第02讲 常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

第02讲 常用逻辑用语 内 容 导 航 知识点1 充分条件与必要条件 知识点2 全称量词与存在量词 知识点3 充分必要条件的判断 知识点4 充分必要条件的证明 知识点5 全称、存在量词命题的否定与真假判断 知识点6 根据命题真假/充要关系求参数范围 题型1 充分条件的应用与判定定理 题型2 必要条件的应用与性质定理 题型3 充分不必要条件的应用 题型4 必要不充分条件的应用 题型5 充要条件的应用 题型6 既不充分也不必要条件的应用 题型7 全称量词命题真假的应用 题型8 存在量词命题真假的应用 题型9 全称量词命题否定真假的应用 题型10 存在量词命题否定真假的应用 知 识 点 通 关 知识点1 充分条件与必要条件 1、核心辨析 “p是q的充分条件” 等价于 “只要有p，就一定有q”； “p是q的必要条件” 等价于 “没有p，就一定没有q”； 充要条件是数学定义的标准形式，如 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 就是充要条件。 2、集合关系与充要条件的对应（新教材重点） 集合关系 逻辑关系 条件类型 A⫋B p⇒q且q⇏p p是q的充分不必要条件 B⫋A p⇏q且q⇒p p是q的必要不充分条件 A=B p⟺q p是q的充要条件 A⊈B且B⊈A p⇏q且q⇏p p是q的既不充分也不必要条件 3、充要条件证明规范 第一步：证明充分性（由条件推结论）； 第二步：证明必要性（由结论推条件）； 最后下结论：“综上，p是q的充要条件”。 知识点2 全称量词与存在量词 1. 命题否定的易错点 不能只否定结论，必须同时改变量词； 常见结论的否定：“是”→“不是”；“都是”→“不都是”；“至少有一个”→“一个也没有”；“至多有一个”→“至少有两个”。 2. 含量词命题的真假判断技巧 全称量词命题找反例：只要找到一个不满足的元素，命题即为假； 存在量词命题找特例：只要找到一个满足的元素，命题即为真； 3. 新教材术语规范：统一使用 “全称量词命题”“存在量词命题”。 知识点3 充分必要条件的判断 方法技巧 充分必要条件的快速判断 1、定义法：适用于逻辑关系清晰的命题，直接推导两个方向的真假 2、集合法：适用于条件和结论都能转化为集合范围的命题，如不等式解集 3、等价转化法：适用于否定形式的命题，转化为判断其逆否命题 易错分析 混淆定义 1、混淆 “p是q的充分条件” 和 “p的充分条件是q” 2、忽略特殊情况，如空集、零向量、常数函数等 3、立体几何中线面关系的判定定理和性质定理混淆 知识点4 充分必要条件的证明 方法技巧 充要条件证明的规范步骤 1、明确证明方向：分充分性和必要性两步 。 2、充分性：假设条件成立，推导结论成立 。 3、必要性：假设结论成立，推导条件成立 。 4、最后总结：“综上，p是q的充要条件”。 易错分析 遗漏过程 1、只证明一个方向，遗漏另一个方向 。 2、证明过程中逻辑不严谨，出现循环论证 。 3、混淆充分性和必要性的推导方向。 知识点5 全称、存在量词命题的否定与真假判断 方法技巧 含量词命题的解题要点 1、否定：严格遵循 “改量词，否结论” 的规则。 2、真假判断：全称命题找反例，特称命题找特例。 3、常见结论否定：“≥”→“<”；“≤”→“>”；“所有”→“存在”；“存在”→“所有”。 易错分析 遗漏量词符号的改变 1、只否定结论，不改变量词。 2、对 “都是”“至少有一个” 等结论的否定错误。 3、忽略量词的取值范围，如x∈N包含x=0。 知识点6 根据命题真假/充要关系求参数范围 方法技巧 求参数范围的解题思路 1、先分别求出每个命题为真时参数的取值范围。 2、根据复合命题真假或充要关系，转化为集合间的包含关系。 3、利用数轴画出集合范围，列不等式组求解。 4、注意端点值的取舍，单独验证。 易错分析 忽略条件 1、忽略参数使集合为空集的情况。 2、端点值取舍错误，导致范围扩大或缩小。 3、分类讨论不全面，遗漏参数的取值情况。 考 点 演 练 题型1 充分条件的应用与判定定理 【典例1】设A＝{x|1≤2x≤4}，B＝{x|x2≤ax}，若x∈A是x∈B的充分条件，则（　　） A．0＜a＜2 B．1＜a＜2 C．a＝2 D．a≥2 【答案】D 【解答】解：由题意，得A＝{x|1≤2x≤4}＝[0，2]，B＝{x|x2≤ax}， 因为x∈A是x∈B的充分条件， 所以A⊆B，即∀x∈[0，2]，x2﹣ax≤0， y＝x2﹣ax＝x（x﹣a），开口向上，与x轴交于（0，0），（a，0）， 仅当a≥2满足∀x∈[0，2]，x2﹣ax≤0． 故选：D． 【变式1】集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣2，2] D．（2，+∞） 【答案】B 【解答】解：由题意，x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是[2，+∞）． 故选：B． 题型2 必要条件的应用与性质定理 【典例1】已知条件p：x2+x﹣6＝0；条件q：ax+1＝0（a≠0）．若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解答】解：由x2+x﹣6＝0，得x＝2或x＝﹣3， 由ax+1＝0（a≠0），得， 因为p是q的必要不充分条件，可知或， 解得或． 故选：BC． 