第07讲 函数与方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

第07讲 函数与方程 内 容 导 航 知识点1 函数的零点 知识点2 二分法 知识点3 判断函数零点所在区间 知识点4 求函数零点或方程根的个数 知识点5 根据函数零点的个数求参数 题型1 求函数的零点 题型2 由函数的零点求解函数或参数 题型3 判定函数零点的存在性 题型4 求解函数零点所在区间 题型5 由函数零点所在区间求解函数或参数 题型6 求解方程根的存在性和分布 题型7 由方程根的分布求解函数或参数 题型8 二分法及其适用条件 题型9 二分法求函数零点的近似值 题型10 二分法求方程的近似解 知 识 点 通 关 知识点1 函数的零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 必记结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 知识点2 二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 知识点3 判断函数零点所在区间 方法技巧 零点所在区间的判断方法 （1）解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程; （2）利用函数零点存在定理; （3）数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. 知识点4 求函数零点或方程根的个数 方法技巧 函数零点个数的判断方法 （1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点; （2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等; （3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数: （4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0. 知识点5 根据函数零点的个数求参数 方法技巧 已知函数零点求参数的方法 （1）已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. （2）已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 考 点 演 练 题型1 求函数的零点 【典例1】已知函数f（x）＝3x+x﹣2，g（x）＝log3x+x﹣2的零点分别为m，n，则m+n＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】若幂函数f（x）的图象经过点，则函数g（x）＝f（x）﹣x2+3的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 由函数的零点求解函数或参数 【典例1】已知函数． （1）若a＝1，求函数f（x）在x＝1处的切线方程； （2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围． 【变式1】已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若方程f（x）＝0有两个不同的根，求a的取值范围． 题型3 金属、金属氧化物、碱之间的转化 【典例1】已知实数a，b，c满足a＝0.5a，，c＝lna，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【变式1】集合中所有元素之和记作|M|，则（　　） A．|M|＝2 B．|M|＜2 C．|M|＝2e D．|M|＞2e 题型4 求解函数零点所在区间 【典例1】函数f（x）＝（x﹣1）2x﹣26的零点所在的大致区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 【变式1】方程的根所在区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 题型5 由函数零点所在区间求解函数或参数 【典例1】已知a＞0，若函数恰有1个零点，则a＝（　　） A．e B． C．1 D．3 【变式1】已知函数y＝ex与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数f（x）＝g（x）+（a﹣1）x（a＞1），若方程f（f（x））＝x在区间[2，5]上有两解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型6 求解方程根的存在性和分布 【典例1】已知函数，下面关于x的方程f（f（x））+a＝0的实数根的个数，说法正确的是（　　） A．当时，原方程有6个根 B．当时，原方程有6个根 C．当a＝0时，原方程有4个根 D．不论a取何值，原方程都不可能有7个根 【变式1】下列命题中： ①若集合A＝{x|kx2+2x+1＝0}中只有一个元素，则k＝1； ②已知命题p：∃x∈R，ax2+2x﹣1≥0，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）； ③已知函数y＝f（2﹣x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y＝f（x）的定义域为； ④函数在（﹣∞，0）上单调递增； ⑤方程3|x|＝log3（x+3）+2的实根的个数是2． 所有正确命题的序号是 　 　 ． 题型7 由方程根的分布求解函数或参数 【典例1】已知函数，若方程f（x）+ex＝0存在三个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，﹣e） C．（﹣∞，﹣2e） D．（﹣∞，2e） 【变式1】函数f（x），若存在实数m，使得方程f（x）＝m有三个相异实根，则实数a的范围是（　　） A．[，+∞） B．[0，] C．（﹣∞，2] D．[，2） 题型8 二分法及其适用条件 【典例1】以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 题型9 二分法求函数零点的近似值 【典例1】在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（　　） A．0.6 B．0.69 C．0.7 D．0.8 【变式1】用二分法研究函数f（x）＝x3﹣2x﹣1的零点时，若零点所在的初始区间为（1，2），则下一个有解区间为（　　） A．（1，2） B．（1.75，2） C．（1.5，2） D．（1，1.5） 题型10 二分法求方程的近似解 【典例1】用二分法求方程x+lgx﹣3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（　　） A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，5] 【变式1】用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 过 关 验 收 1．函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为（　　） A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0） 2．函数所有零点之和为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1 3．已知函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为m，g（x）＝lnx+x﹣2的零点为n，则下列不等式成立的是（　　） A．mn＞1 B．m2+n2＜3 C．4m2＞n2 D．em+lnn＜2 4．已知关于x的方程f（x）＝2的解x＝　 ． 5．已知1+2x＝3y﹣1＝5z﹣2，则下列不等关系一定不成立的是（　　） A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．