广东省广州市真光中学2026-2027学年高一上学期10月阶段测试数学试题

广州市真光中学2026学年度10月阶段测试 高 一 数 学 命题：曹民益 审题：何淑龙 说明：本试卷共四大题，共19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（        ） A． B． C． D． 3．设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 4．有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 5．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A．B．C．D． 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知[x]表示不超过的最大整数，集合，且，则集合的真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 10．下列说法中，不正确的有（    ） A．的最小值为4 B．“”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．若集合中只有一个元素，则 D．若，则实数的可能取值集合为 11．已知a，b为正实数，且，则（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为3 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，若集合，则_________． 13．已知为二次函数，且，则_________． 14．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知命题p：“，使不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值集合A； (2)若q：是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知函数的定义域为集合A，集合． (1)若，全集，求，； (2)若，求m的取值范围． 17．（本小题满分15分） 真光中学为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18．（本小题满分17分） 已知二次函数. (1)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (2)若的解集为，对于，总，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 19．（本小题满分17分） 若实数x，y，m满足，则称比接近． (1)若4比接近0，求的取值范围； (2)对于任意的两个不等正数，判断是否比接近，并说明理由； (3)若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围． 答案第1页（共2页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A C A A B BD ACD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据常见数集与元素之间的关系以及空集定义逐项判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知0是自然数，所以，即A正确； 对于B，空集中没有任何元素，是集合，而0是实数，两者不相等，所以错误； 对于C，是有理数，可得，即C正确； 对于D，是实数，因此，即D正确. 故选：B 2．B 【详解】命题“”的否定为“”. 3．D 【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得. 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故选：D 4．A 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 5．C 【分析】根据条件描述得离家距离是先减少后增加，则得到答案. 【详解】因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离， 条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内， 则离家距离是先减少后增加，故C正确. 故选：C. 6．A 【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】由，解得或， 即不等式的解对应集合， 由或，解得或， 即不等式的解对应集合， 显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 7．A 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 8．B 【分析】根据已知有、，结合集合的描述有1、2分属方程与的根，讨论作为对应方程的根求出对应集合，确定集合元素个数，即可得. 【详解】由题设知，又，所以， 因为，得或，的两根满足， 所以1，2分属方程与的根， 若1是的根，2是的根，则，得， 代入与，解得或与或，故； 若2是的根，1是的根，则，得， 代入与，解得或与或，故； 所以集合总是有4个元素，故集合的真子集的个数为. 故选：B 9．BD 【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负. 【详解】因为的解集为， 所以，解得，所以A错误； 对于B：将代入可得，解得，B正确； 对于C：不等式的解集为， 所以时，C错误； 对于D：将代入可得，即， 解得，D正确， 故选：BD 10．ACD 【分析】利用基本不等式计算可判断A；利用一元二次方程根与系数的关系计算可判断B；利用，计算可判断C；利用元素与集合的关系计算，结合集合元素的互异性可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时取等号，但无解，故等号不成立， 故的最小值不为4，故A错误； 对于B，一元二次方程有一正根一负根， 则，因此得， 当时，则，可知方程有两个不相等的实根， 且，所以一元二次方程有一正根一负根， 故“”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以或或， 解得或或， 当，，符合题意； 当，，不满足集合元素的互异性，故不符合题意； 当，，符合题意； 当，，符合题意； 故实数的可能取值集合为，故D错误. 故选：ACD. 11．AD 【分析】A由已知不等式得，进而得，注意等号成立条件判断；B由条件得，再由并应用基本不等式求最值，注意等号成立条件判断；C由题设有，进而得，注意取值条件判断；D由，应用基本不等式及B分析求最值，注意等号成立条件判断. 【详解】A，由为正实数，则， 所以， 所以，即， 当且仅当，即时取等号， 即ab的最大值为，正确； B，由，且a、b为正实数，则， 所以， 当且仅当，即时，不等式取等号， 所以的最小值为5，错误； C，由a，b为正实数，且， 即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为，错误； D，由B有，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，正确. 故选：AD 12． 13． 【详解】设，则， 整理可得. 由题意得, 所以，解得，所以. 14． 15．【详解】（1）：“，不等式恒成立”为真命题． 当时，原不等式为，符合题意； 当时，由． 综上，实数m的取值集合． （2）设集合， ∵q：是的必要不充分条件， ∴， ∴， 实数a的取值范围是． 16．【详解】（1）由题意得：，解得， 所以，， 若，则， 所以，． （2）因为，所以 当时，满足，则，解得； 当时，由得，解得． 综上，m的取值范围为． 17．【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18．(1) 必要性：由于是常数且有一正实根和一负实根， 设两根为，则且， 充分性：由推出，从而有两个不相等的实数根， 设为，则，由知：，即两根异号， 所以（a，b，c是常数且）有一正一负两实根， 综上，是方程有两个异号实根的充要条件； (2)； (3). 【分析】（1）从充分、必要性两方面证明，结合一元二次方程根的分布及韦达定理、判别式判断推出关系，即可证； （2）令，问题化为，上，分类讨论并结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （3）根据已知有恒成立，进而有，则，应用换元法并应用基本不等式求最值. 【详解】（1）略 （2）由的解集为，则，得，故， 令，，且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时，只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，； （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为. 19．(1) (2)比接近，理由如下： 因为且，所以，且， 所以 ，则， ，即比接近． (3)． 【分析】（1）解不等式可得； （2）作差，确定其正负后可得； （3）求出的最小值，然后解不等式可得. 【详解】（1）由题意得：，则或， 求得或， 所以取值范围为； （2）略 （3）由题意：对于x∈R，恒成立， 当时，，当时等号成立， 当时，则，，当时等号成立， 所以，则. 综上，． 故，解得，所以取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $