第15讲 导数与函数的单调性讲义-2027届高三数学一轮复习

第15讲 导数与函数的单调性 内 容 导 航 知识点1 函数的单调性 知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤 知识点3 已知函数的单调性求参数 知识点4 含参函数的单调性讨论 知识点5 求不含参函数的单调区间 知识点6 函数图象与导函数图象的关系 知识点7 利用单调性比较大小 知识点8 利用单调性解不等式 题型1 利用导数求解函数的单调性和单调区间 题型2 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 知 识 点 通 关 知识点1 函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果（不恒等于0），则为增函数；如果（不恒等于0）nn，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件. ③可导函数在上单调递增的充要条件是对，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为0． 知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 知识点3 已知函数的单调性求参数 1．函数在区间D上单调递增在区间D上恒成立； 函数在区间D上单调递减在区间D上恒成立； 2．函数在区间D上存在单调递增区间在区间D上能成立； 函数在区间D上存在单调递减区间在区间D上能成立； 3．已知函数在区间D内单调在区间D上不存在变号零点； 4．已知函数在区间D内不单调在区间D上存在变号零点 知识点4 含参函数的单调性讨论 1．讨论的分类标准： ①最高次的系数是否为0;②导数等于0时有根还是无根;③多根情况要比较两根大小;④根是否在定义域或指定的区间内 2．讨论单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数的分子部分的最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0; 第三步:令，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 知识点5 求不含参函数的单调区间 方法技巧 求不含参数函数单调区间的步骤 ①确定函数的定义域；②求导数. ③由 (或)，解出相应的x的范围， 当时， 在相应的区间上是增函数;当时， 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时，不要写成并集，用“，”隔开即可. 知识点6 函数图象与导函数图象的关系 方法技巧 函数的图象与导函数图象之间的关系 注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减;而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 知识点7 利用单调性比较大小 方法技巧 构造函数比较大小 据题目结构构造合适函数，求导确定函数在指定区间的单调性。把待比较数值转化为同一单调区间上的函数值，再由单调性直接判断大小关系。 知识点8 利用单调性解不等式 方法技巧 判断函数性质解不等式 先将不等式化为形式，确定的单调性与定义域。利用单调性脱去对应法则，转化为自变量不等式，同时必须满足定义域限制。 考 点 演 练 题型1 利用导数求解函数的单调性和单调区间 【典例1】已知三次函数y＝x3﹣6x2+9x，若不等式y≤m的解集为{x|x≤m}，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式1】已知正实数a，b满足aea﹣2＝e2025和b（lnb﹣2）＝e2028，则（　　） A．e2028＜ab＜e2029 B．e2027＜ab＜e2028 C．e2026＜ab＜e2027 D．e2025＜ab＜e2026 题型2 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 【典例1】若函数f（x）＝lnxax2﹣2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞） 【变式1】已知函数g（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax2+a在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．若方程ex＝aln（x﹣2）+alna﹣2a在（2，+∞）上有解，则实数a的取值范围是（　　） A．[3，+∞） B．（0，3] C．[e3，+∞） D．（0，e3] 2．若方程|lnx|＝kx的三个根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）成等比数列，则公比为（　　） A． B． C． D． 3．已知实数a和b（其中b＞1）满足方程：，则下列不等式成立的是（　　） A．ea＞b2 B．a2＞eb C．a＞2b D．a＞lnb 4.已知函数，若函数g（x）＝[f（x）]2+3af（x）﹣e2﹣2ae恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．（﹣∞，﹣e） 5．已知函数f（x）＝ex+x﹣m的零点为x1，函数g（x）＝lnx+x﹣m的零点为x2，其中m＞1，则的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B． C． D．[2，+∞） 6．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）﹣f（x）＞0，且f（2）＝e2，则不等式的解集为（　　） A．（﹣∞，e4） B．（e2，+∞） C．（0，e4） D．（0，e2） 7．若关于x的方程有三个不等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828⋯为自然对数的底数，则的值为（　　） A．e B．e2 C．m（2+m）4 D．m（1+m）4 8．