x＞z＞y D．y＞z＞x 6．若函数y＝a+2lnx﹣x2在内有两个零点，e＝2.718⋯是自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，e2﹣2] B． C． D．（3，e2﹣2] 7．已知t∈[0，π]，若关于x的方程cos（x+t）＝1﹣cosx存在实数解，则t的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．若函数有两个零点，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．（0，1） 9．关于函数，下列说法正确的是（　　） ①曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为8x﹣2y﹣25＝0； ②f（x）的图象关于原点对称； ③若y＝f（x）﹣m有三个不同零点，则实数m的范围是； ④f（x）在（﹣1，1）上单调递减． A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 10．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）存在两个零点． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：∃x∈R，f（x）＜3（a﹣a2）． 11．已知函数f（x）＝alnx﹣x2（a∈R），则下列命题错误的是（　　） A．若a＜0，则f（x）有1个零点 B．若0＜a＜e，则f（x）没有零点 C．若f（x）有2个零点，则a＞e D．若a＞e，则f（x）有2个零点 12．已知函数y＝f（x）的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 ﹣7.4 4.5 ﹣53.1 ﹣125.5 那函数f（x）在区间[1，6]上的零点个数是（　　） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 13．已知函数，则下列结论中错误的是（　　） A．f（x）存在两个不同的零点 B．f（x）既没有最大值，也没有最小值 C．当时，f（x）＝k有且只有三个实根 D．当x∈[m，+∞）时，f（x）的最大值为，则m的最小值为5 14．函数y＝f（x）在R上的图象是一条连续不断的曲线，f（xy）＝yf（x）+xf（y）+2xy，f（e）＝﹣e2，则（　　） A．f（﹣1）＝2 B． C．f（x）是奇函数 D．f（x）零点个数大于1 15．已知函数f（x）＝x﹣a（lnx）2有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则（　　） A． B．存在实数a使得x1x2＝1 C．若，则 D．4f（3）＜f（16） 16．函数的零点所在区间是（　　） A．（0，0.5） B．（0.5，0.7） C．（0.7，1） D．（1，2） 17．已知f（x）＝9x﹣3x﹣2，则f（x）的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 18．若函数f（x）＝ax﹣x3+ax2﹣x﹣1（a＞0且a≠1）在（0，1）上有唯一零点，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜e B． C． D．1＜a＜2 19．已知函数f（x）＝|3x﹣2|﹣t+1有两个零点，则t的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（1，2） D．（1，3） 20．若函数f（x）＝（a﹣2）（ex+e﹣x）+|x|+b有奇数个零点，则4a2+b2的最小值是（　　） A．6 B．8 C．16 D．18 21．已知a，b∈R且a，b＞0，若函数有唯一零点，则2a+b的最小值为（　　） A． B． C． D． 22．设a∈R，函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|，若f（x）恰有两个零点，则a的取值范围为 　 　 ． 23．若函数在[0，4]上恰有2个零点，则符合条件的a为 　　 ． 24．方程lgx﹣|sin2x|＝0在（0，3π）内实数根的个数为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 25．设函数，现有如下命题，①若方程f（x）＝a有四个不同的实根x1、x2、x3、x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是（0，1）；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8．下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 26．已知函数f（x）＝（x﹣a）2+bex（a，b∈R）． （1）若a＝0时，函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围； （2）若a＞0，b，方程f（x）＝3有解，求a的取值范围． 27．已知函数f（x）＝（k+1）2x+2﹣x，k是实数． （1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值； （2）若f（x）≥4对任意的x∈[0，2]恒成立，求k的取值范围； （3）若k＝0，方程f（2x）＝2af（x）﹣6a﹣9有解，求实数a的取值范围． 28．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程x3+2x2+3x+3＝0的近似解，先用函数零点存在定理，令f（x）＝x3+2x2+3x+3，f（﹣2）＝﹣3＜0，f（﹣1）＝1＞0，得（﹣2，﹣1）上存在零点，取x0＝﹣1，牛顿用公式反复迭代，以xn作为f（x）＝0的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为 　　 ；以（﹣2，﹣1）为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数与方程 内 容 导 航 知识点1 函数的零点 知识点2 二分法 知识点3 判断函数零点所在区间 知识点4 求函数零点或方程根的个数 知识点5 根据函数零点的个数求参数 题型1 求函数的零点 题型2 由函数的零点求解函数或参数 题型3 判定函数零点的存在性 题型4 求解函数零点所在区间 题型5 由函数零点所在区间求解函数或参数 题型6 求解方程根的存在性和分布 题型7 由方程根的分布求解函数或参数 题型8 二分法及其适用条件 题型9 二分法求函数零点的近似值 题型10 二分法求方程的近似解 知 识 点 通 关 知识点1 函数的零点 （1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. （2）函数零点存在定理： 若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 必记结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 知识点2 二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 知识点3 判断函数零点所在区间 方法技巧 零点所在区间的判断方法 （1）解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程; （2）利用函数零点存在定理; （3）数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. 