【变式1】已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题， （1）求实数m的取值集合M； （2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m＝0可得m＝x2﹣x ∵﹣1＜x＜1 ∴ M＝{m|} （2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N ①当a＞2﹣a即a＞1时，N＝{x|2﹣a＜x＜a}，则即 ②当a＜2﹣a即a＜1时，N＝{x|a＜x＜2﹣a}，则即 ③当a＝2﹣a即a＝1时，N＝∅，此时不满足条件 综上可得 题型3 充分不必要条件的应用 【典例1】已知p：x＜﹣3或x＞2，q：x＞a，且q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围（　　） A．a≤2 B．a≤﹣3 C．a＞2 D．a≥2 【答案】D 【解答】解：因为p：x＜﹣3或x＞2，q：x＞a，且q是p的充分不必要条件， 所以q⇒p，p推不出q， 故a≥2． 故选：D． 【变式1】命题“对∀x∈[1，2]，x2﹣ax+1＜0”为假命题的一个充分不必要条件是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a≤3 D．a＞3 【答案】B 【解答】解：若∀x∈[1，2]，x2﹣ax+1＜0为真命题，则， 因为在[1，2]上单调递增，所以 ，则， 因为命题“对∀x∈[1，2]，x2﹣ax+1＜0”为假命题，所以， 命题“对∀x∈[1，2]，x2﹣ax+1＜0”为假命题的一个充分不必要条件是a≤2． 故选：B． 题型4 必要不充分条件的应用 【典例1】“ln（x﹣1）＜0”的一个必要不充分条件是（　　） A． B．x＞0 C．﹣1＜x＜0 D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，ln（x﹣1）＜0，则有0＜x﹣1＜1，即1＜x＜2， 即“ln（x﹣1）＜0”的充要条件为“1＜x＜2”， 因为1＜x＜2可以推出x＞0，而x＞0不能推出1＜x＜2，所以x＞0是1＜x＜2的必要不充分条件，其它选项均不满足； 所以“ln（x﹣1）＜0”的一个必要不充分条件是x＞0． 故选：B． 【变式1】已知p：x≥a，q：|x+2a|＜3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[1，+∞） D．（1，+∞） 【答案】A 【解答】解：因为q：|x+2a|＜2，所以q：﹣2a﹣3＜x＜﹣2a+3，记A＝{x|﹣2a﹣3＜x＜﹣2a+3}， p：x≥a，记为B＝{x|x≥a}， 因为p是q的必要不充分条件，所以A⫋B， 所以a≤﹣2a﹣3，解得a≤﹣1． 故选：A． 题型5 充要条件的应用 【典例1】“实数集合A，B满足：A∩B＝B”的一个充要条件是（　　） A．A⊆B B．A⊆（A∩B） C．A∪B＝B D．（∁RA）∩B＝∅ 【答案】D 【解答】解：因为A∩B＝B，则B⊆A，故A错误； 又因为A⊆（A∩B）⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B，故BC错误； 因为（∁RA）∩B＝∅⇒B⊆A，故D正确． 故选：D． 【变式1】若“x2+ax+b＝0”是“x＝1”的充要条件，则a+b的值为　 　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：若“x2+ax+b＝0”是“x＝1”的充要条件， 则1+a+b＝0，即a+b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 题型6 既不充分也不必要条件的应用 【典例1】命题，命题，则p是q的 　 　 条件． （填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要． 【解答】解：因为或， 而， 所以p是q的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【变式1】设命题P：|x﹣3|+|x+1|≤6，命题：q：|x+a|＞x+a． （1）求命题p，q分别对应的不等式的解集A，B； （2）若p是q的既不充分也不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）对于命题p：∵|x﹣3|+|x+1|， ∴当x＞3时，由2x﹣2≤6，解得3＜x≤4； 当3≥x≥﹣1时，由4≤6，解得﹣1≤x≤3； 当x＜﹣1时，由﹣2x+2≤6，解得﹣2≤x＜﹣1． 综上可得：|x﹣3|+|x+1|≤6的解集为[﹣2，4]＝A． 对于命题q：∵|x+a|＞x+a．∴x+a＜0，解得x＜﹣a． ∴|x+a|＞x+a的解集为（﹣∞，﹣a）＝B． （2）∵p是q的既不充分也不必要条件， ∴4≥﹣a， 解得a≥﹣4． 题型7 全称量词命题真假的应用 【典例1】若命题“∀x0∈R使得为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣6，2] B．[﹣6，﹣2] C．[﹣2，6] D． 【答案】C 【解答】解：若命题“∀x0∈R使得为真命题， 则Δ＝a2﹣4（a+3）≤0， 解得﹣2≤a≤6． 故选：C． 【变式1】若命题“∀x∈R，x2﹣2ax+6a＞0”是假命题，则a的取值范围是（　　） A．（0，6） B．（﹣∞，0）∪（6，+∞） C．[0，6] D．（﹣∞，0]∪[6，+∞） 【答案】D 【解答】解：若命题“∀x∈R，x2﹣2ax+6a＞0”是假命题， 则命题“∃x∈R，x2﹣2ax+6a≤0是真命题， 所以Δ＝4a2﹣24a≥0，解得a≥6或a≤0． 故选：D． 题型8 存在量词命题真假的应用 【典例1】若“∃x∈（0，π），sin2x﹣msinx＜0”是假命题，则m的取值范围为　 　 ． 【答案】（﹣∞，﹣2]． 