下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的是（　　） A．y B．y＝2﹣x﹣2x C．y＝sinx D．y＝ln 9．已知，则（　　） A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 10．已知函数． （1）求f（x）的最大值； （2）当x≥0时，f（x）≤2ex﹣x2+2（1﹣a）x﹣4，求a的取值范围； （3）证明：，n∈N*． 11．已知函数f（x）＝xex﹣eax． （1）当a＝1时，求f（x）的单调区间； （2）当x＞0时，f（x）＞﹣1，求a的取值范围； （3）设n∈N*，证明：． 12．已知函数． （1）当a＝2时，求f（x）在x＝0处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 13．已知函数，则满足f（a﹣3）＞f（3a﹣1）的实数a的取值范围是（　　） A．（3，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，3） 14．已知函数，若0＜x＜1时，f（x）＜﹣1，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（0，1] C． D． 15．若函数在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D． 16．（文科）已知函数f（x）＝mlnx+8x﹣x2在[1，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为　 ． 17．已知函数f（x）＝aex﹣lnx+ax在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为　 　 ． 18．已知函数f（x）＝x+cos2x，则f（x）在的单调递减区间为　 　 ． 19．已知函数的图象与直线y＝m交于A，B，C三点，其横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则m的取值范围是　　 ；若B为AC中点，则　 ． 20．已知函数f（x）＝eax﹣ax+2cosx，其中e为自然对数的底数， （1）当a＝1时，求f（x）在x＝π处的切线； （2）若a为实数，g（x）＝f（x）﹣2cosx，求g（x）的最小值； （3）已知a＞0，且f（x）在[0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围． 21．已知函数f（x）＝ax2﹣（lnx）2（a∈R）． （1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围； （2）若f（x）有3个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 22．已知函数f（x）＝aebx﹣x2﹣2x，其中a＞0，b＞0． （1）当b＝1时，若f（x）在R上是增函数，求a的取值范围； （2）若对任意的b＞0，f（x）均存在两个极值点，求a的取值范围． 23．已知函数． （1）若f（x）为单调递增函数，求实数a的取值范围； （2）设x1；x2为f（x）的两个极值点，证明：． 24．设常数u∈R．已知函数f（x）＝2asinxcosx+cos2x． （1）若a＝1，求y＝f（x）在区间[π，2π）上的零点； （2）若y＝f（x）在上严格增，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 导数与函数的单调性 内 容 导 航 知识点1 函数的单调性 知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤 知识点3 已知函数的单调性求参数 知识点4 含参函数的单调性讨论 知识点5 求不含参函数的单调区间 知识点6 函数图象与导函数图象的关系 知识点7 利用单调性比较大小 知识点8 利用单调性解不等式 题型1 利用导数求解函数的单调性和单调区间 题型2 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 知 识 点 通 关 知识点1 函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果（不恒等于0），则为增函数；如果（不恒等于0）nn，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件. ③可导函数在上单调递增的充要条件是对，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为0． 知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 知识点3 已知函数的单调性求参数 1．函数在区间D上单调递增在区间D上恒成立； 函数在区间D上单调递减在区间D上恒成立； 2．函数在区间D上存在单调递增区间在区间D上能成立； 函数在区间D上存在单调递减区间在区间D上能成立； 3．已知函数在区间D内单调在区间D上不存在变号零点； 4．已知函数在区间D内不单调在区间D上存在变号零点 知识点4 含参函数的单调性讨论 1．讨论的分类标准： ①最高次的系数是否为0;②导数等于0时有根还是无根;③多根情况要比较两根大小;④根是否在定义域或指定的区间内 2．讨论单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数的分子部分的最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0; 第三步:令，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 知识点5 求不含参函数的单调区间 方法技巧 求不含参数函数单调区间的步骤 ①确定函数的定义域；②求导数. ③由 (或)，解出相应的x的范围， 当时， 在相应的区间上是增函数;当时， 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时，不要写成并集，用“，”隔开即可. 