【答案】B 【解答】解：∵y＝2sin（2x） ∴令2xkπ，k∈Z，可解得：x，k∈Z， ∴k＝0时，由（，0）是函数y＝2sin（2x）的一个对称中心． 故选：B． 【变式1】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增， ωx+φ∈（φ，φ）， 直线和为函数f（x）的两条对称轴， ∴φ＝2kπ，φ＝2kπ，k∈Z，且． 解得ω＝2且φ． 可得f（x）＝sin（2x）， 则sin（）＝sin． 故选：D． 题型8 余弦函数的单调性 【典例1】已知函数（ω＞0）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A． B．（0，1] C． D．[1，+∞） 【答案】B 【解答】解：由题意可得， ∵ω＞0，， ∴， 又函数（ω＞0）在区间上单调递增， ∴， 解得ω∈（0，1]，即ω的取值范围是（0，1]． 故选：B． 【变式1】已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π B．将f（x）的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C．f（x）在区间上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴 【答案】ABD 【解答】解：已知f（x）＝cos（2x+φ）是定义域为R的奇函数，因此f（0）＝cosφ＝0，解得， 结合0＜φ＜π可得，得：， 选项A：函数f（x）的最小正周期，A正确． 选项B：将f（x）的图象向右平移个单位，得到的函数为：， 平移后可得到目标函数的图象，B正确． 选项C：当时，，函数y＝sin2x在该区间单调递增，因此f（x）＝﹣sin2x在该区间单调递减，C错误． 选项D：2x）， 将代入得：，此时函数取得最小值﹣1，正弦函数在最值点处对应的竖直线为图象的对称轴， 因此直线是该曲线的一条对称轴，D正确． 故选：ABD． 题型9 余弦函数的对称性 【典例1】已知函数，则其图象离直线x＝π最近的一条对称轴的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：函数， 令，k∈Z，解得函数f（x）的对称轴方程为：， 令k＝﹣1，得，令k＝0，得，令k＝1，得，令k＝2，得， 所以函数f（x）的图象离直线x＝π最近的对称轴方程为． 故选：D． 【变式1】函数的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：对于函数， 令，解得， 所以图象的对称中心为， 当k＝0时，点满足题意，可知B选项正确，其它各项均不正确． 故选：B． 题型10 正切函数的图象 【典例1】已知函数，则“，k∈Z”是“f（x）的图像关于点（x0，0）对称”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：， 令，即，k∈Z， 即f（x）的对称中心，k∈Z， ∴“，k∈Z“是“f（x）的图象关于点（x0，0）对称的”充分不必要条件． 故选：A． 【变式1】若点（a，0）（a＞0）是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据正切函数的性质，y＝2tan（x）的对称中心横坐标满足x，k∈Z， 即y＝2tan（x）的对称中心是（，0），k∈Z，即a，k∈Z， 又a＞0，则k＝0时a最小，最小值是，即a． 故选：C． 题型11 正切函数的定义域和值域 【典例1】若函数的相邻两对称中心的距离为π，则ω的值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解答】解：因为f（x）＝2tan（ωx）相邻两对称中心的距离为π， 所以f（x）的最小正周期T满足π， 又因为T2π，所以ω． 故选：A． 【变式1】下列函数中，定义域和值域相同的是（　　） A． B．y＝2x C．y＝ln|x| D．y＝tanx 【答案】A 【解答】解：对于A，函数的定义域和值域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域和值域相同； 对于B，函数y＝2x的定义域为R，值域为（0，+∞），定义域和值域不同； 对于C，函数y＝ln|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为R，定义域和值域不同； 对于D，函数y＝tanx的定义域为{x|xkπ，k∈Z}，值域为R，定义域和值域不同． 故选：A． 题型12 正切函数的单调性和周期性 【典例1】若，b＝70.1，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【答案】D 【解答】解：a＝tantan∈（0，1），b＝70.1＞1，（）0.1＞1， 因为y＝x0.1在（0，+∞）上单调递增，所以b＞c＞a，即a＜c＜b． 故选：D． 【变式1】若函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为最小正周期为，所以ω＝4，f（x）＝tan（4x+φ）， 令，则， 又函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为， 所以， 令k＝1可得， 所以． 故选：B． 题型13 正切函数的奇偶性与对称性 【典例1】函数图象的对称中心可能是（　　） A． B． C．（，0） D． 【答案】C 【解答】解：由正切函数的对称中心可得2x，k∈Z，解得x，k∈Z， 将所给的选项代入代数式，有k为整数即可，只有x，此时k＝0． 故选：C． 【变式1】已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．f（x）的最小正周期是 D．