1.2 菱形的性质与判定（第1课时）课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

1.2 菱形的性质与判定 （第1课时）——菱形的性质 北师大版（2024）数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 授课教师：____________ 班级：____________ 封面 01 同学们好，从今天起我们进入第一章“特殊平行四边形”的学习，第一节课要先认识一种非常特别的平行四边形——菱形。看到这个名字，大家也许会想到伸缩门、衣帽架，它们的形状里就藏着菱形。 这节课我们要弄清楚菱形到底“特殊”在哪里，又保留了平行四边形的哪些性质。请先回忆一下，我们研究一个新图形时，通常会按照怎样的顺序一步步展开。 本课学习目标与学习路线 学习导航 02 学习目标 1 理解菱形的定义，知道菱形是特殊的 平行四边形，会用几何语言表述定义。 2 经历折纸与推理的探究过程，发现菱形 在边、对角线、对称性上的特殊性质。 3 能证明“菱形的四条边都相等”与“菱形的对角线 互相垂直”，并能用几何语言表述这两条性质定理。 4 能运用菱形的性质进行计算与证明，会用 对角线求菱形面积，体会转化思想。 学习路线 01 情境导入与定义 02 性质探究与证明 03 性质归纳与面积 04 典型例题精讲 05 随堂巩固练习 06 课堂小结与作业 学习新课之前，先看清楚我们要走到哪里，后面的路会走得更稳。这一页把本课的目标和路线一次交代清楚：读懂菱形的定义并会用几何语言表述，动手折出它的特殊性质，再把两条性质定理证明出来，最后用它们解决计算和证明问题。 右边的六个环节就是我们的行进地图，从情境导入一路走到课堂小结与作业。心里有了这张地图，听课时就更容易抓住每一段的重点。 一 一、情境导入与菱形的定义 复习平行四边形的定义与性质 观察生活中的菱形，抽象出几何图形 归纳菱形的定义，明确两个条件缺一不可 情境导入与菱形的定义 03 接下来进入第一个环节。我们不打算凭空抛出一个新图形，而是从已经熟悉的平行四边形出发，给它加上一个条件——邻边相等，看看会发生什么变化。 大家会先复述平行四边形的定义与性质，再从伸缩门、衣帽架这些生活图形里抽象出菱形。最后归纳出菱形的定义，并特别留意：平行四边形和邻边相等这两个条件，缺一不可。 复习旧知：平行四边形的定义与性质 情境导入与菱形的定义 04 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作 □ABCD。 A B C D O 图：平行四边形 ABCD，对角线交于点 O 边 对边平行且相等：AB∥CD，AD∥BC； 对边相等：AB＝CD，AD＝BC。 角 对角相等，邻角互补：∠A＝∠C，∠B＝∠D； ∠A＋∠B＝180°。 对角线 对角线互相平分：OA＝OC，OB＝OD。 对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心是 对角线交点 O。 说明：以上性质是平行四边形共有的，凡菱形必然全部具备，研究菱形时可以直接使用。 在认识菱形之前，我们先把老朋友请出来。左边这个平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，它的定义是两组对边分别平行的四边形。右边按边、角、对角线、对称性四组回顾了它的性质：对边平行且相等，对角相等、邻角互补，对角线互相平分，而且它是中心对称图形。 这些性质是平行四边形共有的，所以只要一个图形是菱形，它就一定全部具备，后面研究菱形时我们可以直接拿来用。 从生活到数学：认识菱形 情境导入与菱形的定义 05 观察 伸缩门、衣帽架、栏杆、地砖花纹 中都含有邻边相等的平行四边形。 发现 当平行四边形的一条边与它相 邻的边相等时，四条边都相等， 形状变得“规整”。 定义 有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形。 关键：先满足“平行四边形”，再加“一组邻边相等”，两个条件缺一不可。 说明：由一般平行四边形到菱形，是把条件特殊化的过程，是研究四边形的一条基本思路。 