知识点4 求函数零点或方程根的个数 方法技巧 函数零点个数的判断方法 （1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点; （2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等; （3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数: （4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0. 知识点5 根据函数零点的个数求参数 方法技巧 已知函数零点求参数的方法 （1）已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. （2）已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 考 点 演 练 题型1 求函数的零点 【典例1】已知函数f（x）＝3x+x﹣2，g（x）＝log3x+x﹣2的零点分别为m，n，则m+n＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：由题意3x＝2﹣x，log3x＝2﹣x． 因为函数f（x）＝3x+x﹣2，g（x）＝log3x+x﹣2的零点分别为m，n， 所以m，n即函数图象与直线y＝2﹣x的交点A，B的横坐标，如图所示． 因为函数是一对反函数，图象关于直线y＝x对称， 所以点A，B也关于直线y＝x对称， 由解得，则点A，B关于点（1，1）对称，故m+n＝2×1＝2． 故选：B． 【变式1】若幂函数f（x）的图象经过点，则函数g（x）＝f（x）﹣x2+3的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：根据题意，设幂函数f（x）＝xa（a∈R）． 因为幂函数f（x）的图象经过点， 所以，即， 所以，解得a＝﹣1， 所以， 由g（x）＝f（x）﹣x2+3＝0可得， 作出函数f（x）与y＝x2﹣3的图象如图所示： 由图可知，函数f（x）与y＝x2﹣3有且只有三个交点， 故函数g（x）的零点个数为3． 故选：C． 题型2 由函数的零点求解函数或参数 【典例1】已知函数． （1）若a＝1，求函数f（x）在x＝1处的切线方程； （2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）． （2）a∈（，0）． 【解答】解：（1）当a＝1时，函数，导函数，那么f′（1）＝2，而， 因此f（x）的图象在x＝1处的切线为，即． （2）的定义域为（0，+∞），导函数， 当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）最多一个零点，不符合题意； 当a＜0时，由f′（x）＜0，得，由f′（x）＞0，得， 函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，， 当x从大于0的方向趋近于0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→﹣∞， 函数f（x）有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a∈（，0）． 【变式1】已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3． （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若方程f（x）＝0有两个不同的根，求a的取值范围． 【答案】（1）y＝（e﹣1）x﹣1； （2）（1，+∞）． 【解答】解：（1）当a＝1时，函数f（x）＝ex﹣x﹣1，f′（x）＝ex﹣1， 所以f′（1）＝e﹣1，f（1）＝e﹣2， 所以y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣（e﹣2）＝（e﹣1）（x﹣1），即y＝（e﹣1）x﹣1． （2）f′（x）＝ex﹣a， 当a≤0时，f′（x）＞0，y＝f（x）单调递增，方程f（x）＝0至多有一个实根，不符合题意； 当a＞0时， 当x＞lna时f′（x）＞0，y＝f（x）单调递增； 当x＜lna时f′（x）＜0，y＝f（x）单调递减； x→﹣∞时，y＝f（x）→+∞；x→+∞时，y＝f（x）→+∞． 要使方程f（x）＝0有两个不同的根则f（lna）＜0， 即f（lna）＝elna﹣alna﹣a3＝a﹣alna﹣a3＜0， 所以1﹣lna﹣a2＜0，即lna+a2﹣1＞0， 令， 故g（a）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0， 所以a＞1时，g（a）＞0． 综上：a的取值范围是（1，+∞）． 题型3 金属、金属氧化物、碱之间的转化 【典例1】已知实数a，b，c满足a＝0.5a，，c＝lna，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【答案】D 【解答】解：令f（x）＝x﹣0.5x，因为y＝x是R上的增函数，y＝0.5x是R上的减函数， 所以f（x）＝x﹣0.5x为R上的单调递增函数， f（0.5）0，f（1）＝0.5＞0， 由零点存在性定理可得方程x＝0.5x得解a∈（0.5，1）， 由a∈（0.5，1），得a2∈（0.25，1），所以， 又y＝0.5x为R上的单调递减函数，y＝lnx在（0，+∞）上单调递增， 所以，c＝lna＜ln1＝0， 所以c＜b＜a． 故选：D． 【变式1】集合中所有元素之和记作|M|，则（　　） A．|M|＝2 B．|M|＜2 C．|M|＝2e D．|M|＞2e 【答案】D 【解答】解：令函数f（x），其定义域为（0，+∞）， 可得f'（x）， 当0＜x＜e时，f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e）上单调递增； 当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在区间（e，+∞）上在单调递减， 所以当x＝e时，函数f（x）取得极大值，也是最大值f（e）， 又因为， ， 根据零点存在性定理得，函数f（x）在和（e2，+∞）上各有一个零点， 即集合M中有两个元素x1，x2且，， 因为f（x1）＝f（x2）＝0， 即．， 两式相加，可得， 即x1+x2＝e[ln（x1x2）+2]， 因为，， 可得ln1＜ln（x1x2），所以ln（x1x2）＞0， 所以x1+x2＞e（0+2）＝2e， 所以|M|＞2e． 故选：D． 题型4 求解函数零点所在区间 【典例1】函数f（x）＝（x﹣1）2x﹣26的零点所在的大致区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 【答案】C 【解答】解：因为函数的定义域为R，且连续， f（1）＝（1﹣1）21﹣26＝﹣26＜0， f（2）＝（2﹣1）22﹣26＝﹣22＜0， f（3）＝（3﹣1）23﹣26＝﹣10＜0， f（4）＝（4﹣1）24﹣26＝22＞0， f（5）＝（5﹣1）25﹣26＝102＞0， 因为f（3）＜0，f（4）＞0， 所以零点在区间（3，4）内． 故选：C． 【变式1】方程的根所在区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】C 【解答】解：原方程的根等价于函数 的零点， 函数f（x）的定义域为（0，+∞），在（0，+∞）上单调递增，在定义域内最多只有1个零点， ， 因此x∈（0，1）时，f（x）＜f（1）＜0，无零点，A 选项错误； ，因此x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）＜0， 函数无零点，B选项错误； ， ∵，因此f（3）＞0， 此时f（2）＜0且f（3）＞0，f（2）•f（3）＜0，根据零点存在定理，存在x0∈（2，3），使得f（x0）＝0， 即方程的根在区间（2，3）内，C选项正确； ， 结合f（x）的单调递增，x＞3时，f（x）＞f（3）＞0，故区间（3，4）内无零点，D选项错误． 故选：C． 题型5 由函数零点所在区间求解函数或参数 【典例1】已知a＞0，若函数恰有1个零点，则a＝（　　） A．e B． C．1 D．