【解答】解：由于“∃x∈（0，π），sin2x﹣msinx＜0”是假命题，则sin2x﹣msinx≥0对任意x∈（0，π）恒成立， 因此， 又当x∈（0，π）时，2cosx∈（﹣2，2），且2cosx在（0，π）内可无限趋近﹣2，为满足m≤2cosx恒成立， 故m的取值范围是（﹣∞，﹣2]． 故答案为：（﹣∞，﹣2] 【变式1】若，且“∃x∈[π，3π]，f（x）＞0”为假命题，则cos（2m﹣n）＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题得y＝（m﹣|n﹣x|）与有相同的零点， 而在x∈[π，3π]的零点为，， 所以x1，x2也是（m﹣|n﹣x|）＝0的两个根， 即m＝|n|，m＝|n|，则m，n， ∴． 故答案为：． 题型9 全称量词命题否定真假的应用 【典例1】使p：∀x＞0，的否定为假命题的一个充分不必要条件是（　　） A．a≥4 B．a≤4 C．a≥2 D．a≤2 【答案】D 【解答】解：根据题意，若p：∀x＞0，的否定为假命题，则p为真命题， 当x＞0时，x24，当且仅当x＝2时等号成立， 若p为真命题，必有a≤4，反之也成立，即p为真命题的充分必要条件为a≤4， 由此分析选项： 对于A，a≥4是p为真命题的既不充分也不必要条件，不符合题意； 对于B，a≤4是p为真命题的充分必要条件，不符合题意； 对于C，a≥2是p为真命题的既不充分也不必要条件，不符合题意； 对于D，a≤2是p为真命题充分不必要条件，符合题意． 故选：D． 【变式1】已知命题p：∀x∈（2，3），x2﹣ax+5＞0是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：若命题p：∀x∈（2，3），x2﹣ax+5＞0是假命题， 则命题：∃x∈（2，3），x2﹣ax+5≤0是真命题，即x∈（2，3）时，有解， 因为x2，当且仅当时，， 所以实数a的取值范围是． 故选：A． 题型10 存在量词命题否定真假的应用 【典例1】已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m＝0”，若命题￢P是假命题，则实数m的取值范围是　 ． 【答案】m≤1 【解答】解：命题￢p是假命题，即命题P是真命题， 即关于x的方程4x﹣2x+1+m＝0有实数解， m＝﹣（4x﹣2x+1）＝﹣（2x﹣1）2+1， 所以m≤1 故答案为m≤1 【变式1】已知p：∃x∈R，ax2+2ax+1＝0，q：a≤m﹣1或a≥m+1 （1）若命题￢p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{a|0≤a＜1}； （2）{m|0≤m＜1}． 【解答】解：（1）由命题￢p是真命题，则p为假命题， 所以ax2+2ax+1＝0在x∈R上无解， 当a＝0时，1＝0无解，满足题意， 当a≠0时，只需Δ＝4a2﹣4a＜0，解得0＜a＜1， 综上，a的取值范围是{a|0≤a＜1}； （2）由p是q的必要不充分条件，且p为真命题时a＜0或a≥1， 所以（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）是（﹣∞，0）∪[1，+∞）的真子集， 所以，解得0≤m＜1， 所以实数m的取值范围是{m|0≤m＜1}． 过 关 验 收 1. 已知集合P＝{x|﹣2＜x＜4}，Q＝{x|3m﹣2≤x≤5m+2，m∈R}，若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 　 　 ． 【答案】{m|0或m＜﹣2}． 【解答】解：集合P＝{x|﹣2＜x＜4}，Q＝{x|3m﹣2≤x≤5m+2，m∈R}， 若P的充分条件为Q，则Q⊆P， 当Q＝∅时，3m﹣2＞5m+2，解得m＜﹣2， 当Q≠∅时，，解得0， 故m的范围为{m|0或m＜﹣2}． 故答案为：{m|0或m＜﹣2}． 2．若“x＝1”是“x＞a”的充分条件，则实数a的取值范围为　 　 ． 【答案】（﹣∞，1）． 【解答】解：∵“x＝1”是“x＞a”的充分条件，∴x＝1⇒x＞a，∴a＜1， 即实数a的取值范围为（﹣∞，1）． 故答案为：（﹣∞，1）． 3．给出下列命题：①如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与该平面垂直；②如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线有无数条且都在平面α内；③已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充分不必要条件．其中正确的命题个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：命题①：根据线面垂直的判定定理可知：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与该平面垂直，没有强调相交，①错误； 命题②：根据线面平行的性质，若直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面相交的交线平行于这条直线， 故在平面α内，有无数条平行于交线的直线都与直线a平行，但是过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，②错误； 命题③：根据面面垂直的性质可知，当α⊥β时，α内垂直于交线的直线必然垂直于β，但是m为平面α内的一条直线，未强调垂直于交线，故“α⊥β”无法得到“m⊥β”； 可知，如果一条直线垂直于一个平面，那么过这条直线的任一平面都与该平面垂直，故m⊂α，且m⊥β，可得α⊥β； 综上“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件，③错误． 