一般平行四边形（邻边不相等） A B C D 菱形（一组邻边相等） A B C D → 看看我们身边的图形：伸缩门、衣帽架、栏杆、地砖花纹，里面都藏着邻边相等的平行四边形。当我们把平行四边形的一条边“拉”得和它相邻的边一样长时，形状立刻变得规整起来，四条边就都相等了。 于是我们给出菱形的定义——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。请注意这里的两个条件：先要是平行四边形，再加上一组邻边相等，缺一不可。这样一个“特殊化”的过程，正是我们研究四边形的一条基本思路。 菱形的定义与几何语言 情境导入与菱形的定义 A B C D 菱形 ABCD（AB＝BC） 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言：∵ 在 □ABCD 中，AB＝BC， ∴ □ABCD 是菱形。 说明：判断一个四边形是菱形，必须先说明它是平行四边形。 从属关系 平行四边形 菱形 菱形是特殊的平行四边形， 平行四边形包含菱形； 菱形具有平行四边形的 全部性质。 06 先把菱形的“身份”说清楚：它并不是一个全新的图形，而是一组邻边相等的平行四边形。也就是说，判断一个四边形是不是菱形，得先说清它是平行四边形，再说清有一组邻边相等，这两个条件缺一不可。把它写成几何语言就是：在 □ABCD 中，因为 AB＝BC，所以 □ABCD 是菱形。 正因为菱形是特殊的平行四边形，平行四边形有的性质它全都有，这对我们后面研究它的边、角和对角线，能省下不少力气。 二 菱形性质的探究与证明 二、菱形性质的探究与证明 折一折菱形纸片，借助轴对称发现特殊性质 探究一：四条边的关系 —— 四条边都相等 探究二：对角线的关系 —— 对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角 07 接下来进入这节课最核心的环节——探究菱形的性质。我们不急着把结论背下来，而是先折一折菱形纸片，借助它的轴对称性猜一猜可能成立的结果。然后分两步去验证：看一看四条边之间有什么关系，再看一看两条对角线之间有什么关系。 猜出来只是第一步，把猜想变成严格的证明，才是这节数学课真正要练的本事。 动手操作：折一折菱形纸片 菱形性质的探究与证明 A B C D 菱形纸片 ABCD，红色虚线为折痕（两条对称轴） 操作 ① 把一张菱形纸片沿对角线 AC 对折； ② 再沿对角线 BD 对折，观察两部分是否重合。 发现 发现1：对折后两部分完全重合，菱形是轴对称图形。 发现2：两条对角线所在直线都是它的对称轴， 菱形共有 2 条对称轴。 发现3：每条对称轴把菱形分成两个完全相同的 三角形，两条对称轴的交点即对角线交点。 作用：对称性帮助我们猜出“四条边相等”“对角线互相垂直”， 但猜想还需要用推理来证明。 08 请每位同学拿出一张菱形纸片，先沿对角线 AC 对折，再沿对角线 BD 对折。你会发现两次对折后，两部分都完全重合，这说明菱形是轴对称图形。而且这两条对角线所在的直线，就是它的两条对称轴，每条对称轴都把菱形分成两个完全相同的三角形。 对称性帮我们很直观地“看”到了结论，但它毕竟只是观察，接下来还得用推理去证明。 探究一：菱形的四条边有什么关系 菱形性质的探究与证明 A B C D 菱形 ABCD，四条边 AB＝BC＝CD＝DA 操作与猜想 操作：用直尺量一量菱形纸片的四条边，比较四条边的长度。 猜想：四条边的长度完全相等。 说理 ∵ 菱形是特殊的平行四边形， ∴ AB＝CD，AD＝BC（对边相等）； 又 ∵ 有一组邻边相等，即 AB＝AD， ∴ AB＝BC＝CD＝DA。 结论：菱形的四条边都相等，这是菱形区别于 一般平行四边形的最明显的性质。 09 现在把直尺拿出来，量一量菱形纸片的四条边，比一比它们的长度。你会发现四条边完全一样长，于是我们自然就猜想：菱形的四条边都相等。为什么一定相等呢？因为菱形首先是平行四边形，所以对边相等，AB＝CD、AD＝BC；而它又有一组邻边相等，也就是 AB＝AD，这样顺着一推就得到 AB＝BC＝CD＝DA。 这正是菱形区别于一般平行四边形最明显的特征。 探究二：菱形的对角线有什么关系 菱形性质的探究与证明 A B C D O 菱形 ABCD，AC⊥BD，O 为对角线交点 观察 沿对角线对折后发现，两条对角线互相垂直， 且对折后两组对角分别重合。 