知识点6 函数图象与导函数图象的关系 方法技巧 函数的图象与导函数图象之间的关系 注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减;而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 知识点7 利用单调性比较大小 方法技巧 构造函数比较大小 据题目结构构造合适函数，求导确定函数在指定区间的单调性。把待比较数值转化为同一单调区间上的函数值，再由单调性直接判断大小关系。 知识点8 利用单调性解不等式 方法技巧 判断函数性质解不等式 先将不等式化为形式，确定的单调性与定义域。利用单调性脱去对应法则，转化为自变量不等式，同时必须满足定义域限制。 考 点 演 练 题型1 利用导数求解函数的单调性和单调区间 【典例1】已知三次函数y＝x3﹣6x2+9x，若不等式y≤m的解集为{x|x≤m}，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解答】解：由题：y′＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3）， 由y′＞0，得x＞3或x＜1，由y′＜0，得1＜x＜3， 因此y＝x3﹣6x2+9x在（﹣∞，1），（3，+∞）单调递增，在（1，3）单调递减， 因此当x＝1时，极大值为4， 即当x≤1时，y≤4， 又当x＝3时，极小值为0，当x＝4时，y＝4， 且函数y＝x3﹣6x2+9x在（1，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增， 即当1＜x≤4时，y≤4，当x＞4时，y＞4， 综上可知不等式y≤4的解集为{x|x≤4}． 故选：D． 【变式1】已知正实数a，b满足aea﹣2＝e2025和b（lnb﹣2）＝e2028，则（　　） A．e2028＜ab＜e2029 B．e2027＜ab＜e2028 C．e2026＜ab＜e2027 D．e2025＜ab＜e2026 【答案】A 【解答】解：∵aea﹣2＝e2025， ∴ln（aea﹣2）＝lne2025，即lna+lnea﹣2＝lne2025⇒lna+a＝2027， ∵b（lnb﹣2）＝e2028， ∴ln[b（lnb﹣2）]＝lne2028，即lnb+ln（lnb﹣2）＝2028⇒lnb﹣2+ln（lnb﹣2）＝2026， 令f（x）＝lnx+x，x＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增， f（a）＝lna+a＝2027，f（lnb﹣2）＝lnb﹣2+ln（lnb﹣2）＝2026， ∵2027＞2026，∴a＞lnb﹣2，∴a+2＞lnb，∴b＜ea+2， 由aea﹣2＝e2025，可得aea＝e2027， ∴ab＞（lnb﹣2）b＝e2028，ab＜aea+2＝e2029， ∴e2028＜ab＜e2029． 故选：A． 题型2 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 【典例1】若函数f（x）＝lnxax2﹣2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞） 【答案】C 【解答】解：解法1：f′（x）ax﹣2， 由题意知f′（x）＜0有实数解， ∵x＞0， ∴ax2+2x﹣1＞0有正的实数解． 当a≥0时，显然满足； 当a＜0时，只要Δ＝4+4a＞0， ∴﹣1＜a＜0， 综上所述，a＞﹣1． 解法2：f′（x）ax﹣2， 由题意可知f′（x）＜0在（0，+∞）内有实数解． 即1﹣ax2﹣2x＜0在（0，+∞）内有实数解． 即a在（0，+∞）内有实数解． ∵x∈（0，+∞）时，（1）2﹣1≥﹣1，∴a＞﹣1． 故选：C． 【变式1】已知函数g（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax2+a在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：g′（x）＝（2x+1）ex﹣2ax， 由题意得：g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2a恒成立， 设f（x）（x＞0），f′（x）， 令f′（x）＞0，解得：x，令f′（x）＜0，解得：0＜x， 故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增， 故f（x）min＝f（）＝4，故a≤2， 故选：A． 过 关 验 收 1．若方程ex＝aln（x﹣2）+alna﹣2a在（2，+∞）上有解，则实数a的取值范围是（　　） A．[3，+∞） B．（0，3] C．[e3，+∞） D．（0，e3] 【答案】C 【解答】解：由题意：ex＝aln（x﹣2）+alna﹣2a可化为： ， 即ex﹣lna+x﹣lna＝ln（x﹣2）+x﹣2＝eln（x﹣2）+ln（x﹣2）①， 设f（t）＝et+t，则f′（t）＝et+1＞1，所以f（t）在R上单调递增， 由①得：f（x﹣lna）＝f（ln（x﹣2））， 所以x﹣lna＝ln（x﹣2），即lna＝x﹣ln（x﹣2）， 设g（x）＝x﹣ln（x﹣2），则， 当x∈（2，3）时，g′（x）＜0，则g（x）在（2，3）上单调递减， 当x∈（3，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在（3，+∞）上单调递增， 所以g（x）≥g（3）＝3，所以lna≥3，a≥e3． 故选：C． 2．若方程|lnx|＝kx的三个根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）成等比数列，则公比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由|lnx|＝kx得x＞0，所以， 令，则． 方程|lnx|＝kx的根等价于直线y＝k与f（x）图象的交点的横坐标． 因为， 当0＜x＜e时，y′＞0，单调递增； 当x≥e时，y′≤0，单调递减，且为正． 