3 【答案】B 【解答】解：因为，x＞0， 可得x＝a恒为f（x）的一个零点， 令，x＞0， 又因为f（x）恰有1个零点， 所以g（x）有唯一零点x＝a或g（x）无零点， 因为， 又因为a＞0，x＞0， 所以g′（x）＞0恒成立， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增． 又x趋于0+时，g（x）趋于﹣∞，x趋于+∞时，g（x）趋于+∞， 因此g（x）必然存在唯一零点． 当g（x）的零点是x＝a时， 可得， 即ln（3a）＝0， 所以3a＝1， 解得． 故选：B． 【变式1】已知函数y＝ex与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数f（x）＝g（x）+（a﹣1）x（a＞1），若方程f（f（x））＝x在区间[2，5]上有两解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为函数y＝ex与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称， 故g（x）＝lnx， 所以f（x）＝g（x）+（a﹣1）x＝lnx+（a﹣1）x（a＞1）， 设f（x）＝t， 则方程f（f（x））＝x，即为f（t）＝x， 即（x，t），（t，x）均在函数y＝f（x）图象上， 假设x＞t，因为y＝f（x）lnx+（a﹣1）x（a＞1）在（0，+∞）上单调递增， 故f（x）＞f（t）， 又f（x）＝t，f（t）＝x，故t＞x，与假设矛盾，舍去； 假设x＜t，因为y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增， 故f（x）＜f（t）， 又f（x）＝t，f（t）＝x，故t＜x，与假设矛盾，舍去； 综上，t＝x，即方程f（x）＝x在区间[2，5]上有两解， 即lnx+（a﹣1）x＝x，在区间[2，5]上有两解， 令，x∈[2，5]， 则， 令q′（x）＝0，得1﹣lnx＝0，x＝e， 令q′（x）＞0，得2≤x＜e，令q′（x）＜0，得e＜x≤5， 故在[2，e）上单调递增，在（e，5]上单调递减， 又，， 其中，即q（2）＞q（5）， 作出函数在[2，5]上的图象，如下图所示： 要想在区间[2，5]上有两解， 需要， 解得． 故选：B． 题型6 求解方程根的存在性和分布 【典例1】已知函数，下面关于x的方程f（f（x））+a＝0的实数根的个数，说法正确的是（　　） A．当时，原方程有6个根 B．当时，原方程有6个根 C．当a＝0时，原方程有4个根 D．不论a取何值，原方程都不可能有7个根 【答案】ABC 【解答】解：令f（x）＝m，则方程f（x）＝m实根的个数等价于函数f（x）的图像与直线y＝m交点的个数，由于， 作出函数f（x）的图像，如下图所示： 当m＜0时，函数f（x）的图像与直线y＝m交3点的只有1个，故方程f（x）＝m实根的个数为1个； 当m＝0或m＞1时，函数f（x）的图像与直线y＝m交点的有2个，故方程f（x）＝m实根的个数为2个； 当0＜m≤1时，函数f（x）的图像与直线y＝m交点的有3个，故方程f（x）＝m实根的个数为3个． 方程f（f（x））+a＝0，可化为f（m）＝﹣a． AB选项，当a∈（﹣1，0）时，﹣a∈（0，1），方程f（m）＝﹣a有3个不等实数根，分别记为m1，m2，m3，且﹣1＜m1＜0，0＜m2＜1，m3＞1， 从而方程f（x）＝m1有1个实数根，方程f（x）＝m2有3个不等实数根，方程f（x）＝m3有2个不等实数根， ∴方程f（f（x））+a＝0有6个不等实根，故AB正确； 当a＝0时．﹣a＝0，方程f（m）＝0有2个实数根分别为﹣1，1， 从而方程f（x）＝﹣1有1个实数根，方程f（x）＝1有3个不等实数根， ∴方程f（f（x））+a＝0有4个不等实根，故C正确； 当a＝﹣1时，﹣a＝1，方程f（m）＝1有3个不等实数根，分别为0，和e， 从而方程f（x）＝0有2个不等实数根，方程有3个不等实数根，方程f（x）＝e有2个不等实数根， 则方程f（f（x））+a＝0有7个不等实根，故D错误． 故选：ABC． 【变式1】下列命题中： ①若集合A＝{x|kx2+2x+1＝0}中只有一个元素，则k＝1； ②已知命题p：∃x∈R，ax2+2x﹣1≥0，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）； ③已知函数y＝f（2﹣x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y＝f（x）的定义域为； ④函数在（﹣∞，0）上单调递增； ⑤方程3|x|＝log3（x+3）+2的实根的个数是2． 所有正确命题的序号是 　 　 ． 【答案】②③⑤． 【解答】解：对于①：k＝0时，；k≠0时，Δ＝4﹣4k＝0，则k＝1，故k＝0或1，故错误； 对于②：p：∃x∈R，ax2+2x﹣1≥0为假命题，则∀x∈R，ax2+2x﹣1＜0为真命题， 故即a＜﹣1，故正确； 对于③：﹣1≤x≤1，则，即f（x）的定义域为，故正确； 对于④：，其在（﹣∞，0）上单调递减，故错误； 对于⑤：在同一坐标系中作出y＝3|x|和y＝log3（x+3）+2的图象，观察两图象有2个交点， 则方程3|x|＝log3（x+3）+2的实根的个数是2，故正确． 故答案为：②③⑤． 题型7 由方程根的分布求解函数或参数 【典例1】已知函数，若方程f（x）+ex＝0存在三个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，﹣e） C．（﹣∞，﹣2e） D．（﹣∞，2e） 【答案】C 【解答】解：令g（x）＝f（x）+ex， 由题意得，g（x）有3个零点， 因为x≤0时，g（x）＝ex+e﹣x，则g′（x）＝e， 当x＜﹣1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，且g（﹣1）＝0， 当x＞0时，g（x）＝aex， 则e， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， g（x）的大致图象如图所示： 结合函数图象可知，g（1）＝a+2e＜0， 所以a＜﹣2e． 故选：C． 【变式1】函数f（x），若存在实数m，使得方程f（x）＝m有三个相异实根，则实数a的范围是（　　） A．[，+∞） B．[0，] C．（﹣∞，2] D．[，2） 【答案】D 【解答】解：当﹣2≤x≤0时，f（x）＝2x3+3x2+1．∴f′（x）＝6x2+6x＝6x（x+1） 令f′（x）＝0⇒x＝0或x＝﹣1； 令f′（x）＞0⇒﹣2＜x＜﹣1；令f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜0； 且最大值为f（﹣1）＝﹣2+3+1＝2； f（﹣2）＝﹣16+12+1＝﹣3；f（0）＝1； 当0≤x≤2时，f′（x）＝aex，则若a＜0时，可得f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递减 且最大值为f（0）＜0，不存在有三个相异实根，故不成立舍掉； 同理，当a＝0时也不存在舍掉；即实数a必须大于0； 故当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递增，若想f（x）＝m有三个相异实根， 必须满足⇒． 故选：D． 题型8 二分法及其适用条件 【典例1】以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当函数的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解， 选项A、B、D的图象均在x轴的两侧，可用二分法求解， 只有选项C的图象在x轴的同一侧，不能用二分法求解． 故选：C． 【变式1】下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除A． B和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除． 只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点， 故选：C． 