理由 在菱形 ABCD 中，AB＝AD，OB＝OD， ∴ 在等腰三角形 ABD 中，底边上的中线 AO 也是底边上的高， ∴ AC⊥BD。 附带结论1：AC 平分 ∠BAD 和 ∠BCD。 附带结论2：BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC。 10 接着把注意力转到两条对角线上。沿对角线对折后你会发现，两条对角线互相垂直，而且两组对角分别重合。理由其实很清楚：在菱形中 AB＝AD、OB＝OD，于是等腰三角形 ABD 底边上的中线 AO 同时也成了底边上的高，所以 AC⊥BD。 顺带还能得到，AC 平分 ∠BAD 和 ∠BCD，BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC，这就是“每条对角线平分一组对角”。 性质定理1：菱形的四条边都相等 二、菱形性质的探究与证明 11 A B C D 已知 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝AD。 求证 AB＝BC＝CD＝DA。 证明 ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）。 又 ∵ AB＝AD， ∴ AB＝BC＝CD＝DA。 结论 菱形的四条边都相等。 提示 证明时先由定义得到平行四边形，再用平行四边形的性质， 这是本课最常用的证明思路。 前面我们靠折纸和测量，猜到了"菱形的四条边都相等"，但猜想要变成定理，必须经过推理证明。我们先把已知和求证写清楚：已知在菱形 ABCD 中 AB＝AD，求证 AB＝BC＝CD＝DA。 证明其实只有两步——由菱形的定义知道它首先是平行四边形，所以对边相等；再把"一组邻边相等"这个条件接上去，四条边就串成了一条相等的链。请同学们照着板书把这段证明完整抄一遍，每一步后面的依据都要写出来，考试时是要算分的。 三 三、性质定理的证明与归纳 三、性质定理的证明与归纳 1. 证明：菱形的对角线互相垂直 2. 归纳：菱形的全部性质 3. 应用：用对角线求菱形的面积 12 接下来进入第三个环节。这一段我们要做三件事：先把"对角线互相垂直"这条性质严格证明出来，再把边、角、对角线、对称性和面积汇总成一张性质表，最后用对角线推导出菱形的面积公式。 三步走完，你们手里就有了一套完整的菱形性质工具，后面的例题和练习都要靠它。我们马上来看定理2的证明。 性质定理2：菱形的对角线互相垂直 三、性质定理的证明与归纳 13 A B C D O 已知 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O。 求证 AC⊥BD，且 AC 平分 ∠BAD 和 ∠BCD， BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC。 证明 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB＝AD（菱形的四条边都相等）。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）。 ∴ 在等腰三角形 ABD 中，AO⊥BD，即 AC⊥BD， 且 AO 平分 ∠BAD。 同理可证：AC 平分 ∠BCD，BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC。 结论 菱形的对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。 性质定理2的证明比定理1稍长，但思路很顺。已知菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，我们要证明它们互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 关键的一步你们要盯紧：由四条边相等得到 AB＝AD，由平行四边形得到 OB＝OD，于是 △ABD 是等腰三角形，而 AO 既是底边上的中线、又是底边上的高，所以 AC⊥BD。 剩下的三条角平分线，用完全一样的办法就能证出来，这就是书上"同理可证"四个字的分量。 