又当x→0时，；当x→+∞时，． （*）， 因x1，x2，x3（0＜x1＜x2＜x3）成等比数列，可设， 所以，x3＝qx2， 代入（*）式得， 由得，即， 所以q（lnq﹣lnx2）＝lnx2，解得， 代入，可得， 整理得q2﹣2q﹣1＝0，解得或（舍）． 故选：B． 3．已知实数a和b（其中b＞1）满足方程：，则下列不等式成立的是（　　） A．ea＞b2 B．a2＞eb C．a＞2b D．a＞lnb 【答案】D 【解答】解：因为且b＞1，故， 而b＞1，所以2lnb＞lnb，故， 设，则， 所以为R上的减函数， 而即为f（a）＜f（lnb），故a＞lnb，故D成立． 由b＞1可得b2＞b，即， 故， 所以f（a）＞f（lnb2），所以a＜lnb2即ea＜b2，故A错误． 对于B，取b＞e2，由D可得a＞lnb＞0． 若a2＞eb，则即， 设，， 易得g′（b）为（e2，+∞）上的减函数， 故， 所以在（e2，+∞）上为减函数， 所以，故， 所以a2＞eb不成立，故B错误． 对于C，取b＝e，则，即， 仍取D分析中的函数f（x），考虑方程的解， 设，因为为R上的减函数， 所以h（x）为R上的减函数，而h（2）＝f（2）20， 故a＜2，故此时a＞2b不成立，故C错误． 故选：D． 4.已知函数，若函数g（x）＝[f（x）]2+3af（x）﹣e2﹣2ae恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．（﹣∞，﹣e） 【答案】A 【解答】解：已知函数，其定义域为（0，1）∪（1，+∞）， 那么导函数， 令f′（x）＝0，即，那么lnx﹣1＝0，解得x＝e． 当x＞e时，lnx﹣1＞0，导函数f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当0＜x＜1或1＜x＜e时，lnx﹣1＜0，导函数f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 因此函数f（x）在x＝e处取得极小值，也是最小值，． 令t＝f（x），那么函数g（t）＝t2+3at﹣e2﹣2ae， 因此g（x）恰有3个不同的零点， 即t2+3at﹣e2﹣2ae＝0（e不是方程的根）有两个不同的实数根t1，t2， 且其中一个根为t1＜0，另一个根t2＞e． 那么，解得． 实数a的取值范围是． 故选：A． 5．已知函数f（x）＝ex+x﹣m的零点为x1，函数g（x）＝lnx+x﹣m的零点为x2，其中m＞1，则的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B． C． D．[2，+∞） 【答案】C 【解答】解：因为函数f（x）的零点为x1，所以， 因为函数g（x）的零点为x2，所以lnx2+x2﹣m＝0， 则，即， 可得，令h（x）＝ex+x， 则h′（x）＝ex+1＞0，可得h（x）在R上单调递增， 所以h（x1）＝h（lnx2），则x1＝lnx2，即， 可得， 由已知得，则， 而m＞1，h（0）＝1，则h（x1）＞h（0），解得x1∈（0，+∞）， 令，则， 令t′（x）＜0，x∈（0，1），令t′（x）＞0，x∈（1，+∞）， 可得t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 则t（x）的最小值为t（1）＝e，即t（x）∈[e，+∞）， 而可化为与构成的复合函数， 由对勾函数性质得在[e，+∞）上单调递增， 所以，则的取值范围是． 故选：C． 6．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）﹣f（x）＞0，且f（2）＝e2，则不等式的解集为（　　） A．（﹣∞，e4） B．（e2，+∞） C．（0，e4） D．（0，e2） 【答案】C 【解答】解：设，求导得， 因为f'（x）﹣f（x）＞0，且ex＞0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在R上单调递增， 因为f（2）＝e2，则， 对于不等式，因为， 所以不等式可化为，即． 令，则不等式进一步化为，即g（t）＜g（2）， 因为g（x）在R上单调递增，所以g（t）＜g（2），等价于t＜2，即， 解不等式，两边同时乘以2得lnx＜4，根据对数函数的单调性，可得0＜x＜e4． 所以不等式的解集为（0，e4）． 故选：C． 7．若关于x的方程有三个不等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828⋯为自然对数的底数，则的值为（　　） A．e B．e2 C．m（2+m）4 D．m（1+m）4 【答案】B 【解答】解：令，所以由，可得t2+（m+1）t+m+e＝0， 设，，当x＞1时，g′（x）＜0，所以函数单调递减， 当x＜1时，g′（x）＞0，所以函数单调递增，而， 显然当x＞0时，g（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜0，因此函数的图象如下图所示： 要想关于x的方程有三个不等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3， 结合函数图象可知，只需关于t的方程t2+（m+1）t+m+e＝0有两个不相等的实数根t1，t2，且， 所以， ， ． 故选：B． 8．下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的是（　　） A．y B．y＝2﹣x﹣2x C．y＝sinx D．y＝ln 【答案】D 【解答】解：A，f（﹣x）f（x），是偶函数，不符合题意； B，f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx＝﹣f（x），是奇函数，但定义域内不单调，不符合题意； C，f（﹣x）＝2x﹣2﹣x＝﹣f（x），是奇函数， f′（x）＝[2﹣x•ln2•（﹣1）]﹣2xln2＝﹣2xln2﹣2﹣xln2＝﹣ln2（2x+2﹣x）＜0恒成立， 所以f（x）定义域内单调递减，不符合题意； D，f（x）有意义，所以0，所以x∈（﹣5，5）， f（﹣x）＝lnf（x），是奇函数， 设f（u）＝lnu，u（x），所以f（u）是增函数， 因为u′（x）0恒成立， 所以u（x）是增函数， 所以f（x）是增函数，符合题意； 故选：D． 