故选：A． 4．命题“”的一个充分不必要条件是（　　） A．﹣1＜x＜2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：不等式等价于（x﹣2）（2x+1）＜0，解得． 结合选项课知，C选项是原解集真子集，符合题意． 故选：C． 5．若a，b是空间中的两条直线，则“a∥b”是“存在平面α，使a⊂α，b⊂α”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解答】解：由a∥b，可得a和b共面，故存在平面α，使a⊂α，b⊂α； 但存在平面α，使a⊂α，b⊂α，a和b可以平行，也可以相交． 故“a∥b”是“存在平面α，使a⊂α，b⊂α”的充分不必要条件． 故选：A． 6．已知m＞0，使得不等式成立的一个充分不必要条件是﹣2≤x≤4，则m的取值范围是　　 ． 【答案】（4，+∞）． 【解答】解：由，可得（x+m+1）（x﹣m）≤0且x≠m． 因为m＞0，故不等式的解集为[﹣m﹣1，m）． 由﹣2≤x≤4是不等式成立的充分不必要条件，可得[﹣2，4]是[﹣m﹣1，m）的真子集， 故4＜m，解得4＜m， 所以m的取值范围是（4，+∞）． 故答案为：（4，+∞）． 7．已知函数，则f（x）＜8的一个充分不必要条件是（　　） A．x＞﹣4 B．x＞﹣2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3 【答案】B 【解答】解：由8可得x＞﹣3， 结合选项可知，（﹣2，+∞）⫋（﹣3，+∞）， 故其成立的一个充分不必要条件为B． 故选：B． 8．设a，b∈R，则“a＞b”的一个必要不充分条件可以是（　　） A．a＞|b| B．a5＞b5 C． D．2•3a＞3b 【答案】D 【解答】解：a＞|b|⇒a＞b，充分性成立； 反之不成立，必要性不成立，A错误； a5＞b5⇔a＞b，B错误； ，，a，b若小于0则选项中对数无意义， 所以是“a＞b”的一个既不充分也不必要条件，C错误； a＞b， 如a＝1，b＝log35＞1时，a+log32＝log36＞ba＞b，反之成立， 2•3a＞3b是“a＞b”的一个必要不充分条件，故D正确． 故选：D． 9．已知命题p：4﹣x≤6，q：x≥a﹣1，若p是q的充要条件，则a＝　 　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：由题意得，p：4﹣x≤6，得x≥﹣2， 设A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|x≥a﹣1}，由p是q的充要条件，得A＝B， 即a﹣1＝﹣2，得a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 10．已知命题p：﹣1≤4x﹣3≤1，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分的条件，则实数a的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：命题p：﹣1≤4x﹣3≤1，得， 命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，解得a≤x≤a+1， 因为￢p是￢q的必要不充分的条件，则p是q的充分不必要条件， 所以⫋[a，a+1]，即，经检验等号成立， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 11．已知M是正实数集的一个子集，定义运算⊗，使其满足下列4个条件：①∀x，y∈M，则“x＝y”的充要条件是“x⊗y＝1”；②∀x，y∈M，则“x＞y”的充要条件是“x⊗y＞1”；③∀x，y∈M，则“x＜y”的充要条件是“0＜x⊗y＜1”；④∀x，y，z∈M，（xy）⊗z＝x•（y⊗z）． （1）设集合{a，a2}⊆M，若a2⊗a＞1，求a的取值集合； （2）设x，y∈M，证明：“x⊗y＝y⊗x”的充要条件是“x＝y”； （3）设x，y，z∈M，且x⊗z＞y⊗z，证明：x⊗y＞1． 【答案】（1）{a|a＞1}； （2）必要性：由x⊗y＝y⊗x，设x⊗y＝y⊗x＝m， 若m＞1，则由x⊗y＝m，可得x＞y，由y⊗x＝m，可得y＞x，矛盾． 若m＝1，则由x⊗y＝m，可得x＝y，由y⊗x＝m，可得y＝x，符合题意． 若0＜m＜1，则由x⊗y＝m，可得x＜y，由y⊗x＝m，可得y＜x，矛盾． 故由x⊗y＝y⊗x，可得x＝y； 充分性：若x＝y，则y＝x，则由①可知x⊗y＝y⊗x＝1， 故由x＝y，可得x⊗y＝y⊗x， 综上可知：“x⊗y＝y⊗x”的充要条件是“x＝y”； （3）由④可知， 因为x⊗z＞y⊗z，则， 设y⊗z＝n，可知n＞0， 则，可得， 且x＞0，y＞0，可得x＞y，所以x⊗y＞1． 【解答】解：（1）因为M是正实数集的一个子集，{a，a2}⊆M，所以a＞0， 又因为a2⊗a＞1，则a2＞a，解得a＞1， 所以a的取值集合为{a|a＞1}． （2）证明：必要性：由x⊗y＝y⊗x，设x⊗y＝y⊗x＝m， 若m＞1，则由x⊗y＝m，可得x＞y，由y⊗x＝m，可得y＞x，矛盾． 若m＝1，则由x⊗y＝m，可得x＝y，由y⊗x＝m，可得y＝x，符合题意． 若0＜m＜1，则由x⊗y＝m，可得x＜y，由y⊗x＝m，可得y＜x，矛盾． 故由x⊗y＝y⊗x，可得x＝y； 充分性：若x＝y，则y＝x，则由①可知x⊗y＝y⊗x＝1， 故由x＝y，可得x⊗y＝y⊗x， 综上可知：“x⊗y＝y⊗x”的充要条件是“x＝y”． （3）证明：由④可知， 因为x⊗z＞y⊗z，则， 设y⊗z＝n，可知n＞0， 则，可得， 且x＞0，y＞0，可得x＞y，所以x⊗y＞1． 12．已知p：x2﹣1＜0，q：x≥m，若p是q的既不充分又不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．[﹣1，1] C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞） 【答案】C 【解答】解：由x2﹣1＜0，得﹣1＜x＜1， 因为p是q的既不充分又不必要条件，所以（﹣1，1）和[m，+∞）互不包含， 所以m＞﹣1． 故选：C． 13．设x∈R，则“|x﹣2|≤3”是“x（x﹣2）≤0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：记A＝{x|x﹣2|≤3}＝[﹣1，5]， 记B＝{x|}xx（x﹣2）≤0”}＝[0，2]， 因为[0，2]⊆[﹣1，5]，所以B⇒A成立，而A⇒B不成立， “|x﹣2|≤3”是“x（x﹣2）≤0”的必要不充分条件． 故选：B． 14．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣3x≥﹣5，若p为真命题，则a的取值范围为　 ． 【答案】{a|a}． 【解答】解：命题p：∀x∈R，ax2﹣3x≥﹣5为真命题，则ax2﹣3x+5≥0恒成立， 当a＝0时，﹣3x+5≥0不恒成立， 当a≠0时，，解得a． 故答案为：{a|a}． 15．若实数λ使得命题：“∃c∈R，使得∀a，b∈R，均有λa2+b2﹣2ab+2b+c≠0”是假命题，则λ的取值范围是　　 　 ． 【答案】（﹣∞，1]． 【解答】解：原命题的否命题：“∀c∈R，∃a，b∈R，使得λa2+b2﹣2ab+2b+c＝0”是真命题． 所以对任意实数c，方程b2﹣2（a﹣1）b+λa2+c＝0都有实数解（a，b）． 故而对任意实数c都有解． 即关于a的不等式（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c≥0对任意固定的实数c都有解， ①若1﹣λ≥0，即λ≤1， 当λ＝1时，﹣2a+1﹣c≥0，对任意c显然有解． 当λ＜1时，f（a）＝（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c开口向上， 其值域包含正数，故对任意c，总存在a使得f（a）≥0．所以λ≤1符合题意． ②若1﹣λ＜0，即λ＞1．关于a的二次函数g（a）＝（1﹣λ）a2﹣2a+1﹣c开口向下， 其最大值为． 要使不等式g（a）≥0对任意c都有解，则需要其最大值对任意c都非负， 即对任意c恒成立，显然不可能，故λ＞1不符合题意． 因此，λ的取值范围是（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]． 16．已知m∈R，命题p：∀x∈[﹣1，2]，不等式m2﹣3m≤x2﹣2x﹣1恒成立；命题q：∃x0∈R，x02+4mx0+1＜0成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）[1，2]； （2）∪． 【解答】解：（1）当x∈[﹣1，2]时，x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2∈[﹣2，2]， 若p为真命题，则m2﹣3m≤﹣2，即m2﹣3m+2≤0，解得1≤m≤2， 因此实数m的取值范围是[1，2]； （2）若q为真命题，则Δ＝16m2﹣4＞0，解得或， （i）若p真q假，则，可得m∈∅， （ii）若p假q真，则，解得或m＞2或， 综上所述，实数m的取值范围是∪． 17．已知命题：“∃x∈（0，+∞），2x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D． 【答案】A 【解答】解：命题“∃x∈（0，+∞），2x2﹣ax+1＜0”为假命题， 则其否定“∀x∈（0，+∞），2x2﹣ax+1≥0”为真命题， 由2x2﹣ax+1≥0，x∈（0，+∞），得在（0，+∞）上恒成立， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以a要小于等于的最小值，即， 所以实数a的取值范围是． 故选：A． 18．设a为常数，命题p：∃x∈[0，1]，a﹣2x≤0，则p为真命题的充要条件是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a≥2 D．a≤2 【答案】D 【解答】解：由命题p：∃x∈[0，1]，a﹣2x≤0为真命题可得： 当x∈[0，1]时，a﹣2x≤0能成立，即a≤2x能成立， 所以a≤（2x）max＝2． 故选：D． 19．已知命题p：∀x∈（0，8），0＜log2x＜3；命题q：，tan2x＜sinx，则（　　） A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 【答案】C 【解答】解：对于命题p，因为y＝log2x在（0，+∞）上单调递增， ∀x∈（0，8），有log2x＜3，所以p为假命题，￢p为真命题； 对于命题q，当时，，tan2x＜sinx，所以q为真命题． 故选：C． 20．命题“∃x0∈R，使（m+3）x0+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜0 B．m＜﹣1 C．m＞3 D．m≥3 【答案】C 【解答】解：命题“∃x0∈R，使（m+3）x0+m≤0”是假命题， 则命题的否定为∀x∈R，使（m+3）x0+m＞0为真命题， 当m＝0时，不满足题意， 当m≠0时，则，则m＞3． 故选：C． 21．命题p：∀x∈R，ax2+2x+5＞0为假命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B．