菱形的性质归纳 三、性质定理的证明与归纳 14 A B C D O 菱形 ABCD AC⊥BD，四条边都相等 方面 性质内容 边 四条边都相等（AB＝BC＝CD＝DA），对边仍然平行。 角 对角相等，邻角互补（∠A＝∠C，∠B＝∠D）； ∠A＋∠B＝180°。 对角线 互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。 对称性 轴对称图形，有 2 条对称轴（两条对角线所在直线）； 也是中心对称图形，对称中心是交点 O。 面积 S＝底×高＝½×AC×BD。 这一页把菱形在五个方面的性质汇总在一起。边上有四条边相等、对边仍然平行；角上对角相等、邻角互补；对角线上互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角；对称性上有两条对称轴，同时也是中心对称图形；面积既可以用底乘高，也可以用对角线乘积的一半。 请大家横向对比着记，同时记住一句话：菱形的所有性质，都是从"平行四边形加一组邻边相等"这个定义里推出来的。 菱形的面积计算 三、性质定理的证明与归纳 15 A B C D O 两条对角线分成四个全等的直角三角形 方法一：底乘高 S＝底×高 菱形是特殊的平行四边形，面积公式与平行四边形的面积公式一致。 方法二：对角线乘积的一半 S＝½×AC×BD 菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形，从而推得这个公式。 例题 菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，求它的面积。 S＝½×AC×BD＝½×6×8＝24。 用对角线求面积时，切勿忘记乘 ½。 最后我们来算菱形的面积。方法一还是"底乘高"，因为菱形本来就是特殊的平行四边形；方法二更常用——两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以面积等于两条对角线乘积的一半。 看这道例题，对角线是 6 和 8，S＝½×6×8＝24。这里最容易出错的地方就是漏掉那个 ½，请同学们动笔把它圈出来提醒自己。 四 四、典型例题精讲 四、典型例题精讲 例1 已知一边一角，求边长与对角线 例2 已知边长与对角线，求面积 例3 用全等三角形证明线段相等 例4 用面积法求菱形的高 16 前面我们把菱形的定义和两条性质定理都理清楚了，接下来这一步很关键，就是把知识变成解题能力。 这一环节我们用四道例题，分别打通求边长与对角线、求面积、证明线段相等、用面积法求高这四类典型问题，你会发现它们背后其实是同一套工具：对角线互相垂直平分，再加上勾股定理。 例1 已知一边一角，求边长与对角线 四、典型例题精讲 题目 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD＝60°，BD＝6， 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长。 A B C D O 3 解答 ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD＝½BD＝½×6＝3。 在 △ABD 中，∵ AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴ △ABD 是等边三角形，∴ AB＝BD＝6。 在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA＝√(AB²−OB²)＝√(6²−3²) ＝√(36−9)＝√27＝3√3。 结论 ∴ 菱形的边长 AB＝6，对角线 AC＝2OA＝6√3。 17 这道题的图形很典型，两条对角线交于 O，把菱形切成了四个直角三角形，而 ∠BAD＝60° 就是打开这道门的钥匙。 因为菱形四条边都相等，AB 和 AD 相等，再加上夹角是 60°，所以 △ABD 其实是等边三角形，BD 是 6，边长 AB 也就是 6，这一步不需要算，是看出来的。 有了 OB＝3 和斜边 AB＝6，在 Rt△AOB 里用勾股定理就能求出 OA＝3√3，整条对角线 AC 是它的一半的两倍，也就是 6√3。 