9．已知，则（　　） A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 【答案】D 【解答】解：设f（x）＝ex﹣x﹣1，则f′（x）＝ex﹣1， 当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0， 故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增， 故h（x）≥h（0）＝0，当且仅当x＝0时等号成立， 即ex≥x+1，当且仅当x＝0时等号成立， 故当x＞﹣1时，lnex≥ln（x+1），即x≥ln（x+1）． 令，由ex≥x+1可得， 而， 故b＜c＜a． 故选：D． 10．已知函数． （1）求f（x）的最大值； （2）当x≥0时，f（x）≤2ex﹣x2+2（1﹣a）x﹣4，求a的取值范围； （3）证明：，n∈N*． 【答案】（1）﹣2； （2）（﹣∞，2]； （3）由（1）知，2x﹣x2﹣2sinx﹣2≤﹣2，故， 当且仅当x＝0时，等号成立，故当x＞0时，， 取，k＝1，2，3，⋯，n， 则， 故，，⋯，， 所以 ， 即． 【解答】解：（1）f（x）＝2x﹣x2+2cos（）＝2x﹣x2﹣2sinx﹣2， 则f′（x）＝2（1﹣x﹣cosx）， 当x∈（﹣∞，0）时，1﹣x﹣cosx＞0，所以f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈[0，+∞）时，令h（x）＝f′（x）＝2（1﹣x﹣cosx）， 则h′（x）＝2sinx﹣2≤0，则f′（x）在[0，+∞）上单调递减， 则f′（x）≤f′（0）＝0，所以f（x）在[0，+∞）上单调递减， 所以f（x）max＝f（0）＝﹣2，所以f（x）的最大值为﹣2； （2）由f（x）≤2ex﹣x2+2（1﹣a）x﹣4，整理可得sinx﹣ax+ex﹣1≥0， 当x＝0时，sinx﹣ax+ex﹣1＝0，符合题意； 令g（x）＝sinx﹣ax+ex﹣1，则g′（x）＝cosx+ex﹣a， 令t（x）＝g′（x），则t′（x）＝ex﹣sinx， 当x＞0时，t′（x）＞0，g′（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以g′（x）＞g′（0）＝2﹣a； ①当a≤2时，g′（x）＞2﹣a≥0，g（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以g（x）＞g（0）＝0，符合题意； ②当a＞2时，g′（0）＝2﹣a＜0，g′（ln（2+a））＝2+cos（ln（2+a））＞0， 存在x0∈（0，ln（2+a）），使得g′（x0）＝0， 当0＜x＜x0时，g′（x）＜g′（x0）＝0， g（x）在（0，x0）上单调递减，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意； a的取值范围是（﹣∞，2]； （3）证明：由（1）知，2x﹣x2﹣2sinx﹣2≤﹣2，故sinx，当x＝0时等号成立， 故x＞0时，sinx＞x， 取x，k＝1，2，3，⋯，n， 则， 所以 ， 即． 11．已知函数f（x）＝xex﹣eax． （1）当a＝1时，求f（x）的单调区间； （2）当x＞0时，f（x）＞﹣1，求a的取值范围； （3）设n∈N*，证明：． 【答案】（1）函数f（x）在区间（﹣∞，0）单调递减，在区间（0，+∞）单调递增． （2）（﹣∞，1]． （3）由（1）知，当a＝1时，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增， 所以当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝﹣1， 即xex﹣ex＞﹣1，所以当x∈（0，1）时，． 当n∈N*时，，则有． 令h（x）＝ex﹣1﹣x，求导得h′（x）＝ex﹣1﹣1，当x＜1时，h′（x）＜0； 当x＞1时，h′（x）＞0，所以h（x）＝ex﹣1﹣x≥h（1）＝e1﹣1﹣1＝0， 所以ex﹣1≥x，所以3n﹣1≥en﹣1≥n，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xex﹣ex，f′（x）＝xex， 所以当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0． 所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）单调递减，在区间（0，+∞）单调递增． （2）因为x＞0，所以当a≤1时，f（x）≥xex﹣ex，由（1）知f（x）＞f（0）＝﹣1， 当a＞1时，f′（x）＝（x+1）ex﹣aeax＝ex（x+1﹣ae（a﹣1）x）． 又当x∈（0，a﹣1）时，x+1＜a﹣1+1＝a，ae（a﹣1）x＞a， 所以x+1＜ae（a﹣1）x，即f′（x）＜0．所以f（x）在区间（0，a﹣1）单调递减， 所以f（a﹣1）＜f（0）＝﹣1，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]． （3）证明：由（1）知，当a＝1时，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增， 所以当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝﹣1， 即xex﹣ex＞﹣1，所以当x∈（0，1）时，． 当n∈N*时，，则有． 令h（x）＝ex﹣1﹣x，求导得h′（x）＝ex﹣1﹣1，当x＜1时，h′（x）＜0； 当x＞1时，h′（x）＞0，所以h（x）＝ex﹣1﹣x≥h（1）＝e1﹣1﹣1＝0， 所以ex﹣1≥x，所以3n﹣1≥en﹣1≥n，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 12．已知函数． （1）当a＝2时，求f（x）在x＝0处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）4x﹣2y+3＝0． （2）当a＞0时，f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣lna）上单调递减； 当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减． （3）（0，1）． 