f（x）图像的对称中心是 【答案】BCD 【解答】解：对于A选项：因为， 则， 所以的定义域是， 其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性，故A错误； 对于B选项：， 因为tan2（﹣x）＝tan（﹣2x）＝﹣tan2x， 则是奇函数，故B正确； 对于C选项：因为函数， 所以函数f（x）的最小正周期为，故C正确； 对于D选项：令，解得， 所以f（x）图像的对称中心是，故D正确． 故选：BCD． 题型14 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 【典例1】设函数f（x）＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f（x）图象的一条对称轴是直线． （Ⅰ）求φ； （Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调增区间； （Ⅲ）画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）∵的图象的对称轴，∴，∴． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知． 由题意得 ． 所以函数． （Ⅲ）由 x 0 x1，y1 π y ﹣1 0 1 0 故函数y＝f（x）在区间[0，π]上图象是： 【变式1】用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（　　） x ωx+φ 0 π 2π Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0 A．A＝2 B．不等式f（x）≥1的解集为 C．函数f（x）的图象关于直线对称 D．函数f（x）在区间上单调递增 【答案】AC 【解答】解：由题意得A＝2，A正确； 因为2π， 所以T＝4π，，f（x）＝2sin（φ）， 又f（）＝2sin（φ）＝2且|φ|＜π， 所以φ，f（x）＝2sin（）， 令f（x）＝2sin（）≥1可得，k∈Z， 解得，，k∈Z，B错误； f（）＝2sin2为函数的最大值，即函数关于x对称，C正确； 令，k∈Z， 解得，k∈Z， 当k＝0时，一个单调递增区间为[，]， k＝1时，一个单调递增区间为[，]，D错误． 故选：AC． 题型15 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 【典例1】已知函数的一段图象过点（0，1），如图所示． （1）求函数f（x）的表达式； （2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）在区间上的值域； （3）若，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图知，T＝π，则． 由图可得，f（x）在处最大值， 又因为图象经过，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过（0，1），故，得A＝2． 所以函数f（x）的表达式为． （2）由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以y＝g（x）在区间上的值域为． （3）因为， 所以，即， 又因为，所以， 由，所以． 所以， 所以． 【变式1】已知函数． （1）求f（x）的最小正周期和对称中心； （2）将f（x）的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的所有零点之和． 【答案】（1）最小正周期为π；对称中心为（，0），k∈Z． （2）10π． 【解答】解：（1）f（x）的最小正周期为； 令，则x， 所以f（x）的对称中心为（，0），k∈Z． （2）由题意知，g（x）＝2sin[2（x）]﹣1＝2sin（2x）﹣1， 令g（x）＝0，则sin（2x）， 所以或， 解得x＝kπ（k∈Z）或， 当x＝kπ时，令，则，k∈Z， 所以k＝﹣14，﹣13，..14，15，共30个零点，其和为π×（﹣14﹣13+…+14+15）＝15π； 当时，令，则，k∈Z， 所以k＝﹣15，﹣14，…，14，共30个零点，其和为π×（﹣15﹣14+…+13+14）+3015π+10π＝﹣5π， 综上，所有零点之和为15π﹣5π＝10π． 题型16 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【典例1】已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（x∈R，ω＞0）的部分图象如图所示，M，N为y＝f（x）图象与x轴交点且满足为等边三角形，则ω＝（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：设等边△PMN的边长为a，则△PMN的高ha，解得a＝2， 所以MN＝2，结合，可得，可得ON＝3且OM＝1， 线段OM、MN的垂直平分线方程分别为， 所以是函数f（x）图象相邻两条对称轴， 可得函数f（x）的最小正周期T，解得． 故选：C． 【变式1】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．直线x＝π是f（x）图象的一条对称轴 C．f（x）图象的对称中心为 D．将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝3cos2x的图象 【答案】C 【解答】解：对A，由最大值为3可得A＝3，由图知，故，故ω＝2， 由图象最高点可得，即， 又，故，故． 故，故A错误； 对B，，不为函数最值， 故直线x＝π不是f（x）图象的一条对称轴，故B错误； 对C，令，解得， 故对称中心为，故C正确； 对D，的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象，故D错误； 故选：C． 