请同学们记住这个套路：先找等边或等腰，再用勾股定理算半条对角线，最后别忘了乘 2。 例2 已知边长与对角线，求面积 四、典型例题精讲 题目 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的 菱形，其中对角线 BD 长 10 cm。求： (1) 对角线 AC 的长度；(2) 菱形 ABCD 的面积。 A B C D O 5 AB＝13 解答 (1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，OB＝OD＝½BD＝½×10＝5 cm。 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 OA＝√(AB²−OB²)＝√(13²−5²) ＝√(169−25)＝√144＝12 cm， ∴ AC＝2OA＝24 cm。 (2) S菱形ABCD＝½×AC×BD＝½×24×10＝120 cm²。 答 对角线 AC 长 24 cm，菱形的面积是 120 cm²。 18 这道题和上一道正好反过来，现在是知道边长 13、对角线 BD 长 10，要反过来求另一条对角线和面积。 思路完全一样，先从 BD 求出一半 OB＝5，再在直角三角形 AOB 里用勾股定理算出 OA，13 和 5 是一组很熟悉的数，算出 12 之后 AC 就是 24。 面积这一步直接用对角线公式，二分之一乘 24 再乘 10 得 120，注意这里是平方厘米，单位不要写错。 两道题连着看，你会发现菱形里只要画出对角线，问题就自动变成了直角三角形问题。 例3 用全等三角形证明线段相等 四、典型例题精讲 题目 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E， AF⊥CD 于点 F。求证：CE＝CF。 A B C D E F 证明 ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB＝AD，BC＝CD，∠B＝∠D。 又 ∵ AE⊥BC，AF⊥CD， ∴ ∠AEB＝∠AFD＝90°。 在 △ABE 和 △ADF 中， ∵ ∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB＝AD， ∴ △ABE≌△ADF（AAS）。 结论 ∴ BE＝DF。又 ∵ BC＝CD， ∴ BC−BE＝CD−DF，即 CE＝CF。 19 前面三道都是计算，这道题换成证明，同学们要特别留意书写顺序。 题目要证 CE＝CF，但直接证这两条线段并不方便，我们的策略是先证 △ABE 和 △ADF 全等，拿到 BE＝DF，再用 BC＝CD 作差，等式两边同时减，就得到了 CE＝CF。 这里用到的条件全部来自菱形的性质：四条边都相等提供了 AB＝AD、BC＝CD，对角相等提供了 ∠B＝∠D，垂直又给出了两个直角。 证明题最讲逻辑链条，每一步都要写清楚依据，不能跳步。 例4 用面积法求菱形的高 四、典型例题精讲 题目 已知菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 和 8，求菱形的周长、面积和一边上的高。 A B C D O h E 解答 由对角线互相垂直平分，得 OA＝3，OB＝4， AB＝√(3²＋4²)＝5。 周长＝4×5＝20； 面积 S＝½×6×8＝24。 设 AB 边上的高为 h， 由 S＝AB·h 得 24＝5h， ∴ h＝4.8。 答 菱形的周长是 20，面积是 24，一边上的高是 4.8。 20 最后这道题一下子问了三个量：周长、面积和高，看起来信息很少，其实两条对角线就够了。 对角线是 6 和 8，一半就是 3 和 4，用勾股定理算出边长是 5，周长自然是 20；面积仍然用对角线乘积的一半，等于 24。 关键是第三问，要求 AB 边上的高，我们把这个菱形看成以 AB 为底的平行四边形，面积等于底乘高，24 等于 5 乘 h，所以高是 4.8。 同一个图形用两种方法算面积，让两个式子相等，这就是面积法，也是本节课最能体现转化思想的地方。 五 五、随堂巩固练习 分基础计算、性质应用、综合提高三个层次落实本课内容。 