题型9 二分法求函数零点的近似值 【典例1】在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（　　） A．0.6 B．0.69 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【解答】解：根据题意，f（x）满足f（0.68）＜0，f（0.72）＞0，则有f（0.68）•f（0.72）＜0， 即f（x）在区间（0.68，0.72）上存在零点， 要求函数的一个精确到0.1的正实数零点，0.7符合要求； 故选：C． 【变式1】用二分法研究函数f（x）＝x3﹣2x﹣1的零点时，若零点所在的初始区间为（1，2），则下一个有解区间为（　　） A．（1，2） B．（1.75，2） C．（1.5，2） D．（1，1.5） 【答案】C 【解答】解：因为f（x）＝x3﹣2x﹣1，所以f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝3＞0， 取中间值，有1.5，而f（1.5）0， 所以下一个有解区间是（1.5，2）． 故选：C． 题型10 二分法求方程的近似解 【典例1】用二分法求方程x+lgx﹣3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（　　） A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，5] 【答案】B 【解答】解：令f（x）＝x+lgx﹣3， 函数在（0，+∞）上单调递增， f（1）＝1+0﹣3＝﹣2＜0，f（2）＝2+lg2﹣3＜0，f（3）＝3+lg3﹣3＝lg3＞0， 故[2，3]可以作为初始区间． 故选：B． 【变式1】用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】B 【解答】解：令， 因为函数在（0，+∞）上都是增函数， 所以函数在（0，+∞）上是增函数，， 所以函数在区间（1，2）上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（1，2）． 故选：B． 过 关 验 收 1．函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为（　　） A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0） 【答案】A 【解答】解：根据题意，令f（x）＝log3（x﹣1）﹣2＝0，即， 所以x﹣1＝32，因此x＝10， 所以函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为10． 故选：A． 2．函数所有零点之和为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1 【答案】C 【解答】解：f（x）， 当x≤0时，由x2+4x+3＝0，解得x＝﹣3或x＝﹣1； 当0＜x＜4时，由，解得x＝1或x＝3． ∴函数f（x）的所有零点之和为0． 故选：C． 3．已知函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为m，g（x）＝lnx+x﹣2的零点为n，则下列不等式成立的是（　　） A．mn＞1 B．m2+n2＜3 C．4m2＞n2 D．em+lnn＜2 【答案】B 【解答】解：由f（x）＝0，g（x）＝0得ex＝2﹣x，lnx＝2﹣x，即可得em＝2﹣m，lnn＝2﹣n， 即有em+lnn＝4﹣（m+n），函数y＝ex与y＝lnx互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象，如图所示， 则A（m，em），B（n，lnn），由反函数性质知，A，B关于（1，1）对称， 则m+n＝2，em+lnn＝2，，A、D错误， ∵f（x）在R上为增函数，f（0）＝﹣1＜0，，∴． 点A（m，em）在直线y＝2﹣x上，即em＝2﹣m＝n，，故B正确； ∵，， 此时4m2＜n2，故C错误． 故选：B． 4．已知关于x的方程f（x）＝2的解x＝　 ． 【答案】log23． 【解答】解：f（x）＝2， 当x＞1时，得方程2x﹣1＝2，解得x＝log23，log23＞1，满足； 当x≤1时，得方程x﹣1＝2，解得x＝3；不满足． 综上，方程的解x＝log23． 故答案为：log23． 5．已知1+2x＝3y﹣1＝5z﹣2，则下列不等关系一定不成立的是（　　） A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．x＞z＞y D．y＞z＞x 【答案】C 【解答】解：1+2x＝3y﹣1＝5z﹣2得，2+2x＝3y＝5z﹣1，令5z﹣1＝t， 则x＝log2（t﹣2），y＝log3t，z＝log5（t+1），t＞2， 则x﹣y＝log2（t﹣2）﹣log3t，令f（t）＝log2（t﹣2）﹣log3t， 恒成立， 所以f（t）在区间（2，+∞）上单调递增； 令g（t）＝y﹣z，h（t）＝x﹣z，同理g（t），h（t）在区间（2，+∞）上都单调递增， 因为g（2）＝log32﹣log53log53＜0，g（3）＝1﹣log54＞0， 所以存在t1∈（2，3），使得g（t1）＝0， t∈（2，t1）时g（t）＝y﹣z＜0，t∈（t1，+∞）时，g（t）＝y﹣z＞0； 显然h（4）＝0，t∈（2，4）时，h（t）＝x﹣z＜0；t∈（4，+∞）时，h（t）＝x﹣z＞0； 因为f（4）＝1﹣log34＜0，f（6）＝2﹣log36＞0， 所以存在t2∈（4，6），f（t2）＝0， 当∈（2，t2），f（t）＝x﹣y＜0；t∈（t2，+∞）时，f（t）＝x﹣y＞0． 综上，t∈（2，t1）时，x＜y＜z；t＝t1时，x＜y＝z，t∈（t1，4）时，x＜z＜y； t＝4时，x＝z＜y；t∈（4，t2）时，z＜x＜y；t＝t2时，z＜x＝y；t∈（t2，+∞）时，z＜y＜x，所以C不可能成立． 故选：C． 6．若函数y＝a+2lnx﹣x2在内有两个零点，e＝2.718⋯是自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，e2﹣2] B． C． D．（3，e2﹣2] 【答案】B 【解答】解：由题可得：有两解， 令f（x）＝x2﹣2lnx，则， 当x∈（1，e]时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0， 故当x＝1时，f（x）取最小值1， 又， 所以． 故选：B． 7．已知t∈[0，π]，若关于x的方程cos（x+t）＝1﹣cosx存在实数解，则t的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原方程等价于． 当t＝π时，方程左边等于0，显然无解； 当t∈[0，π） 时，方程进一步等价于， 注意，且，， 故方程有解当且仅当， 解得． 综上，． 故选：B． 8．若函数有两个零点，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．（0，1） 【答案】C 【解答】解：因为，x＞0， 且f（1）＝0， 所以x＝1是函数的一个零点， 所以函数还有一个不为1的零点， 当x≠1时，令f（x）＝0， 得alnx， 所以a， 令g（x）（x＞0且x≠1）， 则g'（x）， 令h（x）＝2xlnx﹣x， 则h'（x）＝2lnx+1， 所以当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增； 所以h（x）＞h（1）＝0， 即g'（x）＞0， 所以g（x）单调递增， 作出函数y＝g（x）（x＞0且x≠1）的图象，如图所示： 所以当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，满足题意． 故选：C． 9．关于函数，下列说法正确的是（　　） ①曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为8x﹣2y﹣25＝0； ②f（x）的图象关于原点对称； ③若y＝f（x）﹣m有三个不同零点，则实数m的范围是； ④f（x）在（﹣1，1）上单调递减． A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：函数，求导得f′（x）＝x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）， 对于①，f′（3）＝4，而，则切线方程为，即8x﹣2y﹣25＝0，①正确； 对于②，，则f（x）的图象关于原点不对称，②错误； 对于③，当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜2时，f′（x）＜0， 即函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减， 因此函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝2处取得极小值， 函数y＝f（x）﹣m的零点，即直线y＝m与函数y＝f（x）图象交点的横坐标， 因此当直线y＝m与函数y＝f（x）图象有3个交点时，，③正确； 对于④，f（x）在（﹣1，1）上单调递减，④正确． 故选：D． 10．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）存在两个零点． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：∃x∈R，f（x）＜3（a﹣a2）． 【答案】（1）a≤0时f（x）在单调递增；a＞0时f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增； （2）（i）a∈（1，+∞）； （ii）证明：原存在性命题等价于证明， 代入最小值表达式得a﹣alna﹣a3＜3a﹣3a2， a＞1时两边同除a整理得﹣a2+3a﹣2﹣lna＜0． 令ψ（a）＝﹣a2+3a﹣2﹣lna（a＞1），， a＞1时ψ'（a）＜0，ψ（a）在（1，+∞）单调递减，结合ψ（1）＝0，得a＞1时ψ（a）＜0， 取x＝lna即可满足f（x）＜3（a﹣a2）． 【解答】（1）解：f'（x）＝ex﹣a． 当a≤0时，ex＞0恒成立，f'（x）＞0在上恒成立，f（x）在上单调递增． 当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝lna； x∈（﹣∞，lna）时f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时f'（x）＞0，f（x）单调递增． （2）（i）解：a≤0时f（x）单调递增，函数最多仅有1个零点，不符合双零点条件，因此限定a＞0． f（x）在x＝lna处取得极小值也就是最小值，f（lna）＝a﹣alna﹣a3， 函数存在两个零点的充要条件是f（lna）＜0，不等式两边同除以正数a得1﹣lna﹣a2＜0． 设φ（a）＝﹣a2﹣lna+1（a＞0），， φ（a）在（0，+∞）上单调递减，由φ（1）＝0可得φ（a）＜0⟺a＞1． x→﹣∞与x→+∞时均有f（x）→+∞，结合最小值小于零，a＞1时f（x）存在两个零点． （ii）证明：原存在性命题等价于证明， 代入最小值表达式得a﹣alna﹣a3＜3a﹣3a2， a＞1时两边同除a整理得﹣a2+3a﹣2﹣lna＜0． 令ψ（a）＝﹣a2+3a﹣2﹣lna（a＞1），， a＞1时ψ'（a）＜0，ψ（a）在（1，+∞）单调递减，结合ψ（1）＝0，得a＞1时ψ（a）＜0， 取x＝lna即可满足f（x）＜3（a﹣a2）． 11．已知函数f（x）＝alnx﹣x2（a∈R），则下列命题错误的是（　　） A．若a＜0，则f（x）有1个零点 B．若0＜a＜e，则f（x）没有零点 C．若f（x）有2个零点，则a＞e D．若a＞e，则f（x）有2个零点 【答案】D 【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞）， 当a＝0时，f（x）＝﹣x2在（0，+∞）上单调递减，且f（x）＜0； 当a＜0时，，f（x）在（0，+∞）上单调递减， 因为，，f（1）＝﹣1＜0，所以f（x）在内有1个零点，A正确； 当a＞0时，由，得，f（x）单调递增，由f′（x）＜0得，f（x）单调递减， 由得，a＝2e，由得a＞2e，所以0＜a＜2e时，f（x）没有零点，B正确； 根据已有分析可知当a＞2e时，极大值，且f（1）＝﹣1＜0，f（ea）＝a2﹣（ea）2＜0， 所以f（x）在内有1个零点，在有1个零点，所以f（x）有2个零点，C正确，D错误． 故选：D． 12．已知函数y＝f（x）的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 ﹣7.4 4.5 ﹣53.1 ﹣125.5 那函数f（x）在区间[1，6]上的零点个数是（　　） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【解答】解：因为函数y＝f（x）的图象是连续不间断的，且f（2）＝21.4＞0，f（3）＝﹣7.4＜0， 所以根据零点存在性定理，函数y＝f（x）在区间（2，3）上至少存在一个零点； 同理，由f（3）＝﹣7.4＜0，f（4）＝4.5＞0， 得函数y＝f（x）在区间（3，4）上至少存在一个零点； 由f（4）＝4.5＞0，f（5）＝﹣53.1＜0， 得函数y＝f（x）在区间（4，5）上至少存在一个零点． 但不能判断函数y＝f（x）在其它区间上是否有零点． 因此函数y＝f（x）在区间[1，6]上至少存在3个零点． 故选：D． 13．已知函数，则下列结论中错误的是（　　） A．f（x）存在两个不同的零点 B．f（x）既没有最大值，也没有最小值 C．当时，f（x）＝k有且只有三个实根 D．当x∈[m，+∞）时，f（x）的最大值为，则m的最小值为5 【答案】BCD 【解答】解：对于A选项，令f（x）＝0，得 f（x）0，即x2﹣2x﹣7＝0， 因为Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣7）＝32＞0，有两个实根x1＝1﹣2，故A选项正确； 对于B选项，f′（x）， 由f′（x）＞0得，﹣1＜x＜5；由f′（x）＜0得，x＜﹣1或x＞5， 所以f（x）在（﹣1，5）上单调递增，在（﹣∞，﹣1），（5，+∞）上单调递减， 在x＝﹣1处取极小值，在x＝5处取极大值， 由于当x＞1+2时，f（x）＞0恒成立， 所以，根据函数图象走势可知，f（x）没有最大值，在x＝﹣1处取最小值， 所以，B选项错误； 对于C选项，由B选项可知，f（x）最小值为f（﹣1）＝﹣4e，f（x）极大值为f（5）， 根据函数图象可知， 当﹣4e＜k≤0 时，f（x）＝k 有两个实根； 当 0＜k时，f（x）＝k 有三个实根；所以，C选项错误； 对于D选项，由函数图象可知，当m＝0时，在x∈[m，+∞）时，f（x）的最大值也是， 故m的最小值不是5，所以，D选项错误． 故选：BCD． 14．函数y＝f（x）在R上的图象是一条连续不断的曲线，f（xy）＝yf（x）+xf（y）+2xy，f（e）＝﹣e2，则（　　） A．f（﹣1）＝2 B． C．f（x）是奇函数 D．f（x）零点个数大于1 【答案】ACD 【解答】解：f（xy）＝yf（x）+xf（y）+2xy， 对于A项，令x＝y＝1，可得，f（1）＝f（1）+f（1）+2，解得f（1）＝﹣2， 令x＝y＝﹣1，可得，f（1）＝﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）+2＝﹣2f（﹣1）+2＝﹣2，解得f（﹣1）＝2，故A正确； 对于B项，令，， 又f（e）＝﹣e2，则，故B错误； 对于C项，令y＝﹣1，可得，f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1）﹣2x． 因为f（﹣1）＝2，所以有f（﹣x）＝﹣f（x）+2x﹣2x＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．