【解答】解：（1）当a＝2时，函数，因此导函数f′（x）＝2e2x+ex﹣1， 所以， 因此切线为，即4x﹣2y+3＝0． （2）由于函数，因此导函数f′（x）＝ae2x+（a﹣1）ex﹣1＝（aex﹣1）（ex+1）， 当a≤0时，显然f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减， 当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝﹣lna， 若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，故f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增， 若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减， 综上所述，当a＞0时，f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣lna）上单调递减； 当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减． （3）当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，此时f（x）不可能有两个零点， 当a＞0时，根据第二问可知， 若f（x）有两个零点，则一定有， 令，则，所以g（a）在（0，+∞）上单调递增， 因为，所以若g（a）＜0，则有0＜a＜1， 下面证明：a∈（0，1）时，f（x）有两个零点； 因为， 由零点的存在性定理可知f（x）在（﹣∞，﹣lna）上存在唯一零点， 当时，由y＝ex的单调性可知，所以， 所以，所以，所以， 又因为， 令t（x）＝ex﹣x﹣1，所以t′（x）＝ex﹣1，令t′（x）＝0，解得x＝0， 当x∈（0，+∞）时，t′（x）＞0，则t（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x∈（﹣∞，0）时，t′（x）＜0，则t（x）在（﹣∞，0）上单调递减， 所以t（x）≥t（0）＝1﹣1＝0，所以ex﹣x﹣1≥0，当且仅当x＝0时取等号， 所以， 故当时，， 由零点的存在性定理可知f（x）在（﹣lna，+∞）上存在唯一零点， 所以f（x）有两个零点， 综上所述，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（0，1）． 13．已知函数，则满足f（a﹣3）＞f（3a﹣1）的实数a的取值范围是（　　） A．（3，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，3） 【答案】C 【解答】解：当x＜0时，f（x）＝ex+e﹣x+1， 所以f′（x）＝ex﹣e﹣x， 令g（x）＝ex﹣e﹣x， 则g′（x）＝ex+e﹣x＞0恒成立， 故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则f′（x）＜e0﹣e0＝0， 则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，则f（x）＞e0+e0+1＝3， 又当x≥0时，f（x）＝3， 则有，即， 解得﹣1＜a＜3， 故满足f（a﹣3）＞f（3a﹣1）的实数a的取值范围是（﹣1，3）． 故选：C． 14．已知函数，若0＜x＜1时，f（x）＜﹣1，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（0，1] C． D． 【答案】D 【解答】解：已知函数， 令g（x）＝xlnx﹣x，因此g′（x）＝lnx，0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，0＜x＜1时，g（x）＞g（1）＝﹣1． 当a≥0时，，从而f（x）＞﹣1，与0＜x＜1时，f（x）＜﹣1矛盾． 当a＜0时，． 设，， ， 取x为﹣2a与e﹣4中较小的值时，h（x）＜0，因此h（x）在（0，+∞）上存在唯一一个零点x0，h（x0）＝0， 当0＜x＜x0时，h（x）＜0；当x＞x0时，h（x）＞0． （i）若，因此x0＝1，当x＞0时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，因此0＜x＜1时，f（x）＜f（1）＝﹣1，满足题意； （ii）若，h（1）＝6+4a＞0，因此0＜x0＜1， 当x0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x0）＞f（1）＝﹣1，与0＜x＜1时，f（x）＜﹣1矛盾； （iii）若，h（1）＝6+4a＜0，因此x0＞1， 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此0＜x＜1时，f（x）＜f（1）＝﹣1，满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：D． 15．若函数在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D． 【答案】D 【解答】jie：因为函数在[1，4]上存在单调递增区间， 所以存在x∈[1，4]，使成立，即存在x∈[1，4]，使成立， 令，x∈[1，4]，变形得， 因为x∈[1，4]， 所以， 所以当，即x＝4时，， 所以． 故选：D． 16．（文科）已知函数f（x）＝mlnx+8x﹣x2在[1，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为　 ． 