随堂练习（一）基础计算 随堂练习（二）性质应用 随堂练习（三）综合提高 随堂巩固练习 21 到这里，菱形的定义和两条性质定理我们就全部学完了，接下来进入本节课的第五个环节——随堂巩固练习。 我把练习分成三个层次：先是基础计算，把"对角线互相垂直平分"和勾股定理用熟；然后是性质的应用，处理证明和稍复杂的计算；最后是综合提高，看看大家能不能在更绕的条件里找到思路。 先别急着翻后面的答案，自己动笔试一试，遇到卡住的地方再听我讲。 随堂练习（一）：基础计算 随堂巩固练习 22 第1题 在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，求菱形的边长和面积。 解答 OA＝3，OB＝4，AB＝√(3²＋4²)＝5，S＝½×6×8＝24。 A B C D O 第2题 菱形的两条对角线长分别为 10 cm 和 24 cm，求它的边长。 解答 OA＝5，OB＝12，AB＝√(5²＋12²)＝√169＝13 cm。 A B C D O 第3题 已知菱形的边长为 5，一条对角线长为 6，求另一条对角线的长。 解答 OA＝3，OB＝√(5²−3²)＝4，BD＝2OB＝8。 A B C D O 我们先用三道小题热热身。这三道题有一个共同点：题目给的都是对角线的长度，可要求的却是边长或者另一条对角线。 真正的关键动作只有一步，就是把菱形被对角线分出的那个直角三角形找出来。对角线互相垂直平分，所以两条半对角线正好是直角三角形的两条直角边，边长就是斜边，勾股定理一用，答案自然就出来了。 第一题算出边长是 5、面积是 24；第二题边长是 13 厘米；第三题反过来求另一条对角线，得到 8。大家对照一下，是不是都落在同一个模型上？ 随堂练习（二）：性质的应用 随堂巩固练习 23 第1题 在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 ∠BAE＝∠DAF。求证：AE＝AF。 解答 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB＝AD，∠B＝∠D。 在 △ABE 和 △ADF 中，∵ ∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAE＝∠DAF， ∴ △ABE≌△ADF，∴ AE＝AF。 A B C D E F 第2题 已知菱形 ABCD 的周长为 20，一条对角线长为 8，求另一条对角线的长和菱形的面积。 解答 边长 AB＝5，OA＝4，OB＝√(5²−4²)＝3， ∴ 另一条对角线＝6，S＝½×8×6＝24。 A B C D O 基础计算顺手之后，我们把难度往上抬一档。第一题是一道证明题，要证 AE＝AF。 证明两条线段相等，我们最熟悉的办法就是找全等三角形。题目已经给了 ∠BAE＝∠DAF，菱形又白白送来 AB＝AD 和 ∠B＝∠D 两个条件，△ABE 和 △ADF 正好凑齐 AAS，全等一成立，AE＝AF 就出来了。 第二题回到计算：周长 20 意味着边长是 5，对角线互相平分又给出 OA＝4，勾股定理算出 OB＝3，于是另一条对角线是 6，面积仍然落在 24 上。 随堂练习（三）：综合提高 随堂巩固练习 24 第1题 已知菱形的边长为 4，∠BAD＝60°，求菱形的两条对角线的长和面积。 解答 ∵ AB＝AD，∠BAD＝60°，∴ △ABD 是等边三角形，∴ BD＝4。 OB＝2，OA＝√(4²−2²)＝√12＝2√3， ∴ AC＝4√3，S＝½×4×4√3＝8√3。 A B C D O 第2题 已知菱形 ABCD 的周长为 40，对角线 AC＝10，求另一条对角线 BD 的长和菱形的面积。 解答 边长 AB＝10，OA＝5，OB＝√(10²−5²)＝√75＝5√3， ∴ BD＝10√3，S＝½×10×10√3＝50√3。 A B C D O 最后两道题条件更绕一点，但思路还是老样子——先看对角线，再找直角三角形。 第一题冒出来一个 60°，别慌。因为菱形的邻边相等，AB＝AD，再加上 ∠BAD＝60°，△ABD 其实是一个等边三角形，所以 BD 直接等于边长 4；有了这个突破口，OA 用勾股定理算出 2√3，另一条对角线 AC 就是 4√3，面积是 8√3。 第二题给的是周长 40 和一条对角线 10，边长 10、OA 为 5，OB 算出 5√3，BD 就是 10√3，面积 50√3。这两道题都在提醒我们：菱形里的计算，几乎都是把问题转化到直角三角形里去完成的。 环节六 · 课堂小结与作业 六 六、课堂小结与作业 01 回顾菱形的定义与性质 02 辨析常见易错点 03 布置必做、选做与预习作业 25 我们已经把菱形的定义、性质、证明和应用完整地走了一遍，现在到了收口的时候。 这一环节先一起回顾知识网络，把定义、两条性质定理和面积公式串成一条线索；然后挑出本课最容易踩的几个坑逐个辨析；最后布置今天的分层作业。请大家把课本和练习本都准备好，我们边梳理边对照自己的笔记。 课堂小结 环节六 · 课堂小结与作业 知识网络 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质1 菱形的四条边都相等（由定义与平行四边形的性质推得）。 性质2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 面积 S＝底×高＝½×两条对角线之积。 思想方法 特殊化 由平行四边形到菱形， 体现了“特殊化”的研究思路。 转化 求线段长时，把菱形问题转化为直角三角形问题， 体现了“转化”思想。 菱形是特殊的平行四边形，定义决定性质，性质是计算的依据。 26 回头看这节课，我们其实只做了一件事：给平行四边形加上“一组邻边相等”这个条件，就得到了菱形。 定义一变，性质就跟着变——四条边都相等，对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角，面积既能用底乘高，也能用两条对角线乘积的一半。所以说，定义决定性质，而性质就是我们后面所有计算的依据。 顺便记住两条思路：由平行四边形到菱形是“特殊化”，把菱形拆成直角三角形来求线段长是“转化”，这两招以后还会反复用到。 易错辨析与温馨提示 环节六 · 课堂小结与作业 分清菱形与一般平行四边形的性质差别，计算时不要漏掉“对角线互相平分”。 易错1 · 错误做法：把“四条边都相等”当成所有平行四边形都有的性质。 正确做法：只有菱形（邻边相等的平行四边形）才有这一性质。 易错2 · 错误做法：由“对角线互相垂直”直接说这个四边形是菱形。 正确做法：本课时学的是菱形的性质，判定方法将在下一课时学习。 易错3 · 错误做法：算面积时写成“两条对角线之积”。 正确做法：应为两条对角线乘积的一半，S＝½×AC×BD。 易错4 · 错误做法：求对角线时直接用整条对角线作直角边。 正确做法：菱形对角线互相平分，应先用它的一半作直角边，再用勾股定理。 温馨提示：遇到菱形问题，先画出对角线（画成互相垂直），再找直角三角形，这是最常用的突破口。 27 知识梳理完了，我们来挑几个最容易出错的地方。 第一，“四条边都相等”并不是所有平行四边形都有的性质，它只属于菱形；第二，现在由“对角线互相垂直”还不能反过来说这个四边形就是菱形，判定是下一课时才学的内容。 计算上也有两个坑：用对角线求面积时别忘了乘二分之一，求对角线时也不能拿整条对角线当直角边，要先用它的一半再上勾股定理。 遇到菱形问题，最快的突破口就是先把两条对角线画出来、让它们互相垂直，直角三角形自然就出现了。 课后作业 环节六 · 课堂小结与作业 分层作业：必做巩固基础，选做提升能力，预习衔接下一课时。 必做 教材 P5 随堂练习第 1、2 题；习题 1.2 第 1、2 题。 选做 已知菱形 ABCD 的周长为 20，一条对角线长为 6，求另一条对角线的长及菱形的面积。 （答案：另一条对角线为 8，面积为 24） 拓展 已知菱形的两条对角线长分别为 4 和 4√3，求菱形的边长和每个内角的度数。 预习 1.2 菱形的性质与判定（第 2 课时）——菱形的判定。 28 今天的作业分成四块，大家可以按自己的能力选着做。 必做题是教材 P5 随堂练习第 1、2 题和习题 1.2 第 1、2 题，用来巩固基础。选做题给出了周长和一条对角线，请你求另一条对角线的长以及菱形的面积，做完可以对照后面的答案自查。 学有余力的同学再做拓展题：两条对角线分别是 4 和 4√3，想一想它的边长是多少、每个内角又是多少度。 最后，请大家提前预习 1.2 的第 2 课时——菱形的判定，带着“怎样判断一个四边形是菱形”这个问题下课。 $