a≤1 C． D． 【答案】A 【解答】解：∀x∈R，ax2+2x+5＞0为假命题， 依题意，￢p：∃x∈R，ax2+2x+5≤0真命题，即ax2+2x+5≤0在R上有解， 当a＝0时，原不等式2x+5≤0，解得，满足题意； 当a＜0时，不等式ax2+2x+5≤0在R上一定有解，故a＜0满足题意； 当a＞0时，若ax2+2x+5≤0在R上有解，则Δ＝4﹣20a≥0，解得， 综上所述，， 所以命题p：∀x∈R，ax2+2x+5＞0为假命题的一个充分不必要条件可以是． 故选：A． 22．已知命题p：∀x∈R，|2x+1|＞a﹣2|x|，若￢p是真命题，则实数a的取值范围是　 　 ． 【答案】[1，+∞） 【解答】解：p：∀x∈R，|2x+1|＞a﹣2|x|， 即|2x+1|+2|x|＞a， 即|x|+|x|， ∵￢p是真命题， ∴|x|+|x|， 根据绝对值的几何意义可得∴|x|+|x|， ∴， ∴a≥1， 故答案为：[1，+∞） 23．若“∃x∈R，使得|2x+1|﹣|3﹣2x|＜m成立”是假命题，则实数m可能为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 【答案】A 【解答】解：若“∃x∈R，使得|2x+1|﹣|3﹣2x|＜m成立”是假命题， 则∀x∈R，|2x+1|﹣|3﹣2x|≥m为真命题， 由于， 显然|2x+1|﹣|3﹣2x|的最小值为﹣4， 故只需m≤﹣4． 故选：A． 24．已知命题p：∃x∈R，a＝|sinx|+|cosx|为假命题，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B． C． D． 【答案】C 【解答】解：题p：∃x∈R，a＝|sinx|+|cosx|为假命题， 则￢p：∀x∈R，a≠|sinx|+|cosx|为真命题， 令f（x）＝|sinx|+|cosx|，定义域为R， f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝|sinx|+|cosx|＝f（x）， 故f（x）为R上的偶函数， 又， 所以为f（x）＝|sinx|+|cosx|的一个周期， 当时，， 因为，所以，所以， 故f（x）在R上的值域为， 所以a的取值范围为． 故选：C． 25．下列说法正确的是（　　） A．a＞b的一个必要不充分条件是a﹣1＞b． B．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4． C．若集合A＝{x|x2+ax+1＝0}中只有一个元素，则a＝2． D．若命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是{a|﹣2＜a＜2}． 【答案】BD 【解答】解：对于A：“a﹣1＞b”能推出“a＞b”，但“a＞b”不能推出“a﹣1＞b”，故“a﹣1＞b”是“a＞b”的充分不必要条件，A错误； 对于B：已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N＝{1}，{0}，{0，1}，∅， 故满足条件的集合的个数为4，故B正确． 对于C：若集合A＝{x|x2+ax+1＝0}中只有一个元素， 该方程为一元二次方程，利用Δ＝0，解得a＝±2，故C不正确； 对于D：由题意￢p：∀x∈R，x2﹣ax+1＞0为真，故Δ＝a2﹣4＜0，解得{a|﹣2＜a＜2}，故D正确； 故选：BD． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 内 容 导 航 知识点1 充分条件与必要条件 知识点2 全称量词与存在量词 知识点3 充分必要条件的判断 知识点4 充分必要条件的证明 知识点5 全称、存在量词命题的否定与真假判断 知识点6 根据命题真假/充要关系求参数范围 题型1 充分条件的应用与判定定理 题型2 必要条件的应用与性质定理 题型3 充分不必要条件的应用 题型4 必要不充分条件的应用 题型5 充要条件的应用 题型6 既不充分也不必要条件的应用 题型7 全称量词命题真假的应用 题型8 存在量词命题真假的应用 题型9 全称量词命题否定真假的应用 题型10 存在量词命题否定真假的应用 知 识 点 通 关 知识点1 充分条件与必要条件 1、核心辨析 “p是q的充分条件” 等价于 “只要有p，就一定有q”； “p是q的必要条件” 等价于 “没有p，就一定没有q”； 充要条件是数学定义的标准形式，如 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 就是充要条件。 2、集合关系与充要条件的对应（新教材重点） 集合关系 逻辑关系 条件类型 A⫋B p⇒q且q⇏p p是q的充分不必要条件 B⫋A p⇏q且q⇒p p是q的必要不充分条件 A=B p⟺q p是q的充要条件 A⊈B且B⊈A p⇏q且q⇏p p是q的既不充分也不必要条件 3、充要条件证明规范 第一步：证明充分性（由条件推结论）； 第二步：证明必要性（由结论推条件）； 最后下结论：“综上，p是q的充要条件”。 知识点2 全称量词与存在量词 1. 命题否定的易错点 不能只否定结论，必须同时改变量词； 常见结论的否定：“是”→“不是”；“都是”→“不都是”；“至少有一个”→“一个也没有”；“至多有一个”→“至少有两个”。 2. 含量词命题的真假判断技巧 全称量词命题找反例：只要找到一个不满足的元素，命题即为假； 存在量词命题找特例：只要找到一个满足的元素，命题即为真； 3. 新教材术语规范：统一使用 “全称量词命题”“存在量词命题”。 