【答案】（﹣∞，﹣8] 【解答】解：f′（x）8﹣2x， 令g（x）＝﹣2x2+8x+m， 若函数f（x）＝mlnx+8x﹣x2在[1，+∞）上单调递减， 则﹣2x2+8x+m≤0在[1，+∞）上恒成立， 即m≤2x2﹣8x在[1，+∞）上恒成立， 令h（x）＝2x2﹣8x，x∈[1，+∞）， h′（x）＝4x﹣8，令h′（x）＞0，解得：x＞2， 令h′（x）＜0，解得：1≤x＜2， 故h（x）在[1，2）递减，在（2，+∞）递增， 故h（x）min＝h（2）＝﹣8， 故m≤﹣8， 故答案为：（﹣∞，﹣8]． 17．已知函数f（x）＝aex﹣lnx+ax在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，则∀x∈（1，2），f′（x）≥0， 可得，可得， 构造函数g（x）＝x（ex+1），其中1＜x＜2，则g′（x）＝ex+1+xex＞0， 所以函数g（x）在（1，2）上单调递增，则g（1）＜g（x）＜g（2），即g（x）∈（e+1，2e2+2）， 故当x∈（1，2）时，，故，即a的最小值为． 故答案为：． 18．已知函数f（x）＝x+cos2x，则f（x）在的单调递减区间为　 　 ． 【答案】． 【解答】由题意得f′（x）＝1﹣2sin2x， 因，则， 由f′（x）＝1﹣2sin2x＜0 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即． 故f（x）在上单调递减的区间为． 故答案为：． 19．已知函数的图象与直线y＝m交于A，B，C三点，其横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则m的取值范围是　　 ；若B为AC中点，则　 ． 【答案】（），1． 【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）． ，令f′（x）＝0，解得x＝2， x （﹣∞，0） （0，2） 2 （2，+∞） f′（x） + ﹣ 0 + f（x） ↑ ↓ 极小值 ↑ 当x→﹣∞，f（x）→0+，x→0﹣，f（x）→+∞，x→0+，f（x）→+∞， 要使f（x）的图象与直线y＝m有3个交点，则， 由题意，B为AC中点，∴x1+x3＝2x2（x1＜0，x3＞x2＞0）且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝m，即． 由，则x2﹣2lnx2＝x3﹣2lnx3，得（i）， 由，得x1﹣2ln（﹣x1）＝x2﹣2lnx2， 结合中点条件x1＝2x2﹣x3，有（2x2﹣x3）﹣2ln（x3﹣2x2）＝x2﹣2lnx2，得：（ii）， 令，则x3＝tx2代入（i）得：tx2﹣x2＝2lnt，∴，， 再将x3＝tx2代入（ii）得：，整理得：x2（1﹣t）＝2ln（t﹣2）． 将代入上式得：，整理得， ∴，即t2﹣2t﹣1＝0，解得t＝1， 由于t＞1，，即． 故答案为：（），1． 20．已知函数f（x）＝eax﹣ax+2cosx，其中e为自然对数的底数， （1）当a＝1时，求f（x）在x＝π处的切线； （2）若a为实数，g（x）＝f（x）﹣2cosx，求g（x）的最小值； （3）已知a＞0，且f（x）在[0，+∞）单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】（1）y＝（eπ﹣1）x﹣πeπ+eπ﹣2； （2）最小值为1； （3）． 【解答】解：（1）因为f（x）＝ex﹣x+2cosx，求导得f′（x）＝ex﹣1﹣2sinx， 所以f（π）＝eπ﹣π﹣2，f′（π）＝eπ﹣1， 所以切线方程为y﹣（eπ﹣π﹣2）＝（eπ﹣1）（x﹣π），即y＝（eπ﹣1）x﹣πeπ+eπ﹣2； （2）因为g（x）＝eax﹣ax，令t＝ax∈R，h（t）＝et﹣t，所以g（x）＝h（ax）， 所以h′（t）＝et﹣1，所以当t＞0时，h′（t）＞0，当t＜0时，h′（t）＜0， 所以h（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增， 所以h（t）的最小值为h（0）＝1，即g（x）的最小值为1； （3）因为f（x）＝eax﹣ax+2cosx，所以f′（x）＝aeax﹣a﹣2sinx， 令p（x）＝f′（x）＝aeax﹣a﹣2sinx，则p′（x）＝a2eax﹣2cosx， 因为当a＞0时，f（x）在[0，+∞）单调递增，所以∀x≥0，f′（x）＝aeax﹣a﹣2sinx≥0， 若p′（0）＝a2﹣2＜0，即时，∃t＞0使得x∈（0，t）时，p′（x）＜0， 所以p（x）即f′（x）在[0，t）单调递减，所以当x∈（0，t）时，f′（x）＜f′（0）＝a﹣a＝0，不合题意， 所以p′（0）＝a2﹣2≥0，即，下面证明时符合题意． 因为∀x≥0，eax≥ex≥1，2≥2cosx≥﹣2，所以当时p′（x）≥a2﹣2≥2﹣2＝0， 即f′（x）在[0，+∞）单调递增，所以∀x≥0，f′（x）≥f′（0）＝0， 综上，实数a的取值范围为． 21．已知函数f（x）＝ax2﹣（lnx）2（a∈R）． （1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围； （2）若f（x）有3个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）证明：∵，∴， ∵当x∈（e，+∞）时，h（x）单调递减，当x∈（0，e）时，h（x）单调递增，且h（1）＝0，x1＜x2＜x3， ∴x1∈（0，1），x2∈（1，e），x3∈（e，+∞）， ∵，∴， ∵h（x）在（0，1）上单调递增，∴， ∵h（x1）＜h（1）＝0，∴， ∴证明可以转化成证明，即证lnx2+lnx3＞2， ∵，化简可得， ∴， ∴， 设，可得， ∴证明lnx2+lnx3＞2可以转换为证明当t＞1时，即证， 设，则， ∵当t＞1时，F′（t）＞0， ∴F（t）在（1，+∞）上单调递增，F（t）＞F（1）＝0，∴， ∵，∴． 