故C正确； 对于D项，令x＝y＝0，有f（0）＝0．． 令，由f（xy）＝yf（x）+xf（y）+2xy可得， ． 令，，由f（xy）＝yf（x）+xf（y）+2xy可得， ． 因为y＝f（x）在R上的图象是一条连续不断的曲线，且， 根据零点存在定理，可知在，使得f（x0）＝0， 根据函数为奇函数，可知f（﹣x0）＝0，所以函数f（x）至少存在三个零点．故D正确． 故选：ACD． 15．已知函数f（x）＝x﹣a（lnx）2有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则（　　） A． B．存在实数a使得x1x2＝1 C．若，则 D．4f（3）＜f（16） 【答案】AC 【解答】解：对于A，令t＝lnx（x＞0，t∈R），则x＝et， 原函数零点等价于et＝at2（t≠0）有三个解， 显然t＝0不是此方程的解， 即（t≠0）有三个解， 设（t≠0）， 则g（t）＞0， 求导得， 当t＜0时，g'（t）＞0，g（t）单调递增； 当t∈（0，2）时，g'（t）＜0，g（t）单调递减； 当t＞2时，g'（t）＞0，g（t）单调递增， 所以g（t）极小值， 当t→﹣∞时，g（t）→0；当t→0时，g（t）→+∞；当t→+∞时，g（t）→+∞； 又因为y＝a与g（t）图象有三个交点， 所以时，故A正确； 对于B，若x1x2＝1，则，lnx2＝﹣lnx1． 代入方程x＝a（lnx）2， 得，， 与x1＜x2矛盾，B错误； 对于C，若， 则[a（lnx2）2]2＝（a（lnx1）2）（a（lnx3）2）， 由A可知t1＜0＜t2＜t3， 所以（lnx2）2＝|lnx1lnx3|， 由A可知t1＜0＜t2＜t3， 所以t1t3， 所以（lnx2）2＝﹣lnx1lnx3，故C正确； 对于D，计算4f（3）﹣f（16）＝4[3﹣a（ln3）2]﹣[16﹣a（ln16）2] ＝﹣4﹣a[4（ln3）2﹣（ln16）2] ＝﹣4﹣a[4（ln3）2﹣16（ln2）2] ＝﹣4﹣4a[（ln3）2﹣4（ln2）2] ＝﹣4﹣4a（ln3+2ln2）（ln3﹣2ln2）， 因为ln3﹣2ln2＜0， 所以﹣4a（ln3+2ln2）（ln3﹣2ln2）＞0， 又因为（ln3）2≈1.206，4（ln2）2≈4×0.480＝1.921，1.847， 所以4f（3）﹣f（16）＝﹣4﹣4a[（ln3）2﹣4（ln2）2]＞﹣4﹣4×1.847×（1.206﹣1.921）＝1.282＞0， 故4f（3）﹣f（16）＞0，即4f（3）＞f（16），D错误． 故选：AC． 16．函数的零点所在区间是（　　） A．（0，0.5） B．（0.5，0.7） C．（0.7，1） D．（1，2） 【答案】A 【解答】解：因为y＝0.3x与y在[0，+∞）上均为减函数， 所以函数在[0，+∞）上为减函数， 又f（0）＝0.30﹣0＝1＞0，f（0.5）0， 所以函数的零点所在区间是（0，0.5）． 故选：A． 17．已知f（x）＝9x﹣3x﹣2，则f（x）的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：令t＝3x（t＞0），f（x）＝t2﹣t﹣2＝（t﹣2）（t+1）， 令f（x）＝0得t＝2，舍去负根t＝﹣1，即3x＝2，x＝log32． ，， 因此，，零点落在区间． 故选：C． 18．若函数f（x）＝ax﹣x3+ax2﹣x﹣1（a＞0且a≠1）在（0，1）上有唯一零点，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜e B． C． D．1＜a＜2 【答案】B 【解答】解：由题意可得ax﹣x3+ax2﹣x﹣1＝0在（0，1）上有唯一解， 即ax＝x3﹣ax2+x+1， 令g（x）＝ax，则g'（x）＝axlna， 则g（0）＝1，g′（0）＝lna， 令h（x）＝x3﹣ax2+x+1， 则h'（x）＝3x2﹣2ax+1， 则h（0）＝1，h′（0）＝1， 当0＜a＜1时，h′（x）的Δ＝4a2﹣12＜0，开口向上，恒大于零， 所以h（x）为递增函数，g（x）＝ax为递减函数， 因为h（0）＝g（0）＝1， 所以g（x）＝h（x）在（0，1）上无解； 当a＞1时，h'（0）＞g'（0）必须成立，若h'（0）≤g'（0），会出现g1（x）图象的情况， 即g（x）＞h（x）在（0，+∞）上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且h（0）＝g（0）＝1）， 所以图象只能为g2（x），只需交点横坐标小于1即可， 所以令g（1）＞h（1），可得， 又h′（0）＞g′（0）⇒1＞lna⇒a＜e， 所以a的范围为． 故选：B． 19．已知函数f（x）＝|3x﹣2|﹣t+1有两个零点，则t的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（1，2） D．（1，3） 【答案】D 【解答】解：题意等价于y＝t﹣1与y＝|3x﹣2|有两个交点，作出图象如下： 由图象可知，y＝|3x﹣2|在y轴左侧有渐近线y＝2， 故为符合题意，0＜t﹣1＜2，解得1＜t＜3，即t的取值范围为（1，3）． 故选：D． 20．若函数f（x）＝（a﹣2）（ex+e﹣x）+|x|+b有奇数个零点，则4a2+b2的最小值是（　　） A．6 B．8 C．16 D．18 【答案】B 【解答】解：因为f（x）＝（a﹣2）（ex+e﹣x）+|x|+b， 所以f（﹣x）＝（a﹣2）（e﹣x+ex）+|﹣x|+b＝（a﹣2）（ex+e﹣x）+|x|+b＝f（x）， 又f（x）定义域为R， 则函数f（x）为偶函数， 由函数f（x）有奇数个零点， 则f（0）＝2（a﹣2）+b＝0， 即2a+b＝4， 所以， 当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立， 即4a2+b2的最小值是8． 故选：B． 21．已知a，b∈R且a，b＞0，若函数有唯一零点，则2a+b的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为f（x）的定义域为R，且， 所以f（x）为偶函数． 由于函数f（x）存在唯一零点，若存在非零零点x＝x0，则x＝﹣x0也为函数零点，与唯一零点矛盾， 因此f（x）唯一零点为x＝0． 所以，整理得ab＝4（b＞0，a＞0）． 根据基本不等式可得， 将ab＝4代入得，当且仅当2a＝b时等号成立． 联立，解得，满足条件，因此等号可取． 综上，2a+b的最小值为． 故选：C． 22．设a∈R，函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|，若f（x）恰有两个零点，则a的取值范围为 　 　 ． 【答案】（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 【解答】解：当x2﹣ax+1≥0时，f（x）＝0⇔（a﹣1）x2+（a﹣2）x﹣1＝0， 即[（a﹣1）x﹣1]（x+1）＝0， 若a＝1时，x＝﹣1，此时x2﹣ax+1≥0成立； 若a≠1时，或x＝﹣1， 若方程有一根为x＝﹣1， 则1+a+1≥0，即a≥﹣2且a≠1； 若方程有一根为， 则，解得a≤2且a≠1； 若时，a＝0，此时1+a+1≥0成立； 当x2﹣ax+1＜0时，f（x）＝0⇔（a+1）x2﹣（a+2）x+1＝0， 即[（a+1）x﹣1]（x﹣1）＝0， 若a＝﹣1时，x＝1，显然x2﹣ax+1＜0不成立； 若a≠﹣1时，x＝1或， 若方程有一根为x＝1， 则1﹣a+1＜0，即a＞2； 若方程有一根为， 则，解得a＜﹣2； 若时，a＝0，显然x2﹣ax+1＜0不成立； 综上，当a＜﹣2时，零点为，； 当﹣2≤a＜0时，零点为，﹣1； 当a＝0时，只有一个零点﹣1； 当0＜a＜1时，零点为，﹣1； 当a＝1时，只有一个零点﹣1； 当1＜a≤2时，零点为，﹣1； 当a＞2时，零点为1，﹣1． 所以当函数有两个零点时，a≠0且a≠1． 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 23．若函数在[0，4]上恰有2个零点，则符合条件的a为 　　 ． 【答案】1． 