知识点3 充分必要条件的判断 方法技巧 充分必要条件的快速判断 1、定义法：适用于逻辑关系清晰的命题，直接推导两个方向的真假 2、集合法：适用于条件和结论都能转化为集合范围的命题，如不等式解集 3、等价转化法：适用于否定形式的命题，转化为判断其逆否命题 易错分析 混淆定义 1、混淆 “p是q的充分条件” 和 “p的充分条件是q” 2、忽略特殊情况，如空集、零向量、常数函数等 3、立体几何中线面关系的判定定理和性质定理混淆 知识点4 充分必要条件的证明 方法技巧 充要条件证明的规范步骤 1、明确证明方向：分充分性和必要性两步 。 2、充分性：假设条件成立，推导结论成立 。 3、必要性：假设结论成立，推导条件成立 。 4、最后总结：“综上，p是q的充要条件”。 易错分析 遗漏过程 1、只证明一个方向，遗漏另一个方向 。 2、证明过程中逻辑不严谨，出现循环论证 。 3、混淆充分性和必要性的推导方向。 知识点5 全称、存在量词命题的否定与真假判断 方法技巧 含量词命题的解题要点 1、否定：严格遵循 “改量词，否结论” 的规则。 2、真假判断：全称命题找反例，特称命题找特例。 3、常见结论否定：“≥”→“<”；“≤”→“>”；“所有”→“存在”；“存在”→“所有”。 易错分析 遗漏量词符号的改变 1、只否定结论，不改变量词。 2、对 “都是”“至少有一个” 等结论的否定错误。 3、忽略量词的取值范围，如x∈N包含x=0。 知识点6 根据命题真假/充要关系求参数范围 方法技巧 求参数范围的解题思路 1、先分别求出每个命题为真时参数的取值范围。 2、根据复合命题真假或充要关系，转化为集合间的包含关系。 3、利用数轴画出集合范围，列不等式组求解。 4、注意端点值的取舍，单独验证。 易错分析 忽略条件 1、忽略参数使集合为空集的情况。 2、端点值取舍错误，导致范围扩大或缩小。 3、分类讨论不全面，遗漏参数的取值情况。 考 点 演 练 题型1 充分条件的应用与判定定理 【典例1】设A＝{x|1≤2x≤4}，B＝{x|x2≤ax}，若x∈A是x∈B的充分条件，则（　　） A．0＜a＜2 B．1＜a＜2 C．a＝2 D．a≥2 【变式1】集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣2，2] D．（2，+∞） 题型2 必要条件的应用与性质定理 【典例1】已知条件p：x2+x﹣6＝0；条件q：ax+1＝0（a≠0）．若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题， （1）求实数m的取值集合M； （2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围． 题型3 充分不必要条件的应用 【典例1】已知p：x＜﹣3或x＞2，q：x＞a，且q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围（　　） A．a≤2 B．a≤﹣3 C．a＞2 D．a≥2 【变式1】命题“对∀x∈[1，2]，x2﹣ax+1＜0”为假命题的一个充分不必要条件是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a≤3 D．a＞3 题型4 必要不充分条件的应用 【典例1】“ln（x﹣1）＜0”的一个必要不充分条件是（　　） A． B．x＞0 C．﹣1＜x＜0 D． 【变式1】已知p：x≥a，q：|x+2a|＜3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[1，+∞） D．（1，+∞） 题型5 充要条件的应用 【典例1】“实数集合A，B满足：A∩B＝B”的一个充要条件是（　　） A．A⊆B B．A⊆（A∩B） C．A∪B＝B D．（∁RA）∩B＝∅ 【变式1】若“x2+ax+b＝0”是“x＝1”的充要条件，则a+b的值为　 　 ． 题型6 既不充分也不必要条件的应用 【典例1】命题，命题，则p是q的 　 　 条件． （填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”） 【变式1】设命题P：|x﹣3|+|x+1|≤6，命题：q：|x+a|＞x+a． （1）求命题p，q分别对应的不等式的解集A，B； （2）若p是q的既不充分也不必要条件，求实数a的取值范围． 题型7 全称量词命题真假的应用 【典例1】若命题“∀x0∈R使得为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣6，2] B．[﹣6，﹣2] C．[﹣2，6] D． 【变式1】若命题“∀x∈R，x2﹣2ax+6a＞0”是假命题，则a的取值范围是（　　） A．（0，6） B．（﹣∞，0）∪（6，+∞） C．[0，6] D．（﹣∞，0]∪[6，+∞） 题型8 存在量词命题真假的应用 【典例1】若“∃x∈（0，π），sin2x﹣msinx＜0”是假命题，则m的取值范围为　 　 ． 【变式1】若，且“∃x∈[π，3π]，f（x）＞0”为假命题，则cos（2m﹣n）＝　 　 ． 题型9 全称量词命题否定真假的应用 【典例1】使p：∀x＞0，的否定为假命题的一个充分不必要条件是（　　） A．a≥4 B．a≤4 C．a≥2 D．a≤2 【变式1】已知命题p：∀x∈（2，3），x2﹣ax+5＞0是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型10 存在量词命题否定真假的应用 【典例1】已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m＝0”，若命题￢P是假命题，则实数m的取值范围是　 ． 【变式1】已知p：∃x∈R，ax2+2ax+1＝0，q：a≤m﹣1或a≥m+1 （1）若命题￢p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 过 关 验 收 1. 