【解答】解：（1）由题意f（x）＝ax2﹣（lnx）2，求导可得， 因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≥0，即， 设，求导可得， 令g′（x）＝0，即1﹣2lnx＝0，可得， 当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 因此g（x）的极大值为，即， 所以a的取值范围是； （2）（i）令f（x）＝0，可得， 因为f（x）有三个零点，所以a＞0，因此可得有3个不同的实数根， 设，求导可得， 令h′（x）＝0，即1﹣lnx＝0，可得x＝e， 当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）的值域为， 当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）的值域为， 所以当且仅当时，有3个不同的实数根， a的取值范围是； （ii）证明：∵，∴， ∵当x∈（e，+∞）时，h（x）单调递减，当x∈（0，e）时，h（x）单调递增，且h（1）＝0，x1＜x2＜x3， ∴x1∈（0，1），x2∈（1，e），x3∈（e，+∞）， ∵，∴， ∵h（x）在（0，1）上单调递增，∴， ∵h（x1）＜h（1）＝0，∴， ∴证明可以转化成证明，即证lnx2+lnx3＞2， ∵，化简可得， ∴， ∴， 设，可得， ∴证明lnx2+lnx3＞2可以转换为证明当t＞1时，即证， 设，则， ∵当t＞1时，F′（t）＞0， ∴F（t）在（1，+∞）上单调递增，F（t）＞F（1）＝0，∴， ∵，∴． 22．已知函数f（x）＝aebx﹣x2﹣2x，其中a＞0，b＞0． （1）当b＝1时，若f（x）在R上是增函数，求a的取值范围； （2）若对任意的b＞0，f（x）均存在两个极值点，求a的取值范围． 【答案】（1）[2，+∞）； （2）． 【解答】解：（1）由题意函数f（x）＝aebx﹣x2﹣2x，其中a＞0，b＞0， 当b＝1时，f（x）＝aex﹣x2﹣2x，对函数求导可得f′（x）＝aex﹣2x﹣2， 依题意f′（x）≥0，等价于，x∈R． 设，则， 所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增， 所以h（x）max＝h（0）＝2，所以a≥h（x）max＝2， 所以a的取值范围是[2，+∞）； （2）由题意函数f（x）＝aebx﹣x2﹣2x，其中a＞0，b＞0， 对函数求导可得f′（x）＝abebx﹣2x﹣2， 设m（x）＝f′（x），则m′（x）＝ab2ebx﹣2， 令m′（x）＝0，解得， 所以f′（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 又x→+∞时，f′（x）→+∞，x→﹣∞时，f′（x）→+∞， 所以， 所以． 设g（b）＝1﹣b+2lnb，则， 令g′（b）＝0，解得b＝2，所以g（b）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， 所以g（b）max＝g（2）＝2ln2﹣1， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 23．已知函数． （1）若f（x）为单调递增函数，求实数a的取值范围； （2）设x1；x2为f（x）的两个极值点，证明：． 【答案】（1）（﹣∞，3]； （2）证明：由（1）知，x1，x2是f（x）的极值点， 即f'（x1）＝0，f'（x2）＝0，由x＞0，则，故， 因此， ， 因此， 已知三次方程2x3﹣ax2+1＝0有两个正根x1，x2设第三个根是m， 则2（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣m）＝2x3﹣2（m+x1+x2）x2+2[m（x1+x2）+x1x2]x﹣2mx1x2＝0， 故，故，则， 令t＝x1+x2，s＝x1x2，则，， 由基本不等式，， 代入得，化简得s＞1， 因此， 因此， 令， 求导得， 令，求导得， 当s＞1时，u（s）＝﹣256s5+60s2256+60+4＜0， 故u（s）在（1，+∞）上单调递减，故， 故F′（s）＝s•u（s）＜0，则F（s）在（1，+∞）上单调递减， 因此， 即，命题得证． 【解答】解：（1）定义域为（0，+∞），求导得， 已知f（x）为单调递增函数，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 两边同时乘以正数x得2x3﹣ax2+1≥0，即对任意x＞0恒成立， 令，求导得， 令g'（x）＝0，解得x＝1， 当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减； 当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增； 故g（x）在x＝1处取得最小值g（1）＝3，故a≤3，即实数a的取值范围为（﹣∞，3]； （2）证明：由（1）知，x1，x2是f（x）的极值点， 即f'（x1）＝0，f'（x2）＝0，由x＞0，则，故， 因此， ， 因此， 已知三次方程2x3﹣ax2+1＝0有两个正根x1，x2设第三个根是m， 则2（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣m）＝2x3﹣2（m+x1+x2）x2+2[m（x1+x2）+x1x2]x﹣2mx1x2＝0， 故，故，则， 令t＝x1+x2，s＝x1x2，则，， 由基本不等式，， 代入得，化简得s＞1， 因此， 因此， 令， 求导得， 令，求导得， 当s＞1时，u（s）＝﹣256s5+60s2256+60+4＜0， 故u（s）在（1，+∞）上单调递减，故， 故F′（s）＝s•u（s）＜0，则F（s）在（1，+∞）上单调递减， 因此， 即，命题得证． 24．设常数u∈R．已知函数f（x）＝2asinxcosx+cos2x． （1）若a＝1，求y＝f（x）在区间[π，2π）上的零点； （2）若y＝f（x）在上严格增，求a的取值范围． 【答案】（1）和； （2）a∈[，+∞）． 【解答】解：（1）f（x）＝asin2x+cos2x， 当a＝1时，f（x）＝sin2x+cos2x， sin2x+cos2x＝0⇒sin2x＝﹣cos2x⇒tan2x＝﹣1， 解得：， 当k＝3时， 当k＝4时，， 故y＝f（x）在区间[π，2π）上的零点为和； （2）f（x）＝asin2x+cos2x，故f′（x）＝2acos2x﹣2sin2x 即f′（x）≥0在上恒成立，即：acos2x﹣sin2x≥0 当时，，cos2x＞0，故a≥tan2x，所以a∈[，+∞）． 学科网（北京）股份有限公司 $