过 关 验 收 1．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则f（1）的值为（　　） A． B．﹣1 C．1 D． 【答案】B 【解答】解：根据题中所给图象可知，函数f（x）的最小正周期， A＝2，，，，k∈Z， ，k∈Z，又0＜φ＜π，∴， ∴，∴． 故选：B． 2．若函数在上的值域为[﹣1，2]，则ω可以为（　　） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解答】解：因为ω＞0，x∈[0，]时，所以ωx∈[，ω]， 又因为函数f（x）＝2sin（ωx）在[0，]上的值域为[﹣1，2]， 所以ω，解得ω， 所以ω可以为2． 故选：B． 3．已知函数f（x）＝sinx+x3﹣ax为增函数，则a的取值范围是（　　） A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞） 【答案】C 【解答】解：由题意，f（x）＝sinx+x3﹣ax的定义域为R， 可得f′（x）＝cosx+3x2﹣a， 由题意可得∀x∈R，f′（x）≥0⇔a≤cosx+3x2恒成立， 令g（x）＝cosx+3x2，x∈R，可得g′（x）＝﹣sinx+6x， 令h（x）＝﹣sinx+6x，x∈R，可得h′（x）＝﹣cosx+6＞0， 函数h（x），即g′（x）在R上单调递增，当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0， 函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1， 可得a≤1， 可得a的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：C． 4．已知函数在上的最小值恰为﹣ω，方程表示焦点在y轴上的椭圆，所有满足条件的ω为集合A，实数m的取值集合为B，则（　　） A．ω∈B B．ω∉B C．A⫋B D．B⫋A 【答案】B 【解答】解：由题意函数， 当时，可得， 因为此时f（x）的最小值为﹣ω＜0， 所以，即， 若，此时f（x）能取到最小值﹣4，即﹣ω＝﹣4⇒ω＝4， 代入可得，满足要求，即ω＝4； 若f（x）取不到最小值﹣4，则需满足，即， 在上单调递减， 所以存在唯一ω符合题意， 所以ω＝4或者， 所以所有满足条件的ω的积属于区间A＝（7，13）， 由椭圆焦点在y轴上得：， 解得：4＜m＜7， 所以实数m的取值集合为B＝（4，7）， 即可知A∩B＝∅，所以选项C、D错误； 又由，4∉（4，7），所以选项A错误； 故选：B． 5．已知α，β∈R，则“cosα＝cosβ”是“β＝α+2kπ，k∈Z”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：若cosα＝cosβ，则β＝﹣α+2kπ或β＝α+2kπ，k∈Z， 所以由“cosα＝cosβ”推不出“β＝α+2kπ，k∈Z”，由“β＝α+2kπ，k∈Z”可以推出“cosα＝cosβ”， 所以“cosα＝cosβ”是“β＝α+2kπ，k∈Z”的必要不充分条件． 故选：B． 6．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转π弧度，这时终边对应的角是β，若，则cosβ（　　） A．有最小值﹣1 B．有最小值值 C．有最大值 D．有最大值1 【答案】B 【解答】解：由题意知，β＝α+π，所以cosβ＝cos（α+π）＝﹣cosα， 因为α∈[，]，所以cosα∈[，]； 所以cosβ∈[，]，最小值是，最大值是． 故选：B． 7．已知函数，其中a是常数，则（　　） A．对任意a∈[0，π]，f（x）的最大值是1 B．存在a∈[0，π]，使得f（x）的最小值是﹣1 C．对任意a∈[0，π]，存在x，使得 D．对任意a∈[0，π]，存在x，使得 【答案】BCD 【解答】解：对于选项A，f（x）＝cosx的最大值为1，此时x＝2kπ（k∈Z）， 当时，，此范围内f（x）＝cosx的最大值为，故A错误； 对于选项B，f（x）＝cosx的最小值为﹣1，此时x＝π+2kπ（k∈Z）， 当k＝0时，x＝π，需要， 则，即， 又a∈[0，π]， 则时，可得， 故存在a∈[0，π]，使得f（x）的最小值是﹣1，故B正确； 对于选项C，反证法，假设存在a∈[0，π]使得对于任意的，，即， 又的解集为，这个开区间的长度为， 又x的范围是闭区间且长度也为，则无法完全包含于开区间内， 例如，当a＝0时，，端点处的函数值， 故假设不成立，故原命题成立，故C正确； 对于选项D，反证法，假设存在a，使得对于任意的，， 即， 又的解集为，这个开区间的长度为， 又x的范围是闭区间且长度也为，则无法完全包含于开区间内， 例如，当a＝π时，，端点处的函数值， 故假设不成立，故原命题成立，故D正确． 故选：BCD． 8．已知函数f（x）＝cos2x，给出下列两个结论； ①f（x）的最小正周期为π； ②f（x）在上单调递增． 则下列判断正确的是（　　） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【解答】解：函数f（x）＝cos2x， ①f（x）的最小正周期为，故①正确； ②x∈，则2x∈（﹣π，0）， 故f（x）在上单调递增，故②正确． 故选：B． 9．数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②f（x）在区间上单调递减 ③f（x）在区间上有且仅有2个零点 ④把函数f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：由图象可知，，周期，因此ω＝2， 又，解得， 结合0＜φ＜π，则，， 对于①，由图象可知，故①正确； 对于②，当时，有，y＝sint在上不单调， 因此f（x）在区间上不单调，故②错误； 对于③，解方程，解得，在区间内满足条件的k＝1，2， 对应零点，共2个，故③正确； 对于④，函数f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到， y＝cos2x是偶函数，故④错误． 故选：B． 10．已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣φ）（ω＞0）满足对任意的x∈R，均有，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由于对任意的x∈R，均有， 所以f（x）在处取得最小值，点是f（x）图象的一个对称中心， 所以，两式相减得，即． 因为f（x）在上单调，所以，即ω≤1， ω＞0，因此当k2﹣2k1＝1时，ω取得最大值． 故选：C． 11．已知函数有两条相邻的对称轴和，则φ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为f（x）两条相邻的对称轴和， 故f（x）的最小正周期为，故， 故f（x）＝sin（3x+φ），且， 故，解得， 因为，所以只有当k＝0时，满足要求，其他均不合要求． 故选：B． 12．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是，则下列区间中，函数f（x）单调递增的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得f（x）的周期T，解得ω＝2，f（x）＝cos（2x+φ）， 根据f（0）＝cosφ，且0＜φ＜π，可得φ，所以， 令，k∈Z， 解得f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z， 取k＝1，可得f（x）的一个递增区间为[]， 结合[]⊆[]，可知B项符合题意． 故选：B． 13．函数的最小值为（　　） A．﹣1 B． C．﹣3 D．﹣5 【答案】B 【解答】解： ＝﹣2sinx+cosx，其中， 所以f（x）的最小值为． 故选：B． 14．如图，已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（﹣π，0]）的部分图象与圆M：（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0）的两个公共点，G（m，0），当x→0时，f（x）的图象无限逼近y轴，则下列选项正确的是（　　） A．r＝4 B． C．φ＝0 D． 【答案】D 【解答】解：由点在圆M：（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0）上， 可得，解得r＝3． 当x→0时，， 即，因为φ∈（﹣π，0]，则， 所以． 将G（m，0）代入圆的方程，得（m﹣5）2+02＝9，解得m＝2或m＝8， 结合图象知m＝2，即G（2，0），将G（2，0）代入f（x），得， 所以，即，因为ω＞0，由图象可知， 即，所以，， 将代入，得， 所以． 故选：D． 15．已知函数，下列命题正确的是（　　） A．f（x）的定义域为 B．f（x）的值域为R C．f（x）的图象关于点对称 D．f（x）在，上单调递减 【答案】ACD 【解答】解：对AB，f（x）的定义域为，值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），A正确，B错误． 对C，，所以f（x）的图象关于点对称，C正确． 对D，当时，tanx＞0，函数y＝tanx在上单调递增，函数在（0，+∞）上单调递减， 所以f（x）在上单调递减， 当时，tanx∈（﹣∞，0），函数y＝tanx在上单调递增，函数在（﹣∞，0）上单调递减， 所以f（x）在上单调递减，D正确． 故选：ACD． 16．下列说法正确的是（　　） A．cos2sin3＜0 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则扇形的面积为 C．终边落在直线y＝x上的角的集合是 D．函数的定义域为，π为该函数的一个周期 【答案】ABD 【解答】解：由于2和3都是钝角，故有cos2＜0，且sin3＞0，故有cos2sin3＜0，故A正确． 设圆心角为的扇形所在圆的半径为r，由于它的弧长为π•r，∴r＝3， 则扇形的面积为••32，故B正确． 由于终边落在直线y＝x上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故C错误． 由于函数的定义域为{x|2xkπ，k∈Z}＝{x|x，k∈Z}， 它的周期为，故π为该函数的一个周期，故D正确． 故选：ABD． 17．函数的最小正周期是（　　） A． B． C．π D．2π 【答案】C 【解答】解：在函数中，x的系数ω＝1， 所以f（x）的周期Tπ． 故选：C． 18．已知函数，ω＞0， （1）若ω＝3， （i）根据如下表格，直接写出x1，x2，x3，x4的值； 0 π x1 2π x x2 x3 f（x） 0 x4 0 ﹣2 0 （ii）利用上述表格，使用“五点法”画出函数f（x）在[x2，x3]的图象； （2）若函数f（x）在[0，π]上恰有两个最值点，求ω的取值范围． 【答案】（1）（i），，，x4＝2； （ii）图象见解析； （2）． 【解答】解：（1）（i），，，x4＝2； （ii） （2）当x∈[0，π]时，， ①当f（x）在取得最小值时，，解得， ②当f（x）在取得最小值时，，解得， ③当f（x）分别在取得最小值时，，解得， 综上：ω的取值范围为． 19．设函数． （1）列表并画出y＝f（x），x∈[﹣2，10]的图象； （2）求函数g（x）＝f（1+x）+f（4﹣x）在区间[0，6]上的值域． 【答案】（1）答案见解析； （2）． 