【解答】解：根据题意，可得f（x）＝0等价于x2﹣2x+a＝0或sin（ax）＝0， 对于x2﹣2x+a＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4a＝4﹣4a， 根据a∈N*，可知有如下两种情况： ①当a＞1时，y＝x2﹣2x+a在[0，4]上没有零点，则y＝sin（ax）在[0，4]上应有2个零点， 结合，可知π≤4a2π，解得， 结合a＞1且a∈N*，可得a∈∅； ②当a＝1时，y＝x2﹣2x+a在[0，4]上有唯一零点1， 此时y＝sin（x）在[0，4]上有1个零点，f（x）在[0，4]上恰有2个零点，符合题意． 综上所述，符合条件的a＝1． 故答案为：1． 24．方程lgx﹣|sin2x|＝0在（0，3π）内实数根的个数为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【解答】解：因为lgx﹣|sin2x|＝0， 所以lgx＝|sin2x|， 将问题转化y＝lgx和y＝|sin2x|的图象在（0，3π）内的交点个数， 因为x∈（0，3π）， 所以2x∈（0，6π）， 作出y＝lgx和y＝|sin2x|的图象，如图所示： 因为lg10＝1，|sin（2×10）|＝|sin（20）|＜1， 由此可得两函数共有11个交点， 所以方程lgx﹣|sin2x|＝0在（0，3π）内共有11个解． 故选：A． 25．设函数，现有如下命题，①若方程f（x）＝a有四个不同的实根x1、x2、x3、x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是（0，1）；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8．下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】C 【解答】解：当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点为（﹣1，1），过（﹣2，0）和（0，0）； 当x＞0时，f（x）＝|lnx|，图象过（1，0），如图所示． 对于①，当方程f（x）＝a有四个不同的实根x1、x2、x3、x4时，不妨假设x1＜x2＜x3＜x4， 则0＜a＜1，﹣2＜x1＜﹣1＜x2＜0＜x3＜1＜x4＜e，且x1+x2＝﹣2，|lnx3|＝|lnx4|， 所以﹣lnx3＝lnx4，所以x3•x4＝1． 因此x1•x2•x3•x4＝x1•x2＝（﹣2﹣x2）•x2，﹣1＜x2＜0， 所以x1•x2•x3•x4∈（0，1），故①为真命题． 对于②，方程等价于且a≠0，所以f（x）＝a或． 当a＞1时，，由y＝f（x）的图象得f（x）＝a有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当a＝1时，，由y＝f（x）的图象得f（x）＝1有3个不同实根，故原方程有3个不同实根； 当0＜a＜1时，，由y＝f（x）的图象得f（x）＝a有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当a＝﹣1时，，由y＝f（x）的图象得f（x）＝﹣1有1个实根，故原方程有1个实根； 当a＜0且a≠﹣1时，且，由y＝f（x）的图象得f（x）＝a有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根； 综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6． 故②为假命题． 故选：C． 26．已知函数f（x）＝（x﹣a）2+bex（a，b∈R）． （1）若a＝0时，函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围； （2）若a＞0，b，方程f（x）＝3有解，求a的取值范围． 【答案】（1）（）． （2）（0，2]． 【解答】解：（1）若a＝0时，f（x）＝x2+bex， 函数y＝f（x）有3个零点，即f（x）＝0有3个根，也即 有3个根，即y＝b与 的图象有三个交点， ，由g'（x）＜0，解得0＜x＜2，由g'（x）＞0，解得x＜0或x＞2， 所以g（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减， 又g（0）＝0，时，g（x）＜0， 作出函数g（x）的大致图象，如图所示： 数形结合可得， 即b的取值范围是（）． （2）若a＞0，b，方程f（x）＝3有解，则 有解． 设h（x）＝（x﹣a）2+2ex﹣1﹣3，则h'（x）＝2（x﹣a）+2ex﹣1， 设m（x）＝2（x﹣a）+2ex﹣1，则m'（x）＝2+2ex﹣1＞0 恒成立，故m（x）在R单调递增， 因为m（﹣1）＝2（﹣1﹣a+e﹣2）＜0，m（a）＝2ea+1＞0， 所以存在唯一的x0，使得 ，所以x0﹣a， 且x＞x0 时，h'（x）＞0，x＜x0时，h'（x）＜0，即h（x）在 （﹣∞，x0） 单调递减，在 （x0，+∞）单调递增， x→﹣∞时，h（x）→+∞，x→+∞时，h（x）→+∞， 故要使h（x）＝0有解，只需h（x）min≤0， 故h（x）min＝h（x0）＝（x0﹣a）233＝（3）（1）≤0， 故，解得x0≤1， 而 在x0∈（﹣∞，1]上单调递增，故a≤1+1＝2， 又因为a＞0，所以0＜a≤2，即a的取值范围为（0，2]． 27．已知函数f（x）＝（k+1）2x+2﹣x，k是实数． （1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值； （2）若f（x）≥4对任意的x∈[0，2]恒成立，求k的取值范围； （3）若k＝0，方程f（2x）＝2af（x）﹣6a﹣9有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）k＝﹣2；（2）{k|k≥2}；（3）． 【解答】解：（1）因为函数f（x） 是定义在R上的奇函数， 所以f（﹣x）＝﹣f（x） 对任意x∈R 恒成立， 即（k+1）2﹣x+2x＝﹣（k+1）2x﹣2﹣x对任意x∈R恒成立， 整理得（k+2）（2x+2﹣x）＝0，对任意x∈R 恒成立， 所以k＝﹣2． （2）因为f（x）≥4对任意的x∈[0，2]恒成立， 所以（k+1）2x+2﹣x≥4，即 ，对任意的x∈[0，2]恒成立， 令，则， 令g（t）＝﹣t2+4t，所以k﹣1≥g（t）max， 上单调递增， 所以，g（t）max＝g（1）＝3， 所以k+1≥3，k≥2， 所以k的取值范围为{k|k≥2}． （3）当k＝0时，f（x）＝2x+2﹣x， 因为f（2x）＝2af（x）﹣6a﹣9， 所以22x+2﹣2x＝2a（2x+2﹣x）﹣6a﹣9， 令2x+2﹣x＝u，则 u≥2， 转化为方程u2﹣2au+6a+7＝0，在[2，+∞）上有解， 令h（u）＝u2﹣2au+6a+7， 当a＜2时，h（u）在[2，+∞）为增函数， 所以h（2）≤0，得， 当a≥2时，需Δ≥0， 即，解得a≥7， 综上所述，实数a的取值范围是． 28．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程x3+2x2+3x+3＝0的近似解，先用函数零点存在定理，令f（x）＝x3+2x2+3x+3，f（﹣2）＝﹣3＜0，f（﹣1）＝1＞0，得（﹣2，﹣1）上存在零点，取x0＝﹣1，牛顿用公式反复迭代，以xn作为f（x）＝0的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为 　　 ；以（﹣2，﹣1）为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 　 　 ． 【答案】；． 【解答】解：f′（x）＝3x2+4x+3， 迭代1次后，， 迭代2次后，， 用二分法计算第1次，区间（﹣2，﹣1）的中点为，，， 所以近似解在上， 用二分法计算第2次，区间的中点为，，， 所以近似解在上，取其中点值，所求近似解为． 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 $