已知集合P＝{x|﹣2＜x＜4}，Q＝{x|3m﹣2≤x≤5m+2，m∈R}，若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 　 　 ． 2．若“x＝1”是“x＞a”的充分条件，则实数a的取值范围为　 　 ． 3．给出下列命题：①如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与该平面垂直；②如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线有无数条且都在平面α内；③已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充分不必要条件．其中正确的命题个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．命题“”的一个充分不必要条件是（　　） A．﹣1＜x＜2 B． C． D． 5．若a，b是空间中的两条直线，则“a∥b”是“存在平面α，使a⊂α，b⊂α”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6．已知m＞0，使得不等式成立的一个充分不必要条件是﹣2≤x≤4，则m的取值范围是　　 ． 7．已知函数，则f（x）＜8的一个充分不必要条件是（　　） A．x＞﹣4 B．x＞﹣2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3 8．设a，b∈R，则“a＞b”的一个必要不充分条件可以是（　　） A．a＞|b| B．a5＞b5 C． D．2•3a＞3b 9．已知命题p：4﹣x≤6，q：x≥a﹣1，若p是q的充要条件，则a＝　 　 ． 10．已知命题p：﹣1≤4x﹣3≤1，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分的条件，则实数a的取值范围是　 　 ． 11．已知M是正实数集的一个子集，定义运算⊗，使其满足下列4个条件：①∀x，y∈M，则“x＝y”的充要条件是“x⊗y＝1”；②∀x，y∈M，则“x＞y”的充要条件是“x⊗y＞1”；③∀x，y∈M，则“x＜y”的充要条件是“0＜x⊗y＜1”；④∀x，y，z∈M，（xy）⊗z＝x•（y⊗z）． （1）设集合{a，a2}⊆M，若a2⊗a＞1，求a的取值集合； （2）设x，y∈M，证明：“x⊗y＝y⊗x”的充要条件是“x＝y”； （3）设x，y，z∈M，且x⊗z＞y⊗z，证明：x⊗y＞1． 12．已知p：x2﹣1＜0，q：x≥m，若p是q的既不充分又不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．[﹣1，1] C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞） 13．设x∈R，则“|x﹣2|≤3”是“x（x﹣2）≤0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣3x≥﹣5，若p为真命题，则a的取值范围为　 ． 15．若实数λ使得命题：“∃c∈R，使得∀a，b∈R，均有λa2+b2﹣2ab+2b+c≠0”是假命题，则λ的取值范围是　　 　 ． 16．已知m∈R，命题p：∀x∈[﹣1，2]，不等式m2﹣3m≤x2﹣2x﹣1恒成立；命题q：∃x0∈R，x02+4mx0+1＜0成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 17．已知命题：“∃x∈（0，+∞），2x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D． 18．设a为常数，命题p：∃x∈[0，1]，a﹣2x≤0，则p为真命题的充要条件是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a≥2 D．a≤2 19．已知命题p：∀x∈（0，8），0＜log2x＜3；命题q：，tan2x＜sinx，则（　　） A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 20．命题“∃x0∈R，使（m+3）x0+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜0 B．m＜﹣1 C．m＞3 D．m≥3 21．命题p：∀x∈R，ax2+2x+5＞0为假命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B．a≤1 C． D． 22．已知命题p：∀x∈R，|2x+1|＞a﹣2|x|，若￢p是真命题，则实数a的取值范围是　 　 ． 23．若“∃x∈R，使得|2x+1|﹣|3﹣2x|＜m成立”是假命题，则实数m可能为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 24．已知命题p：∃x∈R，a＝|sinx|+|cosx|为假命题，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B． C． D． 25．下列说法正确的是（　　） A．a＞b的一个必要不充分条件是a﹣1＞b． B．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4． C．若集合A＝{x|x2+ax+1＝0}中只有一个元素，则a＝2． D．若命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是{a|﹣2＜a＜2}． 学科网（北京）股份有限公司 $