【解答】解：（1）列表： 0 π 2π x ﹣2 1 4 7 10 y 0 2 0 ﹣2 0 作图： （2）由已知 ， 由已知， ∴， ∴， ∴函数g（x）＝f（1+x）+f（4﹣x）在区间[0，6]上的值域是． 20．函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，则（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：由图象可知，，图象与x轴交点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以，即T＝π，所以ω＝2， 将代入，得， 所以，所以，又因为，所以， 所以， 将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象， 所以，所以． 故选：B． 21．为了得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin（2x）图象上所有的点（　　） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【解答】解：函数y＝sin2x的图象，变换为函数的图象，只需向右平移个单位， 所以为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数的图象，向左平移个单位． 故选：D． 22．已知函数，则下列结论正确的个数是（　　） ①f（x）的图象关于点对称； ②f（x）在区间（0，2π）内有2个极大值点； ③； ④将函数f（x）的图象向左平移个单位，所得图象关于直线x＝π对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：， 令，k∈Z，则，k∈Z，①显然错误； 令，则，k∈Z， 当k＝1时，； 当k＝2时，； 当k＝3时，， 即函数在（0，2π）内有2个极大值，②正确； 因为，f（）＝2cos， 因为coscos， 所以f（）＜f（），③正确； 将函数f（x）的图象向左平移个单位，所得函数为y＝﹣2cos2x， 显然关于x＝π对称，④正确． 故选：C． 23．已知函数（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C，D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形，则（　　） A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16 【答案】D 【解答】解：由函数可知，函数的最大值为2，即点A的纵坐标为2． 因为△ABC为等腰直角三角形，且A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点， 所以A到BC的距离h＝2，且|BC|＝2h＝4，又|BC|等于半个周期，即，所以T＝8． ，所以． 令f（x）＝0，即，解得． 由图象可知，B为y轴左侧靠近原点的零点，取k＝0，得，即． D为B右侧第二个零点（B，C，D依次排列），相隔一个周期，所以， 即，点A的横坐标为B，C中点的横坐标，即，所以． 所以（﹣2，﹣2），（8，0）， 则． 故选：D． 24．已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，f（x）的周期T满足，解得T＝π， 所以，解得ω＝2， 因为x时，f（x）取得最小值﹣2， 所以，结合，取k＝0，得φ， 可得f（x）的解析式为． 故选：C． 25．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示． （1）当时，求f（x）的单调递增区间； （2）已知θ∈（0，，且，求cos2θ的值． 【答案】（1）[，]； （2）． 【解答】解：（1）由题意可得，A＝2，T＝4（）＝π， 所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）， 由五点作图可知，2φ，则φ， 所以f（x）＝2sin（2x）， 令，k∈Z， 则xkπ，k∈Z， 当时，可得单调区间为[，]； （2）因为θ∈（0，，所以2∈（，）， 2sin（2）， 则sin（2），cos（2）， cos2θ＝cos（2）cos（2）sin（2） ． 26．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，且其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为． （1）求f（x）的解析式； （2）在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b＝2，且（cosA﹣2cosC）b＝cosB（2c﹣a），求△ABC的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， 所以由函数f（x）为偶函数，知， 解得， 又0＜φ＜π， 所以，即有， 因为k∈Z， 所以有k＝0，， 所以， 又其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为且ω＞0， 所以有， 解得； （2）由正弦定理，及（cosA﹣2cosC）b＝cosB（2c﹣a），得（cosA﹣2cosC）sinB＝（2sinC﹣sinA）cosB， 化简可得sin（A+B）＝2sin（B+C）， 即sinC＝2sinA，c＝2a， 又， 所以，cosB， 由b＝2，及余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB， 得4＝a2+4a2﹣4a2， 解得a＝1或a＝﹣1（舍去）， 所以c＝2， 又因为cosB，0＜B＜π， 所以sinB， 所以S△ABCacsinB． 学科网（北京）股份有限公司 $